2021年微积分初步形成性考核册题修改正式版

作业（一）————函数，极限和持续一、填空题（每小题2分，共20分）1.函数定义域是．答案：提示：对于，规定分母不能为0，即，也就是；对于，规定，即；因此函数定义域是2．函数定义域是．答案：提示：对于，规定分母不能为0，即，也就是；对于，规定，即；因此函数定义域是3.函数定义域是．答案：提示：对于，规定分母不能为0，即，也就是；对于，规定，即；对于，规定，即且；因此函数定义域是4.函数，则 ．答案：提示：由于，因此5．函数，则．答案：提示：由于当是在区间，应选取进行计算，即6．函数，则．答案：提示：由于，因此7．函数间断点是．答案：提示：若在有下列三种状况之一，则在间断：①在无定义；②在极限不存在；③在处有定义，且存在，但。题中在处无定义8.．答案：1；提示：9．若，则．答案：2提示：由于，因此10．若，则．答案：1.5；提示：由于，因此二、单项选取题（每小题2分，共24分）1．设函数，则该函数是（）．答案：BA．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数提示：奇函数是指，关于坐标原点对称；偶函数是指，关于轴对称。题中，因此函数是偶函数。2．设函数，则该函数是（）．答案：AA．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数提示：由于，因此是奇函数。3．函数图形是关于（）对称．答案：DA．B．轴C．轴D．坐标原点提示：由于，是奇函数，因此图形是关于坐标原点对称4．下列函数中为奇函数是（ 无 ）．A． B．C．D．提示：A.,即是偶函数；B.图形只在一、四象限，既非奇函数，也非偶函数；C．图形只在一、四象限，既非奇函数，也非偶函数；D．，既非奇函数，也非偶函数。因此本题没有一种待选答案是奇函数5．函数定义域为（ ）．答案：DA．B．C．且D．且提示：对于，规定分母不能为0，即；对于，规定，即。定义域为且6．函数定义域是（）．答案：DA．B．C．D．提示：对于，规定分母不能为0，即；对于，规定，即。因此函数定义域是7．设，则（）答案：CA．B．C．D．提示：注意比少1，因此8．下列各函数对中，（ ）中两个函数相等．答案：DA．，B．，C．，D．提示：两个函数相等，必要是相应规则相似，定义域相似。上述答案中，A定义域不同；B相应规则不同；C定义域不同；D相应规则相似，定义域相似9．当时，下列变量中为无穷小量是（）答案：C.A．B．C．D．提示：以0为极限变量称为无穷小量。上述答案中，当时，A趋向∞；B极限为1；C极限为0；D趋向∞。10．当（）时，函数，在处持续.答案：BA．0B．1C．D．提示：当时，称函数在持续。因，因此当1时，函数，在处持续11．当（）时，函数在处持续答案：DA．0B．1C．D．提示：当时，称函数在持续。由于，因此当3时，函数，在处持续12．函数间断点是（）答案：AA．B． C．D．无间断点提示：若在有下列三种状况之一，则在间断：①在无定义；②在极限不存在；③在处有定义，且存在，但。题中，分母，因此在和处无定义三、解答题（每小题7分，共56分）⒈计算极限．解2．计算极限解3.解4．计算极限解5．计算极限．解6.计算极限．解7．计算极限解8．计算极限．解作业（二）————导数、微分及应用一、填空题（每小题2分，共20分）1．曲线在点斜率是．答案：提示：若已知曲线方程，则它在任一点处斜率为。题中，将代入上式，得2．曲线在点切线方程是．答案：提示：若已知曲线方程，则它在任一点处斜率为。若给定曲线上一点，则通过该点切线方程为。题中，将代入上式，得，因此通过点(0,1)切线方程为，即3．曲线在点处切线方程是 ．答案：提示：若已知曲线方程，则它在任一点处斜率为。若给定曲线上一点，则通过该点切线方程为。