2022-2023学年河南省焦作市重点中学高一（下）期末数学试卷

2022-2023学年河南省焦作市重点中学高一(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合4={%|%-2>1},B={x\x>a],若则a的取值范围为()

A.(-8,3)B.(-8,3]C.(3,+8)D.[3,+oo)

-1o7

2.已知a>0,b>0,c>1,a+2b=2,则弓+$c+喜的最小值为()

A.|B.2C.6D.y

3.已知|五|=8,E为单位向量，向量五与向量E的夹角为与，则向量方在向量左上的投影向量

为()

A.4<7eB.-4<7eC.4<7D.

4.已知函数/(久)=/。9¥©产一2«尸—2],则满足f(x)<0的％的取值范围是()

A.(-8,0)B.(0,+8)C.(-8,—1)D.(-1,4-00)

5.已知函数/(x)=已对'：；：，若函数g(“)=/(%)-\x2-恰有3个零点，则实数k的

取值范围是()

A.(-00,-1)u(1,4-00)B.(1,+8)

C.(-00,-1]U(1,+8)D.(-8,—1)U[1,4-00)

6.某高中学校学生人数和近视情况分别如图①和图②所示，为了解该学校学生近视形成原

因，在近视的学生中按年级用分层抽样的方法抽取部分学生进行问卷调查，已知抽取到的高

中一年级的学生36人，则抽取到的高三学生数为()

D.90

7.已知某药店只有4,B,C三种不同品牌的N95口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品

牌的N95口罩，若甲、乙买A品牌口罩的概率分别是0.2,0.3,买B品牌口罩的概率分别为0.5,

0.4,则甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为()

A.0.7B.0.65C.0.35D.0.26

8.将函数f(x)=2sinxcosx+15cos2x的图象向右平移］个单位，得到g(x)的图象，再将

g(x)图象上的所有点的横坐标变成原来的看得到的图象，则下列说法正确的个数是()

①函数/i(x)的最小正周期为2兀；

②©,0)是函数h(x)图象的一个对称中心；

③函数九(为图象的一个对称轴方程为x=

④函数无⑺在区间［一第上单调递增

A.1B.2C.3D.4

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知函数/。)=：0,若g(x)=/(/(%))+1，则下列说法正确的是()

A.当Q>0时，g(x)有4个零点B.当Q>0时，g(%)有5个零点

C.当QV0时，g(x)有1个零点D.当avO时，g(%)有2个零点

10.已知4(一2,0),8(2,0),若圆C：(久一2。-1)2+0—2。-2)2=1上存在点“满足拓？.

雨=0，则实数a可以是()

A.—1B.-，C.0D.1

11.已知a,0,Y6(0,,sina4-siny=sin/?,cosfi4-cosy=cosa,则下列说法正确的是

()

A.cos—a)=—B.cos(0—a)=——

C.j5-a=D.p-a=-^

12.如图，已知点。为正六边形ABCDEF的中心，下列结论中正确的是()

A.OA+OC+OB=0

B.(OA+AF)BC=OA-BC+AFBC

C.（OA-AF）•（EF-DC）=0

D.|OF+OD|=|FA+OD-CB|

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知函数/'（X）=|峭-1|-ax有两个零点，则实数a的取值范围为一.

14.一个志愿者组织有男、女成员84人.其中48名男成员中，45岁以上的有12人；36名女

成员中，45岁以上的有18人.根据需要，按照年龄进行分层抽样，要从这个志愿者组织成员

中抽取28人开展活动，则45岁以上的成员应抽取人.

15.已知函数/（%）=sin（3x+号-9）（3>04€（一泉今）的最小正周期为4兀，将函数f（x）

的图象向左平移今个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的家纵坐标不变），

所得函数图象的一条对称轴方程是x=9则W的值为.

16.窗，古时亦称为脚，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意

蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓4BCD是边

长为1米的正方形，内嵌一个小正方形EFGH,且E,F,G,H分别是4F,BG,CH,DE的中

点,则数.丽的值为.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

己知向量而，记不共线，且0M=3沅—2元,ON=m-3n<OQ=2m+An-

（1）用隹，五表示而7；

（2）若丽〃的，求;I的值.

18.（本小题12.0分）

己知二次函数g（x）=ax2+2ax+b的图象开口向上，且在区间［-2,2］上的最小值为0和最大

值为9.

(1)求a,b的值；

(2)若k>0,且kHl,函数g(H)在［一1,1］上有最大值9,求k的值.

19.(本小题12.0分)

某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩,

统计结果如表：

第一次第二次第三次第四次第五次

甲的成绩(分)8085719287

乙的成绩(分)9076759282

(1)若从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认为选谁合适？请说明理由.

