2022-2023学年山西部分学校高三上学期期末考试数学试题及答案解析

2022-2023学年山西部分学校高三上学期期末考试数学试题

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.设全集U=R,集合4={X∣3X>9},B={x∣-2≤x≤4},则（CU4）。8=（）

A.[-1,0）B,（0,5）C.[0,5]D.[-2,2]

2.在复平面内，言对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型

车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新

技术、新结构的汽车.新能源汽车包括混合动力电动汽车（HEV）、纯电动汽车（BEV,包括太阳

能汽车）、燃料电池电动汽车（FCEI/）、其他新能源（如超级电容器、飞轮等高效储能器）汽车等

.非常规的车用燃料指除汽油、柴油之外的燃料.下表是2022年我国某地区新能源汽车的前5个

月销售量与月份的统计表：

A.0.28B.0.32C.0.56D.0.64

4∙已知sin(a—》=今则言索的值为()

A-B.∣C.-|D.∣

2

5.(2x—5)(x+y)5的展开式中，∕y3的系数是()

A.5B.15C.20D.25

6.已知函数/^Q)=2cos2^+√3sinωx-l(ω>0,x∈R),若/(x)在区间(兀,2兀)内没有零点,

则3的最大值是（）

A-B-C—D-

64123

7.在四棱锥P-ABCD中，底面/BCD为正方形，且PAJL平面ABCD,PA=3AB,则直线PB

与直线4C所成角的余弦值是（）

QCSinlV3TC2-V3m∣∣/ʌ

o.ι⅛α=^-,b=-fc=7?-----k'则()

32π96

A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.c>b>a

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知α>b>0,c>d>0,则下列不等式成立的是()

A.a-c>b-dB.-

dc

C.(α+b)c>(α+b)dD.ca+b>da+b

10.已知点4(-1,0),B(Lo)均在圆C：(X—3)2+(y—3)2=厂2&>0)外，则下列表述正确

的有()

A.实数r的取值范围是(0,√Π)

B.∖AB∖=2

C.直线AB与圆C不可能相切

D.若圆C上存在唯一点P满足4P1BP,贝IJr的值是3√Σ-1

11.已知函数y=∕(x+l)是R上的偶函数，对任意xi，x2∈[l,+∞),且XlWX2都有

成立，ln2则下列说法正确的是()

'C”>0β=∕0θg28)-b=∕(loge2⅛,c=∕(e),

A.函数y=∕(x)在区间口,+8)上单调递减

B.函数y=f(x)的图象关于直线X=1对称

C.c<b<a

D.函数f(x)在X=1处取到最大值

12.已知过抛物线C:y2=4χ的焦点尸的直线I交C于A,B两点，0为坐标原点，若AAOB的面

积为4,则下列说法正确的是()

A.弦ZB的中点坐标为(13,4g)B.直线I的倾斜角为30°或150°

cn∣4FHBFl_1

C.IABl=16D.MB∣"1

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.己知函数/(X)=aex+x2-8x的图象在点(0,/(0))处的切线斜率为-5,贝IJa=.

14.已知向量&,3满足I引=3|方|=3，伍—母Ia贝IJSin值,»=.

15.在三棱锥P-ABC中，PA=BC=2√5,PB=AC=A,AB=PC=5,则三棱锥P-

ABC的外接球的表面积是.

16.已知椭圆和双曲线有相同的焦点Fi，F2,它们的离心率分别为ere2,点P为它们的一

个交点，且NFlPF2=手则“+用的取值范围是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知数列｛a"的前律项和为无，且%=3,an+1=2Sn+3(n∈N*).

(I)求｛αn｝的通项公式；

(2)若数列｛勾｝满足，I=继记数列｛勾｝的前n项和为Tn,求证：Tn<1

an4

18.(本小题12.0分)

某大型工厂有6台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故

障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为摄已知1名工

人每月只有维修2台机器的能力(若有2台机器同时出现故障，工厂只有1名维修工人，则该工

人只能逐台维修，对工厂的正常运行没有任何影响)，每台机器不出现故障或出现故障时能及

时得到维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损2万元.该工厂每月需支付给每名

维修工人1万元的工资.

(1)若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修(例如：3台大型机器出现故障,

则至少需要2名维修工人)，则称工厂能正常运行.若该厂只有1名维修工人，求工厂每月能正

常运行的概率；

(2)己知该厂现有2名维修工人.