题中，将代入上式，得，因此通过点(0,1)切线方程为，即4．．答案：提示：依照复合函数求导法则计算。5．若y=x(x–1)(x–2)(x–3)，则(0)= ．答案：提示：依照有限各种函数乘积求导法则（见P45），+6．已知，则=．答案：提示：7．已知，则=．答案：提示：，8．若，则 ．答案：9．函数单调增长区间是．答案：10．函数在区间内单调增长，则a应满足 ．答案：提示；当时，函数单调增长。题中，，因此函数在区间内单调增长，a应满足。二、单项选取题（每小题2分，共24分）1．函数在区间是（）答案：DA．单调增长B．单调减少C．先增后减D．先减后增提示：当时，函数单调增长当时，函数单调减少。题中，，令，得驻点。当时，，函数单调减少；当时，，函数单调增长。因此函数在区间是先减后增。2．满足方程点一定是函数（）答案：C.A．极值点B．最值点C．驻点D．间断点提示：使点，成为函数驻点（P69定理3.2）3．若，则=（）．答案：CA.2B.1C.-1D.–2提示：，4．设，则（）．答案：BA．B．C．D．提示：5．设是可微函数，则（）．答案：DA．B．C．D．提示：6．曲线在处切线斜率是（）．答案：CA．B．C．D．提示：若已知曲线方程，则它在任一点处斜率为。，将代入上式得7．若，则（）．答案：CA．B．C．D．提示：8．若，其中是常数，则（）．答案CA．B．C．D．提示：，9．下列结论中（）不对的．答案：CA．在处持续，则一定在处可微.B．在处不持续，则一定在处不可导.C．可导函数极值点一定发生在其驻点上.D．若在[a，b]内恒有，则在[a，b]内函数是单调下降.提示：极大值也许出当前：①驻点（驻点是点）；②持续但导数不存在点。10．若函数f(x)在点x0处可导，则()是错误．答案：BA．函数f(x)在点x0处有定义B．，但C．函数f(x)在点x0处持续D．函数f(x)在点x0处可微提示：若函数在点可导，则它在点一定持续（P83定理2.5）。，但即在点不持续。11．下列函数在指定区间上单调增长是（）．答案：BA．sinxB．exC．x2 D．3–x提示：A是周期函数；B是单调增函数；C是偶函数，先减后增；D是单调减函数12.下列结论对的有（ ）．答案：AA．x0是f(x)极值点，且(x0)存在，则必有(x0)=0B．x0是f(x)极值点，则x0必是f(x)驻点C．若(x0)=0，则x0必是f(x)极值点D．使不存在点x0，一定是f(x)极值点提示：A对的；B不对的，由于驻点不一定是极值点；C不对的，(x0)=0就是驻点，驻点不一定是极值点；D不对的，由于极大值也许出当前：①驻点和②持续但导数不存在点。三、解答题（每小题7分，共56分）1设，求．解2．设，求.解3．设，求.解4．设，求.解5．设是由方程拟定隐函数，求.解对方程两边求导，得，，，6．设是由方程拟定隐函数，求.解对方程两边求导，得，，，7．设是由方程拟定隐函数，求.解对方程两边求导，得，，，8．设，求．解对方程两边求导，得，，作业（三）———不定积分，极值应用问题一、填空题（每小题2分，共20分）1．若一种原函数为，则。答案：`（c为任意常数）提示：参见教材P90，依照定义4.1，若，则称为原函数，依照题意，对求导成果就是，即2．若一种原函数为，则。答案：提示：参见教材P90，依照定义4.1，若，则称为原函数，依照题意，对求导成果就是，即，因此3．若，则．答案：提示：验算：4．若，则．答案：提示：验算：5．若，则．答案：提示：6．若，则．答案：提示：7． ．答案：提示：是原函数，对原函数求导就等于被积函数，因此对原函数求微分就等于被积函数微分8． ．答案：提示：9．若，则．答案：提示：10．若，则．答案：提示：二、单项选取题（每小题2分，共16分）1．下列等式成立是（）．答案：AA．B．C．D．提示：对原函数求导等于被积函数自身2．3．若，则（）.