振动理论与应用第7章-多自由度系统的数值计算方法

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天津大学第7章多自由度系统的数值计算方法TheoryofVibrationwithApplications7.1瑞利(Rayleigh)能量法7.2李兹(Ritz)法7.3邓克莱(Dunkerley)法7.4矩阵迭代法7.5子空间迭代法7.6传递矩阵法

返回首页TheoryofVibrationwithApplications第7章多自由度系统的数值计算方法7.1瑞利(Rayleigh)能量法

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.1瑞利(Rayleigh)能量法7.1.1瑞利第一商7.1.2瑞利第二商

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.1瑞利(Rayleigh)能量法7.1.1瑞利第一商设A为振型矢量，对于简谐振动，其最大动能和最大势能为对于保守系统，由能量守恒，则有若A是系统的第i阶主振型A(i)，则得相应的主频率的平方若A是任意的n维矢量，则可得称为瑞利商为了区别用位移方程求得的值，又称之为瑞利第一商。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.1瑞利(Rayleigh)能量法7.1.1瑞利第一商瑞利第一商值是否为系统某一主频率的平方，则决定于所取矢量A。如果A与某一主振型矢量接近，则所得瑞利商是相应的固有频率的近似值。实际上，对高阶振型很难做出合理的假设，而对于第一阶主振型则比较容易估计，所以此方法常用于求基频，现推证如下。按照振型叠加的原理，系统的任何可能位移，包括假设振型，都可以描述为各阶主振型的线性组合。现取假设振型A是正则振型矢量的线性组合，即

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.1瑞利(Rayleigh)能量法7.1.1瑞利第一商现取假设振型A是正则振型矢量的线性组合，即是组合系数的列矩阵，且为非全为零的常数Ci可用振型的正交条件求出。即前乘

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.1瑞利(Rayleigh)能量法7.1.1瑞利第一商代入

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.1瑞利(Rayleigh)能量法7.1.2瑞利第二商由此可见，瑞利商的平方根是基频p1的近似值。假设振型越接近于真实的第一阶振型，则结果越准确。通常，以系统的静变形作为假设振型，可以得到较满意的结果。

＜＜1由于假设振型A接近于第一阶主振型，所以有，

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.1瑞利(Rayleigh)能量法7.1.2瑞利第二商可以看出，用瑞利法求出的基频近似值大于实际的基频p1。这是由于假设振型偏离了第一阶振型，相当于给系统增加了约束，因而增加了刚度，使求得的结果高于真实的值。

由于＞1

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.1瑞利(Rayleigh)能量法7.1.2瑞利第二商如果采用位移方程描述系统的运动微分方程，即前乘以同理，若A是任意的n矢量，则有称为瑞利第二商若假设振型接近于第一阶主振型时，则是基频的近似值

给出同样假设振型的同一振动系统，用瑞利第二商计算的结果，要比用瑞利第一商计算的结果更精确一些。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.1瑞利(Rayleigh)能量法7.1.2瑞利第二商例7-1用瑞利法求图示三自由度扭转系统的第一阶固有频率的估值。已知k1=k2=k3=k；I1=I2=I3=I。解：系统的质量矩阵和刚度矩阵为逆矩阵计算得求第一阶固有频率的估值，取假设振型

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.1瑞利(Rayleigh)能量法7.1.2瑞利第二商在上面的计算中，假设振型比较“粗糙”，与该系统的第一阶固有频率，精确到第四位值的比较误差较大。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.1瑞利(Rayleigh)能量法7.1.2瑞利第二商如果进一步改进假设振型，即以静变形曲线为假设振型，如设显然，在工程上，若以静变形曲线作为假设振型，可以得到很好的第一阶固有频率的近似值。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications第7章多自由度系统的数值计算方法7.2李兹(Ritz)法

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.2李兹(Ritz)法用瑞利法估算的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主振型的近似程度，而且其值总是精确值的上限。李兹法对近似振型给出更合理的假设，从而使算出的基频值进一步下降，并且还可得系统较低的前几阶固有频率及相应的主振型在李兹法中，系统的近似主振型假设为是选取的s个线性独立的假设振型矩阵s维待定系数