(i)记该厂每月获利为X万元，求X的分布列与数学期望；

(ii)以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？

19.(本小题12.0分)

在44BC中，角4B,C的对边分别为α,b,c,已知点。在边4C上(不含端点)，AB=BD=CD.

(1)证明：be=a2-c2;

(2)若CoS乙4BC=ɪ,c=l,求AABC的面积.

20.(本小题12.0分)

如图，在直三棱柱ABC-Ai/Ci中，ABIAC,D,E分别为441，BIC的中点.

(1)求证：DE〃平面4BC;

(2)若DElBC,二面角A-BD—C的大小为以求直线BIC与平面BCD所成角的大小.

已知椭圆(；，+，=1(£1>6>0)的左、右顶点分别为A2,μ1Λ2∣=4,且过点(√∑,苧).

(1)求C的方程；

(2)若直线2:y=k(x-4)(k芋0)与C交于M,N两点，直线4M与直线&N相交于点G,证明:

点G在定直线上，并求出此定直线的方程.

22.(本小题12.0分)

已知函数∕^(x)=αlnx+ɪ(ɑ∈/?).

(1)若函数/(x)的最小值为a?,求a的值；

(2)若存在0<匕<刀2,且Xi+&=2,使得Xi)=〃&)，求α的取值范围.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查集合的混合运算，属于基础题.

化简集合4再进行补集、交集运算即可.

【解答】

解：全集U=R,A={x∣3x>9}={x∣x>2},

故CU4={χ∖x≤2},又B={x∖-2<X<4},

所以

(Cf√l)nB={x∣-2≤X≤2}=[-2,2].

故选D

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查复数的代数表示及其几何意义，属于基础题.

由复数的运算可得言=-^-|i，即可得解.

【解答】

解.3__3i(lT)_-3i+3i2__3_3.

用牛：1+i=(l÷O(l-i)=-2―=~2~2l9

故言在复平面内对应的点为(-|,-今，位于第三象限.

故选c.

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查回归直线方程，属于基础题.

根据回归直线方程过样本中心点可得答案.

【解答】

1+2+3+4+50.5+0.6+1+1.4+1.5

解:由表中数据可得亍=3,歹==1,

55

将(3,1)代入？=]χ+0,16,即I=BX3+0.16,解得B=O.28.

故选A.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查两角差的正弦公式，考查同角三角函数基本关系，属于基础题.

利用两角差的正弦公式与同角三角函数基本关系，化简求值即可.

【解答】

解：由sin(α-.)=率得:(Sina-cosa)=?，

所以Sina—cosa=ɪ,两边平方得1—2sinacosa=ɔ

24

3

所以SinaCOSa=

O

3

匚口、1sinasinacosao3

所以——=------=ʌ=-7.

l-tanaCoSa-Sma，4

故选A.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查二项展开式的通项公式，指定项的系数，属于中档题.

222

因为(2x-?)(x+y)，=2x(x+y)5-+y)5,分别将2x(x+y)5、§(%+y)5展开，可得答

案.

【解答】

22

解：因为(2%——)(x+y)s=2x(x+y)5—5(%+y)5,

2x(%+y＞的展开式通项为Tk+ι=2xC5∙x5~k∙yk=2C5∙x6~k∙yk,

3(X+y)5的展开式通项为Sr+1=Y0.χ5-r.yr=cr.χ4-r,yr+2,

由忆。量可瞰言

因此(2χ-q)(x+y)5的展开式中χ3y3的系数为2底-cι=15.

故选8.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查三角恒等变换，考查正弦型函数的零点，属于基础题.

化简得到f(x)=2sin(ωx+，令/0)=0,则3尤+*=kπ(k∈Z),X=M-卷(k€Z),由/(x)

在区间(n,2兀)内没有零点，列不等式组，求解即可.

【解答】

解：/(%)=2cos2^y+V3sinω%—1=V3sinωx+cosωx=2sin(ωx+^),

令f。)=。,则3%+I=Aɪ(kWZ),X=^ʃ-ɪ(k∈Z),

kπ兀，

-----Σ-≤兀，

Q肾ʃr，

故里史-ɪ≥2τr,

{ωbω

解得/c-ɪ≤ω≤—ɪ(fc∈Z),ω>0,

当k=0时∙，0<ω≤⅛,

当k=l时∙，≤co≤ɪɪ,

OIZ

当Z=2时，3无解，

所以3的最大值是*

故选C.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查空间中异面直线所成角的求解，属于中档题.

