2023初中函数与几何题解析(共25题)

初中函数与几何题解析（25题）

一、填空题

1.（2023.四川眉山•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系，中，点8的坐标为（-8,6）,过点8分别作

x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A,直线y=-2x-6与A8交于点D与y轴交于点E.动点M在线

段BC上，动点N在直线y=-2x-6上，若AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标

为________

【答案】例（一8,6）或用,8。）

【分析】如图，由SMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，可得N在以AM为直径的圆H上，

MN=AN,可得N是圆H与直线了=-2*-6的交点，当重合时，符合题意，可得M（-8,6）,当N在40

的上方时,，如图，过N作轴于J,延长MB交BJ于K,则NNZ4=47KN=90。，JK=AB=8,证

睨：.MNK”.NAJ,设N（x,-2x-6）,可得MK=N/=-x,A7V=A7=-2x-6-6=-2x-12,而K/=AB=8,

则-2x-12-x=8,再解方程可得答案.

【详解】解：如图，

是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，

二N在以AM为直径的圆〃上，MN=AN,

N是圆H与直线y=-2x-6的交点，

”（-8,6）,则H（-4,3）,

:.MH=AH=NH=4,符合题意，

M（-8,6）,

当N在AM的上方时，如图，过N作W_Ly轴于J,延长MB交BJ于K,则NN/A=NMKN=90。,

JK=AB=8,

,:AN=MN,ZAMW=90°,

JZMVK+ZAA（/=90。,

JZMNK=ANAJ,

:•二MNKMLNAJ,设N（x,—2x—6）,

:・MK=NJ=—x,KN=AJ=-2x-6-6=-2x-l2,

而AV=AB=8,

••—2x—12—x=8,

解得：户-手20，则—2元-6=?22

22202

:・CM=CK-MK=-------=-,

333

-8,|;

综上：M（—8,6）或加18,|）.

故答案为：/（-8,6）或例［-8,|）.

【点睛】本题考查的是坐标与图形，-次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定

与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键.

2.（2023・四川自贡・统考中考真题）如图，直线y=-gx+2与x轴，y轴分别交于A,B两点，点。是线段

AB上一动点，点〃是直线y=-gx+2上的一动点，动点E（m,0）,F（m+3,0）,连接BE,DF,HD.当

3E+。尸取最小值时，33〃+5。”的最小值是

【分析】作出点。（3，-2）,作CDLAB于点。，交x轴于点F,此时8E+D尸的最小值为CO的长，利用解

直角三角形求得尸利用待定系数法求得直线C。的解析式，联立即可求得点。的坐标，过点。作

。6，，轴于点6,此时38"+5。”的最小值是5OG的长，据此求解即可.

【详解】解：•••直线y=-§x+2与x轴，y轴分别交于4,8两点,

.•.8(0,2),4(6,0),

作点8关于x轴的对称点9(0，-2),把点B'向右平移3个单位得到C(3,-2),

作CZ)_L43于点O,交x轴于点F,过点夕作交x轴于点E,则四边形EFCB'是平行四边形,

此时，BE=BE=CF,

：.BE+DE=CF+DF=C£）有最小值,

作CPLx轴于点P,

则CP=2,OP=3,

"：NCFP=ZAFD,

：.NFCP=NFAD,

tanZ.FCP=tanZ.FAD,

.PFOBPF2

••---=---,即----=一

PCOA26

=则嗒，o），

设直线8的解析式为y=

3%+b=-2

k=3

则,解得

—k+b=0b=-\\

3

・・・直线CD的解析式为y=3x-ll,

39

y=3x-llx——

10

联立,1c，解得，

y=——x+27

3y=—

10

即。

过点。作£>G，y轴于点G,

直线y=_gx+2与X轴的交点为则吟“行+加

3

・・・sinZOB2=^=f=-,

BQ55

2

3

・・・HG=BHsinNGBH=-BH,

・・.3BH+5DH=5^BH+DH^=5（HG+DH）=5DG,

3939

即33"+5。”的最小值是5OG=5x===，

102

故答案为：.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所

学知识解决问题.

3.(2023•江苏无锡•统考中考真题)二次函数〉=a(x-l)(x-5)，>£|的图像与％轴交于点A、B,与轴

交于点C,过点〃(3，1)的直线将JWC分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，贝!］。的值

为.

