全国自考-线性代数-历年考试真题与答案

全国高等教育线性代数〔经管类）自学考试历年12021年07月

2021年04月）考试真题及答案

全国2021年7月自考线性代数（经管类）试卷

课程代码：04184

试卷说明：在本卷中，表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵;R（A）表示矩阵A

的秩；囿表示A的行列式；E表示单位矩阵。

一、单项选择题（本大题共10小题，每题2分，共20分）

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的

括号内。错选、多项选择或未选均无分。

1.设48,C为同阶方阵，下面矩阵的运算中不感亲的是（）

A.（A+B）T=AT+BTB.|AB|=|A||B|

C.A（B+C）=BA+CAD.（AB）T=BTAT

2=3,那么=（）

A.-24B.-12

C.-6D.12

3.假设矩阵A可逆，那么以下等式成立的是（）

A.A=B.|A|=0

C.（A2）-1=（A-1）2D.（3A）"1=34-1

A=,B=,C=,那么以下矩阵运算的结果为3x2矩阵的是（）

A.ABC

C.CBAD.CTBTAT

A：a1，a2,。3，。4,其中ai,a2,a3线性无关，那么（）

A.aa3线性无关B.ai，a2,a3，a4线性无关

C.a1，a2,a3，a4线性相关D.a2，a3，a4线性相关

6.假设四阶方阵的秩为3,那么（）

A.AAx=0有非零解

Ax=OAx=b必有解

A为机X”矩阵，那么w元齐次线性方程Ax=0存在非零解的充要条件是（）

A.A的行向量组线性相关B.A的列向量组线性相关

C.A的行向量组线性无关D.A的列向量组线性无关

)

A.

D.

/=/Ax（A为实对称阵）正定的充要条件是（)

A.A可逆B.|A|>0

C.A的特征值之和大于0D.A的特征值全部大于0

10.设矩阵4=正定，那么（)

A.k>0B,k>0

C.k>lD.k>1

二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）

请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.设A=(1,3,-1),B=[2,1),那么4rB=

13.设A=,那么A"=o

14.A2-2A-8E=0,那么（A+E）」=。

%=（1,1,0,2）,a?=（l,O』0），a3=（°，1，-1，2）的秩为»

16.设齐次线性方程Ax=0有解而非齐次线性方程且Ax=5有解〃，那么J+〃是方程组

的解。

17.方程组的根底解系为。

18.向量a=（3,2/1）,B=（r,-1,2,1）正交，则t=。

19.假设矩阵A=及矩阵5=相似，那么x=-

20.二次型/01，彳2，巧）=x；+2xf-3%3+国工2-3司均对应的对称矩阵是°

三、计算题〔本大题共6小题，每题9分，共54分〕

21.求行列式。=的值。

22.4=，矩阵X满足方程AX+BX^D-C,

求X。

23.设向量组为a,=（2,0-1,3）

a?=(3,—2,1,—1)

=(—5,6,—5,9)

=(4,—4,3,-5)

求向量组的秩，并给出一个极大线性无关组。

24.求械何值时，齐次方程组

有非零解？并在有非零解时求出方程组的通解。

25.设矩阵A=,求矩阵A的全部特征值和特征向量。

26.用配方法求二次型/(石,工2，尤3)=#+4尤；+X；-2石占+4尤2尤3的标准形，并写出相应的线

性变换。

四、证明题〔本大题共1小题，6分〕

27.证明：假设向量组囚以2,…线性无关，而笈=囚+%,夕2=%+。2,夕3=。2+。3,…，

q=a„_1+a„,那么向量组四,#2,…,凡线性无关的充要条件勒为奇数。

的密★启用前

编号279

2009年7月高等教育自学考试全国统一命题考试

线性代数（经管类）试题答案及评分参考

（课程代码04184）

-、单项地择班（本大题共10小题，目小题2分.共20分）

1.C2.

B3.C4.D5.A

6.B7.B

8.A9.D10.C

二』空0（本大11共10小题,每小JH2分，共2。分）

r-6

3

30M.~(A-3E)

TT

■r

16.AxT-i

.i.

1_r

17

70

3

0

2

（本大黑扶6小题，每小n9分供54分）

0

6

4

3

2分

2

6

435

r3x<*i>,x,

x2—25分

962

线性代数（经管类）试题答案及评分叁考第1页（共4页）

4

6分

9-311

=-96...........................

