2023-2024学年北京市东城区景山学校高三年级上册12月月考数学试卷含详解

北京景山学校2023—2024学年度第一学期

高三数学12月月考试卷

注意事项:

（1）请用蓝色或黑色圆珠笔、钢笔或签字笔答卷，不得用铅笔或红笔答卷.

（2）认真审题，字迹工整，卷面整洁.

（3）本试卷共5页，共三道大题，21道小题.考试时间120分钟.

（4）请将选择题的答案填涂在机读卡上，其余试卷答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效.

一.选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

L若集合A=3T<"<3},5={/<1或X>6},则AC&5)=

A.1x|l<x<31B.|x|-l<x<l}C.1x|l<%<3}D.33<%<6}

2.设z=二」，则在复平面内z的共辗复数对应的点位于（）

2+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.下列函数中，既是偶函数，又在（-8,0）上单调递减的是（）

A.y=-B.>C.y=lg|x|D.y=l-x2

X

4.4知向量（5=（1,1），=（羽一1）,贝是“（a+b），人”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

22

5.已知双曲线。:二-与=1（。>0/>0）的一个焦点与虚轴的两个端点构成等边三角形，则。的渐近线方程为

ab

Ay=±-----xB.y=±----xC.y=±y[2xD.y—±y/3x

22

f2rY<0

6.设函数/("=’一，则满足/(x+l)<〃2x)的力的取值范围是()

1,x>0,

A.(-°o,-l]B.(0,+e)C.(-1,0)D.(-a?,0)

7.已知圆C：（尤—a）?+（y+2）2=4与圆。2：（%+））2+（丁+1）2=1相外切，则ab的最大值为（）

r-9

A.2B.717C.-D.4

8.某钟楼的钟面部分是一个正方体，在该正方体的四个侧面分别有四个时钟，如果四个时钟都是准确的，那么从

零点开始到十二点的过程中，相邻两个面上的时针所成的角为45°的位置有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.已知函数〃x)=—n+—,在下列结论中：

sinxcosx

①2兀是〃龙)的一个周期；

②/(%)的图象关于直线x对称；

③〃%)在区间，5，。]上无最大值

正确结论的个数为()

A.0B,1C.2D.3

10.设数列｛4｝,若存在常数人对任意小的正数s,总存在正整数人,当“2小时，|a"一|<s,则数列｛4｝为

收敛数列.下列关于收敛数列说法正确的是()

A.若等比数列｛%｝是收敛数列，则公比qe(0,1)

B.等差数列不可能收敛数列

C.设公差不为。的等差数列｛4｝的前几项和为S〃(S.H0),则数列廿一定是收敛数列

D.设数列｛%｝的前n项和为S,,,满足％=1,S„+1=a„+l,则数列｛«„｝是收敛数列

二.填空题(共5小题，每小题5分，共25分)

11.函数y=定义域为____________(用区间表示).

%2-1

12.二项式(五-2成的展开式中常数项为.(用数字作答)

X

13.已知抛物线：/=2/?%(/?>0),焦点为F,若A、3在抛物线上且在第一象限，|4同=2,忸刊=4,却=3,

求直线AB的斜率为.

14.正项数列｛。“｝共有9项，前3项成等差，后7项成等比，为=1,。*=12,。*=192,则%的值为

；q+%++^9的值为■

15.已知函数/(x)=sin[ox+；J(0<0<3)的图象的一条对称轴为直线x=:,/'(%)为函数八％)的导函

数，函数g(x)=/(x)+/'(x),给出以下结论：①直线x=2是g(x)图象的一条对称轴；②g(x)的最小正周

8

期为兀；③g(x)的最大值为百；④点1,0是g(x)图象的一个对称中心.则所有正确结论的序号是

三.解答题(共5小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.)

16.如图，在三棱柱ABC—4方£1中，_ABC为等边三角形，四边形BCG1片是边长为2的正方形，D为AB

中点，且行.