【答案】白或竺包或叵比

1052

【分析】先求得A(l,0),3(5,0),C((),5a),直线BM解析式为y=-^+|,直线AM的解析式为y=,

1)、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线，则①如图1,直线AM过BC

中点，②如图2,直线8M过AC中点，直线BM解析式为y=-gx+|,4c中点坐标为待入直

Q

线求得a=而；③如图3,直线CM过A3中点，A3中点坐标为(3,0),直线MB与>轴平行，必不成立；2)

当分成三角形和梯形时，过点〃的直线必与一一边平行，所以必有“A”型相似，因为平分面积，所以

相似比为1:血.④如图4,直线AB,根据相似三角形的性质，即可求解；⑤如图5,直线ME〃AC,

AE1

⑥如图6,直线陞〃8C,同理可得7r正,进而根据tan=tan/C8O,即可求解.

【详解】解：由y=a(x-l)(x-5),令x=0,解得：y=5a,令y=0,解得：为=1,々=5,

/.A(1,O),8(5,0),C(0,5a),

设直线BM解析式为y=k.y+h,

15上+b=0

(3%+)=1

解得：

h=-

2

直线BM解析式为丫=一；*+1,当x=0时，y=|,则直线BM与y轴交于

*.*ci>一,

2

5ci>一,

2

・••点/必在JlBC内部.

1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线

设直线AM的解析式为y=mx+n

.］左+。=0

u，［3k+b=\

1

m=—

2

解得：］

n=——

2

则直线A"的解析式为y=gx-；

①如图1,直线4W过8C中点，，

BC中点坐标为住手），代入直线求得a=不成立；

乙乙）IUN

②如图2,直线过AC中点，直线BM解析式为），=-；》+|,AC中点坐标为待入直线求得

9

a--；

10

③如图3,直线C0过A3中点，A5中点坐标为（3,0）,

.,•直线MB与＞轴平行必不成立;

2）、当分成三角形和梯形时，过点M的直线必与jABC-边平行，所以必有型相似，因为平分面积,

所以相似比为1：血.

④如图4,直线&0〃A3,

:…CENs；.cOA

•_C_E___C__N___1_

**CO-C4-72

.5"1二1

~,

5a5/2

BE1

.••茄=&,又AB=4,

BE=2>/2,

'''BN=5-3=2<2应,

...不成立；

AE1

⑥如图6,直线ME〃BC,同理可得而=屹，

:•AE=2五,NE=2叵一2,tanZMEN=tanZCBO,

综上所述‘人得或学或年.

【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识,

并分类讨论是解题的关键.

二、解答题

4.(2023•黑龙江牡丹江•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，YA5C。的顶点B,C在x轴上，D

在y轴上，OB,OC的长是方程/-6x+8=0的两个根(O8>OC).请解答下列问题：

(1)求点B的坐标；

(2)若。。:OC=2:1,直线N=-x+b分别交x轴、>轴、A。于点E,F,M,且M是AD的中点，直线EF交

DC延长线于点M求tanZMND的值；

(3)在(2)的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q,使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若

存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)3(7,0)

(2)tanNMNQ=g

(3)存在，等腰三角形的个数是8个，Qj色芋，吟心］,Q,(4,-3),0(T,3)

\7\/

【分析】(1)解方程得到OB,OC的长，从而得到点B的坐标；

(2)由。£):OC=2:1,OC=2,得OD=4.由AD=BC=6,M是AO中点，得到点用的坐标，代入直

线y=_x+b中，求得6的值，从而得到直线的解析式，进而求得点E,点尸的坐标，由坐标特点可得

NFEO=45。.过点。作。“上砒于“，过点N作NKLBC于K.从而ADOCsANKC,

DO:OC=NK:CK=2:\,进而得到NK=2CK,易证NKEN=NKNE=45。,可得EK=NK=2CK,因此

EC=CK,由EC=OC—OE=2-1=1可得CK=1,NK=2,EK=2,从而通过解直角三角形在Rt_ENK中，

得到EN=-EK=2应,在RtZ^ECH中，CH=EH=ECcosACEH=—,因此求得

cosNKEN2

NH=EN-EH=,最终可得结果tan乙MND=­=:；

2NH3

(3)分PN=PQ,PN=NQ,PQ=NQ三大类求解，共有8种情况.

【详解】（）解方程得再

16X+8=0,=4,X2=2.

OB>OC,

.\OB=4,OC=2.