易得OE〃PB,则直线PB与直线AC所成角即为NEoyI（或其补角），再解三角形求得yjE=当，AO=

苧，EO=苧，利用余弦定理可得答案.

【解答】

解：连接BD交4C于点。，取PD的中点E,连接E。，EA,不妨设4B=L

因为四边形ABCD是正方形，所以。是BD的中点，又E是PC的中点，所以0E〃PB,

所以直线PB与直线4C所成角即为NE04（或其补角）.

因为PA1平面ABCD,又ABU平面ABCD,ADU平面4BCD,所以PA1AB,PA1AD,

在APAD中，PAI4D,PA=3,AD=1,所以AE=岑;

在APAB中，PAIAB,PA=3,AB=1,所以PB=√TS,所以EO=当;

在A40E4j,4E=岑，AO√2,√10

=T'Elno=-T

AO2+OE2-AE2√5

所以COS乙4。E=—,

-2A00E-10

即直线PB与直线AC所成角的余弦值是蒋.

故选。.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查利用函数的单调性比较大小，利用导数判断单调性，属于较难题.

构造函数f(X)=—,X∈(O3),利用/(X)在(OA)上单调递减，可比较α,b的大小；构造函数g(x)=

X乙乙

sinx+x,x∈(0,^),由g(x)在(0,今上单调递增，可比较a,C的大小，进而可得答案.

【解答】

解：令f(乃=学，xe(0,≡).则((“)=*泮，

令α(x)=XCosx-sinx,则u'(x)=cosx—XSinX—cosx=-XSinX<0在(0,1)上恒成立,

所以U(X)在(0,今上单调递减，所以U(X)<u(0)=0,

所以r(X)<0在(0,今上恒成立，所以人支)在(0,今上单调递减，

所以/(1)>∕G),即平>华，即粤>?，即α>b;

J1ɜ32τr

令g(x)=sinx+x,x&(0,^),易得g(x)在(0,方上单调递增，

所以g⑴<g(》BPsinl+1<sin≡+≡

即sinl<g-0^,所以当i<5一二生，即c>α,所以c>α>b∙

故选B.

9.【答案】BD

【解析】

【分析】

本题考查利用不等式的基本性质判断不等关系，属于基础题.

由已知条件，结合不等式的基本性质与基函数、指数函数的单调性，即可判断.

【解答】

解：已知α>b>O,c>d>0.

Af取α=2,b=l,c=2,d=l,满足Q>b>0,c>d>0,则Q—c=b—d,故A错误；

B,由已知可得αc>bd,dc>O,由不等式性质得竽>器，即；>门故B正确；

dedeac

C,取Q=ɪ,h=则Q+b=*∈(0,1),由指数函数y=O是减函数,且C>d,所以(令，V(~)d,

故C错误；

D,因为a+b>O,所以塞函数y=%a+b在(0,+8)上是增函数，

则由C>d>O,得cα+b>dcl+b,故。正确.

故选BD.

10.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题考查点与圆、直线与圆位置关系的判定及应用，考查运算求解能力，属于中档题.

由4、B均在圆外列关于r的不等式组，求得r的范围判断4；直接求出∣4B∣判断B；由r的范围及圆

心坐标判断C；由题意可得，点P在以线段AB为直径的圆上，求出以48为直径的圆的方程/+y2=

1,结合点P在圆C：(x-3)2+(y-3)2=r2(r>0)上，可得圆/+=1与圆C外切，且点P为

切点，再由圆心距与半径的关系列式求解r判断。.

【解答】

解：•••点力(-1,0),B(LO)均在圆C：(x-3)2+(y-3)2=r2(r>0)⅜,

((—1—3)2+(0—3)2>产

∙∙∙j(1-3)2+(0-3)2>r2，解得0<r<√13.故A正确；

Ir>0

∖AB∖=2,故B正确;

由题知，直线48与X轴重合，∙.∙0<r<√13,且圆心坐标为(3,3),当r=3时，直线ZB与圆C相

切，与实际矛盾，故C错误；

•.•4PJ.BP,二点P在以线段AB为直径的圆上，

又A(-l,0),B(l,0),二点P在圆χ2+y2=1上，

又点P在圆C：(x-3)2+(y-3)2=r2(r>0)±,

点A(-LO),B(LO)均在圆C外，.∙.圆/+y2=1与圆C外切，且点P为切点，

.∙.1+r=J(3-0=+(3-0)2,BPr=3√2-1,故力正确.