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.2李兹(Ritz)法由于在系统的真实主振型处取驻值，这些驻值即相应的各阶固有频率的平方，所以a的各元素由下式确定

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.2李兹(Ritz)法n个自由度缩减至s自由度。刚度矩阵质量矩阵

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.2李兹(Ritz)法李兹法是一种缩减系统自由度数的近似方法。频率方程求出s个固有频率，即n自由度系统的前s阶固有频率。解出其相应的特征矢量求出n自由度系统的前s阶主振型正交性

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.2李兹(Ritz)法对于瑞利第二商利用驻值条件可得s个方程，将其写成矩阵形式特征方程求出s个固有频率，即n自由度系统的前s阶固有频率。解出其相应的特征矢量求出n自由度系统的前s阶主振型

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.2李兹(Ritz)法例7-2用李兹法求图示四自由度振动系统的前二阶固有频率及主振型。解：由条件可求出系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵设振型

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.2李兹(Ritz)法求出求出2个固有频率，即4自由度系统的前4阶固有频率。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.2李兹(Ritz)法求出系统的前二阶主振型

返回首页TheoryofVibrationwithApplications第7章多自由度系统的数值计算方法7.3邓克莱(Dunkerley)法

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.3邓克莱(Dunkerley)法邓克莱法是求多圆盘的轴的横向振动系统基频近似值的一种方法。当其它各阶频率远远高于基频时，利用此法估算基频较为方便。由表示位移方程得到的频率方程，即并展开得令根为式又可写成各因式连乘积的形式，即展开得

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.3邓克莱(Dunkerley)法比较，得到若基频p1远低于高阶频率，即kii是第i个质量产生单位位移时，在第i个质量上所需加的力。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.3邓克莱(Dunkerley)法称为邓克莱公式。由于略去了高阶频率的成分，所以求得的基频总是低于精确值。

pii表示只有mi存在时，系统的固有频率。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.3邓克莱(Dunkerley)法例7-3用邓克莱公式计算例7-1中的三圆盘转轴系统的基频。解：由例7-1所解可知显然用邓克莱法求基频十分方便，但误差较大，故仅适用于初步估算。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications第7章多自由度系统的数值计算方法7.4矩阵迭代法

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.4矩阵迭代法7.4.1求第一阶固有频率和主振型7.4.2求较高阶的固有频率及主振型

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.4矩阵迭代法7.4.1求第一阶固有频率和主振型矩阵迭代法，亦称振型迭代法是采用逐步逼近的方法来确定系统的主振型和频率。系统的动力矩阵求系统的基频时，矩阵迭代法用的基本方程是由位移方程，即用动力矩阵D前乘以假设振型A0，然后归一化，可得A1，即矩阵迭代法的过程是：（1）选取某个经过归一化的假设振型A0

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.4矩阵迭代法7.4.1求第一阶固有频率和主振型（2）如果，就再以A1为假设振型进行迭代，并且归一化得到A2，（3）若，则继续重复上述迭代步骤，得直至

时停止第一阶主振型

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.4矩阵迭代法7.4.1求第一阶固有频率和主振型根据振型展开定理，任意的假设振型可以表示为各阶主振型的线性组合，即（A）可以证明，上述过程一定收敛于最低固有频率及第一阶主振型。经过第一次迭代后，即（B）根据主振型应满足的关系，即（C）

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.4矩阵迭代法7.4.1求第一阶固有频率和主振型（A）（C）也即是每迭代一次等于在A(i)之前乘以系数，（D）所以式（B）可写为

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.4矩阵迭代法7.4.1求第一阶固有频率和主振型（A）（D）由于p1＜p2＜…＜pn，所以每迭代一次以后式（D）与式（A）的区别是，各振型前的系数不一样，经过一次迭代，第一阶主振型的成分得到比其它主振型更大的加强，反复迭代下去，一直到第一阶主振型成分占绝对优势为止，此时即有