・•.B（Y,O）；

（2）00:00=2:1,OC=2

:.OD=4.

四边形458是平行四边形，

..AD//BC,AD=BC=6.

股是A3中点，

:.MD=3.

将”（一3,4）代入y=T+b,得3+人=4.

A£（1,0）,尸（0,1）.

"£0=45。.

过点。作C”,硒于从过点N作NKLBC于K.

△DOCs/\NKC,DO:OC=NK:CK=2：］.

：.NK=2CK

/KEN"FEO=45。

JZKNE=90。一/KEN=45。

・・・/KEN=/KNE

：.EK=NK=2CK

：.EC=CK

EC=OC-OE=2-1=\

:・CK=1,NK=2,EK=2

EK

・••在Rt.ENK中，EN=--二20

cos4KENcos45°

在RtA£CH中，CH=EH=EC-cosNCEH=l-cos45°=—

2

/.NH=EW-EH=2^--=—

（3）解：由（2）知：直线E尸解析式为y=-x+l,N（3,—2）,

设尸（O,P），。（4，-4+1），

①当小=。可=5时—，

(3-0)2+(-2-p)2=52,(3-？)2+(-2+^-1)2=52,

竽或g6-5&

解得P=-6或p=2,q=

2

"6-5725a-4、50+4、

，爪0,-6),2(0,2),

-2~-2-

如图，YQ"、PQN、鸟QW、..当2N都是以5为腰的等腰三角形,

"6-55/25&-4、6+5应5五+4

由①知：Q-2-，-2-Q?~2~

..6+50.

,---------->5，

2

•••PQ不可能等于5,

由①知：4（0,-6）,£（0,2）,

当尸（0,-6）时，（O—gf+iw+qTyMS,

解得4=3（舍去），%=4,

.®4,-3）,

解得名=3（舍去），％=-4,

如图，

综上，等腰三角形的个数是8个，

符合题意的Q坐标为Q［七|立，义|心］,Q/"箸，一封|处］,a（4,-3）,2（Y,3）

\7\/

【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数与平行四边形，等腰三角形的综合问题，数形结合

思想是解题的关键.

5.（2023・湖南•统考中考真题）如图，点A,B,C在。上运动，满足A8?=次丁+AC?,延长AC至点D,

使得N£>BC=NCM,点E是弦AC上一动点（不与点A,C重合），过点E作弦A3的垂线，交AB于点色

交8C的延长线于点M交。于点〃（点M在劣弧4c上）.

（1）8。是:？。的切线吗？请作出你的判断并给出证明：

（2）记.即C,ABC,AQ3的面积分别为SPS2,S,若S「S=（Sj2,求（tan。）？的值；

（3）若。的半径为1,设FE-FN-.—5—+—!—=y,试求y关于x的函数解析式，并写出

VBCBNAEAC

自变量x的取值范围.

【答案】（1）3。是,。的切线，证明见解析

2

(3)y=x(0<x<l)

【分析】(1)依据题意，由勾股定理，首先求出NACB=9()。，从而NC43+NABC=90。，然后根据

4DBC=NCAB,可以得解；

(2)由题意，据S「S=(S,y得8(C£>+AC)=AC2,再由tanNO=^=tan/4BC=^,进而进行变形

CDBC

利用方程的思想可以得解；

(3)依据题意，连接OM,分别在RjOFM、Rt_AFE,Rt_3RN中，找出边之间的关系，进而由

FEFN-J~--+—--=y,可以得解.

VBCBNAEAC'

【详解】(1)解：BD是。的切线.

证明：如图，在一ABC中，AB2=BC2+AC2,

：.ZACB=90°.

又点A,B,C在O上，

••.A3是。的直径.

ZACB=9Q°,

：.ZCAB+ZABC=90°.

又NDBC=NCAB,

：.ZDBC+ZABC=90°.

，？ABD90?.

BD是:,。的切线.

(2)由题意得，S,=^BCCD,S2=^BCAC,S=^ADBC.

"”=6)2,

：.-BCCD-ADBC=[-BCAc\.

22U)

CD*AD=AC2.

：.CD(CD+AC)=AC2.

XVZD+ZDBC=90°,ZA8C+ZA=90。，NDBC=ZA,

ZD=ZABC.

・,・tanNZ)=BC=tanN/A8nC-=AC.

