人教版七年级数学下册尖子生培优必刷题专题8.7二元一次方程组与材料阅读问题大题专练(重难点培优30题)(原卷版+解析)

【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题8.7二元一次方程组与材料阅读问题大题专练（重难点培优30题）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．(2023•宛城区校级开学）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：解方程组17x+19y=21①23x+25y=27②②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1．③③×17得：17x+17y＝17．④①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1．所以这个方程组的解是x=−1y=2（1）请你运用小明的方法解方程组1997x+1999y=20012017x+2019y=2021（2）猜想关于x、y的方程组ax+(a+2)y=a+4bx+(b+2)y=b+4（a≠b）的解是2．(2023春•卧龙区校级月考）阅读探索（1）知识积累解方程组(a−1)+2(b+2)=62(a−1)+(b+2)=6解：设a﹣1＝x，b+2＝y．原方程组可变为x+2y=62x+y=6，解这个方程组得x=2y=2，即a−1=2b+2=2（2）拓展提高运用上述方法解下列方程组：(m（3）能力运用已知关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b3．(2023春•新乐市校级月考）在解关于x，y的方程组ax+5y=c①4x−by=1②时，甲把方程组中的a看成了﹣8，得解为x=4y=3，乙看错了方程组中的b，得解为（1）求正确的a，b，c的值；（2）求原方程组的解；（3）若关于s，t的二元一次方程组为a(s+t)+5(s−t)=c4(s+t)−b(s−t)=1，求s，t4．(2023秋•晋中期末）下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请你阅读并完成相应的任务：解方程组：3x+4y=5①解：②×2，得2x﹣4y＝4③……第一步①+③，得5x＝9……第二步x=9把x=95代入②，得y∴原方程组的解为x=9任务一：①上述材料中小明同学解二元一次方程组的数学方法是（填序号即可）；A．公式法B．换元法C．代入法D．加减法②上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是（填序号即可）；A．转化B．公理化C．演绎D．数形结合③第步开始出现错误，这一步错误的原因是；任务二：请你直接写出原方程组的解．5．(2023春•兴化市月考）对于有理数x，y，定义新运算：x&y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知1&1＝1，3⊗2＝8．（1）求a，b的值；（2）若关于x，y的方程组x&y=4−mx⊗y=5m的解也满足方程x+y＝5，求m（3）若关于x，y的方程组a1x&b1y=c1a26．(2023春•泌阳县月考）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：已知关于x，y的二元一次方程组3x+4y=3①x+2y=2−3m②的解满足2x+3y＝1③，求m请结合他们的对话，解答下列问题：（1）按照小云的方法，x的值为，y的值为．（2）老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出m的值．7．(2023秋•济南期中）阅读下列材料：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组2x+3y4+2x−3y3=72x+3y3+2x−3y2=8，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m原方程组化为m4解得m=60n=−24把m=60n=−24代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y得2x+3y=602x−3y=−24解得x=9y=14∴原方程组的解为x=9y=14请你参考小明同学的做法解方程组：（1）2(x+1)+3(y−2)=1(x+1)−2(y−2)=4（2）x+y28．(2023秋•深圳校级期中）我们在学习二元一次方程组的解法时学习过“加减消元法”，这里提出一种新的解二元一次方程组的方法．对于方程x+y=32x+y=4，我们可以将方程组中未知数的系数和等式右边的数字提取出来写成113214这样的数字排列形式，我们在求解时，将每一行看作整体，进行运算．这里规定每行只能进行三种运算：①交换两行的位置；②将某一行整体乘以一个非零数；③将某一行乘以一个数后，再加到另一行上，原来的行不变．我们在求解二元一次方程组时，需要利用上面运算的一种或多种，使第一行第一列、第二行第二列的数字变为1，第一行第二列、第二行第一列的数字变为0，即Ⅰ．将第一行乘以﹣2加到第二行，数字排列变为11Ⅱ．将第二行乘以﹣1，数字排列变为11Ⅲ．将第二行乘以﹣1加到第一行，数字排列变为1+0×(−1)1+1×(−1)所以第三列数字中1就是x的解，2就是y的解．对于方程组x−y=42x+3y=−2（1）请写出对应的数字排列形式；（2）请参照上述方法求解该方程组．9．(2023春•仓山区校级期中）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，那么我们称这个方程组为“奇妙方程组”．（1）请判断关于x，y的方程组2x−3y=73x−2y=7（2）如果关于x，y的方程组2x+4y=6−ax−y=4a是“奇妙方程组，求a10．