(2)若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：

方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰.

方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被润

汰.

已知学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的

可能性更大？并说明理由.

20.(本小题12.0分)

如图，在AOAB中，点P为线段AB上的一个动点(不包含端点)，且满足而=4两.

⑴若;1=",用向量万?，制表示而;

(2)若|初|=2，\0B\=3，且乙4。8=60。，求而•荏的取值范围.

21.(本小题12.0分)

一年之计在于春，春天正是播种的好季节.小林的爷爷对自己的一块正方形菜园做了一些计划

.如图，ABCC是边长为80米的正方形菜园，扇形AMN区域计划种植花生，矩形ECFG区域计

划种植蔬菜，其余区域计划种植西瓜.E,F分别在BC,CD上，G在弧MN上，AM=60米，设

矩形ECFG的面积为S(单位：平方米).

(1)若NG4M=。，请写出S(单位：平方米)关于。的函数关系式;

(2)求S的最小值.

22.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=2-募五(a>0且a*1)为定义在R上的奇函数.

(1)判断并证明/(x)的单调性；

2

(2)若函数g(x)=log如-mlog2x+m,xG.[2,4],对于任意修€[2,4],总存在的6[—1,1],

使得gOi)=/(%2)成立，求血的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因为4={x|x>3},B={x\x>a})且AUB,

所以a<3.

故选：B.

利用集合的子集关系求解.

本题主要考查集合的包含关系，属于基础题.

2.【答案】D

1助19

+一+>+

【解析】解：-+1=1(-+1)(a+26)---=-

2(5Q2(52

当且仅当a=b=机寸等号成立，(应用基本不等式时注意等号成立的条件)

所以(*加+作武(-1)+告+江2否吟+拉会

'ab'c-12''c-12\2C-122

当且仅当弩2=六，即c=|Sa=b=|时，等号成立，

故+1)c+士马［的最小值为争.

故选：D.

基本不等式乘1法，构造法解决即可.

本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题.

3.【答案】8

【解析】解：E为单位向量，则|3|=1,

向量方与向量3的夹角为)，

则向量五在向量E上的投影向量为|砧皿。亩=8cos-e=-4^2e.

故选:B.

根据投影向量定义计算即可.

本题主要考查投影向量的公式，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：f(x)=，。唱吗产-2.(|r-2]<0,

则：，。智《产一2・《尸—2]<3>，

则：宿户一2.(y_2]>1.

设？=t>0，

则：t2—2t—3>0,

解得：£>3或£〈-1,

故：1>3，

解得：x<-1.

故不等式的解集为：XG(—00,—1).

故选：C.

直接不对数不等式进行变换，转化为指数不等式求出结果.

本题考查的知识要点：对数和指数不等式的解法.

5.【答案】A

【解析】解：由题意得，方程停=|%-刈有三个不等的实数根.

而"=酱=｛邺才

分别作出函数y=蕾和y=|x-k|的图象，

丫丫*

当k=1时,y=|x-l|

当x21时，y=^=lnx,对其求导得y'=工，所以yL=i=1,

Mlx

所以曲线y=在点(1,0)的切线方程为y=x-1,

如图，直线y=%—1与曲线y=在点(1,0)相切.

所以k的取值范围是(一8,-1)u(1,+8).

故选：A.

函数g(x)=/(%)-\x2-kx|恰有3个零点，等价于方程曹=|%-W有三个不等的实数根.分别

作出函数旷=零和y=氏一刈的图象，结合图象即可求解.

本题考查函数的零点的概念，化归转化思想，数形结合思想，属中档题.

6.【答案】D

【解析】解：高一的近视学生人数为：1800x10%=180,

高二的近视学生人数为：1600x20%=320,

高三的近视学生人数为：1500x30%=450,

设抽取的高三学生人数为a,则盖=总，

loU45U

解得a=90.

故选：D.

先求出高一的近视学生人数为180,高三的近视学生人数为450,再由分层抽样的性质列出方程,

能求出抽取到的高三学生数.

本题考查分层抽样的运算，考查扇形统计图、条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，

是基础题.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考

查运算求解能力，是基础题.

利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解.

【解答】

解：甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的N95口罩，

甲、乙买4品牌口罩的概率分别是0.2,0.3,

买B品牌口罩的概率分别为0.5,0.4,

则甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为：

P=0.2x0.3+0.5x0.44-(1-0.2-0.5)(1-0.3-0.4)=0.35.