CDBC

BC2

•.•CADx---------

AC

又CD(C£>+AC)=AC2,

/.^y+BC2=AC2.

，BC"+AC2-BC2=AC4.

由题意，设（tanZ）y=m,

l+m=m2.

・1土布

••in=-----•

2

Vm>0,

.1+石

••fn=-----.

2

(tanD)2=1+£.

(3)设NA=a,

*/ZA+ZABC=ZABC+ZDBC=ZABC+Z7V=90。，

・・・ZA=ZDBC=ZN=a.

・••在RtZ\O尸M中，OF=yJOM2-FM2=-

BF=BO+OF=]+y/l-x2»AF=OA-OF=\-y]\-x2•

AF1-Vl-x2

・••在Rt..AFE中,EF=AFtana=•tana,

cosacosa

在RtAABC中，5C=ABsina=2sina.(r=1,**.AB=2)

AC=ABcos<2=2cosa.

在RtZiB/W中，BN=-^-=—X-X-FN—J+N

sinasinatanatana

~i-

y=FE•FN-----------H------------

BCBNAEAC

=x~2•

212-2d1-+2+2yl1-%2

tX4-4(l-x2)

=x2-

X

=x.

即y=%.

FMLAB,

JEW最大值为尸与。重合时，即为1.

0<x<l.

综上，y=x(0<x41).

【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，切线的判定定理，求角的正切值，解题时要熟练掌握并灵活运用.

6.(2023・湖南•统考中考真题)我们约定：若关于x的二次函数乂+优x+q与%=。/2+%》+02同时满

足用=W+他+始2+h-4|=0,4-后您工0,则称函数%与函数必互为“美美与共”函数.根据该约定，

解答下列问题：

⑴若关于x的二次函数％=2/+履+3与必=加^+》+〃互为“美美与共”函数，求如〃的值；

(2)对于任意非零实数r,s,点尸土,，)与点。(s,f)(rws)始终在关于x的函数y=W+2rx+s的图像上运动,

函数*与乃互为“美美与共”函数.

①求函数为的图像的对称轴;

②函数为的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由：

（3）在同一平面直角坐标系中，若关于X的二次函数,=取2+汝+。与它的“美美与共”函数为的图像顶点分

别为点4点B,函数的图像与x轴交于不同两点C,D,函数丫2的图像与x轴交于不同两点E,F.当CD=EF

时，以A,B,C,。为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理

由.

【答案】（1法的值为-1,"的值为3,〃的值为2

⑵①函数”的图像的对称轴为*=-；：②函数必的图像过两个定点（。,1）,「■!』），理由见解析

（3）能构成正方形，此时S>2

【分析】（1）根据题意得到生=4=即可解答；

22

（2）①求出的对称轴，得到s=-3r,表示出>'2的解析式即可求解;②％=-3^-2rr+1=-（3x+2x）r+1,

令3f+2x=0求解即可；

（3）由题意可知X=以2+6x+c,,2="2-法+a得至!IA、8的坐标，表示出CDEF,根据C£>=EF且

b2-4ac>0,得到|a|=|c|,分。=-。和a=c两种情况求解即可.

【详解】（1）解：由题意可知：«2=c2,a,=c2,4=-优力0,

・••机=3,n=2,k=—\.

答：%的值为-1，机的值为3,〃的值为2.

（2）解：①•.•点尸6,。与点Q（S,t）（r*s）始终在关于X的函数y=/+2rr+s的图像上运动,

r-4-c2r

，对称轴为"二守"一三，

/.s=-3r,

2

y2=sx-2rx+l,

.••对称轴为x=-—?2r=£r=-1：.

2ss3

答：函数为的图像的对称轴为x=-g.

②必=-3次2-2加+1=-（3/+2工）r+1,令3f+2x=0,解得玉=。多=-§,

，过定点（o,。，1.

答：函数V的图像过定点(0，1)，

2

(3)解：由题意可知y=o?+法+。，y2=cx-bx+a,

..(b4ac-b2Jb4ac-b2}

..A\-----,----------

I2a4aJ

.yJb2-4ac\Jb2-4ac

••CD=——7-——,EF=---------

同|n。|

*：CD=EFSLb2-4ac>0,

・'•kl=ld

22

①若a=_c,则y=ax+bx-a,y2=-ax-bx+a,

要使以A,B,C,。为顶点的四边形能构成正方形,

则4c40,「C3O为等腰直角三角形，

*'•。。=2回|，

.扬+4。2r4a2一〃I

\a\4〃

2-Jb2+4a2=b2+4cz2，

b1+4A2=4>

1-c，1b--4ac1b2+4a22

;-=----—=-r

-2CD-=-2------a-22a2a2

V^2=4-4a2>0>A0<a2<l,^^>2；

②若。=c,则A、8关于y轴对称，以4B,C,O为顶点的四边形不能构成正方形,

综上，以4,B,C,。为顶点的四边形能构成正方形，此时S>2.