(2023春•安溪县期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组2x+5y=3①4x+11y=5②解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③；把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为x=4y=−1请你模仿小军的“整体代入”法解方程组3x+2y−2=03x+2y+111．(2023春•卧龙区校级月考）在解二元一次方程组ax+by=17cx−y=5时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为x=4y=3，乙同学因看错了c，从而求得解为x=3y=2，求a+b12．(2023秋•包头期末）阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组3(m+5)−2(n+3)=−13(m+5)+2(n+3)=7解：把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，原方程组可化为3x−2y=−13x+2y=7解得x=1y=2，m+5=1∴原方程组的解为m=−4n=−1请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组3(x+y)−4(x−y)=5x+y13．(2023春•伊川县期中）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：解方程组17x+19y=21①23x+25y=27②②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1③③×17得：17x+17y＝17④①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1所以这个方程组的解是x=−1y=2请你运用小曼的方法解方程组1997x+1999y=2001①2017x+2019y=2021②14．(2023春•德化县期中）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．解方程组：22x+21y=20①解：①﹣②，得2x+2y＝2，即x+y＝1③，③×19．得19x+19y＝19④，②﹣④，得x＝﹣1，从而可得y＝2，∴原方程组的解是x=−1y=2（1）请你仿照上面的解题方法解方程组：2023x+2022y=2021①2021x+2020y=2019②（2）请直接写出关于x，y的方程组(a+2)x+(a+1)y=a①(b+2)x+(b+1)y=b②15．(2023春•宽城区校级期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：解方程组17x+19y=21①23x+25y=27②②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1．③③×17得：17x+17y＝17．④①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1．所以这个方程组的解是x=−1y=2（1）请你运用小明的方法解方程组1996x+1999y=2002①2016x+2019y=2022②（2）规律探究：猜想关于x，y的方程组ax+(a+4)y=a+8bx+(b+4)y=b+8，（a≠b）的解是16．(2023春•兴化市期末）已知关于x、y的方程组nx+(n+1)y=n+2x−2y+mx=−5（n（1）当n＝1时，则方程组可化为x+2y=3x−2y+mx=−5①请直接写出方程x+2y＝3的所有非负整数解；②若该方程组的解也满足方程x+y＝2，求m的值；（2）当m每取一个值时，x﹣2y+mx＝﹣5就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗？（3）当n＝3时，如果方程组有整数解，求整数m的值．17．(2023春•文峰区校级期末）甲乙两名同学在解方程组ax+5y=104x−by=−4时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为x=3y=−1；乙看错了方程组中的b，而得解为（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？（2）请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．18．(2023春•怀柔区校级期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1（1）填空：将y−5=4x，3x−2y−3=0.写成矩阵形式为：（2）若矩阵a−5−3−4b−3所对应的方程组的解为x=1y=1，求a与19．(2023春•右玉县期末）阅读理解（Ⅰ）我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收录在中国古代数学著作《九章算术》中，它的方程章中就有许多关于一次方程组的内容．下面的两幅算筹图（图1）就表示了两个二元一次方程组：把它们写成我们现在的方程组是2x+3y=27x+2y=14与2x+y=11（Ⅱ）对于二元一次方程组4x+3y=54x+3y=36，我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为10a01上行43∴方程组的解为x=6y=10解答下列问题：（1）直接写出右面算筹图（图2）表示的关于x，y的二元一次方程组．（2）依照阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解（1）中你写出的二元一次方程组．