2023-2024学年天津黄花店中学高一年级上册数学理期末试卷含解析

2023年天津黄花店中学高一数学理期末试卷含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.（5分）已知函数①y=sinx+cosx,②y=2«sinxcosx,则下列结论正确的是（）

兀

A.两个函数的图象均关于点（-0）成中心对称

71

B.①的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移N个单位即得②

.K

c.两个函数在区间（-N,T）上都是单调递增函数

D.两个函数的最小正周期相同

参考答案：

C

考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性.

专题：三角函数的图像与性质.

分析：①函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数；②函数解

析式利用二倍角的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数，然后分别对各项判断即可.

解答：©y=sinx+cosx=V2sin(x+4),②y=2V^sinxcosx=V^sin2x,

Knn

A、①中的函数令x+4=kn(keZ),解得：x=kn-4(k£Z),故(-4,0)为函

数对称中心；

k兀兀

②中的函数令2x=kn（kez）,解得：x=2（keZ）,故（-4,0）不是函数对称中

心，本选项错误；

.1

B、①向右平移N个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的工倍，即得②，本选项错

误；

冗71K3冗冗

C、①令-2+2k兀Wx+4W2+2k兀（k£Z）,解得：-4+2k兀WxW4+2k兀，故函

nn

数在区间（-彳，N）上是单调递增函数；

兀71兀兀

②令-2+2knW2xW2+2kr（keZ）,解得：-4+k兀WxW4+k兀，故函数在区间

.n

（-T,T）上是单调递增函数，本选项正确；

D、①:0=1,AT=2JT；

②・・・G）=2,・・.T二兀，本选项错误，

故选C

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，正弦函数的单调

性及周期性，熟练掌握公式是解本题的关键.

2.（5分）设全集U是实数集R,集合后{x，>2x},N={x|log2（x-1）20},则（?刚）

GN为（）

A.{x|l<x<2}B.{x|lWxW2}C.{x|lVxW2}D.

{x11WxV2}

参考答案：

C

考点：交、并、补集的混合运算.

专题：集合.

分析：分别求出M与N中不等式的解集，确定出M与N,根据全集U=R,求出M的补集,

找出M补集与N的交集即可.

解答：由M中的不等式变形得：x2-2x>0,即x(x-2)>0,

解得：x>2或x<0,

；.M={x|x>2或x<0},

;全集U=R,

...?iM={x|0WxW2},

由N中的不等式变形得：log2(x-1)W0=log21,

得至lj0<x-1W1,

解得：1VXW2,即N={x|lVxW2},

----1__I_!-------i—।~~।­।—

-S-4-012245

则(?«M)CN={x[l<xW2}.

故选：C.

点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

3.&4BC中，三边长分别为、£、6、G,且/♦/=/,则A/2C的形状为

()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角

形D.无法判断

参考答案：

A

4.已知函数/口)=1]〃2"，正实数肛门满足冽〈门且/(用)=」(冷，若/CO在区间

1小•网上的最大值为2,则犯"的值分别为（）

),2\,214

A.2B.2C.4D.4

参考答案：

A

/

=sm2x-

5.为了得到函数6J的图像，可以将函数y='x的图

像

()

nnnn

A向右平移6B向右平移3C向左平移6D向左平移3

参考答案：

略

6.将函数‘一'1不’的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移了个单

位，得到的函数图象的一个对称中心为（）

*期。期

A.16B.9C.4D.

（亍°）

参考答案：

D

..X.

由题意，将函数V的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得再向右平移

三yMn：x乂=些

6个单位，得‘J【由2xkMkeZ）,得'2,当k1时，得函数门的

-0

一个对称中心为匕1,故正确答案为D.

V=stn（2x+—）

7.函数3的图象是（）

A.关于原点成中心对称B.关于，'轴成轴对称

（—,0）x=—

C.关于点12成中心对称D.关于直线12成轴对称

参考答案：

D

略

8.（3分）已知集合0,2},B={x|-1<XW4},则ACB=（）

A.{-1,0}B.{-1,0,2}C.{0,2}D.{-1,2}

参考答案：

C

考点：交集及其运算.

专题：集合.

分析：根据集合的基本运算进行求解即可.

解答：VA={-1,0,2],B={x[-l<x<4},

/.AnB={0,2},

故选：C

点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础.

9.已知函数f（x）=J»»2+m+l的定义域是一切实数，则m的取值范围

是（）

A.0〈m<4B.OWmWlC.m2

4D.0WmW4

参考答案：

D

10.已知点A(0,1),B(3,2),向量CA=(4，3),则向量前=()

A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)

参考答案：

A

【考点】9J：平面向量的坐标运算.

■一.♦..

【分析】利用向量BOBA+AC即可得出.

【解答】解：向量BC=BA+AC=(-3,-1)+(-4,-3)=(-7,-4).