9分....................................................................................

22.Mh曲AX+bX-D得

(A

4-BJX-D-C..........................................................

.......................................2分

-12

KM+Bf-=声0

-11

5分

得X-U+BJ-^D-O

7分

9分

3分

故向量蛆的帙为2,较大无关组为6

.a,（或写成电.a,,。1.a.,a：.a,,a,.a,ia>.a.

...................................................

.......................................................................................

全国2021年10月自学考试线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

说明：在本卷中，4丁表示矩阵的转

A置矩阵，A*表示矩阵4的伴随矩阵，E是单位矩阵,

Ml表示方阵A的行列式，r（A）表示矩阵A的秩.

一、单项选择题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号

内。错选、多项选择或未选均无分。

1.行列式第二行第一列元素的代数余子式41=〔）

A.-2B.-1

C.1D.2

2.设A为2阶矩阵，假设13Al=3,那么|2乂L|=()

A.-B.1

2

C.-D.2

3

3.设〃阶矩阵A、B、。满足ABC=E,那么，T=[）

A.ABB.BA

C.ArB1D.B

4.2阶矩阵的行列式网=-1,那么（4*尸=[

A.B.

C.D.

5.向量组%,。2,…,a*s»2）的秩不为零的充分必要条件是（

A.%,a?，4中没有线性相关的局部组B.%,%「••，见中至少有一个非零向量

C.…全是非零向量D.…全是零向量

6.设A为机x〃矩阵，那么n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是（

A.r(A)=nB.r(A)=m

C.r(A)<nD.r(A)<m

7.3阶矩阵A的特征值为-1,0,1,那么以下矩阵中可逆的是〔

A.AB.E-A

C.-E-AD.2E-A

8.以下矩阵中不尽初等矩阵的为（1

A.B.

C.D.

9.4元二次型/(%1，%2，内，了4)=2西％2+2西％4+2%2%3+2%3%4的秩为()

A.1B.2

C.3D.4

10.设矩阵，那么二次型『Ax的标准形为()

A.z：+z：+z；B.-z：-z1-z；

C.z：—z^-z；D.z：+z1—z；

二、填空题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕

请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.行列式，那么.

12.矩阵A=(l,2,T),b=(2,—l,l),且那么。2=.

13.设矩阵，那么.

14.矩阵方程X4=5,其中，那么X=.

15.向量组%=(123)，,%=(2,2,2)，03=(320/线性相关，那么数〃=.

16.设向量组4=(1,0,0)，%=(。，1，。),，且用=%—%，62=。2，那么向量组夕1，色的秩

为.

17.3元非齐次线性方程组的增广矩阵为，假设该方程组无解:那么。的取值为.

18.3阶矩阵A的特征值分别为1,2,3,那么|£+A|=.!

19.向量”=(3M,2)7及A=(1,1,公,正交，那么数左=.!

20.3元二次型/(匹,光2，%3)=(1-+云+(。+3)君正定，那么数。的最大取值范围是

三、计算题(本大题共6小题，每题9分，共54分)

x+1-11-1

1Y-11-1

21.计算行列式。=।,的值.

1-1X4-1

1-11X~1

22.设矩阵，E为2阶单位矩阵，矩阵3满足&L=5+E,求|3|.

23.线性方程组

(1)讨论常数满足什么条件时，方程组有解.

(2)当方程组有无穷多解时，求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的根底解系表

示）.

rr

24.设向量组%=(1,4,1,0)7,%=(2,1-1-3),a3=(1,0-3,-1),a4=(0,2,-6,3)J

求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.

25.设矩阵，存在%=(1,2/,使得A%=5%,

Aa2=-a2；存在=(3,1产.62=(0，1产，使得即i=54i，即2=-62•试求可逆矩阵尸，

使得=

26.二次型/(西,％2,X3)=2%々+2X1*3+2*2%3，求一正交变换元=今，将此二次型化为标

准形.

四、证明题(此题6分)

27.设向量组四,a2,如线性无关，且夕=月见+左2a2+自％,证明：假设自用，那么向量

组0,a2,a3也线性无关.