20．(2023春•宝应县期末）（1）已知关于x、y的方程组3x−ay=162x+by=15的解是x=7y=1求a、（2）已知关于x、y的方程组a1x+b1y=19a2x+b21．(2023春•沧州期末）数学学历案上有这样一道题：解二元一次方程组x−y=4∗x+y=8，小明发现x（1）小明把“*”当成3，请你帮助小明解二元一次方程组x−y=43x+y=8（2）数学老师说：“你猜错了”，该题标准答案的结果x、y是一对相反数，求原题中x的系数“*”是多少？22．(2023春•陆河县期末）已知方程组2x+ay=10①bx−3y=−3②，由于甲看错了方程①中a得到方程组的解为x=3y=−1，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为x=−1y=2．若按正确的a23．(2023春•范县期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．解方程组9x−7y=8①解：由①﹣②得3x﹣3y＝3即x﹣y＝1③，③×4得4x﹣4y＝4④，②﹣④得2x＝1，解得：x＝0.5把x＝0.5代入③得：0.5﹣y＝1解得：y＝﹣0.5∴方程组的解是x=0.5（1）请你仿照上面的解法解方程组2023x−2021y=20222022x−2020y=2021（2）猜测关于x，y的方程组(m+1)x−(m−1)y=m(n+1)x−(n−1)y=n（m≠n24．(2023春•禹州市期末）当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6时，就称点P（a，b）为“奇异点”．（1）判断点A（2，﹣4）奇异点；（填“是”或“不是”）（2）已知关于x、y的方程组x+3y=8x−y=2m+4，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y25．(2023春•信阳期末）当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6，就称点P(a−1，b（1）判断点A（2，3）是否为完美点；（2）已知关于x，y的方程组x+2=4x−y=2m，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y26．(2023春•章贡区期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：（1）解方程组3x−2y=23x+2y=4，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为（2）如何解方程组3(m+5)−2(n+3)=23(m+5)+2(n+3)=4呢，我们可以把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为由此请你解决下列问题：（3）若关于m，n的方程组am+bn=152m−bn=−2与3m+n=5am−bn=−1有相同的解，求a，27．(2023春•玉州区期末）【阅读材料】小明同学遇到下列问题：解方程组2x+3y4+2x−3y3=72x+3y3+2x−3y令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，这时原方程组化为m4+n把m=60n=−24代入m＝2x+3，a＝2x﹣3y得2x+3y=602x−3y=−24，解得x=9所以，原方程组的解为x=9y=14【解决问题】请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：解方程组x+y328．(2023春•永定区期末）如果某个二元一次方程组的解互为相反数，那么我们称这个方程组为“奇妙方程组”．（1）请判断方程组x−2y=32x−y=3（2）如果关于x，y的方程组2x+4y=6−ax−y=4a是“奇妙方程组”，求a29．(2023春•安溪县期末）【阅读材料】解二元一次方程组：10x+23y=119①23x+10y=145②思路分析：解这个方程组直接用加减法或代入法运算都比较复杂，但观察方程组的未知数的系数可以看出，若先把两个方程相加可得到：33x+33y＝264，化简得x+y＝8，所以x＝8﹣y③．把③代入方程①，得10（8﹣y）+23y＝119，解得y＝3，把y＝3代入③，得x＝5．∴原方程组的解是x=5y=3解答过程：由①+②，得33x+33y＝264，即x+y＝8．∴x＝8﹣y③，把③代入①，得10（8﹣y）+23y＝119．解得y＝3，把y＝3代入③，得x＝5．∴原方程组的解是x=5【学以致用】（1）填空：由二元一次方程组x+3y=53x+y=3，可得x+y＝（2）解方程组：2021x−2022y=2023①2020x−2021y=2022②【拓展提升】（3）当m≠−12时，解关于x，y的方程组30．(2023•南京模拟）当m，n都是实数，且满足2m﹣n＝8时，我们称Q（m+2，n）为“巧妙点”．（1）点A（a+2，b）是“巧妙点”，且a＞2，求b的取值范围；（2）已知关于x，y的方程组x+3y=4−tx−y=3t，当t为何值时，以方程组的解x=x0y=y0为坐标的点B（【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题8.7二元一次方程组与材料阅读问题大题专练（重难点培优30题）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．(2023•宛城区校级开学）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：解方程组17x+19y=21①23x+25y=27②②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1．