故选：C.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换，正弦型函

数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

直接利用三角函数的关系式的变换和函数图象的平移变换和伸缩变换，进一步利用三角函数的性

质的应用判断①②③④的结论.

【解答】

解：函数/'(x)=2sinxcosx+y/~3cos2x=sin2x+yj_3cos2x—2sin(2x+力的图象向右平移g个

单位，得到g(x)=2sin(2x-今的图象,

再将函数g(x)的图象上的所有点的横坐标变成原来的：，得到的函数关系式无。)=2s讥(4x-9；

对于①函数九0)的最小正周期为多=》故①错误；

对于②当X=飘',帖)=2sin(y-1)=0,故G，0)是函数妙)图象的一个对称中心,故②正确；

对于③令4X*=/OT+其kez),整理得x=^+|^(kez),函数依)图象的对称轴方程不为

x=^,故③错误；

对于④由于*，所以4%-*［旧帝，故函数Mx)在区间［一£*上单调递增，故④

正确.

故选8.

9.【答案】AC

【解析】解：令/'(%)=3则/'(t)+1=0,当a*。时，由at+1=0得：t=-：；由一|log3tl+1=0

得：£=3或1=米

对于当时，t=--<符合题意；

48,a>0a0,

则g(x)的零点个数等价于/(%)与£=-；、t=3和£=：的交点个数,

作出f(x)图象如图所示，

由图象可知：/(X)与t=-：、t=3和t=g共有4个交点，即g(x)有4个零点，A正确，B错误;

对于CD,当a<0时，t=-1>0,不合题意，舍去；

a

则g(x)的零点个数等价于f(x)与t=3和1=：的交点个数，

作出/(x)图象如图所示，

由图象可知：f(x)与t=3和t=：有且仅有1个交点，即g(x)有且仅有1个零点，C正确，。错误.

故选：AC.

令f(%)=£,由f(t)+1=0可得t的不同取值，分。>0和Q<0讨论，将问题转化为/(%)与t的不

同取值的交点个数问题，利用数形结合的方式可求得结果.

本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题.

10.【答案】ABC

【解析】解：已知4(—2,0),8(2,0),

又圆C：(%-2a-I)2+⑶-2a-2)2=1上存在点M满足前才・丽=0，

则以4B为直径的圆。：/+丫2=4与圆c有公共点，

又圆C的圆心坐标为(2a+1,2a+2),半径为1,

则］<J(2a++(2a+2尸<3,

解得一吗DWa<-1或一;Wa<

故选：ABC.

由平面向量数量积的运算，结合圆与圆的位置关系求解即可.

本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了圆与圆的位置关系，属中档题.

11.【答案】AC

【解析】ft?：va,氏/G(O^),

SLsina+siny=sin(3,cosp+cosy=cosa,

:.sina-sinp=-siny<0,cosa-cosp=cosy>0,

/.0<a</?<^,①

又(sina-sinpY+(cosa-cosp)2=(-siny)2+(cosy)2=1,

・•・2—2(cosacosp+sinasinp)=1,

/.cos(^3—a)=cos(a-/?)=?,(2)

由①②得夕-。=全

故选：AC.

依题意可得(sina-sinp)2+(cosa-cosp)2=(-siny)2+(cosy)2=1=>cos(£—a)=cos(a-

0)=I，由sina—sin13=-siny<0,cosa-cos夕=cosy>0=>0<a</?<^,从而可得答案.

本题考查两角和与差的三角函数，考查转化与化归思想及运算能力，属于中档题.

12.【答案】BC

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的数量积，平面向量的线性运算，属于基础题.

由平面向量数量积及平面向量的线性运算结合正六边形的性质，逐一判断即可得解.

【解答】

解：对于选项A,由向量加法的平行四边形法则可得：而+元+而=(OA+OC)+OB=20B，

即选项A错误；

对于选项B,由向量数量积的运算可得：(瓦？+方).能=函.而+方.能，即选项B正确；

对于选项C,(0A-AFy(EF-DC>)=(0A-AF>)-(EF-'Ed)=(0A-AF')-0F=OA-OF-

F2-FO=\0A\■\OF\cos/.AOF-\FA\■[FO\cos^OFA=0,即选项C正确；

对于选项。，由向量加法的平行四边形法则可得：OF+0D=0E<FA+OD-CB=~FA+AO+

前=而，又|灰|力|而I，即选项。错误.

故选8c.

