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文档简介
北京景山学校2023—2024学年度第一学期
高三数学12月月考试卷
注意事项:
(1)请用蓝色或黑色圆珠笔、钢笔或签字笔答卷,不得用铅笔或红笔答卷.
(2)认真审题,字迹工整,卷面整洁.
(3)本试卷共5页,共三道大题,21道小题.考试时间120分钟.
(4)请将选择题的答案填涂在机读卡上,其余试卷答案填写在答题纸上,在试卷上作答无效.
一.选择题(共10小题,每小题4分,共40分)
L若集合A=3T<"<3},5={/<1或X>6},则AC&5)=
A.1x|l<x<31B.|x|-l<x<l}C.1x|l<%<3}D.33<%<6}
2.设z=二」,则在复平面内z的共辗复数对应的点位于()
2+1
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.下列函数中,既是偶函数,又在(-8,0)上单调递减的是()
A.y=-B.>C.y=lg|x|D.y=l-x2
X
4.4知向量(5=(1,1),=(羽一1),贝是“(a+b),人”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.非充分非必要条件
22
5.已知双曲线。:二-与=1(。>0/>0)的一个焦点与虚轴的两个端点构成等边三角形,则。的渐近线方程为
ab
Ay=±-----xB.y=±----xC.y=±y[2xD.y—±y/3x
22
f2rY<0
6.设函数/("=’一,则满足/(x+l)<〃2x)的力的取值范围是()
1,x>0,
A.(-°o,-l]B.(0,+e)C.(-1,0)D.(-a?,0)
7.已知圆C:(尤—a)?+(y+2)2=4与圆。2:(%+))2+(丁+1)2=1相外切,则ab的最大值为()
r-9
A.2B.717C.-D.4
8.某钟楼的钟面部分是一个正方体,在该正方体的四个侧面分别有四个时钟,如果四个时钟都是准确的,那么从
零点开始到十二点的过程中,相邻两个面上的时针所成的角为45°的位置有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
9.已知函数〃x)=—n+—,在下列结论中:
sinxcosx
①2兀是〃龙)的一个周期;
②/(%)的图象关于直线x对称;
③〃%)在区间,5,。]上无最大值
正确结论的个数为()
A.0B,1C.2D.3
10.设数列{4},若存在常数人对任意小的正数s,总存在正整数人,当“2小时,|a"一|<s,则数列{4}为
收敛数列.下列关于收敛数列说法正确的是()
A.若等比数列{%}是收敛数列,则公比qe(0,1)
B.等差数列不可能收敛数列
C.设公差不为。的等差数列{4}的前几项和为S〃(S.H0),则数列廿一定是收敛数列
D.设数列{%}的前n项和为S,,,满足%=1,S„+1=a„+l,则数列{«„}是收敛数列
二.填空题(共5小题,每小题5分,共25分)
11.函数y=定义域为____________(用区间表示).
%2-1
12.二项式(五-2成的展开式中常数项为.(用数字作答)
X
13.已知抛物线:/=2/?%(/?>0),焦点为F,若A、3在抛物线上且在第一象限,|4同=2,忸刊=4,却=3,
求直线AB的斜率为.
14.正项数列{。“}共有9项,前3项成等差,后7项成等比,为=1,。*=12,。*=192,则%的值为
;q+%++^9的值为■
15.已知函数/(x)=sin[ox+;J(0<0<3)的图象的一条对称轴为直线x=:,/'(%)为函数八%)的导函
数,函数g(x)=/(x)+/'(x),给出以下结论:①直线x=2是g(x)图象的一条对称轴;②g(x)的最小正周
8
期为兀;③g(x)的最大值为百;④点1,0是g(x)图象的一个对称中心.则所有正确结论的序号是
三.解答题(共5小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.)
16.如图,在三棱柱ABC—4方£1中,_ABC为等边三角形,四边形BCG1片是边长为2的正方形,D为AB
中点,且行.
(1)求证:平面ABB.A,;
B.P
(2)已知点尸在线段用C上,且直线AP与平面AC。所成角的正弦值为包,求酷7的值.