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.4矩阵迭代法7.4.1求第一阶固有频率和主振型从以上的讨论可以看出：尽管开始假设的振型不理想，它包含了各阶主振型，而且第一阶主振型在其中所占的分量不是很大。但在迭代过程中，高阶振型的分量逐渐衰减，低阶振型的分量逐渐增强，最终收敛于第一阶主振型。假设振型越接近A(1)则迭代过程快；假设振型与A(1)相差较大则迭代过程收敛的慢，但最终仍然得到基频和第一阶主振型。如果在整个迭代过程中，第一阶主振型的分量始终为零，则收敛于第二阶主振型；如果前s阶主振型的分量为零，则收敛于第s+1阶主振型。应当指出，若用作用力方程进行迭代，则收敛于最高固有频率和最高阶主振型。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.4矩阵迭代法7.4.1求第一阶固有频率和主振型例7-4

用矩阵迭代法求例7-1所示系统的第一阶固有频率及振型。

解：由例7-1中计算的结果可得到动力矩阵取初始假设振型进行迭代，经过第一次迭代后，得

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.4矩阵迭代法7.4.1求第一阶固有频率和主振型第二次迭代继续迭代下去

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.4矩阵迭代法7.4.1求第一阶固有频率和主振型与之对应的第一阶主振型为

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.4矩阵迭代法7.4.2求较高阶的固有频率及主振型当需用矩阵迭代法求第二阶、第三阶等高阶频率及振型时，其关键步骤是要在所设振型中消去较低阶主振型的成分。如由展开定理由正交性前乘

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.4矩阵迭代法7.4.2求较高阶的固有频率及主振型如果要在A中消去A(1)的成分，则只需取假设振型为其中称为前P阶清除矩阵。应用QPA作为假设振型进行迭代，将得到第P+1阶固有频率及主振型。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.4矩阵迭代法7.4.2求较高阶的固有频率及主振型应当注意到，在运算中不可避免地存在舍入误差，即在迭代过程中难免会引入一些低阶主振型分量，所以在每一次迭代前都必须重新进行清除运算。实际上，可以把迭代运算和清除低阶振型运算合并在一起，即将清除矩阵并入动力矩阵D中去，并入原理如下。所以因为从DA中清除A(1)，即

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.4矩阵迭代法7.4.2求较高阶的固有频率及主振型从DA中清除A(1)，即称之为已含清除矩阵的新动力矩阵。用矩阵D*进行迭代将得到第二阶主振型及第二阶固有频率。因此，包含前P阶清除矩阵的动力矩阵为

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.4矩阵迭代法7.4.2求较高阶的固有频率及主振型例7-5用矩阵迭代法求例7-4系统中的第二阶固有频率及主振型。解：在例7-4中，用矩阵迭代法已求出系统的第一阶固有频率和主振型为于是，可计算出

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.4矩阵迭代法7.4.2求较高阶的固有频率及主振型得到含清除矩阵的动力矩阵选取初始假设振型现经过十二次迭代后，得到

返回首页TheoryofVibrationwithApplications第7章多自由度系统的数值计算方法7.5子空间迭代法

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.5子空间迭代法将矩阵迭代法与李兹法结合起来，可以得到一种新的计算方法，即子空间迭代法。它对求解自由度数较大系统的较低的前若干阶固有频率及主振型非常有效。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.2李兹(Ritz)法李兹法：假设系统的近似主振型为是选取的s个线性独立的假设振型矩阵s维待定系数

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.2李兹(Ritz)法n个自由度缩减至s自由度。刚度矩阵质量矩阵

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.2李兹(Ritz)法李兹法是一种缩减系统自由度数的近似方法。频率方程求出s个固有频率，即n自由度系统的前s阶固有频率。解出其相应的特征矢量求出n自由度系统的前s阶主振型

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.5子空间迭代法计算系统的前P阶固有频率和主振型，按照李兹法，可假设s个振型且s＞P。将这些假设振型排列成n×s阶矩阵，即其中每个都包含有前P阶振型的成分，也含有高阶振型的成分。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.5子空间迭代法为了提高李兹法求得的振型和频率的精确度，将A0代入动力矩阵中进行迭代，并对各列阵分别归一化后得这样做的目的是使比A0含有较强的低阶振型成分，缩小高阶成分。但如果继续用进行迭代，所有各阶振型即的各列都将趋于A(1)。