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论的思

想解决问题.

7.（2023・江苏无锡•统考中考真题）如图，四边形A3CZ）是边长为4的菱形，N4=6O。，点。为C£）的中点,

户为线段43上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB'C'Q.

（1）当NQPB=45。时，求四边形法TCC的面积；

（2）当点尸在线段A8上移动时，设=四边形88'C'C的面积为S,求S关于x的函数表达式.

【答案】(D46+8

(2)S=32^X+4^

x+12

【分析】（1）连接8。、BQ,根据菱形的性质以及已知条件可得8DC为等边三角形，根据NQP8=45°,

可得P8。为等腰直角三角形，则PB=27LPQ=2娓,根据翻折的性质，可得NW>8'=90。，PB=PB',

则BB'=2",PE=指;同理CQ=2,CC'=2&，。尸=也；进而根据S四边形所因=2S秘形的2-5加歹+S0纣,

即可求解；

（2）等积法求得BE=/,则QE=/F根据三角形的面积公式可得5。稔=毕昼，证明

VX2+12VX2+12QEBX2+12

.8EQ~_QFC,根据相似三角形的性质，得出s“c=:环，根据S=2（S2EB+SB”+S8c）即可求解.

【详解】（l）如图，连接50、BQ,

四边形ABCD为菱形，

CB=CD=4,ZA=ZC=60°,

二•一的为等边三角形.

。为C£＞中点，

CQ=2,BQ工CD,

BQ=2y/3,QBA.PB.

NQPB=45°,

PB。为等腰直角三角形，

■■■PB=2百,PQ=2娓,

翻折，

；./BP®=90。,PB=P&,

；.BB'=2«,PE=&;.

同理CQ=2,

CC'=2V2-QF=6,

[12]

,•S四边形BB,CC=2S梯形Me。_S尸BP+SCM=2x/x（2+26）x26—于（26）+—x22=4-73+8；

（2）如图2,连接BQ、B'Q,延长PQ交CC'于点尸.

图2

PB=x,BQ=2^3,NPBQ=90°,

PQ=g+12.

,?SPBQ=gPQxBE=gpBxBQ

,.BQxPB2®

••DDIrL——t

PQ77712

QE=-r^

+12

_I2y[3x12_12。

G£8=2X777HX^7T7=^H-

ZBEQ=ZBQC=NQFC=90°,则NEQB=90°-NCQF=NFCQ,

：.\BEQ~3C,

_4瓜

'QFC~V^n'

VSBec=1x2x2x/3=2>/3,

，S=2（S网+5地c+S°.c）=2（筹+2有+篝卜篝+46.

【点睛】本题考查了菱形与折叠问题，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握菱形

的性质以及相似三角形的性质与判定是解题的关键.

8.(2023•江苏徐州•统考中考真题)如图，在平而直角坐标系中，二次函数丫=-底2+2后的图象与x轴

分别交于点。，A,顶点为B.连接。8/8,将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC,连接BC.点

D,E分别在线段OB,BC上，连接AD,DE,EA,DE与AB交于点、F,ZDEA=60。.

⑴求点A，8的坐标：

(2)随着点E在线段8c上运动.

①N£ZM的大小是否发生变化？请说明理由；

②线段BF的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由;

(3)当线段DE的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，_皮龙的面积为一

【答案】⑴A(2,0),即用;

(2)①N£DA的大小不变，理由见解析；②线段BF的长度存在最大值为g；

⑶至

9

【分析】(1)y=0得-6/+2岳=0,解方程即可求得A的坐标，把丫=-&?+2小化为顶点式即可求

得点8的坐标；

(2)①在AB上取点"，使得=连接EM,证明人血＞是等边三角形即可得出结论；②由

BM=AB-AF=2-AF,得当A尸最小时，8尸的长最大，即当时，8斤的长最大，进而解直角三

角形即可求解；

(3)设。E的中点为点〃，连接A",过点。作DHVBN于点H，证四边形。4C3是菱形，得。4，

进而证明仝MWD得=再证.阴叱_附加，得桀=竺=粤即=__=也=百，结合

BMBEMEBMBE

三角形的面积公式即可求解.