5
、J3
17.在-ABC中,角A,B,C的对边分别为"c,acos5+]-6=c.
(1)求A的大小;
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件选择一个作为已知,使得.ABC存在且唯一确定,求边上高线的
长.
条件①:cosB=,6=1;条件②:a-2,c-2^/3;条件③:b=3,c-A/3.
14
注:如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答给分.
18.根据《国家学生体质健康标准》,高三男生和女生立定跳远单项等级如下(单位:cm):
立定跳远单项等级高三男生高三女生
优秀260及以上194及以上
良好245~259180-193
及格205-244150-179
不及格204及以下149及以下
从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学,将其立定跳远测试成绩整理如下(精确到1cm):
男生180205213220235245250258261270275280
女生148160162169172184195196196197208220
假设用频率估计概率,且每个同学的测试成绩相互独立.
(1)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率;
(2)从该校全体高三男生中随机抽取2人,全体高三女生中随机抽取1人,设X为这3人中立定跳远单项等级为
优秀的人数,估计X的数学期望E(X);
(3)从该校全体高三女生中随机抽取3人,设“这3人立定跳远单项既有优秀,又有其它等级”为事件A,“这3
人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件8.判断A与8是否相互独立.(结论不要求证明)
19.已知椭圆C:[+]=1(。〉人〉0),长轴长为4,离心率是走.
a2b22
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)斜率为左(左>0)且不过原点的直线/交椭圆C于A,8两点,线段的中点为£,射线OE交椭圆C于点
G,交直线x=-4于点。若2ToD||o耳,证明:直线/经过定点,并求出定点坐标.
20.已知函数/(x)=ln“+a.
x+1
(1)若/'(1)=;,求“值;
(2)当。>2时,
①求证:/(X)有唯一的极值点均;
②记/⑴的零点为与,是否存在。使得上<二?说明理由.
%
21.设A是正整数集的一个非空子集,如果对于任意xeA,都有x-leA或x+leA,则称A为自邻集.记集合
4={1,2,,〃}(〃22,〃eN)的所有子集中的自邻集的个数为au.
(1)直接写出A4的所有自邻集;
北京景山学校2023—2024学年度第一学期
高三数学12月月考试卷
一.选择题(共10小题,每小题4分,共40分)
什备人A=\x\-l<x<5={x|x<l或x>6},贝“Ac做可=(
1.若集合II)
A.X1<%<B.1x|-l<x<1C.x\l<x<D.x|3<x<61
【答案】C
【分析】应用集合的交、补运算求集合即可.
【详解】由题设45={划146},又人={%卜1<x<3}
所以Ac(45)={%|1«尤<3}
故选:C
-IQ.
2.设则在复平面内z的共辗复数对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】B
【分析】利用复数的除法运算求出复数z及其共轨复数即可得解.
(l-3i)(2-i)-l-7i17.-17
【详解】依题意,z=-------=----_1,则z=_g+,
(2+i)(2-i)5
17
所以在复平面内Z的共软复数对应的点(-二,二)位于第二象限.
故选:B
3.下列函数中,既是偶函数,又在(-8,0)上单调递减的是()
A.y=—B.y=e-'C.y=lg|x|D.y=1-x2
x
【答案】C
【分析】由奇偶性排除两个选项,符合条件的函数再判断单调性即可得解.
【详解】对于A,函数>是奇函数,不是偶函数,A不是;
X
对于B,函数>在R上单调递减,不具有奇偶性,B不是;
对于C,函数y=lg|x|是偶函数,当X>o时,丫=电%在(0,+00)上单调递增,
于是y=lg|x|在(-8,0)上单调递减,C是;
对于D,函数y=l-k是偶函数,在(-co,0)上单调递增,D不是.
故选:c
4.已知向量。=(1,1)/=(羽一1),贝『'%=—1”是“(4+)),>''的()
A.充分不必要条件B,必要不充分条件
C.充要条件D.非充分非必要条件
【答案】A
【分析】利用向量数量积的坐标表示,求出对应的x的值,再根据充分必要条件的定义判断即可.