故答案选：ABD.

11.【答案】BC

【解析】

【分析】

本题考查函数单调性与奇偶性的综合应用，属于中档题.

由题分析可得函数f(x)在口,+8)上为增函数，且函数/(X)的图象关于直线X=I对称，据此可判

断各选项的正误.

【解答】

解：根据题意，函数y=/(X+1)是R上的偶函数，则函数/(K)的图象关于直线X=I对称，故8

正确；

又由对任意，：且修≠都有成立，

xiJ1.∙Xi,X2飞xlx2>O

所以函数f(x)在［l,+8)上为增函数，函数/(X)在上为减函数，

所以f(x)在X=I处取得最小值，故A、。错误；

,n2

log28=3,loge2^=-In2,e=2,

又由函数f(x)的图象关于直线％=1对称，在［1,+8)上为增函数，

则b=/(Ioge2》=∕(-ln2)=∕(2+ln2),易知2<2+ln2<3,所以c<b<α,故C正确.

故选BC.

12.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本题考查直线与抛物线的位置关系及其应用，属于中档题.

设直线I的方程为X=my+l,与抛物线的方程联立，由根与系数的关系即可依次求解各选项.

【解答】

解：设直线/的方程为X=Tny+1,联立

消去工并整理得y2-4my-4=0,则y4+yβ=4m,yAyB=-4,

又SRAoB=5X1X1以一如I=4，即M—VBI=8,

所以(以-VB)2=(y½+犯尸一4为犯=64,解得m=±√3,

所以直线2的倾斜角为30。或150。，

2

xi4+XF=m(yA+yF)+2=4m+2=14,

∖AB∖=2÷xj4÷xβ=16,

弦AB的中点坐标为(写约等但)，BP(7,±2√3),

MFI∙∣BF∣_Sin3θ"sin3θ°_用以编_〔.

∖AB∖^^16―一16一

故选BCD.

13.【答案】3

【解析】

【分析】

本题考查已知切线斜率求参，属于基础题.

求导，利用导数的儿何意义即可求解.

【解答】

解：由已知得/'(%)=aex+2%-8,

因为/'(0)=α-8=—5,所以α=3.

故答案为3.

14.【答案】学

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积，考查同角三角函数基本关系，属于中档题.

由题意，结合向量的数量积与同角三角函数基本关系，计算可得答案.

【解答】

解：因为(日—6)«La所以④一E)∙I=O,

所以五∙H?=0，即@∙I同COS值㈤=IKI2,

则cos(方b)=ɪ=-=->

∖'/∖a∖-∖b∖3×13

又&∈[0,π}>

贝IJSin值而)—Jl-cos2(α,h)—Jl-(|)2—ɪ.

故答案为竿.

15.【答案】29兀

【解析】

【分析】

本题考查三棱锥外接球的表面积，属于中档题.

将三棱锥P-ABC放入长方体中，设长方体的长为α,宽为b,高为C,由题意求得α2+Z√+c2的

值，则外接球半径R=叵文，可得答案.

【解答】

解：如图,

将三棱锥P-ZBC放入长方体中，

设该长方体的长、宽、高分别为α,b,c,

(h2+c2=(2-∖∕5)2,

W1Ha2+b2=(V13)2,

(α2+c2=52,

相加可得a?+b2+c2=29,

设三棱锥P—4BC的外接球的半径为R,贝∣J2R=y∕a2+b2+c2=√29＞所以R=

所以三棱锥P—ABC的外接球的表面积S=4π×(-ɪ)2=29π∙

故答案为29τr.

16.【答案】(2,+8)

【解析】

【分析】

本题考查离心率的取值范围的求解，考查余弦定理的应用，考查“对勾”函数的单调性，属于较

难题.

设椭圆的长半轴长为由,双曲线的实半轴长为a2,焦距为2c,根据椭圆与双曲线的定义可得IPFll=

a1+a2,∣PF21=a1-a2,结合余弦定理与离心率公式，逐步将e：+多表示成关于变量比的函数，

即可得解.