(1)求证:平面ABB.A,；

B.P

(2)已知点尸在线段用C上，且直线AP与平面AC。所成角的正弦值为包，求酷7的值.

5

、J3

17.在-ABC中，角A,B,C的对边分别为"c,acos5+]-6=c.

(1)求A的大小；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件选择一个作为已知，使得.ABC存在且唯一确定，求边上高线的

长.

条件①：cosB=,6=1；条件②：a-2,c-2^/3；条件③：b=3,c-A/3.

14

注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.

18.根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下(单位：cm)：

立定跳远单项等级高三男生高三女生

优秀260及以上194及以上

良好245~259180-193

及格205-244150-179

不及格204及以下149及以下

从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下(精确到1cm)：

男生180205213220235245250258261270275280

女生148160162169172184195196196197208220

假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立.

(1)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率;

(2)从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设X为这3人中立定跳远单项等级为

优秀的人数，估计X的数学期望E(X)；

(3)从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件A,“这3

人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件8.判断A与8是否相互独立.(结论不要求证明)

19.已知椭圆C：[+]=1(。〉人〉0),长轴长为4,离心率是走.

a2b22

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)斜率为左(左＞0)且不过原点的直线/交椭圆C于A,8两点,线段的中点为£,射线OE交椭圆C于点

G,交直线x=-4于点。若2ToD||o耳，证明：直线/经过定点，并求出定点坐标.

20.已知函数/(x)=ln“+a.

x+1

(1)若/'(1)=；,求“值；

(2)当。＞2时，

①求证：/(X)有唯一的极值点均；

②记/⑴的零点为与,是否存在。使得上＜二?说明理由.

%

21.设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意xeA,都有x-leA或x+leA,则称A为自邻集.记集合

4={1,2,,〃}(〃22,〃eN)的所有子集中的自邻集的个数为au.

(1)直接写出A4的所有自邻集;

北京景山学校2023—2024学年度第一学期

高三数学12月月考试卷

一.选择题(共10小题，每小题4分，共40分)

什备人A=\x\-l<x<5={x|x<l或x>6},贝“Ac做可=(

1.若集合II)

A.X1<%<B.1x|-l<x<1C.x\l<x<D.x|3<x<61

【答案】C

【分析】应用集合的交、补运算求集合即可.

【详解】由题设45={划146},又人={%卜1<x<3}

所以Ac(45)={%|1«尤<3}

故选：C

-IQ.

2.设则在复平面内z的共辗复数对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】利用复数的除法运算求出复数z及其共轨复数即可得解.

(l-3i)(2-i)-l-7i17.-17

【详解】依题意,z=-------=----_1,则z=_g+，

(2+i)(2-i)5

17

所以在复平面内Z的共软复数对应的点(-二,二)位于第二象限.

故选：B

3.下列函数中，既是偶函数，又在(-8,0)上单调递减的是()

A.y=—B.y=e-'C.y=lg|x|D.y=1-x2

x

【答案】C

【分析】由奇偶性排除两个选项，符合条件的函数再判断单调性即可得解.

【详解】对于A,函数>是奇函数，不是偶函数，A不是;

X

对于B,函数>在R上单调递减，不具有奇偶性，B不是;

对于C,函数y=lg|x|是偶函数，当X>o时，丫=电%在(0,+00)上单调递增,

于是y=lg|x|在(-8,0)上单调递减,C是;

对于D,函数y=l-k是偶函数，在(-co,0)上单调递增，D不是.

故选：c

4.已知向量。=(1,1)/=(羽一1),贝『'％=—1”是“(4+))，>''的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

【答案】A

【分析】利用向量数量积的坐标表示，求出对应的x的值，再根据充分必要条件的定义判断即可.