【详解】当x=—1时,a=(l,l)力=(一1,一1),则匕=(0,0),
所以(a+/?)♦/?=0x(-1)+Ox(—1)=0,故有(a+))_L〃,
当(a+Z?)_LZ?时,因为a+Z?=(l+x,0),
所以(a+bjb=(l+x)xx+Ox(-l)=0,即%2+尤=0,解得了=0或x=-L,
故“x=—1”是“(a+b^Vb”的充分不必要条件.
故选:A
22
5.已知双曲线。:二-2=1(°>0/>())的一个焦点与虚轴的两个端点构成等边三角形,则C的渐近线方程为
ab
()
A.y=±^^xB.y=±^-xC.y=±A/2XD.y=±y/3x
22
【答案】A
b
【分析】根据等边三角形得出。,。的关系,进而求得一得渐近线方程.
a
【详解】由已知及双曲线的对称性可得tan3(r=2,所以0=技.所以〃=,?万=回,所以2=变,所
ca2
以C的渐近线方程为y=±^-x.
故选:A.
f2rY<0
6.设函数/("=’一,则满足〃%+1)</(2力的元的取值范围是()
1,JC>0,
A.(f-1]B.(0,+。)C.(-1,0)D.(-oo,0)
【答案】D
【分析】先作出了(%)的图象,然后根据条件结合图象列出关于x的不等式组,由此求解出结果.
【详解】作出函数/(%)的图象如图所示,
要使〃x+l)</(2x),
x+1<0
r2x<0
贝|2xW0或41八,
<-x+l>0
x+l>2x
即x«—l或—I<x<0,
所以不等式解集为(-8,0),
故选:D
7.已知圆G:(无一a]+(y+2)z=4与圆C?++(y+l)~=1相外切,则aZ?的最大值为()
r-9
A.2B.Vl7C.-D.4
【答案】A
【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径,再由两圆外切可得(。+»2=8,要使ab取得最大值,则。,b同号,不
妨取a>0,b>0,然后利用基本不等式求得ab的最大值.
【详解】圆4:。一。)2+(丁+2)2=4的圆心为£(。,—2),半径(=2,
圆C2:(x+6)2+(y+l)2=l的圆心为C?(一仇T),半径弓=1,
由圆G与圆G相外切,得IGGE+G
即J(a+4+(-2+1)2=3,
(a+by=8,
要使ab取得最大值,则a,b同号,不妨取a>0,b>0,
由基本不等式,得
.•々64(等)2=:=2,当且仅当a=b=行时等号成立,
ab的最大值为2.
故选:A.
8.某钟楼的钟面部分是一个正方体,在该正方体的四个侧面分别有四个时钟,如果四个时钟都是准确的,那么从
零点开始到十二点的过程中,相邻两个面上的时针所成的角为45°的位置有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系,结合实例分析空间两直线所成角即可得解.
【详解】取正方体ABC。—A4CR的相邻两个面它们的中心分别为是对应钟面圆
心,
0点时,两个钟面时针分别指向点及耳,显然OEIIO\E[,
直线。片,qC分别为正方体相邻两个正方形的面对角线所在直线,它们成60°的角,
即两个钟面时针分别指向点用,。时,两个时针所成的角为60°,
当两个钟面时针分别指向点£片时,有。尸,日片,因此当时针从0点转到3点的过程中,
两个时针所在直线所成的角从0°逐渐增大到90°,令成45°角的位置时针分别指向棱4片,与G上的点P,《,
如图,建立空间直角坐标系,令AB=2,则0(2,1,1),q(1,2』),
谈EP=t,显然耳《=心则P(2,l+/,2),《(lT,2,2),O尸=(0J,1),OJ4=(T,0,1),
cos〈OP,0击〉=——-=cos45°=~^=
解得f=J应—1,
因此时针从0点转到3点的过程中,相邻两个面上的时针所成的角为45。的位置有1个,
同理时针从3点转到6点,6点转到9点,9点转到12点,两个时针所成的角为45。的位置各有1个,
所以从零点开始到十二点的过程中,相邻两个面上的时针所成的角为45。的位置有4个.