【解答】

解：设椭圆的长半轴长为火,双曲线的实半轴长为。2,焦距为2c,点P为椭圆与双曲线在第一象

限的交点，则IPFIl+∣PF2∣=2%,IP&I—∣PF2∣=2C⅛,解得IPFll=%+c⅛,∣PF2I=%—α2.

2

在^&PF2中，根据余弦定理可得IFIF2/=IPFIl2+∣PF2∣-2∖PF1∖■∖PF2∖■CoS手整理得Q=

Q1Ql1

ɜɑɪ+QQ即不+不=4,设t1=eɪ,t2=&，则有OVtIVlVt2,彳+工=4,所以石=4——=

t13£1

以

>1所设U=3

h34-3

一

4t1一

则tι=竽，且O<u<l,所以“+母=；Q+｝+l，因为y=x+∣在((U)上单调

递减，所以u+；>4,所以e1+e/>2.

故答案为(2,+8).

17.【答案】(1)解:

当几=1时，a2—2S1+3,即。2=2。1+3=9.

当Ti≥2时，Qn+ι=2Sn÷3,an=2Sn.1+3,

两式相减得αn+ι=3⅛,

又W=3%,所以α,+ι=3αn(τι∈N*),

故｛αn｝是以3为首项，3为公比的等比数列,

所以％ι=3×3n~1=3n.

(2)证明:

由(1)得%=*=*，

an»

7n=l×^+2×^÷∙∙∙+n×^t,(T)

∣7n=l×^+2×^+∙∙∙÷(n-l)×^j÷n×ʌɪ,②

两式相减得去+…+支一术T=三F一向=；一群r,

gr∣>32n+32n+3ʌ

所以fτ加=Z一罚，v乂叔F>3

所以〃<*

【解析】本题考查数列的递推关系及其求和方法，属于中档题.

⑴由的=3,αn+1=2Sn+3(n∈N*)及等比数列的定义、通项公式即可求出数列｛a"的通项公

式；

(2)由(1)得以=/，由错位相减法即可求出7；,从而完成证明.

18.【答案】解：(1)因为该厂只有1名维修工人，

所以要使工厂正常运行，最多只能有2台大型机器出现故障，

故该工厂能正常运行的概率为(1_乎+盘XgX(IT)5+c2χ(1)2×(1-1)4=11.

(2)(团)当4台及以下的机器出现故障时，工厂每月获利：6X10-1X2=58(万元)，

当5台机器出现故障时，工厂每月获利：5×10-2-l×2=46(^),

当6台机器出现故障时，工厂每月获利：4x10-2x2—1x2=34(万元)，

X的可能取值为34,46,58,

P(X=34)=⅛6=春，

P(X=46)=C犯)5XQ一｝=最,

P(X=58)=l--1-⅛3=^S7

则X的分布列为:

X344658

1357

P

故E(X)=34×—+46×—+58×—=(万兀).

(ii)若该厂有3名维修工人，

则该厂获利的数学期望为6×10-3=57万元，

因为孚＜57,

所以该厂应再招聘1名维修工人.

【解析】本题考查n次独立重复试验中的概率计算，离散型随机变量的分布列与期望以及实际问题

中的决策问题.

(1)要使工厂正常运行,最多只能出现2台大型机器出现故障,利用就欠独立重复试验中的概率计算;

(2)(团)分别求出X=34,46,58时的概率，进而求出分布列和数学期望；

(ii)求出有3名维修工人时该厂获利的数学期望，然后再与有2名维修工人时该厂获利的数学期望

进行比较，即可判断.

19.【答案】解：(1)证明：若b=c,则点。与A点重合，不满足题意，故b≠c,

因为AB=BD=CD,所以2=2C,

所以sin/=sin2C=2sinCcosC,由正弦定理及余弦定理得α=2c义①土丘巴

2ab

即Mb=d2∙c+b2c—c3,所以Q2(5-C)=c(h2—c2)=c(b+c)(b—c),

因为b≠c,所以b—c≠0,所以〃=c(b+c)=be+C2,

所以be=a2—c2;

(2)由匕2=α2+c2-2accos∆ABCRcos∆ABC=ɪ,C=1,得炉=ɑ2+1—

16O

由(1)知be=α2—c2,所以Z?=α2-1,所以(小—=小十］—蔡

整理得8α3-24α+9=0,令2α=t得：t3-12t+9=0,

即(t-3)(t2+3t-3)=0,解得h=3,或匕=W红，或13=三国<0(舍去)，

由b=α2-l>0,得α>l,而α=,==红<1舍去，故α",

所以SMBC=^acsm∕-ABC=∣Jl-(⅛)2=

【解析】本题考查利用正弦定理与余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，属于中档题.