【详解】当x=—1时，a=(l,l)力=(一1,一1)，则匕=(0,0)，

所以(a+/?)♦/?=0x(-1)+Ox(—1)=0,故有(a+))_L〃，

当(a+Z?)_LZ?时，因为a+Z?=(l+x,0),

所以(a+bjb=(l+x)xx+Ox(-l)=0,即％2+尤=0,解得了=0或x=-L,

故“x=—1”是“(a+b^Vb”的充分不必要条件.

故选：A

22

5.已知双曲线。:二-2=1(°>0/>())的一个焦点与虚轴的两个端点构成等边三角形，则C的渐近线方程为

ab

()

A.y=±^^xB.y=±^-xC.y=±A/2XD.y=±y/3x

22

【答案】A

b

【分析】根据等边三角形得出。，。的关系，进而求得一得渐近线方程.

a

【详解】由已知及双曲线的对称性可得tan3(r=2,所以0=技.所以〃=，？万=回，所以2=变，所

ca2

以C的渐近线方程为y=±^-x.

故选：A.

f2rY<0

6.设函数/("=’一，则满足〃%+1)</(2力的元的取值范围是()

1,JC>0,

A.(f-1]B.(0,+。)C.(-1,0)D.(-oo,0)

【答案】D

【分析】先作出了(%)的图象，然后根据条件结合图象列出关于x的不等式组，由此求解出结果.

【详解】作出函数/(%)的图象如图所示,

要使〃x+l）</（2x）,

x+1<0

r2x<0

贝|2xW0或41八，

<-x+l>0

x+l>2x

即x«—l或—I<x<0,

所以不等式解集为（-8,0），

故选：D

7.已知圆G:（无一a]+（y+2）z=4与圆C?++（y+l）~=1相外切，则aZ?的最大值为（）

r-9

A.2B.Vl7C.-D.4

【答案】A

【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由两圆外切可得（。+»2=8,要使ab取得最大值，则。，b同号，不

妨取a>0,b>0,然后利用基本不等式求得ab的最大值.

【详解】圆4：。一。）2+（丁+2）2=4的圆心为£（。,—2）,半径（=2,

圆C2：（x+6）2+（y+l）2=l的圆心为C?（一仇T）,半径弓=1,

由圆G与圆G相外切，得IGGE+G

即J（a+4+（-2+1）2=3,

（a+by=8,

要使ab取得最大值，则a,b同号，不妨取a>0,b>0,

由基本不等式，得

.•々64（等）2=：=2,当且仅当a=b=行时等号成立，

ab的最大值为2.

故选：A.

8.某钟楼的钟面部分是一个正方体，在该正方体的四个侧面分别有四个时钟，如果四个时钟都是准确的，那么从

零点开始到十二点的过程中，相邻两个面上的时针所成的角为45°的位置有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，结合实例分析空间两直线所成角即可得解.

【详解】取正方体ABC。—A4CR的相邻两个面它们的中心分别为是对应钟面圆

心，

0点时，两个钟面时针分别指向点及耳，显然OEIIO\E[,

直线。片,qC分别为正方体相邻两个正方形的面对角线所在直线，它们成60°的角,

即两个钟面时针分别指向点用，。时，两个时针所成的角为60°,

当两个钟面时针分别指向点£片时，有。尸,日片，因此当时针从0点转到3点的过程中,

两个时针所在直线所成的角从0°逐渐增大到90°,令成45°角的位置时针分别指向棱4片,与G上的点P,《,

如图，建立空间直角坐标系，令AB=2,则0(2,1,1),q(1,2』)，

谈EP=t,显然耳《=心则P(2,l+/,2),《(lT,2,2),O尸=(0J,1),OJ4=(T,0,1),

cos〈OP,0击〉=——-=cos45°=~^=

解得f=J应—1,

因此时针从0点转到3点的过程中，相邻两个面上的时针所成的角为45。的位置有1个，

同理时针从3点转到6点，6点转到9点，9点转到12点，两个时针所成的角为45。的位置各有1个,

所以从零点开始到十二点的过程中，相邻两个面上的时针所成的角为45。的位置有4个.