③③×17得：17x+17y＝17．④①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1．所以这个方程组的解是x=−1y=2（1）请你运用小明的方法解方程组1997x+1999y=20012017x+2019y=2021（2）猜想关于x、y的方程组ax+(a+2)y=a+4bx+(b+2)y=b+4（a≠b）的解是x=−1y=2【分析】（1）先计算得x+y＝1，再运用题目中的方法求解此方程组的解；（2）先计算得x+y＝1，再运用题目中的方法求解此方程组的解．【解答】解：（1）1997x+1999y=2001①2017x+2019y=2021②②﹣①得：20x+20y＝20，即x+y＝1③，③×1997得：1997x+1997y＝1997，①−④2得，y把y＝2代入③得x＝﹣1，所以这个方程组的解是x=−1y=2（2）这个方程组的解是x=−1y=2故答案为：x=−1y=22．(2023春•卧龙区校级月考）阅读探索（1）知识积累解方程组(a−1)+2(b+2)=62(a−1)+(b+2)=6解：设a﹣1＝x，b+2＝y．原方程组可变为x+2y=62x+y=6，解这个方程组得x=2y=2，即a−1=2b+2=2（2）拓展提高运用上述方法解下列方程组：(m（3）能力运用已知关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=【分析】（2）仿照（1）的思路，利用换元法进行计算即可解答；（3）仿照前两个题的思路，利用换元法进行计算即可解答．【解答】解：（2）设m3−1＝x，n5∴原方程组可变为：x+2y=43x−y=5解这个方程组得：x=2y=1即：m3所以：m=9n=−5（3）设m+2=x−n=y可得：m+2=3−n=4解得：m=1n=−43．(2023春•新乐市校级月考）在解关于x，y的方程组ax+5y=c①4x−by=1②时，甲把方程组中的a看成了﹣8，得解为x=4y=3，乙看错了方程组中的b，得解为（1）求正确的a，b，c的值；（2）求原方程组的解；（3）若关于s，t的二元一次方程组为a(s+t)+5(s−t)=c4(s+t)−b(s−t)=1，求s，t【分析】（1）把x=4y=3代入方程组−8x+5y=c①4x−by=1②可求出b、c的值，再根据乙看错了方程组中的b，得解为x=−3y=−1．得到x=−3y=−1是方程①ax+5y＝（2）将a、b、c的值代入原方程组后，再解这个二元一次方程组即可；（3）将a、b、c的值代入，得出关于s、t的二元一次方程组，求解即可．【解答】解：（1）由题意可知，x=4y=3是方程组−8x+5y=c①∴c＝﹣8×4+5×3＝﹣17，4×4﹣3b＝1，解得b＝5，c＝﹣17，由于乙看错了方程组中的b，得解为x=−3y=−1．可知x=−3y=−1是方程①ax+5y＝所以﹣3a﹣5＝﹣17，解得a＝4，答：a＝4，b＝5，c＝﹣17；（2）当a＝4，b＝5，c＝﹣17时，原方程组可变为4x+5y=−17①4x−5y=1②①+②得，8x＝﹣16，解得x＝﹣2，把x＝﹣2代入①得，﹣8+5y＝﹣17，解得y=−9所以原方程组的解为x=−2y=−（3）把a＝4，b＝5，c＝﹣17代入关于s，t的二元一次方程组，得4(s+t)+5(s−t)=−174(s+t)−5(s−t)=1解得s=−0.1t=−1.9答：s＝﹣0.1，t＝﹣1.9．4．(2023秋•晋中期末）下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请你阅读并完成相应的任务：解方程组：3x+4y=5①解：②×2，得2x﹣4y＝4③……第一步①+③，得5x＝9……第二步x=9把x=95代入②，得y∴原方程组的解为x=9任务一：①上述材料中小明同学解二元一次方程组的数学方法是D（填序号即可）；A．公式法B．换元法C．代入法D．加减法②上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是A（填序号即可）；A．转化B．公理化C．演绎D．数形结合③第一步开始出现错误，这一步错误的原因是等号右边没有乘以2；任务二：请你直接写出原方程组的解．【分析】任务一：根据数学素养求解；任务二：利用加减消元法解方程．【解答】解：任务一：①小明同学解二元一次方程组的数学方法是加减法，故选：D；②第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是：转换思想，故选为：A；③从第一步开始出现错误，原因是等号右边没有乘以2，故答案为：一，等号右边没有乘以2；任务二：3x+4y=5①x−2y=4②②×2得：2x﹣4y＝8③，①+③得：5x＝13，∴x＝2.6，把x＝2.6代入②得：2.6﹣2y＝4，解得：y＝﹣0.7，所以方程组的解为：x=2.6y=−0.75．(2023春•兴化市月考）对于有理数x，y，定义新运算：x&y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知1&1＝1，3⊗2＝8．（1）求a，b的值；（2）若关于x，y的方程组x&y=4−mx⊗y=5m的解也满足方程x+y＝5，求m（3）若关于x，y的方程组a1x&b1y=c1a2【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；（2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程x+y＝3求解即可；（3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可．【解答】解：（1）由题意得a+b=13a−2b=8，解得a=2（2）依题意得2x−y=4−m2x+5=5m，解得x=m+1∵x+y＝5，∴m+1+3m﹣2＝5，解得m=3（3）由题意得2a1+由方程组3a1(x+y)&4整理，得2a即35解得x=1556．