全国2021年4月自学考试线性代数〔经管类〕试题

课程代码：04184

一、单项选择题(本大题共20小题，每题1分，共20分)

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号

内。错选、多项选择或未选均无分。

1.2阶行列式二徵=n，那么=()

A.m-nB.n-m

C.m+nD.-(m+n)

2.设A,3,C均为〃阶方阵，AB=BA,AC=CA,那么A5C=1)

A.ACBB.CAB

C.CBAD.BCA

3.设A为3阶方阵，5为4阶方阵，且行列式|A|=1,圜=2,那么行列式113Hl之值为()

A.-8B.-2

C.2D.8

4.A=，B=,P=,Q=f那么B=(〕

A.B4B.AP

C.QAD.A。

5.A是一个3义4矩阵，以下命题中正确的选项是1)

A.假设矩阵A中所有3阶子式都为0,那么秩［A)=2

B.假设A中存在2阶子式不为0,那么秩(A)=2

C.假设秩［A)=2,那么A中所有3阶子式都为0

D.假设秩(A)=2,那么A中所有2阶子式都不为0

6.以下命题中错误的选项是1)

A.只含有一个零向量的向量组线性相关

B.由3个2维向量组成的向量组线性相关

C.由一个非零向量组成的向量组线性相关

D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关

7.向量组。2,。3线性无关，。2,。3，£线性相关，那么〔)

A.必能由。2,。3，£线性表出B.。2必能由。3，£线性表出

C.。3必能由。2，£线性表出D.£必能由。2,。3线性表出

8.设A为机XW矩阵，机那么齐次线性方程组Ax=o只有零解的充分必要条件是A的秩

(〕

A.小于mB.等于m

C.小于〃D.等于〃

9.设A为可逆矩阵，那么及A必有一样特征值的矩阵为1)

A.ATB.A2

C.A1D.A*

10.二次型人为,尤2,尤3)=靖+X；+2不工2的正惯性指数为〔)

二、填空题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕

请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.行列式的值为.

「20)

12.设矩阵A=,B=，那么ATB=___________________________.

loij

13.设4维向量a=(3,-l,0,2)T,£=(3,1,-1,4尸，假设向量差满足2a+y=38,那么y

14.设A为〃阶可逆矩阵，且|川=-工,那么Qi|=.

n

15.设A为w阶矩阵，B为n阶非零矩阵，假设B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0

的解，那么|川=.

16.齐次线性方程组的根底解系所含解向量的个数为.

17.设n阶可逆矩阵A的一个特征值是-3,那么矩阵必有一个特征值为.

18.设矩阵4=的特征值为4,1,-2,那么数尤=.

19.4=是正交矩阵，那么a+b==

20.二次型/(X1,无2,无3)=-4尤1工2+2¥1尤3+6无加3的矩阵是o

三、计算题〔本大题共6小题，每题9分，共54分〕

21.计算行列式的值。

22.矩阵8=⑵1,3),C=(1,2,3),求⑴A=BTC；⑵A2=

23.设向量组%=(2,1,3,1)\。2=(120,1产,。3=(」,1,-3,0尸,。4=(L1/，1)T,求向量组的秩及

一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。

24.矩阵A=,B=.⑴求A"；⑵解矩阵方程4K=瓦

25.问a为何值时，线性方程组有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解(在有无穷多

解时，要求用一个特解和导出组的根底解系表示全部解)o

26.设矩阵4=的三个特征值分别为1,2,5,求正的常数。的值及可逆矩阵P,使户％尸=。

四、证明题〔此题6分〕

27.设A,B,4+2均为〃阶正交矩阵，证明［4+2)"=1+8-1。

2010年4月高等教育自学考试全国统一命题考试

线性代数（经管类）试题答案及评分参考

（课程代码04184）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1.B2.D3.A4.B5.C

6.C7.D8.D9.A10.C

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

<22、

11.-212.~20

61

13.(3,5,-3,8)T14.

15.016.

17.-18.2

3

'0-2r

19.020.-203

130

\

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

...............（3分）

=abcabc(利用范德蒙行列式)..............(6分)

/b2c1

=abc(b-a)(c-a)(c-b)..............(9分)

(2\46

（5分）

22.解(I)A=BTC=I(1,2,3)=123

3369

⑵/=A4=(b，C)(8「C)

=职(orT)c=i3/i（9分）

f211001、

12121-10-1-1

23.解由于3，%,6%)=

301121010

130-310-3-2

11101q0-10

10

01100（5分）

00010001

00000000

因此向量组的秩为3,%，生,以是一个极大线性无关蛆

（答案不惟一,囚，。彳；%>«3也是极大线性无关组）（7分）

6+%（9分）

24.解由于同=1*0,所以矩阵X可逆，经计算

/T=0（4分）

00

因此X=A-]B...（6分）

-4-9

011（9分）

一3

25.