故选：D

9.已知函数〃x)=—^+」一，在下列结论中：

sinxcos%

①2兀是了(%)一个周期；

②/(%)的图象关于直线x对称;

③/(%)在区间[-5'0J上无最大值

正确结论的个数为()

A.OB.1C.2D.3

【答案】B

【分析】①②根据周期性和对称性满足的关系式判断；③利用换元法求函数了⑺在xe-?o的最值情况.

11

=2&f—：+2兀=0

7兀

sin

44

所以2兀不是“％)的一个周期，故①错误;

c°s；sm;2所以了⑴的图象不关于直线x对

----------1-------,X<—

cosxsinx2

称，故②错；

/x_11_sinx_cosx_2(sinx-cosx)(、

J(-^)­：।；~2=二72I兀।

smxcosxl-(sinx-cosx)l-(sinx-cosx),于"n卜

2

令t—sinx-cosx—A/2sin[x——,则x——]——,——,tE[——1),

212/\

了二匚”=口，在fe卜应，-1)上单调递增，所以无最大值，即函数"X)在xe-],0上无最大值，故③

正确.

故选：B.

10.设数列｛%｝,若存在常数上对任意小的正数S,总存在正整数%,当“2%时，\an-t\<s,则数列｛4｝为

收敛数列.下列关于收敛数列说法正确的是()

A.若等比数列｛%｝是收敛数列，则公比qe(0,1)

B.等差数列不可能是收敛数列

C.设公差不为0的等差数列｛%｝的前〃项和为s〃(s〃w0),则数列K一定是收敛数列

D.设数列｛«„｝的前n项和为Sn,满足％=1,S用=4+1,则数列｛a,J是收敛数列

【答案】C

【分析】根据题中定义，结合特殊的等差数列和等比数列、数列的周期性、等差数列前九项和公式逐一判断即可.

【详解】当数列为常数列（不为零），因此该数列是等差数列又是等比数列，显然该数列是收敛数列，因此选项AB

不正确；

选项C：设等差数列｛4｝的公差为

J_=______I______1

所以S1,八,，当dwO时，当"一中冷时，—>0,

n

nax+—n（n-l）aSn

所以数列〈《一定是收敛数列，因此本选项正确；

Sn.

选项D：因为4=1,Sn+1=an+1,所以可得出=1，

当”22,“eN*时，由5用=%+lnS,+1,两式相减，得。用=-,

所以%=0,4=-L%=-1，&=0，%=1，所以该数列的周期为6,该数列不可能是收敛数列，因此本选项说法

不正确，

故选：C

【点睛】关键点睛：利用数列的周期性、常数列的性质是解题的关键.

二.填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11.函数）的定义域为_________（用区间表示）.

x2-l

【答案】［o,i）（L”）##（L”）3°，I）

【分析】根据定义域的定义即可列不等式求解.

V-i^o八

【详解】由题意可得nx»0且xwl,

%>0

故定义域为：［0,1）。,包）

12.二项式（«-2成的展开式中常数项为.（用数字作答）

X

【答案】60

【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出x的指数为0的项即得.

【详解】二项式（«—j）6的展开式的通项公式ZM=G（J，6f1―2）=（—2）'，

3

由3—耳厂=0,得r=2,则4=（—2>C：=4x15=60,

所以二项式（«-2）6的展开式中常数项为60.

X

故答案为：60

13.已知抛物线：y2=2px(p>0),焦点为F，若A3在抛物线上且在第一象限，|人刊=2,忸刊=4,|AB|=3,

求直线AB的斜率为.

【答案】更

【分析】设A3的斜率为左，根据抛物线的定义以及弦长公式建立方程即可求解.