故选:D
9.已知函数〃x)=—^+」一,在下列结论中:
sinxcos%
①2兀是了(%)一个周期;
②/(%)的图象关于直线x对称;
③/(%)在区间[-5'0J上无最大值
正确结论的个数为()
A.OB.1C.2D.3
【答案】B
【分析】①②根据周期性和对称性满足的关系式判断;③利用换元法求函数了⑺在xe-?o的最值情况.
11
=2&f—:+2兀=0
7兀
sin
44
所以2兀不是“%)的一个周期,故①错误;
c°s;sm;2所以了⑴的图象不关于直线x对
----------1-------,X<—
cosxsinx2
称,故②错;
/x_11_sinx_cosx_2(sinx-cosx)(、
J(-^):।;~2=二72I兀।
smxcosxl-(sinx-cosx)l-(sinx-cosx),于"n卜
2
令t—sinx-cosx—A/2sin[x——,则x——]——,——,tE[——1),
212/\
了二匚”=口,在fe卜应,-1)上单调递增,所以无最大值,即函数"X)在xe-],0上无最大值,故③
正确.
故选:B.
10.设数列{%},若存在常数上对任意小的正数S,总存在正整数%,当“2%时,\an-t\<s,则数列{4}为
收敛数列.下列关于收敛数列说法正确的是()
A.若等比数列{%}是收敛数列,则公比qe(0,1)
B.等差数列不可能是收敛数列
C.设公差不为0的等差数列{%}的前〃项和为s〃(s〃w0),则数列K一定是收敛数列
D.设数列{«„}的前n项和为Sn,满足%=1,S用=4+1,则数列{a,J是收敛数列
【答案】C
【分析】根据题中定义,结合特殊的等差数列和等比数列、数列的周期性、等差数列前九项和公式逐一判断即可.
【详解】当数列为常数列(不为零),因此该数列是等差数列又是等比数列,显然该数列是收敛数列,因此选项AB
不正确;
选项C:设等差数列{4}的公差为
J_=______I______1
所以S1,八,,当dwO时,当"一中冷时,—>0,
n
nax+—n(n-l)aSn
所以数列〈《一定是收敛数列,因此本选项正确;
Sn.
选项D:因为4=1,Sn+1=an+1,所以可得出=1,
当”22,“eN*时,由5用=%+lnS,+1,两式相减,得。用=-,
所以%=0,4=-L%=-1,&=0,%=1,所以该数列的周期为6,该数列不可能是收敛数列,因此本选项说法
不正确,
故选:C
【点睛】关键点睛:利用数列的周期性、常数列的性质是解题的关键.
二.填空题(共5小题,每小题5分,共25分)
11.函数)的定义域为_________(用区间表示).
x2-l
【答案】[o,i)(L”)##(L”)3°,I)
【分析】根据定义域的定义即可列不等式求解.
V-i^o八
【详解】由题意可得nx»0且xwl,
%>0
故定义域为:[0,1)。,包)
12.二项式(«-2成的展开式中常数项为.(用数字作答)
X
【答案】60
【分析】求出二项式展开式的通项公式,再求出x的指数为0的项即得.
【详解】二项式(«—j)6的展开式的通项公式ZM=G(J,6f1―2)=(—2)',
3
由3—耳厂=0,得r=2,则4=(—2>C:=4x15=60,
所以二项式(«-2)6的展开式中常数项为60.
X
故答案为:60
13.已知抛物线:y2=2px(p>0),焦点为F,若A3在抛物线上且在第一象限,|人刊=2,忸刊=4,|AB|=3,
求直线AB的斜率为.
【答案】更
【分析】设A3的斜率为左,根据抛物线的定义以及弦长公式建立方程即可求解.