故选：A.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

IlA=｛x|?+4x=0),B=M』+2(a_Dx+J_l=0pl*nS=B,求实数

的取值范

围。

参考答案：

21.解，AF(O-4)-V-----------------、，2分

A=4(a-1)a-4(aa-1)=-8a+8

(。△〈时，B=的即aAl

(2)A=OB^.为⑹，即a=l侬

(3).“阿，即”1,此时｛:1=｛：33无解------1粉

综上a21--------------------------------------------------------------］汾

略

12.设函数/(x)=cosx,则/(1)+/(2)+/(3)+…+/(2013)+/(2014)=。

参考答案：

2

略

13.给出下列语句：

①若弧力为正实数，，,则卜曲'；

a¥ma

②若4"•为正实数，a<b,则b+mb；

ab

③若？？，贝但>»;

xe(Q.-)-*+/-.后

④当2时，sax的最小值为2、/2,其中结论正确的是.

参考答案：

①③.

【分析】

利用作差法可判断出①正确；通过反例可排除②；根据不等式的性质可知③正确；根据x

的范围可求得由IX的范围，根据对号函数图象可知④错误.

［详解］①"L—Wb—ab，

•:a*b,为正实数..(a*f>0a+b>Q

一d+y-db-#〉。，即xPb+W,可知①正确；

a^m21a

②若a-l,b=2,iw=l,则b+iw32b,可知②错误；

aba,占,

③若c'c’,可知。？>0,则c'c'，即a>J,可知③正确；

④当(,z)时，s»x€(0.1)由对号函数图象可知：""曰2—⑶*"),可知④

错误.

本题正确结果：①③

【点睛】本题考查不等式性质的应用、作差法比较大小问题、利用对号函数求解最值的问

题，属于常规题型.

14.已知'=(L2),且3与否的夹角为锐角，则实数尤的取值范围是

___________________O

参考答案：

4<1且4工・4

15.函数/(工)=戊》工-1的定义域为.

参考答案：

[J+*r^+4rM*eZ)

2

ba------

16.在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若ab°C0SV,则a"+b”

的值是______.

参考答案：

2

3

【考点】HR：余弦定理.

【分析】利用余弦定理，化简已知等式，整理即可得解.

旦e=6cosC

【解答】解：•；ab

ab=6X2ab,整理可得：3c2=2(a2+b2),

2

—2

a2z+b2=—3.

2

故答案为：行.

【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.

17.已知数列｛诙｝的前〃项和满足&='一2|•卜eM),则“

参考答案：

5

【分析】

利用is■一求得4,进而求得■的值.

［详解］当n=l时，q='=-l,当“N2时，4=4_&4=5-3,当"=］时上式

也满足，故＜%｝的通项公式为，="3,故"8-3=5.

【点睛】本小题主要考查已知名求4,考查运算求解能力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(12分)如图，四棱锥P-ABCD中，PAL底面ABCD,PCXAD.底面ABCD为梯形，

AB〃DC,AB±BC,PA=AB=BC,点E在棱PB上，且PE=2EB.

(1)求证：平面PAB_L平面PCB；

(2)求证：PD〃平面EAC.

参考答案：

考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定.

专题：证明题.

分析：(1)根据PAL底面ABCD,得到PAJ_BC,结合ABJ_BC,可得BC,平面PAB.最后

根据面面垂直的判定定理，可证出平面PABJ_平面PCB.

(2)利用线面垂直的性质，可得在直角梯形ABCD中ACJ_AD,根据题中数据结合平行线分

线段成比例，算出DC=2AB,从而得到4BPD中，PE：EB=DM：MB=2,所以PD〃EM,由线面

平行的判定定理可得PD〃平面EAC.

解答：(1)：PA_L底面ABCD,BC?底面ABCD,Z.PA1BC,

又：AB_LBC,PAAAB=A,；.BC_L平面PAB.

BC?平面PCB,平面PAB_L平面PCB.

(2)：PA_L底面ABCD,/.AC为PC在平面ABCD内的射影.

又：PC_LAD,；.AC_LAD.

,n

BAC=—

在梯形ABCD中，由ABLBC,AB=BC,得~4,

.ZDCA=ZBAC=—

••3•

又•••ACLAD,故ADAC为等腰直角三角形.

DC=V2AC=V2(V2AB)=2AB

M^DC

连接BD,交AC于点M,则由AB〃CD得：MBAB二

PE_DM

在ABPD中，所以PD〃EM

又；PD?平面EAC,EM?平面EAC,

；.PD〃平面EAC.

点评：本题给出底面是直角梯形的四棱锥，求证线面平行和面面垂直，着重考查了空间线

面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质和面面垂直的判定等知识，属于基础题.

19.已知百=4,自=3/2o—3万”卤+总=61,

⑴求方♦『的值；(2)求占与'的夹角0.

参考答案：

竺

解:(1)-6(2)3

略

20.如图，在等腰直角三角形。尸。中，々0。=90匕°尸=动,点M在线段P。上.

0

⑴若a/=后求PM的长；

(2)若点N在线段MQ上，且-49"-30°,求△。肱v的面积.

参考答案：

⑴"=1或*=3；⑵8-4旨

【分析】

(1)在AOMP中，由题设条件及余弦定理得，OM2=Op2+Mp2-2?OP?MPcos45。，解得MP

即可；(2)在AOMP中，由正弦定理求出OM,同理求出ON,即可求出三角形的面积.

【详解】⑴在3"中,N%=4501=6,OP=25,

由余弦定理得1'=/+皿一2XOFXMPXBS45。

得W-4Mp+3=0,解得MP=】或“？=3

0Mop

(2)在AOMP中，由正弦定理，得9BZOPM-,