【详解】(1)解：；y=-&+2&=-圾1-1)2+6,

二顶点为网1，句,

令y=0，-后+2后=0,

解得x=0或x=2,

/.A(2,0)；

(2)解：①NED4的大小不变，理由如下：

在A8上取点M,使得BM=BE,连接EM,

抛物线对称轴为x=l,即ON=1,

•••将线段A8绕点A按顺时针方向旋转60。得到线段AC,

/.^SAC=60°,AB=ACf

84。是等边三角形，

AAB=AC=BC,/C=60。，

・・・A(2,0),41，6),0(0,0),ON=\,

・・・OA=2,可=2,A5="2一1『+(可=2,

:.OA=OB=AB,

・・...Q4B是等边三角形，OA=OB=AC=BC=2f

：.ZOAB=ZOBA=ZAOB=60°f

VZMBE=60°,BM=BE,

是等边三角形，

ZBME=60°=ZABE,ME=BE=BM,

：.^AME=\SO°-^BME=120°,BD〃EM,

ZDBE=ZABO+ZABC=120°,

NDBE=NAME,

*/BD//EM,

JZFEM+ZBED=180°-120°=60°=ZAEF=ZMEA+ZFEM,

・•・NBED=/MEA,

:...BEg」MEA,

:、DE=EA,

又NAEQ=60。，

・・・_A£D是等边三角形，

AZADE=60°,即NZD石的大小不变；

②，VBF=AB-AF=2-AF,

・••当A尸最小时，8尸的长最大，即当。EJLM时，B尸的长最大,

,・1D4E是等边三角形，

・•・^DAF=-^DAE=30,

2

・•・ZOAD=60°-NDAF=30°,

:.ADJLO8,

，AD=OAxcosZOAD=2xcos30。=百，

3

AF=ADxcosZDAF=2xcos30°=—,

2

*'•BF=AB—AF=2——=—,即线段BF的长度存在最大值为:；

222

(3)解：设OE的中点为点连接AM,过点。作于点少,

,:OA=OB=AC=BC=2,

・••四边形。4cB是菱形，

・•・BC^OA,

•:DHIBN,AN1BN,

:.DH//BC//OA,

:・/MBE=NMHD,NMEB=NMDH,

O石的中点为点”，

:.MD=ME,

:—MB-jMHD,

:.DH=BE,

V^AMW=90°,

/.^MeE=180°-90o=90°=^MW,NNMA+NNAM=90。,

•・•。石的中点为点加，ZM石是等边三角形，

AM±DE,

：.NAME=90。，

NBME+NNMA=180%

/.NBME=NNAM,

:・jBMEs以NAM,

.ANMNAM1MNr：

••~=Ln、r［Jl==7§，

BMBEMEBMBE

・DA/f6

3

:,MN=BN-BM=^~

3

・・・DH=BE=^=2,

x/33

•c_C-_121732_2^

•,SBDE=SBDM+SBEM='乂彳乂§+X号X§=—，

故答案为竿.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三

角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质以及解直角三角形，题目综合性较强，熟练掌握各知识点是

解题的关键.

9.（2023•内蒙古•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-W+3x+l交》轴于点A,直线

y=-；x+2交抛物线于B,c两点（点B在点C的左侧），交y轴于点。，交X轴于点E.

⑴求点£>,E,C的坐标;

（2）尸是线段OE上一点（OF<EF）,连接A£OE,CF,且A产+£尸=21.

①求证：△。尸C是直角三角形；

②/QFC的平分线雁交线段OC于点K,P是直线BC上方抛物线上一动点，当3tan/PFK=l时，求点P的

坐标.

【答案】(1)C(3,1),。(0,2),E(6,0)

⑵①证明见解析，②点P的坐标为（1,3）或（近,3夕-6）

【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可;

(2)①设/(帆0),然后利用勾股定理求解，1n=2,过点C作CG工x轴，垂足为G.再由等腰三角形及各

角之间的关系即可证明；②根据题意得出tan/PFK=g,设点尸的坐标为“，-产+3r+l),根据题意得

g<f<3.分两种情况分析：⑴当点P在直线KF的左侧抛物线上时，tanN6FK=g,g<f<2.(而)当点p

在直线K/的右侧抛物线上时，tan/£FK=g,2<f<3.求解即可.