【详解】设4斗%),3(々,%)则由于的斜率存在,设的斜率为左.A,B,
都在尤轴上方,由题意知左>0,
由抛物线定义防
2,由弦长公式AB=^/i1记|
+—=
所以AB=J1+k1%一4|=3nJl+k。=^=>k=
故答案为:为
14.正项数列{4}共有9项,前3项成等差,后7项成等比,“i=l,a*=12,a*=192,则%的值为
;Q]+%++〃9的值为•
【答案】①.48②.384
【分析】设出正项数列{%}成等比数列的后7项的公比,求出。7及。3,。2,再分组求和即得.
【详解】正项数列{4}成等比数列的后7项的首项为火,设公比为4,则/=,=16,而q>0,解得
q=2,
于是。3=乌=3,%=。5/=48,显然出='+%=2,
Q2
3(1—27)
所以〃]+2+/++%=3H—-————384.
故答案为:48;384
15.已知函数/(x)=sin10x+;](0<<y<3)的图象的一条对称轴为直线》=1,f'(x)为函数/(%)的导函
数,函数g(x)=/(x)+/'(x),给出以下结论:①直线x=巴是g(x)图象的一条对称轴;②g(x)的最小正周
8
期为兀;③g(x)的最大值为④点1,0是g(x)图象的一个对称中心.则所有正确结论的序号是
【答案】②③
【分析】根据题意可得++:/eZ,再结合0<。<3,可求出。=2,从而得出函数八%)的解析式为
o42
1
/(x)=sin12x+:J,进而得到8(司=5呵2%+()+20)512%+‘=";3(2%+9),即可判断各项的真假.
【详解】因为〃x)=sin0X+;的图象的一条对称轴为直线》=巴,
k4J8
7C7C7C
所以一coH——kjiH—,k£Z,所以G=8k+2,k£Z,
842
又0</〈3,所以①=2,所以/(x)=sin[2x+:),所以尸(x)=2cos12%+:
所以g(%)=sin121+:+2cos—sin2x
2
=y/5cos(2x+0)tan(p=—
TT7Lg,"且g[曰],一"且g[曰],。)
可取o<0<5,显然夕74
易知g(x)的最大值为石,最小正周期为兀,故①④错误,②③正确.
故答案为:②③.
【点睛】关键点睛:本题解决的关键是熟练掌握复合函数的求导,从而得解.
三.解答题(共5小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.)
16.如图,在三棱柱ABC—A/1cl中,.A5C为等边三角形,四边形3CG片是边长为2的正方形,D为AB
中点,且\D=下.
(1)求证:era平面;
九六|5,P|
(2)已知点尸在线段及C上,且直线AP与平面所成角的正弦值为包,求号的值.
【答案】(1)证明见解析;
⑵I-
【分析】(1)由勾股定理可得AALAD,再利用线面垂直的性质、判定推理即得.
(2)建立空间直角坐标系,结合线面角的向量求法求出点P位置即可.
【小问1详解】
在三棱柱ABC—中,AAi=BBl=2,AD=-AB=-BC=l,AlD=45,
显然4加+其与=5=AQ2,则AA_LAD,又515ABCRBI12,
于是又ADBC=B,AD,BCu平面ABC,
因此AAL平面ABC,又CE>U平面ABC,即有CD,",
在正JRC中,。为A5中点,则CDLA5,又ABi叫=A,A3,u平面AB与A,
所以CD,平面ABB】
【小问2详解】
取中点为。,与G中点为。,则OA1BC,OQA.BC,
由(1)知,[AJ,平面ABC,且OAu平面ABC,则。4,A4],又B、BIRA,
有OA_LBB「BBiCBC=B,55],BCu平面5CC4,于是。4,平面BCC4,04,06,0。两两垂直
以。为坐标原点,。8,。。,。4的方向为X轴、y轴、Z轴的正方向,建立空间直角坐标系,
1h
则。(0,0,0),A(0,0,6),A(0,2,6),C(-l,0,0),D(-,0,事),B}(1,2,0),
CD=(1,0,岑),*=(1,2,若),。用=(2,2,0),AC=(—1,0,-石),
.n-CD=—x+z=0.1-
设平面A。。的法向量为〃=(九,y,z),则<22,令1=1,得〃=(1,1,一代),
n-G4t=%+2y+0z=0
设CP=2CB[=(22,22,0),2e[0,1],则AP=AC+CP=AC+=(22-1,24—百),
由直线AP与平面A。。所成角的正弦值为差,得
,\I\AP-n\|2A-1+2A+3|2小
|cos/(AAPP,n)|=----------=/।占~~—=-----,
\AP\\n\J(2X-I)2+(22)2+3-V55
即|2/l+l|=J(2/l—l)2+(2/l)2+3,整理得4万—82+3=0,而解得X=
\B.P\1
即点P为线段耳。的中点,所以房i=
17.在ABC中,角A,5c的对边分别为"c,acosB+^^-6=c.