(2023春•泌阳县月考）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：已知关于x，y的二元一次方程组3x+4y=3①x+2y=2−3m②的解满足2x+3y＝1③，求m请结合他们的对话，解答下列问题：（1）按照小云的方法，x的值为5，y的值为﹣3．（2）老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出m的值．【分析】（1）根据题意列方程组求解即可；（2）利用整体代入的方法求解即可．【解答】解：（1）③×3﹣①×2，得y＝﹣3，把y＝﹣3代入①，得3x﹣12＝3，解得x＝5，故答案为：5；﹣3；（2）①+②，得4x+6y＝5﹣3m，即2（2x+3y）＝5﹣3m，∴2x+3y=5−3m∵2x+3y＝1，∴5−3m2解得m＝1．7．(2023秋•济南期中）阅读下列材料：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组2x+3y4+2x−3y3=72x+3y3+2x−3y2=8，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m原方程组化为m4解得m=60n=−24把m=60n=−24代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y得2x+3y=602x−3y=−24解得x=9y=14∴原方程组的解为x=9y=14请你参考小明同学的做法解方程组：（1）2(x+1)+3(y−2)=1(x+1)−2(y−2)=4（2）x+y2【分析】（1）令m＝x+1，n＝y﹣2，原方程组化为2m+3n=1m−2n=4，解出m和n的值代入m＝x+1，n＝y﹣2，即可求出x和y（2）令a＝x+y，b＝x﹣y，原方程组化为a2+b5=−32a−3b=26，解出a和b的值代入a＝x+y，b＝x﹣【解答】解：（1）令m＝x+1，n＝y﹣2，原方程组化为2m+3n=1m−2n=4解得m=2n=−1把m=2n=−1代入m＝x+1，n＝y得x+1=2y−2=−1解得x＝1，y＝1，∴原方程组的解为x=1y=1（2）令a＝x+y，b＝x﹣y，原方程组化为a2解得a=−2b=−10将a=−2b=−10代入a＝x+y，b＝x﹣y得x+y=−2x−y=−10解得x=−6y=4∴原方程组的解为x=−6y=48．(2023秋•深圳校级期中）我们在学习二元一次方程组的解法时学习过“加减消元法”，这里提出一种新的解二元一次方程组的方法．对于方程x+y=32x+y=4，我们可以将方程组中未知数的系数和等式右边的数字提取出来写成113214这样的数字排列形式，我们在求解时，将每一行看作整体，进行运算．这里规定每行只能进行三种运算：①交换两行的位置；②将某一行整体乘以一个非零数；③将某一行乘以一个数后，再加到另一行上，原来的行不变．我们在求解二元一次方程组时，需要利用上面运算的一种或多种，使第一行第一列、第二行第二列的数字变为1，第一行第二列、第二行第一列的数字变为0，即Ⅰ．将第一行乘以﹣2加到第二行，数字排列变为11Ⅱ．将第二行乘以﹣1，数字排列变为11Ⅲ．将第二行乘以﹣1加到第一行，数字排列变为1+0×(−1)1+1×(−1)所以第三列数字中1就是x的解，2就是y的解．对于方程组x−y=42x+3y=−2（1）请写出对应的数字排列形式；（2）请参照上述方法求解该方程组．【分析】（1）根据已知方法即可写出答案；（2）参照上述方法求解该方程组即可．【解答】解：（1）根据已知得1−1（2）Ⅰ．将第一行乘以﹣2加到第二行，数字排列变为1−1Ⅱ．将第二行乘以15，数字排列变为1Ⅲ．将第二行乘以1加到第一行，数字排列变为10所以方程组的解为x=2y=−29．(2023春•仓山区校级期中）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，那么我们称这个方程组为“奇妙方程组”．（1）请判断关于x，y的方程组2x−3y=73x−2y=7（2）如果关于x，y的方程组2x+4y=6−ax−y=4a是“奇妙方程组，求a【分析】（1）只需判断x+y的值是否为0即可；（2）根据该方程组是奇妙方程组，得到x＝﹣y，代入原方程组，从而列出a的方程求解．【解答】解：（1）是奇妙方程组，理由如下：2x−3y=7①3x−2y=7②②﹣①得x+y＝0，∴原方程组是“奇妙方程组”；（2）∵该方程组是奇妙方程组，∴x＝﹣y，∴原方程组可化为2y=6−a①−2y=4a②①+②，得6﹣a+4a＝0，∴a＝﹣2，即a的值为﹣2．10．(2023春•安溪县期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组2x+5y=3①4x+11y=5②解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③；把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为x=4y=−1请你模仿小军的“整体代入”法解方程组3x+2y−2=03x+2y+1【分析】由3x+2y﹣2＝0得3x+2y＝2①．然后整体代入3x+2y+15−x=−2【解答】解：由3x+2y﹣2＝0得3x+2y＝2①．把①代入3x+2y+15−x=−2∴x＝1．把x＝1代入①，得3+2y＝2．∴y=−1∴方程组的解为x=1，y=−11．(2023春•卧龙区校级月考）在解二元一次方程组ax+by=17cx−y=5时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为x=4y=3，乙同学因看错了c，从而求得解为x=3y=2，求a+b【分析】把方程组的两组解分别代入原方程组，把所得到的等式联立组成三元一次方程组，求出a、b、c的数值，问题得以解决．【解答】解：由题意得方程组4a−3b=174c−3=5解得a=5b=1则a+b+c＝8．