【详解】(1)解：；直线y=-gx+2交丁轴于点£),交x轴于点£,

当x=0时，y=2,

.*.0(0,2),

当y=0时，x=6,

.・.£(6,0).

;直线y=-gx+2交抛物线于B,c两点，

—x~+3x+1=—x+2,

3

,-.3x2-10x4-3=0，解得占=g,%=3.

•点B在点C的左侧，

点C的横坐标为3,

当x=3时，y=l.

•­.C(3,l)；

当x=0时，y=l,.

A(0,l),

:.OA=l,

在RtAOF中，ZAOF=90°,

由勾股定理得AF2=OA2+OF"

设尸(祖,0),

/.OF=tn,

N尸=1+疗，

.£(6,0),.

OE=6,

/.EF=OE—OF=6—m,

,AF2+EF2=2i,

1+tn2+(6-〃?)2=21,

/.仍=2,帆2=4,

OF<EF,

m=2,

・・.O尸=2,

/.F(2,0).

.m2),

:.OD=2,

:.OD=OF.

.二。"是等腰直角三角形，

ZOFD=45°.

过点C作CGIx轴，垂足为G.

,C(3,l),

:.CG=1,OG=3,

GF=OG-OF^V

1.CG=GF,

・•..CG/是等腰直角三角形，

/.ZGFC=45°,

ZDFC=90°,

.•.OQ是直角三角形.

②.FK平分/DFC,NDFC=9。。,

・,.ZDFK=/CFK=45。

ZOFK=ZOFD+ZDFK=90°,

「.FK〃y轴.

3tanNP尸K=l,

/.tanNPFK=L

3

设点P的坐标为+3f+1),根据题意得g</<3.

(力当点尸在直线K厂的左侧抛物线上时，tanZ/]F/C=1,1<r<2.

过点《作轴，垂足为”.

/.利//KF/HRF=NRFK,

tan/HRF=;.

,HF=OF-OH,

:.HF=2-t,

在/中，

八HF1

tanZHP1F=

r\nj

：.P、H=3HF,

I]H=-r+3t+\,

:.—t~+3,+1=3(2—f),

r-6r+5=0,

:.tA=l,r2=5(舍去).

当，=1时，_*+3f+l=3,

.*(1,3)

(ii)当点P在直线KF的右侧抛物线上时，tanZP2FK=^,2<t<3.

过点尸2作用W_L尤轴，垂足为

P1M//KF,

/.ZMP2F=ZP2FKf

tanZMP2F=^,

MF=OM-OF,

：,MF=t-2

在RtZX4M厂中，

tanNM?F=~^=L

2

P2M3

/.P2M=3MF,

,P2M=一『+3/+1,

—t~+3/+1=3(/—2),

・•・产=7,

t3=币,t4=—A/7(舍去).

当七夕时，一产+3，+1=3b一6,

.•.巴(刀,3々-6)

，点P的坐标为(1,3)或(J7,3J7-6).

【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数综合问题，特殊三角形问题及解三角形，理解题意，作出相应

辅助线，综合运用这些知识点是解题关键.

10.(2023・吉林•统考中考真题)如图，在正方形A88中，A8=4cm,点。是对角线AC的中点，动点P,

2分别从点A,3同时出发，点P以Icm/s的速度沿边A3向终点B匀速运动，点。以2cm/s的速度沿折线

3C-CO向终点。匀速运动.连接PO并延长交边CO于点M,连接Q。并延长交折线D4-A8于点N,连

接尸。，QM,MN,NP,得到四边形PQWV.设点P的运动时间为x(C(0<x<4),四边形PQMN的

面积为>(cm2)

（1）8尸的长为cm,CM的长为cm.（用含x的代数式表示）

（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

（3）当四边形尸。MN是轴对称图形时，直接写出x的值.

【答案】⑴（4—x）；x

°、_J4JC2-12X+16（0<X<2）

-4x+16（2<x<4）

/°、4r8

（3）x=-flkx=-

【分析】（1）根据正方形中心对称的性质得出加;^^^^^0二次「可得四边形2^^是平行四边形，证明

_AN乂-CQM即可；

（2）分0<x42,2<xV4两种情况分别画出图形，根据正方形的面积，以及平行四边形的性质即可求解；

（3）根据（2）的图形，分类讨论即可求解.