【详解】设4斗％),3(々,％)则由于的斜率存在，设的斜率为左.A,B,

都在尤轴上方，由题意知左>0,

由抛物线定义防

2,由弦长公式AB=^/i1记|

+—=

所以AB=J1+k1%一4|=3nJl+k。=^=>k=

故答案为：为

14.正项数列｛4｝共有9项，前3项成等差，后7项成等比，“i=l,a*=12,a*=192,则%的值为

；Q]+%++〃9的值为•

【答案】①.48②.384

【分析】设出正项数列｛%｝成等比数列的后7项的公比，求出。7及。3，。2,再分组求和即得.

【详解】正项数列｛4｝成等比数列的后7项的首项为火，设公比为4,则/=，=16,而q>0,解得

q=2,

于是。3=乌=3,%=。5/=48,显然出='+%=2,

Q2

3(1—27)

所以〃]+2+/++%=3H—-————384.

故答案为：48；384

15.已知函数/(x)=sin10x+；](0<<y<3)的图象的一条对称轴为直线》=1，f'(x)为函数/(%)的导函

数，函数g(x)=/(x)+/'(x),给出以下结论：①直线x=巴是g(x)图象的一条对称轴；②g(x)的最小正周

8

期为兀；③g(x)的最大值为④点1,0是g(x)图象的一个对称中心.则所有正确结论的序号是

【答案】②③

【分析】根据题意可得++：/eZ,再结合0<。<3,可求出。=2,从而得出函数八%)的解析式为

o42

1

/(x)=sin12x+：J,进而得到8(司=5呵2%+()+20)512%+‘="；3(2%+9),即可判断各项的真假.

【详解】因为〃x)=sin0X+；的图象的一条对称轴为直线》=巴，

k4J8

7C7C7C

所以一coH——kjiH—，k£Z,所以G=8k+2,k£Z,

842

又0</〈3,所以①=2,所以/(x)=sin[2x+：),所以尸(x)=2cos12%+：

所以g(%)=sin121+：+2cos—sin2x

2

=y/5cos(2x+0)tan(p=—

TT7Lg，"且g［曰］，一"且g［曰］，。)

可取o<0<5，显然夕74

易知g(x)的最大值为石，最小正周期为兀，故①④错误，②③正确.

故答案为：②③.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握复合函数的求导，从而得解.

三.解答题(共5小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.)

16.如图，在三棱柱ABC—A/1cl中，.A5C为等边三角形，四边形3CG片是边长为2的正方形，D为AB

中点，且\D=下.

(1)求证:era平面；

九六|5,P|

(2)已知点尸在线段及C上，且直线AP与平面所成角的正弦值为包，求号的值.

【答案】（1）证明见解析;

⑵I-

【分析】（1）由勾股定理可得AALAD,再利用线面垂直的性质、判定推理即得.

（2）建立空间直角坐标系，结合线面角的向量求法求出点P位置即可.