(1)由题意易得bκc,且4=2C,由正弦定理及余弦定理化简，即可得证；

(2)由余弦定理及已知条件可得(a?-l)2=α2+l-1α,解得α的值，进而可得答案.

20.【答案】解：(1)证明：取BC的中点M,连结AM,EM.

则ZM〃BB〉且。八和当，EM/∕BB1,S.EM=∖BB1,

所以D4〃EM,且ZM=EM,所以四边形AMED为平行四边形，

所以CE〃/1M,

又AMU平面4BC,DEC平面4BC,

所以CE〃平面ABG

5

(2)在直三棱柱ABC—aBlG中，因为441IFiSiXfiC,AB1ACU平面ABC,所以44114B,AA11

AC9

又AB1ACf则4B,AC,两两垂直，

则以4为原点，建立如图所示的空间直角坐标系4-孙z,

设48=1,AC=b(b>O),AA1=2c(c>0),

则8(1,0,0),C(0,b,0),D(OAc),F1(l,0,2c),EGgC),

所以屁=弓4,0),BC=(-l,h,0),

因为DEIBC,所以小•前=0，所以b=l.

XBC=(-ι,ι,o).前=(-ι,o,c),

设平面BCD的一个法向量元=(%,y,z),

贝归匣=0,所以

阮∙BD=0,"x+CZ=O1

11

令X=1,则y=l,Z==,所以元=(1,1*),

又平面4BD的一个法向量正=(0,1,0),所以cos5=I蕊f

所以E=ji+1+3,解得C=浮所以元=(Ll,√∑)∙

XB7C=(-ι,ι,-√2).

设直线BlC与平面BCD所成的角为。,

则Sino=ICOS钝帝)|=磊"I-I+1-2∣_1

√l+l+2∙√l+T+2—2,

所以直线BIe与平面BCD所成角为也

【解析】本题考查线面平行的证明，考查直线与平面所成角的向量求法，属于中档题.

(1)易得四边形AMED为平行四边形，则DE〃/1M,由线面平行的判定定理可得证；

(2)建立空间直角坐标系，由题意求得瓦I与平面BCD的一个法向量，由向量的夹角公式求解即可.

21.【答案】解：(I)解：因为1441=4,所以2a=4,解得α=2.

因为C过点(或,乎)，所以这+粤=1，

24/

解得b=ʌ/ɜ.

所以C的方程为。+4=L

43

(2)证明：设M(XI,乃)，N(x2,y2),所以〃ιMi=∕⅛(%+2),(42NO=V⅛(X-2).

(,

y=Zc(%—4),

联^⅛

l-+g_I整理得(3+4⅛2)X2-32k2x+64∕C2-12=0,

4

则4=(-32∕c2)2-4(3+4fc2)(64k2-12)>0,解得一々Vk<；且左≠0,

64后一12

且与+冷=帝？

=3+4k2

'=含0+2),

由[y=j⅛(χ-2),

2与212γ?

得％=%2-2X]+2_2∕C(%2—4)(%ι+2)+2k(%]-4)(x2-2)

k(z2-4)(z1+2)-k(x1-4)(x2-2)

2(%ι+x)―4%ι

2X1X2—2

3(xι+%2)—8—4%1

2X^⅛-2X吗-轨1

3+4k"3+4Y_ɪ

3×^ζ-8-4x1

3+4∕cz

所以点G在定直线X=I上.

【解析】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆中的定直线问题，属于较难题.

(1)由题得α=2,再将点(√∑,苧)代入椭圆方程即可求解；

(2)联立直线，的方程与椭圆的方程，得到根与系数的关系，再联立直线与直线4N的方程，化

简整理可得答案.

22.【答案】解：(1)由题意知函数/⑶的定义域为(0,+8),?一当=登1

当Q≤0l⅛,f'(x