【详解】（1）解：依题意，AP=xxl=x（cm）,则依=加一”=（4一可的，

•••四边形ABC。是正方形，

/.AD//BC,NDAB=ZDCB=90°,

•••点。是正方形对角线AC的中点，

/.OM=OP,OQ=ON,则四边形尸QMN是平行四边形，

:.MQ=PN,MQ〃NP,

：.ZPNQ=ZMQN,

又BC,

：.ZANQ=ZCQN,

：.ZANP=ZMQC,

在,&ANP,..CQM中,

/ANP=/MQC

<ZNAP=ZQCM,

NP=MQ

：..ANP^,CQM,

MC-AP=x（cm）

故答案为:（4-x）；x.

（2）解：当0vxK2时，点。在8c上,

DMC

APB

由（1）可得jAAg二CQM,

同理可得/m2且_MON,

VPB=4-x,QB=2x,MC=x1QC=4-2xf

=

则yAB，—2SMCQ-2SBPQ

=16-（4-%）x2x-x（4-2x）

=4x2-12x+16;

当2Vxs4时，如图所示，

则AP=x.AN=CQ=2x-CB=2x-4,

PN=AP-AN=x-（2x-4）=-x^-4,

y=（+4）x4=Yx+16；

_4X2-12X+16（0<X<2）

综上所述,A-[-4x+16（2<x<4）

（3）依题意，①如图，当四边形PQMN是矩形时，此时NPQM=90。,

ZPQB+ZCQM=90°,

・.,NBPQ+/PQB=90。，

/./BPQ=/CQM,

又NB=ZBCD,

—BPQfCQM,

.BPBQ

，9CQ~CMr

解得：x=-,

DMC

APB

当四边形PQMN是菱形时，则PQ=M。，

（4-x）2+（2x『="2+（4-2x）2,

解得：x=0（舍去）；

②如图所示，当P3=CQ时，四边形PQMN是轴对称图形,

Q

4-x=2x-4,解得x=§,

当四边形尸QMN是菱形时，则PN=PQ=4,即一x+4=4,解得：x=0（舍去）,

综上所述，当四边形PQMN是轴对称图形时•，》=三4或x=；8.

【点睛】本题考查了正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性

质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键.

11.(2023・广东・统考中考真题)综合运用

如图1,在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，如图2,将正方形Q4BC绕点。逆

时针旋转，旋转角为a(O°<a<45。)，AB交直线丁=》于点£,BC交y轴于点尸.

图1

图2图3

(1)当旋转角NCOF为多少度时，OE=OF；(直接写出结果，不要求写解答过程)

(2)若点A(4,3),求FC的长；

(3)如图3,对角线AC交y轴于点交直线y=x于点N,连接FN,将△OFN与△OCF的面积分别记为

\与S?,设S=S「S2，AN=n,求S关于〃的函数表达式.

【答案】(1)22.5。

⑵/c=?

4

1,

(3)S=-«2

【分析】(1)根据正方形的性质及直角三角形全等的判定及性质得出4OG=/AOE,再由题意得出

/EOG=45。，即可求解；

(2)过点A作APLx轴，根据勾股定理及点的坐标得出OA=5,再由相似三角形的判定和性质求解即可；

(3)根据正方形的性质及四点共圆条件得出。、C、F、N四点共圆，再由圆周角定理及等腰直角三角形的

判定和性质得出RV=ON,NFNO=9Q。,过点N作G。_LBC于点G,交OA于点Q,利用全等三角形及矩

形的判定和性质得出CG=O0,CO=QG,结合图形分别表示出，，S],得出S=S1-S2=NQ2,再由等腰

直角三角形的性质即可求解.

【详解】(1)解：；正方形OABC,

/.OA=OC,ZA=ZC=90°,

OE=OF,

/.RtOCF^Rt.O/1E(HL),

:.NCOF=NAOE,

•：NCOF=NAOG,

：.ZAOG=ZAOE,

・・•AB交直线y=x于点E,

JNTOG=45。，

・•・^AOG=^AOE=22.5°,

即/COF=22.5。；

(2)过点4作AP，x轴，如图所示:

・・・A(4,3),

・・