【小问1详解】

在三棱柱ABC—中，AAi=BBl=2,AD=-AB=-BC=l,AlD=45,

显然4加+其与=5=AQ2,则AA_LAD,又515ABCRBI12,

于是又ADBC=B,AD,BCu平面ABC,

因此AAL平面ABC,又CE>U平面ABC,即有CD，"，

在正JRC中，。为A5中点，则CDLA5,又ABi叫=A,A3,u平面AB与A,

所以CD，平面ABB】

【小问2详解】

取中点为。，与G中点为。，则OA1BC,OQA.BC,

由（1）知，[AJ,平面ABC,且OAu平面ABC,则。4，A4],又B、BIRA,

有OA_LBB「BBiCBC=B,55],BCu平面5CC4,于是。4,平面BCC4,04,06,0。两两垂直

以。为坐标原点，。8,。。,。4的方向为X轴、y轴、Z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

1h

则。(0,0,0),A(0,0,6),A(0,2,6),C(-l,0,0),D(-,0,事),B}(1,2,0)，

CD=(1,0,岑),*=(1,2,若)，。用=(2,2,0),AC=(—1,0,-石)，

.n-CD=—x+z=0.1-

设平面A。。的法向量为〃=(九,y,z),则＜22,令1=1,得〃=(1,1,一代)，

n-G4t=%+2y+0z=0

设CP=2CB[=(22,22,0),2e[0,1],则AP=AC+CP=AC+=(22-1,24—百)，

由直线AP与平面A。。所成角的正弦值为差，得

,\I\AP-n\|2A-1+2A+3|2小

|cos/(AAPP,n)|=----------=/।占~~—=-----,

\AP\\n\J(2X-I)2+(22)2+3-V55

即|2/l+l|=J(2/l—l)2+(2/l)2+3,整理得4万—82+3=0,而解得X=

\B.P\1

即点P为线段耳。的中点，所以房i=

17.在ABC中，角A,5c的对边分别为"c,acosB+^^-6=c.

(1)求A的大小；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件选择一个作为已知，使得.ABC存在且唯一确定，求边上高线的

长.

条件①：cosB=之亚^,6=1；条件②：a—2,c—2A/3；条件③：b=3,c=A/3.

14

注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.

7T

【答案】(1)

6

(2)条件①：叵;条件③：

72

【分析】(1)利用正弦定理，边化角，再利用三角恒等变换求解即可.

(2)根据三角形全等条件可知①③满足条件，条件②由余弦定理可得力有两解，不满足条件，条件①：根据

sinC=sin(A+3),结合等面积求解即可；条件③：利用余弦定理结合等面积求解即可.

【小问1详解】

J3

在中因为acosBn---b=c，

2

由正弦定理得sinAcossinB=sinC，

2

所以sinAcos3+sin3=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,即4sin5=sinBcosA,

又因为A5£(0,»),sinB^O,所以cosA=且，A=-

26

【小问2详解】

设5c边上的高为/?,

条件①：因为cos3=,所以Be（0,二）,sinB=，

14214

所以0<A+5〈不，根据三角形全等（角角边）可知，ABC存在且唯一确定.

所以sinC=sin(A+B)=sinAcos3+sin3cosA=-----，

则l/za=』absinC,解得〃=且，即BC边上的高为变.

2277

RIdCU,z..b+c~-Qb+12—9

条件②：由余弦定理得cosA=--------------,n即n——=-----产,

2bc24j3b

解得〃=2或4,此时满足条件的.ABC的三角形有两个，条件②不符合题意.

条件③：根据三角形全等（边角边）可得"。存在且唯一确定，

由余弦定理得cos4="十厂—矿，即走=9+3］矿,解得。=退，

2bc26百

1133

则一/za=—bcsinA,解得力二一，即5C边上的高为一.

2222

18.根据《国家学生体质健康标准》,高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）

立定跳远单项等级高三男生高三女生

优秀260及以上194及以上

良好245~259180-193

及格205-244150-179

不及格204及以下149及以下

从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到1cm）：

男生180205213220235245250258261270275280

女生148160162169172184195196196197208220

假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立.

（1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；

（2）从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设X为这3人中立定跳远单项等级为

优秀的人数，估计X的数学期望E(x)；

(3)从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件A,“这3

人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件8.判断A与8是否相互独立.(结论不要求证明)

【答案】(1),

3

⑵-

6

(3)A与8相互独立

【分析】(1)样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4,获得优秀的女生人数为6,计算频率得到优秀率

的估计值；

(2)由题设，X的所有可能取值为0，L2,3.算出对应概率的估计值，得到X的数学期望的估计值；

(3)利用两个事件相互独立的定义判断即可.

【小问1详解】

样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4，获得优秀的女生人数为6,

所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为之=!；估计高三女生立定跳远单项的优秀率为二=4.

123122

【小问2详解】

由题设，X的所有可能取值为。J2,3.

P(X=0)估计为($2xg=|；

P(X=1)估计为C；xgxgxg+(：)2xg=1；

2

P(x=2)估计4xlx|xl+(l)xl=A;

P(X=3)估计

JZ1o

24s17

估计X的数学期望石(X)=0x—+1义一+2x—+3x—=—.

v79918186

【小问3详解】

P(A)估计为

P(3)估计为

P(AB)估计为=-,

32y2)8

尸(AB)=P(A)P(3),所以A与B相互独立.