(1)求A的大小;
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件选择一个作为已知,使得.ABC存在且唯一确定,求边上高线的
长.
条件①:cosB=之亚^,6=1;条件②:a—2,c—2A/3;条件③:b=3,c=A/3.
14
注:如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答给分.
7T
【答案】(1)
6
(2)条件①:叵;条件③:
72
【分析】(1)利用正弦定理,边化角,再利用三角恒等变换求解即可.
(2)根据三角形全等条件可知①③满足条件,条件②由余弦定理可得力有两解,不满足条件,条件①:根据
sinC=sin(A+3),结合等面积求解即可;条件③:利用余弦定理结合等面积求解即可.
【小问1详解】
J3
在中因为acosBn---b=c,
2
由正弦定理得sinAcossinB=sinC,
2
所以sinAcos3+sin3=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,即4sin5=sinBcosA,
又因为A5£(0,»),sinB^O,所以cosA=且,A=-
26
【小问2详解】
设5c边上的高为/?,
条件①:因为cos3=,所以Be(0,二),sinB=,
14214
所以0<A+5〈不,根据三角形全等(角角边)可知,ABC存在且唯一确定.
所以sinC=sin(A+B)=sinAcos3+sin3cosA=-----,
则l/za=』absinC,解得〃=且,即BC边上的高为变.
2277
RIdCU,z..b+c~-Qb+12—9
条件②:由余弦定理得cosA=--------------,n即n——=-----产,
2bc24j3b
解得〃=2或4,此时满足条件的.ABC的三角形有两个,条件②不符合题意.
条件③:根据三角形全等(边角边)可得"。存在且唯一确定,
由余弦定理得cos4="十厂—矿,即走=9+3]矿,解得。=退,
2bc26百
1133
则一/za=—bcsinA,解得力二一,即5C边上的高为一.
2222
18.根据《国家学生体质健康标准》,高三男生和女生立定跳远单项等级如下(单位:cm)
立定跳远单项等级高三男生高三女生
优秀260及以上194及以上
良好245~259180-193
及格205-244150-179
不及格204及以下149及以下
从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学,将其立定跳远测试成绩整理如下(精确到1cm):
男生180205213220235245250258261270275280
女生148160162169172184195196196197208220
假设用频率估计概率,且每个同学的测试成绩相互独立.
(1)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率;
(2)从该校全体高三男生中随机抽取2人,全体高三女生中随机抽取1人,设X为这3人中立定跳远单项等级为
优秀的人数,估计X的数学期望E(x);
(3)从该校全体高三女生中随机抽取3人,设“这3人的立定跳远单项既有优秀,又有其它等级”为事件A,“这3
人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件8.判断A与8是否相互独立.(结论不要求证明)
【答案】(1),
3
⑵-
6
(3)A与8相互独立
【分析】(1)样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4,获得优秀的女生人数为6,计算频率得到优秀率
的估计值;
(2)由题设,X的所有可能取值为0,L2,3.算出对应概率的估计值,得到X的数学期望的估计值;
(3)利用两个事件相互独立的定义判断即可.
【小问1详解】
样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4,获得优秀的女生人数为6,
所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为之=!;估计高三女生立定跳远单项的优秀率为二=4.
123122
【小问2详解】
由题设,X的所有可能取值为。J2,3.