故答案为：8．12．(2023秋•包头期末）阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组3(m+5)−2(n+3)=−13(m+5)+2(n+3)=7解：把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，原方程组可化为3x−2y=−13x+2y=7解得x=1y=2，m+5=1∴原方程组的解为m=−4n=−1请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组3(x+y)−4(x−y)=5x+y【分析】设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程可化为3m−4n=5m2+n6【解答】解：设x+y＝m，x﹣y＝n，原方程可化为3m−4n=5m2+②﹣①得，n＝﹣1，把n＝﹣1代入②得，m=1∴n=−1m=∴x+y=1解得x=−113．(2023春•伊川县期中）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：解方程组17x+19y=21①23x+25y=27②②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1③③×17得：17x+17y＝17④①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1所以这个方程组的解是x=−1y=2请你运用小曼的方法解方程组1997x+1999y=2001①2017x+2019y=2021②【分析】先用②﹣①得到一个新方程20x+20y＝20，即x+y＝1③，然后③×1997④，然后用①﹣④进行求解可得答案．【解答】解：②﹣①得，20x+20y＝20，即x+y＝1③，③×1997得，1997x+1997y＝1997④，①﹣④得，y＝2，将y＝2代入③得，x＝﹣1，所以这个方程组的解是x=−1y=214．(2023春•德化县期中）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．解方程组：22x+21y=20①解：①﹣②，得2x+2y＝2，即x+y＝1③，③×19．得19x+19y＝19④，②﹣④，得x＝﹣1，从而可得y＝2，∴原方程组的解是x=−1y=2（1）请你仿照上面的解题方法解方程组：2023x+2022y=2021①2021x+2020y=2019②（2）请直接写出关于x，y的方程组(a+2)x+(a+1)y=a①(b+2)x+(b+1)y=b②【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．【解答】解：（1）2023x+2022y=2021①2021x+2020y=2019②①﹣②，得2x+2y＝2，即x+y＝1③，③×2021，得2021x+2021y＝2021④，④﹣②，得y＝2，将y＝2代入③，得x＝﹣1，∴方程组的解为x=−1y=2（2）(a+2)x+(a+1)y=a①(b+2)x+(b+1)y=b②①﹣②，得（a﹣b）x+（a﹣b）y＝a﹣b，即x+y＝1③，③×（a+2），得（a+2）x+（a+2）y＝a+2④，④﹣①，得y＝2，将y＝2代入③，得x＝﹣1，∴方程组的解为x=−1y=215．(2023春•宽城区校级期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：解方程组17x+19y=21①23x+25y=27②②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1．③③×17得：17x+17y＝17．④①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1．所以这个方程组的解是x=−1y=2（1）请你运用小明的方法解方程组1996x+1999y=2002①2016x+2019y=2022②（2）规律探究：猜想关于x，y的方程组ax+(a+4)y=a+8bx+(b+4)y=b+8，（a≠b）的解是x=−1y=2【分析】（1）先计算得x+y＝1，再运用题目中的方法求解此方程组的解；（2）先计算得x+y＝1，再运用题目中的方法求解此方程组的解．【解答】解：（1）1996x+1999y=2002①2016x+2019y=2022②②﹣①得：20x+20y＝20，即x+y＝1③，③×1996：1996x+1996y＝1996④，（①﹣④）÷3得，y＝2，把y＝2代入③得x＝﹣1所以这个方程组的解是x=−1y=2（2）ax+(a+4)y=a+8①②﹣①得：（b﹣a）x+（b﹣a）y＝b﹣a，即x+y＝1③，③•a得：ax+ay＝a④，（①﹣④）÷4得，y＝2，把y＝2代入③得x＝﹣1这个方程组的解是x=−1y=2故答案为：x=−1y=216．(2023春•兴化市期末）已知关于x、y的方程组nx+(n+1)y=n+2x−2y+mx=−5（n（1）当n＝1时，则方程组可化为x+2y=3x−2y+mx=−5①请直接写出方程x+2y＝3的所有非负整数解；②若该方程组的解也满足方程x+y＝2，求m的值；（2）当m每取一个值时，x﹣2y+mx＝﹣5就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗？（3）当n＝3时，如果方程组有整数解，求整数m的值．【分析】（1）①由题意对x、y进行取值即可求解；②解二元一次方程组x+2y=3x+y=2可得x=1y=1，再将x=1y=1代入x﹣2y+mx（2）x﹣2y+mx＝﹣5变形为（m+1）x﹣2y＝﹣5，由题意可求x=0y=−（3）通过解二元一次方程组可得（5+2m）x＝﹣5，再由题意可得5+2m＝±1，5+2m＝±5，分别求出m即方程组的解，对所求的结果进行取舍即可．