19.已知椭圆C：二+4=1（。〉。〉0）,长轴长为4,离心率是也

a2b②2

（I）求椭圆C的标准方程;

（2）斜率为左（左>0）且不过原点直线/交椭圆C于A,2两点，线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点

G,交直线为=-4于点。若2ToD||o目，证明：直线/经过定点，并求出定点坐标.

【答案】（1）—+/=1；

4-

（2）证明见解析，（—1,0）.

【分析】（1）根据给定条件，求出即可求出椭圆C的标准方程.

（2）设直线/的方程为：y^kx+t,k>0,联立直线与椭圆得交点坐标，再结合已知求出f的值即可得结论.

【小问1详解】

22

由椭圆C:=+与=l（a〉6〉0）的长轴长为4,得2。=4,即a=2,

ab

由离心率是立，得J"—/=,4—/=昱，解得/；=1,

2a22

尤2

所以椭圆C的标准方程为—+/=1.

4-

【小问2详解】

设直线/的方程为：y^kx+t,k>0,t^0,

y1kx消去y并整理得：(4k2+l)x2+8to+4z2-4=0,

由<

x+4y~=4

2

A=64k2t2-16（4Z:+l）（r-1）>0,即4储+1-r>0，设4（尤1，%）,5（乙,〉2），

8左彳Dt4ktt

则石+"一诉p/+%—初+”而，于是点E（一诉pG"，

直线的方程为丁=—工x,则点。（―4,1），

4kk

1°

y-x16k2116421

由<-4k，解得/=与，,/=__,设点6(%,如)，贝4君=

2:2/442+―4^+1G4左？+1'-4左2+1'

x+4y=4

显然点瓦G,。的纵坐标力，为，为同号，由0目得，yl=yD-yE,

因此一—=l•一J,解得/=左，此时A>0,直线/：,=左（％+1）过定点（―L0）,

4f+lk4V+1

所以直线/经过定点，该定点坐标为(-1,0).

x=-4

八一皿”、lnx+«

20.已知函数/(%)=------.

x+1

(1)若/'。)=；，求。的值；

(2)当。>2时，

①求证：“无)有唯一的极值点均；

②记/(1)的零点为与,是否存在。使得土We??说明理由.

%

【答案】(1)0=1.

(2)①证明见解析，②不存在，详细见解析.

【分析】(1)求得导函数，由/"(I)=；,代入计算即可.

⑵①求得,⑴,+7nx-a设g(x)=i+_L—mx—。，由函数性质可知g(x)在(0,+oo)上单调递减.进而由

g(e-a)=l+efl>0,g(l)=2-a<0,可得f(x)=0有(0,+oo)有唯一解，进而利用导数可判断,⑺有唯一的极

值点A.

②由题意，可得与=一,假设存在°,使上We2,进而可知尸<%We?：由g(x)在(0,+oo)单调递减,

%

g(e-a)>0,则g(e2Y)<0,求得。42,与已知矛盾，则假设错误.

【小问1详解】

因为=墨二/>°'所以1----Inx-a

2-a1

因为/"")=--=->所以。=L

44

【小问2详解】

①/⑺的定义域是(0,+8),

1~\---Inx—a

ra)=-y一—,

(x+1)-

令/'(%)=。,，则1+,一Inx-a=0.

x

设80)=1+工一111工一。,因为丁=工，，=一111%在(0,+00)上单调递减，

XX

所以g(x)在(0,+8)上单调递减.

因为g(e-°)=l+e">0,g(l)=2—a<0,所以g(x)在(0,+oo)上有唯一的零点，|

所以/'(%)=0有(0,+8)有唯一解，不妨设为西,西e(e-fl,l).

/(x)与/(元)的情况如下，

X(Xp+oo)

(0,王)X1

f,M+