13.【答案】(1,+8)u(—1,0)

【解析】解：/'(X)=|e*—1|一ax有两个零点,

|ex-1|=ax有两个根，即图像有两个交点，

①a>0时，设g(x)=ex-1,g'(x)=ex,

若有两个交点，则a>g'(0)=1；

②a=0时，只有一个交点；

③a<0时，设h(x)=l-ex,h'(x)=一蜻，

若有两个交点，a>/i'(0)=-l,

综上可得，实数a的取值范围为(1,+8)u(—1,0).

故答案为:(1,+°°)U(-1,0).

零点问题可以转为为图象交点问题，然后讨论a的取值范围即可.

本题考查函数零点与方程根的关系，数形结合是解题关键，属于中档题.

14.【答案】10

【解析】

【分析】

本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题.

根据分层抽样原理计算抽取的人数即可.

【解答】

解：根据分层抽样原理知，45岁以上的成员应抽取28x与竺=10(人).

o4

故答案为：10.

15.【答案】0

【解析】解：•・"(%)的最小正周期为4亢,

•••T=—=4冗，即3=M=:，

0)47r2

•••f(x)=sin(/x+A").

将/(乃的图象向左平移着个单位长度，所得图象对应的函数解析式为、=$小®(%+»+%—3]=

sin(1x+^-(p),

再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的家纵坐标不变)，所得图象对应的函数解析式为y=

sin(|x+^-<p),

•••图象的一条对称轴方程是x=I，

37T7T■7Tj_r-f

x—4-——=kn+—,kWZ,

/VJL

得乎=—/CTT,kEZ,又0e(—

・•・当k=0时,0=0,

故答案为：0.

根据函数的周期求出3,利用函数图象变换求出函数解析式，利用函数的对称性进行求解即可.

本题主要考查三角函数的图像和性质，根据函数的周期以及图象变换关系求出函数的解析式，利

用函数的对称性进行求解是解决本题的关键，是中档题.

16.【答案】0

【解析】解：••・窗户的轮廓4BCD是边长为1米的正方形，

内嵌一个小正方形EFGH,且E,F,G,H分别是4F,BG,CH,DE的中点；

设小正方形EFGH的边长为2,则EF=GF=1；

.-.AG-DF=(AF+FGy(DE+EF')=AF-DE+AF-EF+FG-DE+TG-EF=AF-EF+'FG-

DE=2x1xcosO°+2x1xcosl80°=0；

故答案为：0.

直接根据向量的三角形法则以及其数量积整理即可求出结论

本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力.

17.【答案】ft?：(l)MA?=ON-OM=m-3n-(3m-2n)=-2m-n.

(2)因为丽7/丽，丽=3m-2n,OQ=2m+Xri，

所以文€R,而7=t丽，BP37n-2n=t(2ni+An),

又向量记，讨不共线，所以

解得t=|〃=—$即;I的值为一，

［解析】(1)根据平面向量减法运算可直接得到结果；

(2)由向量共线可直接构造方程求得结果.

本题主要考查向量共线的性质，属于基础题.

18.【答案】解：(1)二次函数g(x)=Q/+2Q%+力的对称轴为％=-1,且开口向上，

，函数g(x)在区间［一2,-1］上单调递减，在［一1,2］上单调递增，

・,・当x=—1时，g(%)mE=a-2Q+b=0,:,a=b,

・,・当％=2时，g{x}max=4Q+4a+b=9,・•・8Q+b=9,

••a=b=1.

(2)由⑴知,g(j)=—+2/+1,

・・・g(d)=(Y)2+2M+l,

设t=kx,则g(t)=严+2t+1,

①当k>l时，闺，

K

•・,g(t)=尸+2t+1在tG4,网上为增函数,

K

••g^max=g(k)=fc2+2fc+1=9,Afc24-2fc-8=0,

:.k=2或k=-4,•・•k>1,：.k=2.

②当0<k<l时，

g(t)=t2+2t+1在tG上为增函数，

•1•gC^max=g@)=j+"1=9,8/f2-2k-1=0,

k——《或k=一0</c<1,••k—

242

综上所述，:k=2或k=

【解析】(1)二次函数g(x)=a/+2ax+b的对称轴为x=-1,且开口向上，可求函数在［-2,2］的

最值.

(2)求出g(M)=(H)2+2kx+i,设』=kx,得出g(t)=t2+2t+l,分类讨论k>1和0<fc<1

时t的范围，利用单调性求出.

本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，属中档题.

19.【答案】解：(1)解法一：甲的平均成绩为兀=把3号乎理=83,

乙的平均成绩为焉=90+76+:+92+82=

甲的成绩方差S"—x)?=50.8>

乙的成绩方差为受="看=式/—x)2—48.8,

由于五=看，s：>s%乙的成绩较稳定，派乙参赛比较合适，故选乙合适.