为了避免这一点，可以在迭代过程中进行振型的正交化。用李兹法进行振型正交化具有收敛快的特点。因为它是利用瑞利取驻值的条件，寻求s2个aij的系数，使得的每一列都成为相对应振型A(i)的最佳近似。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.5子空间迭代法所以用作为假设振型，再按李兹法求解，即设可求得广义质量矩阵和广义刚度矩阵s×s阶待定系数方阵得到s个值及对应的特征矢量再由李兹法特征值问题，即求解方程从而求出

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.5子空间迭代法然后，以求出的作为假设振型进行迭代，可求得与李兹法特征值问题，解出

。由李兹法，即不断地重复矩阵迭代和李兹法的过程，就可以得到所需精度的振型和固有频率。迭代的功能是使这s个矢量的低阶成分不断地相对放大，即向张成的子空间靠拢。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.5子空间迭代法子空间迭代法是对一组假设振型反复地使用迭代法和李兹法的运算。从几何观点上看，原n阶特征值系统有n个线性无关的特征矢量，它们之间是正交的，张成一个n维空间。而假设的s个线性无关的n维矢量张成一个s维子空间，如果只迭代不进行正交化，最后这s个矢量将指向同一方向，即A(1)的方向。由于用李兹法作了正交处理，则这些矢量不断旋转，最后分别指向前s个特征值的方向。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.5子空间迭代法即由张成的一个s维子空间，经反复地迭代正交化的旋转而逼近于由所张成的子空间。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.5子空间迭代法在实践中发现，最低的几阶振型一般收敛很快，经过二至三次迭代便已稳定在某一数值。在以后的迭代中不能使这几个低阶振型值的精度进一步提高，只是随着迭代次数的增加，将有越来越多的低阶振型值稳定下来。所以，在计算时要多取几个假设振型，如果所需求的是P个振型，则假设振型个数s一般应在2P与2P+8之间取值。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.5子空间迭代法子空间迭代法有很大的优点，它可以有效地克服由于等固有频率或几个频率非常接近时收敛速度慢的困难。同时，在大型复杂结构的振动分析中，系统的自由度数目可达几百甚至上千，但是，实际需用的固有频率与主振型只是最低的三、四十个，通常对此系统要进行坐标缩聚。与其它方法相比，子空间迭代法具有精度高和可靠的优点。因此，它已成为大型复杂结构振动分析的最有效的方法之一。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.5子空间迭代法例7-6用子空间迭代法求例7-2中所示系统的前二阶固有频率及振型。解：系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵已由例7-2求出。现取假设振型由动力矩阵迭代得到

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.5子空间迭代法将各列分别归一化得求得再由李兹法特征值问题为其中

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.5子空间迭代法由上述方程有非零解的条件，得频率方程为各列分别归一化后，得

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.5子空间迭代法重复上述过程进行第二次迭代，由归一化后得则有由

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.5子空间迭代法解得得频率方程为由于近似于单位矩阵，所以有

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.5子空间迭代法由于近似于单位矩阵，所以有结束迭代，求得系统的前二阶固有频率及相应的主振型为

返回首页TheoryofVibrationwithApplications第7章多自由度系统的数值计算方法7.6传递矩阵法

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.6传递矩阵法7.6.1弹簧质量链状系统7.6.2轴盘扭转振动系统7.6.3梁的横向弯曲振动系统

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.6传递矩阵法7.6.1弹簧质量链状系统工程上有些结构是由具有重复性的相同区段象链条那样组合而成的。例如弹簧质量系统，它是由一个弹簧和一个质量依次组合而成的链状系统。对于这类系统，可将其分成有限单元或段，每一单元包含一个无重弹簧和一个质量块。类似的系统还有轴盘扭转振动系统；连续梁的横向弯曲振动系统等等。计算这类链状结构固有频率和主振型时，宜采用传递矩阵法。采用传递矩阵法进行振动分析时，只需要对一些低阶次的矩阵进行乘法运算，数值解时也只需计算低阶次的矩阵及行列式。计算工作大大简化，并可推广来求系统的响应。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.6传递矩阵法7.6.1弹簧质量链状系统图是弹簧质量链状系统的一部分。质量mi和弹簧ki组成一个单元。画出质量块的受力图。其位移为xi，上标L和R是左边和右边的标记。由于质量块是刚体，所以运动方程为设质量块作频率为p的简谐振动，其加速度为写成矩阵形式