P(X=0)估计为($2xg=|;
P(X=1)估计为C;xgxgxg+(:)2xg=1;
2
P(x=2)估计4xlx|xl+(l)xl=A;
P(X=3)估计
JZ1o
24s17
估计X的数学期望石(X)=0x—+1义一+2x—+3x—=—.
v79918186
【小问3详解】
P(A)估计为
P(3)估计为
P(AB)估计为=-,
32y2)8
尸(AB)=P(A)P(3),所以A与B相互独立.
19.已知椭圆C:二+4=1(。〉。〉0),长轴长为4,离心率是也
a2b②2
(I)求椭圆C的标准方程;
(2)斜率为左(左>0)且不过原点直线/交椭圆C于A,2两点,线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点
G,交直线为=-4于点。若2ToD||o目,证明:直线/经过定点,并求出定点坐标.
【答案】(1)—+/=1;
4-
(2)证明见解析,(—1,0).
【分析】(1)根据给定条件,求出即可求出椭圆C的标准方程.
(2)设直线/的方程为:y^kx+t,k>0,联立直线与椭圆得交点坐标,再结合已知求出f的值即可得结论.
【小问1详解】
22
由椭圆C:=+与=l(a〉6〉0)的长轴长为4,得2。=4,即a=2,
ab
由离心率是立,得J"—/=,4—/=昱,解得/;=1,
2a22
尤2
所以椭圆C的标准方程为—+/=1.
4-
【小问2详解】
设直线/的方程为:y^kx+t,k>0,t^0,
y1kx消去y并整理得:(4k2+l)x2+8to+4z2-4=0,
由<
x+4y~=4
2
A=64k2t2-16(4Z:+l)(r-1)>0,即4储+1-r>0,设4(尤1,%),5(乙,〉2),
8左彳Dt4ktt
则石+"一诉p/+%—初+”而,于是点E(一诉pG",
直线的方程为丁=—工x,则点。(―4,1),
4kk
1°
y-x16k2116421
由<-4k,解得/=与,,/=__,设点6(%,如),贝4君=
2:2/442+―4^+1G4左?+1'-4左2+1'
x+4y=4
显然点瓦G,。的纵坐标力,为,为同号,由0目得,yl=yD-yE,
因此一—=l•一J,解得/=左,此时A>0,直线/:,=左(%+1)过定点(―L0),
4f+lk4V+1
所以直线/经过定点,该定点坐标为(-1,0).
x=-4
八一皿”、lnx+«
20.已知函数/(%)=------.
x+1
(1)若/'。)=;,求。的值;
(2)当。>2时,
①求证:“无)有唯一的极值点均;
②记/(1)的零点为与,是否存在。使得土We??说明理由.
%
【答案】(1)0=1.
(2)①证明见解析,②不存在,详细见解析.
【分析】(1)求得导函数,由/"(I)=;,代入计算即可.
⑵①求得,⑴,+7nx-a设g(x)=i+_L—mx—。,由函数性质可知g(x)在(0,+oo)上单调递减.进而由
g(e-a)=l+efl>0,g(l)=2-a<0,可得f(x)=0有(0,+oo)有唯一解,进而利用导数可判断,⑺有唯一的极
值点A.
②由题意,可得与=一,假设存在°,使上We2,进而可知尸<%We?:由g(x)在(0,+oo)单调递减,
%
g(e-a)>0,则g(e2Y)<0,求得。42,与已知矛盾,则假设错误.
【小问1详解】
因为=墨二/>°'所以1----Inx-a
2-a1
因为/"")=--=->所以。=L
44
【小问2详解】
①/⑺的定义域是(0,+8),
1~\---Inx—a
ra)=-y一—,
(x+1)-
令/'(%)=。,,则1+,一Inx-a=0.
x
设80)=1+工一111工一。,因为丁=工,,=一111%在(0,+00)上单调递减,
XX
所以g(x)在(0,+8)上单调递减.
因为g(e-°)=l+e">0,g(l)=2—a<0,所以g(x)在(0,+oo)上有唯一的零点,|
所以/'(%)=0有(0,+8)有唯一解,不妨设为西,西e(e-fl,l).
/(x)与/(元)的情况如下,
X(Xp+oo)
(0,王)X1
f,M+
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