解法二：派甲参赛比较合适，理由如下：

从统计的角度看，甲获得85以上(含85分)的概率A=|,

乙获得8(5分)以上(含85分)的概率P2=I.

因为Pi>P2故派甲参赛比较合适，

(2)5道备选题中学生乙会的3道分别记为a,b,c,不会的2道分别记为E,F.

方案一：学生乙从5道备选题中任意抽出1道的结果有：a,b,c,E,F共5种，抽中会的备选题的

结果有a,b,c,共3种.

所以学生乙可参加复赛的概率P1=

方案二：学生甲从5道备选题中任意抽出3道的结果有：

(见瓦c),(a,b,E),(a,b,F),(a,c,E),(a,c,F),(a,&F),(瓦c,E),(b,c,F),(b,E,F),(c,E,F),共

10种，

抽中至少2道会的备选题的结果有：

(a,b,c),(a,b,E),(a,b,F),(a,c,F),(a,ctF),(b,c,E),(瓦c,F)共7种，

所以学生乙可参加复赛的概率P2=看

因为Pl<P2,所以学生乙选方案二进入复赛的可能性更大.

【解析】(1)法一：先分别求出甲、乙的平均成绩、方差，得到甲、乙的平均成绩相同，乙的方差

较小，从而乙的成绩较稳定，派乙参赛比较合适，故选乙合适.

法二：从统计的角度看，甲获得85以上(含85分)的概率A=|,乙获得8(5分)以上(含85分)的概

率22=热由P】>P2,得到派甲参赛比较合适，

(2)5道备选题中学生乙会的3道分别记为a,b,c,不会的2道分别记为E,F.方案一求出学生乙可

参加复赛的概率P1=卷.方案二求出以学生乙可参加复赛的概率P2=看，由尸1<22,得到学生乙选

方案二进入复赛的可能性更大.

本题考查平均数、方差、概率的求法及应用，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解

能力，是基础题.

20.【答案】解：(1)若;1=%则而而，.•.而一反=：(而一硒，

《丽=而+3砒则赤样就+；南

(2)vAP=4而，

.-.'OP-OA=A(OB-OPy•••^1+A)OP=OA+AOB>

•••丽=士成+含循

■■\OA\=2,\OB\=3,S.Z.AOB=60°：.OA-OB=\OA\■\OB|cos60°=3,

.••丽,而=（占而+』方）•（而-耐）=一占而2+金方,（鼻一鼻）耐而

-4+9A+3-3A6A-1,7

=---------=----Q------,

1+A1+A1+A

7

vA>0,:•6—.6（—1,6）,

1+X

.-.OP-荏的取值范围为（-1,6）.

【解析】（1）根据向量的线性运算法则即可求出.

（2）根据向量的加减的儿何意义，得到加•荏=6-工，即可求出范围.

1+A

本题考点是向量在几何中的应用，综合考查了向量三角形法则，向量的线性运算，向量的数量积

的运算，属于中档题.

21.【答案】解：（1）延长FG交AB于H,

则GH=60sin0米，AH=60cos。米，

则GE=HB=(80-60cos。)米,FG=(80-60s讥。)米，

:.S—(80—6Ocos0)(8O—60sin&)=400(16—12(sin0+cos。)+9sin8cos8](0<0<.

(2)由(1)得：S=400[16-12(sin6+cos9)+9s出。cos8](0<6<^),

令t=sin6+cosd,贝Usin9cos0=t=sind+cos9=V_2sin(0+[)(0<9<^),

•.te[1,-/^].

Q/-2_Q4

•••S=400(16-12t+=1800(t-+1400-

t6

.•・当t=抖，Smin=1400,即当sin。+cos。=g时，矩形ECFG面积的最小值为1400平方米.

【解析】（1）延长FG交4B于77,可用。表示出HB,FG,由此可得S；

（2）令土=5讥。+©”。，将S表示为关于t的二次函数的形式，由二次函数最值的求法可求得结果.

本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题.

22.【答案】解：(1)数〃x)在R上单调递增，证明如下：

由题意函数/(x)=2-/％(a>0且a*1)为定义在R上的奇函数，

得：〃0)=2-急=0,解得a=3.

所以/(无)=2-君丁2-*，

验证：/(-%)=2-金=2-黑，则/(-x)+/(x)=2-需+2-*=4-4=0，

即/(—x)=-/(x),即/(x)=2—普为奇函数；

任取%1，%2ER，且<%2，

nillfrA\-94,4_444(3"-3攵)

人UJ一八*2)一/一PT71一?/+3^+1-3^+1-FT+1-(3