（3分）

线性代数（经管类》试题答案及评分参考第2页（共3页）

当。工3时,r（<）=r（4）=3,有惟解

再=2

........................（6分）

-x2=!

*3=0

当a=3时,r（/l）=r（N）=2<3,有无穷多解，全部解为

"=（2,l,0）T+奴0,3,-2尸」为任意常数.............（9分）

26.解由卜|=2（9-〃”1x2x5,得a=2........................（4分）

解方程组（E-4）x=0得基础解系&=@-1,1凡............（5分）

解方程组（2E-X）x=0得基础解系$=（1,0,0》；............（6分）

解方程组（5E-Z）x=0得基础解系&=（0,1,1》；.......................（7分）

所求的可逆矩阵P可取为

'010、

P=（品&&）=-101-

101

\/

fl00、

则有P'AP=020........................（9分）

005

\/

四、证明题（本题6分）

27.证由于4凤4+8均为正交矩阵，所以

AT=A-',=B（4+村=4+8尸.............（2分）

因此（A+syl=（,4+By=/1T+BT.......................（4分）

=A-'+B-'.......................（6分）

线性代数（经管类）试题答案及评分参考第3页（共3页）

全国2021年10月自学考试线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

说明:在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|

表示方阵A的行列式,r（A）表示矩A的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每题2分，共20分）

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号

内。错选、多项选择或未选均无分。

1.设A为3阶矩阵,|A|=1,那么卜2A+（）

2.设矩阵A=,B=(1,1),那么AB=()

A.OB.(l,-D

D.

3.设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵，那么以下矩阵中为反对称矩阵的是（）

A.AB-BAB.AB+BA

*=，那么A-'=（）

不呈初等矩阵的是（）

A.B.

C.D.

6.设A.B均为n阶可逆矩阵，那么必有（）

C.A-B可逆D.AB+BA可逆

a1=（1,2）,a2=（0,2）,B=（4,2）,那么（）

A.ai,a2,B线性无关

B.B不能由a1，a2线性表示

C.B可由a1，a2线性表示，但表示法不惟一

D.B可由a1，a2线性表示,且表示法惟一

8.设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0,1,1,那么齐次线性方程组（E-A）x=0的根底解系

所含解向量的个数为（）

9.设齐次线性方程组有非零解，那么X为（)

10.设二次型f(x)=xTAx正定，那么以下结论中正确的选项是()

A.对任意n维列向量X,XTAX都大于零

二、填空题(本大题共10小题，每题2分，共20分)

请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

0:的值为.

12.A=，那么|A|中第一行第二列元素的代数余子式为.

13.设矩阵A=,P=，那么AP3=.

14.设A,B都是3阶矩阵，且|A|=2,B=-2E,那么|A」B|=.

ai,=(l,2,3),a2=(3,-1,2),a3=(2,3,k)线性相关,那么数k=.

16.Ax=b为4元线性方程组,r(A)=3,a1,a2,a3为该方程组的3个解,且那么该线性方程组

的通解是.

17.P是3阶正交矩，向量a=Fl3,p=0,则内积(Pa,Pp)=_______.

㈤3

18.设2是矩阵A的一个特征值，那么矩阵3A必有一个特征值为.

19.及矩阵A=相似的对角矩阵为.

20.设矩阵A=，假设二次型f=xTAx正定，那么实数k的取值范围是.

三、计算题(本大题共6小题，每题9分，共54分)

21.求行列式D=

‘0-101<-1-20、

22.设矩阵A=100,B=2-10,求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X.

、00V1。00,

」)(2、-2、

-1,a=6,a0的秩为2,求k的值.

d3J4

22

A=1-1oLR

C2

⑴求A七

⑵求解线性方程组Ax=b，并将b用A的列向量组线性表出.

25.3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A?+2A-E,求

⑴矩阵A的行列式及A的秩.

(2)矩阵B的特征值及及B相似的对角矩阵.

26.求二次型f(Xl,X2,X3)=-4X1X2+2X1X3+2X2X3经可逆线性变换所得的标准形.