【解答】解：（1）①当y＝0时，x＝3；当y＝1时，x＝1；∴x+2y＝3的所有非负整数解为x=3y=0或x=1②由题意可得x+2y=3①x+y=2②①﹣②得，y＝1，将y＝1代入②，得x＝1，∴方程组的解为x=1y=1将x=1y=1代入x﹣2y+mx∴1﹣2+m＝﹣5，解得m＝﹣4；（2）x﹣2y+mx＝﹣5变形为（m+1）x﹣2y＝﹣5，∵当m每取一个值时，方程有一个公共解，∴当x＝0时，y=5∴x=0y=−（3）当n＝3时，3x+4y=5①x−2y+mx=−5②②×2得，2x﹣4y+2mx＝﹣10③，①+③得，5x+2mx＝﹣5，整理得（5+2m）x＝﹣5，∵方程组有整数解，且m是整数，∴5+2m＝±1，5+2m＝±5，当5+2m＝1时，m＝﹣2，此时方程组的解为x=−5y=5当5+2m＝﹣1时，m＝﹣3，此时方程组的解为x=5y=−当5+2m＝5时，m＝0，此时方程组的解为x=−1y=2当5+2m＝﹣5时，m＝﹣5，此时方程组的解为x=1y=综上所述：m＝﹣2或m＝0．17．(2023春•文峰区校级期末）甲乙两名同学在解方程组ax+5y=104x−by=−4时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为x=3y=−1；乙看错了方程组中的b，而得解为（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？（2）请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．【分析】（1）把x=3y=−1代入ax+5y＝10得出关于a的一元一次方程，解一元一次方程即可得出甲把a看成了什么，把x=5y=4代入4x﹣by＝﹣4得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程即可得出乙把（2）把x=3y=−1代入4x﹣by＝﹣4得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程得出b的值，把x=5y=4代入ax+5y＝10得出关于a的一元一次方程，解一元一次方程得出a的值，把a，b代入原方程组得出关于x，【解答】解：（1）把x=3y=−1代入ax+5y3a+5×（﹣1）＝10，解得：a＝5，把x=5y=4代入4x﹣by4×5﹣4b＝﹣4，解得：b＝6，∴甲把a看成了5，乙把b看成了6；（2）把x=3y=−1代入4x﹣by12+b＝﹣4，解得：b＝﹣16，把x=5y=4代入ax+5y5a+20＝10，解得：a＝﹣2，把a＝﹣2，b＝﹣16代入原方程组得：−2x+5y=10①4x+16y=−4②由②得：2x+8y＝﹣2③，①+③得：13y＝8，∴y=8把y=813代入①得：﹣2x+5解得：x=−45∴原方程组的解x=−4518．(2023春•怀柔区校级期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1（1）填空：将y−5=4x，3x−2y−3=0.写成矩阵形式为：−415323（2）若矩阵a−5−3−4b−3所对应的方程组的解为x=1y=1，求a与【分析】（1）根据题意中的定义将方程组转换为：−4x+y=53x−2y=3（2）根据矩阵形式写成方程组的形式，将题目告知的解代入方程组，解得系数a、b．【解答】解：（1）化简方程得，−4x+y=53x−2y=3因此矩阵形式为：−4153−23（2）根据矩阵形式得到方程组为：ax−5y=−3−4x+by=−3将x=1y=1a−5=−3−4+b=−3解得：a=2b=119．(2023春•右玉县期末）阅读理解（Ⅰ）我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收录在中国古代数学著作《九章算术》中，它的方程章中就有许多关于一次方程组的内容．下面的两幅算筹图（图1）就表示了两个二元一次方程组：把它们写成我们现在的方程组是2x+3y=27x+2y=14与2x+y=11（Ⅱ）对于二元一次方程组4x+3y=54x+3y=36，我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为10a01上行43∴方程组的解为x=6y=10解答下列问题：（1）直接写出右面算筹图（图2）表示的关于x，y的二元一次方程组．（2）依照阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解（1）中你写出的二元一次方程组．【分析】（1）利用图1中算筹的表示方法解答即可；（2）利用题干中阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解答即可．【解答】解：（1）图2表示的关于x，y的二元一次方程组为：2x+y=132x+3y=19（2）用数表简化解二元一次方程组2x+y=132x+3y=1921∴方程组的解为x=5y=320．(2023春•宝应县期末）（1）已知关于x、y的方程组3x−ay=162x+by=15的解是x=7y=1求a、（2）已知关于x、y的方程组a1x+b1y=19a2x+b【分析】（1）将x=7y=1代入即可求出a，b（2）设3m+2n＝x，2m﹣n＝y，根据已知可得3m+2n=4①2m−n=5②，即可解得m，n【解答】解：（1）∵关于x、y的方程组3x−ay=162x+by=15的解是x=7∴21−a=1614+b=15解得a=5b=1答：a的值为5，b的值为1；（2）在方程组a1(3m+2n)+b1(2m−n)=19a2(3m+2n)+b2(2m−n)=26中，设3m+2n∵方程组a1x+b∴3m+2n=4①2m−n=5②①+②×2得：7m＝14，∴m＝2，把m＝2代入①得：6+2n＝4，∴n＝﹣1，∴m的值是2，n的值是﹣1．21．