答案：AA.B.C.D.提示：4．若，则（）.答案：AA.B.C.D.提示：即对被积函数先求导再积分等于被积函数自身（加不定常数）。5．如下计算对的是（）答案：AA．B．C．D．提示：6．（）答案：AA.B.C.D.提示：运用分部积分法，设，,则，上式中运用了“对被积函数先求导再积分等于被积函数自身（加不定常数）”。7．=（ ）．答案：CA．B． C． D．提示：因此对原函数求微分就等于被积函数微分8．如果等式，则（）答案BA.B.C.D.提示：，比较上式左右两边，可知三、计算题（每小题7分，共35分）1．解2．解3．解4．解运用分步积分法：设，，则，5．解运用分步积分法：设，，则，四、极值应用题（每小题12分，共24分）1．设矩形周长为120厘米，以矩形一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形边长为多少时，才干使圆柱体体积最大。60-x060-x0xxy设矩形一边边长为x厘米，则另一边边长为（60-x）厘米，边长为x厘米边绕轴旋转得一圆柱体，其底面积为π(60-x)2，旋转体体积为令，即其中是极小值点，此时体积为0；是极大值点，也是最大值点，相应圆柱体最大体积值为2．欲用围墙围成面积为216平方米一成矩形土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地长和宽选用多大尺寸，才干使所用建筑材料最省？解设土地一边长为，另一边长为，共用材料为于是=3令得唯一驻点（舍去）10分由于本问题存在最小值，且函数驻点唯一，因此，当土地一边长为，另一边长为18时，所用材料最省.五、证明题（本题5分）1函数在（是单调增长．证只需证明当时，有由于当时，，即有因此，当时，是单调增长。作业（四）———定积分及应用、微分方程一、填空题（每小题2分，共20分）1．答案：提示：上式被积函数第一项和是奇函数，在对称积分限下积提成果为0，第二项数是偶函数，在对称积分限可化为，因此2．答案：提示：被积函数第一项和第二项都是奇函数，在对称积分限下积提成果为0，第三项为是偶函数，在对称积分限下可化为，因此3．已知曲线在任意点处切线斜率为，且曲线过，则该曲线方程是。答案：提示：切线在点（4，5）处斜率为，依照切线方程，得该切线方程为，即4．若．答案：2提示：上式被积函数第一项和第二项都是奇函数，在对称积分限下积提成果为0，第三项为是偶函数，在对称积分限下可化为，因此5．由定积分几何意义知，=。答案：，它是1/4半径为a圆面积。提示：设，则。当；当。因此，它是1/4半径为a圆面积（参见P125（3））6．.答案：0提示：由于定积提成果是一种数值（即常数），常数导数数为0。7．=．答案：提示：8．微分方程特解为.答案：1提示：将微分方程分离变量得两边积分得，即，因此微分方程特解为9．微分方程通解为.答案：提示：将微分方程分离变量得两边积分得，即，因此微分方程通特解为10．微分方程阶数为．答案：2提示：微分方程阶数是微分方程中浮现未知函数导数最高阶次。二、单项选取题（每小题2分，共20分）1．在切线斜率为2x积分曲线族中，通过点（1，4）曲线为（）．答案：AA．y=x2+3B．y=x2+4C．D．提示：曲线方程由拟定，将代入得，因此通过点（1，4）曲线为。2．若=2，则k=（）．答案：AA．1B．-1C．0提示：，因此3．下列定积分中积分值为0是（）．答案：AA．B．C．D．提示：由于积分式中被积函数是奇函数，奇函数在对称积分限下定积分为0。4．设是持续奇函数，则定积分（）答案：DA．B．C．D．0提示：奇函数在对称积分限下定积分为0。5．（）．答案：DA．0B．C．D．提示：是偶函数，因此6．下列无穷积分收敛是（）．答案：BA．B．C．D．提示：发散，收敛发散发散7．下列无穷积分收敛是（）．答案：BA．B．