四、证明题（此题6分）

2=E，证明A的特征值只能是±1

2010年10月高等教育自学考试全国统一命题考试

线性代数（经管类）试题答案及评分参考

（课程代码04184）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1.A3.B4.C5.A

6.B7.D8.C9.A10.C

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分,共20分）

11.12.

13.14.

15.5,后为任意常数（答案不惟一）

17.518.6

1030

19.或20.石＞4（或（4,+8））

0301

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

0120

1012

21.解D=4分

01-2-3

020

120

12

1-2-3-3X-1产=9.9分

21

210

线性代数（经管类）试题答案及评分参考第1页（共4页）

22.解由X4-B=2E得X4=B+2E,2分

因为|H=lWO,所以/!可逆，且

‘010、

A-'=-100.4分

\001/

'1-20'

又B+2E=2105分

\002/

所以X=(6+2E)/T7分

’210、

=-120.9分

002

「112-2、’112-2、

23.解(«,a20,4)=1—160T0-242

13-k-2k02-k-1-2A-+2

’112-2、

->0-242,6分

002-上4-2E

\/

所以当左=2时，向量组的秩为2.9分

24.解(D由于同=-1*0,故4可逆.

TY-3、

且/-=1-5-3.，4分

-164

(2)线性方程组心=。的解为

,1-4-3丫2、

x=A'b=1-5-31・・・・・・7

-164°>

设2=(400)，

分

则有6二一四-3%+4a3.9

线性代数（经管类）试题答案及评分参考第2页（共4页）

25.解（D由于/的特征值为-1,1,2,故

|^|=(-l)xlx2=-2,2分

因为卜|。0,所以r（/4）=3.4分

（2）B的三个特征值分别为

^=(-1)2+2X(-1)-1=-2；

%=12+2x1-1=2；

4=22+2x2-1=7.7分

二2

所以，与5相似的对角矩阵为29分

7

（221

26.解可逆线性变换为巧=2-21必2分

002

代入二次型

0-2

/（石/2，/）=（卬々，匕）-2014分

110

（220(0-2nr22乂

=5，%,%)2-20-2012-21y2......7分

I112110002

二-16乂2+16力2+4必2.9分

线性代数（经管类）试题答案及评分参考第3页（共4页）

四、证明题（本题6分）

27.证设4为4的对应于特征值2的特征向量，则有

瑟=萩....2分

于是由X?=E,得

”封=4“矛g,......4分

从而（1-矛）4=0.

而《W0,所以有1-笛=0,4=±1........6分

线性代数（经管类）试题答案及评分参考第4页（共4页）

全国2021年1月自学考试线性代数〔经管类〕试题

课程代码：04184

说明：本卷中，4」表示方阵A的逆矩阵，"(4)表示矩阵A的秩，[&/)表示向量a及万的

内积，E表示单位矩阵，⑷表示方阵A的行列式.

一、单项选择题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号

内。错选、多项选择或未选均无分。

1.设行列式=4,那么行列式=[)

A.12B.24

C.36D.48

2.设矩阵A,B,C,X为同阶方阵，且A,5可逆，AXB=C,那么矩阵*=(

A.AlCBl

C.B^A^CD.CBU1

3/2+4-£=0,那么矩阵A」=()

A.A-EB.-A-E

C.A+ED.-A+E

4.设是四维向量，那么(

A.a1,a2,a3,a4,a5一定线性无关B.ai,a2,a3,a4,a5一定线性相关

C.a5一定可以由01，02，口3，。4线性表示D.%一定可以由。2，。3，。4，。5线性表出

5.设A是〃阶方阵，假设对任意的〃维向量X均满足440,那么()

A.A=0B.A=E

C.r(A)=nD.0<r(A)<(n)

6.设A为”阶方阵，r(A)<n,以下关于齐次线性方程组Ax=0的表达正确的选项是()

A.Ar=0只有零解B.Ax=0的根底解系含r(A)个解向量

C.Ax=0的根底解系含力近4)个解向量D.Ax=0没有解

7.设〃1，%是非齐次线性方程组的两个不同的解，那么()

A.%+也是Ax='的解B.-%是Ax=Z>的解

C.3%-2%是Ax=b的解D.2%-3〃2是Ax=b的解

8.设4，%，%为矩阵4=的三个特征值，那么4几2友=〔)

A.20