(2023春•沧州期末）数学学历案上有这样一道题：解二元一次方程组x−y=4∗x+y=8，小明发现x（1）小明把“*”当成3，请你帮助小明解二元一次方程组x−y=43x+y=8（2）数学老师说：“你猜错了”，该题标准答案的结果x、y是一对相反数，求原题中x的系数“*”是多少？【分析】（1）直接解二元一次方程组即可；（2）根据题意列出关于x和y的方程组，求出x和y的值，再代入即可求出*的值．【解答】解：（1）x−y=4①3x+y=8②①+②得，4x＝12，∴x＝3，把x＝3代入①，得，3﹣y＝4，∴y＝﹣1，∴方程组的解为x=3y=−1（2）由题意得：x+y=0①x−y=4②①+②得，2x＝4，∴x＝2，把x＝2代入①，得，2+y＝0，∴y＝﹣2，∴方程组的解为x=2y=−2∴2×*+（﹣2）＝8，∴*＝5．22．(2023春•陆河县期末）已知方程组2x+ay=10①bx−3y=−3②，由于甲看错了方程①中a得到方程组的解为x=3y=−1，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为x=−1y=2．若按正确的a【分析】把甲的结果代入②，乙的结果代入①组成方程组，求出解即可．【解答】解：根据题意，可知x=3y=−1满足方程②，x=−1y=2满足方程则3b+3=−3−2+2a=10解得：a=6b=−2把a=6b=−2，代入原方程组为2x+6y=10解得：x=−2y=∴原方程组的解为：x=−2y=23．(2023春•范县期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．解方程组9x−7y=8①解：由①﹣②得3x﹣3y＝3即x﹣y＝1③，③×4得4x﹣4y＝4④，②﹣④得2x＝1，解得：x＝0.5把x＝0.5代入③得：0.5﹣y＝1解得：y＝﹣0.5∴方程组的解是x=0.5（1）请你仿照上面的解法解方程组2023x−2021y=20222022x−2020y=2021（2）猜测关于x，y的方程组(m+1)x−(m−1)y=m(n+1)x−(n−1)y=n（m≠n【分析】（1）①﹣②得出x﹣y＝1③，②﹣③×2020得出2x＝1，求出x，再把x=12代入③求出（2）①﹣②得出（m﹣n）x﹣（m﹣n）y＝m﹣n，求出x﹣y＝1③，①﹣③×（m﹣1）得出2x＝1，求出x，再把x=12代入③求出【解答】解：（1）2023x−2021y=2022①2022x−2020y=2021②①﹣②，得x﹣y＝1③，②﹣③×2020得出2x＝1，解得：x=1把x=12代入③，得1解得；y=−1所以原方程组的解是x=1（2）(m+1)x−(m−1)y=m①(n+1)x−(n−1)y=n②①﹣②得出（m﹣n）x﹣（m﹣n）y＝m﹣n，∴x﹣y＝1③，①﹣③×（m﹣1）得出2x＝1，解得：x=1把x=12代入③，得1解得；y=−1所以原方程组的解是x=124．(2023春•禹州市期末）当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6时，就称点P（a，b）为“奇异点”．（1）判断点A（2，﹣4）不是奇异点；（填“是”或“不是”）（2）已知关于x、y的方程组x+3y=8x−y=2m+4，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y【分析】（1）根据定义判断即可；（2）通过解二元一次方程组可得B（5+32m，1−m2），再由B点是奇异点，可得10+3m【解答】解：（1）∵A（2，﹣4），∴2×2﹣（﹣4）＝8≠6，∴点A（2，﹣4）不是奇异点，故答案为：不是；（2）解方程组x+3y=8x−y=2m+4，得x=5+∴以方程组的解为坐标的点B（5+32m∵点B是奇异点，∴a=5+32m，∵2a﹣b＝6，∴10+3m﹣（1−m解得m=−6当m=−67时，以方程组的解为坐标的点25．(2023春•信阳期末）当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6，就称点P(a−1，b（1）判断点A（2，3）是否为完美点；（2）已知关于x，y的方程组x+2=4x−y=2m，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y【分析】（1）根据完美点的定义进行判断即可；（2）首先解关于x的方程组，再根据完美点的定义解关于a，b的方程组，再代入2a﹣b＝6，从而可求得相应的值．【解答】解：（1）由题意得：a−1=2b解得：a=3b=4∵2a﹣b＝2×3﹣4≠6，∴A（2，3）不是完美点．（2）m=12时，点B（x，解关于x的方程组：x+2=4x−y=2m解得：x=2y=2−2m解关于a，b的方程组：2=a−12−2m=解得：a=3b=2−4m∵2a﹣b＝6，∴2×3﹣（2﹣4m）＝6，解得：m=1∴当m=12时，点B（x，26．(2023春•章贡区期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：（1）解方程组3x−2y=23x+2y=4，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为x=1y=（2）如何解方程组3(m+5)−2(n+3)=23(m+5)+2(n+3)=4呢，我们可以把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为m=−4n=−由此请你解决下列问题：（3）若关于m，n的方程组am+bn=152m−bn=−2与3m+n=5am−bn=−1有相同的解，求a，【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；（2）由（1）可得m+5=1n+3=（3）由题意可得am+bn=13am−bn=−1和2m−bn=−23m+n=5有相同的解，先求出am＝6，bn＝7，再求a、【解答】解：（1）3x−2y①3x+2y②①+②，得6x＝