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.6传递矩阵法7.6.1弹簧质量链状系统矩阵形式点传递矩阵向量称为状态向量点传递矩阵把质量两边的状态向量联系起来。

画出i段弹簧的受力图。由于不计弹簧的质量，所以

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.6传递矩阵法7.6.1弹簧质量链状系统场传递矩阵

场传递矩阵把弹簧两边的状态向量联系起来代入

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.6传递矩阵法7.6.1弹簧质量链状系统代入把位置i和i－1的右边的状态向量直接联系起来i段传递矩阵

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.6传递矩阵法7.6.1弹簧质量链状系统i段传递矩阵递推公式能使典型位置i处的状态向量将边界条件代入式得到频率方程，从而求得系统的各阶固有频率和主振型。

与系统的边界处的状态向量发生联系，即

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.6传递矩阵法7.6.2轴盘扭转振动系统设各圆盘可以和轴一起转动(略去横向运动)，它们对转动轴线的转动惯量分别为I0，I1，…Ii，Ii+1…，圆盘间各段轴的扭转刚度系数为k0，k1，…ki，k+1…。以第i个圆盘和第i段轴组成分段单元。分别画出受力图。1.单支轴盘扭转振动系统图是轴盘扭转振动系统的一部分。由受力分析可得到

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.6传递矩阵法7.6.2轴盘扭转振动系统由受力分析可得到称为i点的状态向量点传递矩阵场传递矩阵类似地可以得到各段向量的转换关系

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.6传递矩阵法7.6.2轴盘扭转振动系统分段传递矩阵

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.6传递矩阵法7.6.2轴盘扭转振动系统有些轴盘扭转振动系统是带有分支的链状结构，这时需要选择其中部分链状结构作为主系统，其它分支作为分支系统。在主系统上推导分支点两侧状态向量的传递关系时，要考虑分支系统对支点的影响。2.具有分支的轴盘扭转振动系统以图示的分支链状系统为例。选择圆盘I1，I3，I4所在的轴作为主系统以(A)表示；圆盘I5所在的轴作为分支系统以(B)表示。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.6传递矩阵法7.6.2轴盘扭转振动系统2.具有分支的轴盘扭转振动系统以图示的分支链状系统为例。选择圆盘I1，I3，I4所在的轴作为主系统以(A)表示；圆盘I5所在的轴作为分支系统以(B)表示。分支系统(B)对主系统(A)的影响只是在主轴系(A)中的A齿轮上作用有附加力矩。在分析传递矩阵时，应将该附加力矩考虑进传递矩阵中去。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.6传递矩阵法7.6.2轴盘扭转振动系统2.具有分支的轴盘扭转振动系统假设齿轮A、B的转动惯量可忽略不计，齿轮A与齿轮B的传动比为n。由于是外啮合，两个齿轮的转角有如下关系对于(B)轴系，有在该式前乘以传递矩阵的逆矩阵，并考虑到在自由端的扭矩，则有

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.6传递矩阵法7.6.2轴盘扭转振动系统2.具有分支的轴盘扭转振动系统对于(A)轴系，由作用在(A)轴系上齿轮A的力矩平衡方程，有

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.6传递矩阵法7.6.2轴盘扭转振动系统2.具有分支的轴盘扭转振动系统对于(A)轴系，由作用在(A)轴系上齿轮A的力矩平衡方程，有式中的矩阵，即为在2处的点传递矩阵，再加上轴段的传递关系

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.6传递矩阵法7.6.2轴盘扭转振动系统2.具有分支的轴盘扭转振动系统考虑了分支系统经过齿轮A对主系统的影响的分段传递矩阵。轴间的刚度为，，

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.6传递矩阵法7.6.2轴盘扭转振动系统例7-7图示系统是一个由四圆盘组成的扭转振动系统，各圆盘的转动惯量分别为；试求系统的固有频率及主振型。解：

从圆盘1开始，由边界条件，于是

返回首页TheoryofVibrationwithApplications7.6传递矩阵法7.6.2轴盘扭转振动系统圆盘2的状态矢量为圆盘3