2022-2023学年湖南省常德市澧县复兴厂镇中学高二数学理期末试题含解析

2022-2023学年湖南省常德市澧县复兴厂镇中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对一切实数x,不等式恒成立，则实数a的取值范围是（

）；A.;

B.

;C.;

D..参考答案：C2.下列在曲线（θ为参数）上的点是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】参数方程化成普通方程．【分析】θ=45°时，x=，y=1，即可得出结论．【解答】解：θ=45°时，x=，y=1，故选：C．【点评】本题考查参数方程，考查学生的计算能力，比较基础．3.在△ABC中，关于x的方程（1+x2）sinA+2xsinB+（1﹣x2）sinC=0有两个不等的实根，则A为（）A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不存在参考答案：A【考点】函数的零点与方程根的关系；三角形的形状判断．【分析】△ABC中，由一元二次方程的判别式大于零以及正弦定理求得b2+c2﹣a2＞0，再由余弦定理可得cosA＞0，从而得到A为锐角．【解答】解：在△ABC中，关于x的方程（1+x2）sinA+2xsinB+（1﹣x2）sinC=0有两个不等的实根，即（sinA﹣sinC）x2+2sinBx+（sinA+sinC）=0有两个不等的实根，∴△=4sin2B﹣4（sin2A﹣sin2C）＞0，由正弦定理可得b2+c2﹣a2＞0，再由余弦定理可得cosA=＞0，故A为锐角，故选A．4.已知过点P(-2,m)，Q(m,4)的直线的倾斜角为45°，则m的值为

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：A略5.把边长为2的正三角形ABC沿BC边上的中线AD折成90o的二面角B—AD—C后，点到平面ABC的距离为(

)．A．

B．

C．

D．1参考答案：B略6.若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略7.在△abc中，若sina∶sinb＝2∶5，则边b∶a等于()．a．2∶5或4∶25

b．5∶2

c．25∶4

d．2∶5参考答案：B8.圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的公共弦长为（）A． B． C．3 D．参考答案：B【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由条件求得公共弦所在的直线方程、一个圆的圆心到公共弦的距离，再利用垂径定理求得公共弦的长．【解答】解：圆O1的圆心为（1，0），半径r1=1，圆O2的圆心为（0，2），半径r2=2，故两圆的圆心距，大于半径之差而小于半径之和，故两圆相交．圆和圆两式相减得到相交弦所在直线方程x﹣2y=0，圆心O1（1，0）到直线x﹣2y=0距离为，由垂径定理可得公共弦长为2=，故选：B．9.现有5种不同的颜色，给四棱锥P-ABCD的五个顶点涂色，要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同，一共有（

）种方法.A.240 B.360 C.420 D.480参考答案：C【分析】利用分布计数原理逐个顶点来进行涂色，注意讨论同色与不同色.【详解】当顶点A,C同色时，顶点P有5种颜色可供选择，点A有4种颜色可供选择，点B有3种颜色可供选择，此时C只能与A同色，1种颜色可选，点D就有3种颜色可选，共有种；当顶点A,C不同色时，顶点P有5种颜色可供选择，点A有4种颜色可供选择，点B有3种颜色可供选择，此时C与A不同色，2种颜色可选，点D就有2种颜色可选，共有种；综上可得共有种，故选C.【点睛】本题主要考查基本计数原理，两个原理使用时要注意是分步完成某事还是分类完成某事，侧重考查逻辑推理的核心素养.10.设i是虚数单位，若复数（a∈R）是纯虚数，则a=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2参考答案：B【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0得答案．【解答】解：∵=是纯虚数，∴a﹣1=0，即a=1．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的图象恒过定点A，则A的坐标为___．参考答案：（2,3）【分析】令x-2=0,所以x=2，把x=2代入函数的解析式得定点的纵坐标，即得解.【详解】令x-2=0,所以x=2，把x=2代入函数的解析式得.所以函数的图像过定点A（2,3）.故答案为：（2,3）【点睛】本题主要考查指数型函数图像的定点问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.12.已知平面区域如右图所示，在平面区域内取得最大值时的最优解有无数多个，则

参考答案：0.513.．已知函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．参考答案：(－2,2)14.设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是

.参考答案：或略15.

在上定义运算：，若不等式对任意实数都成立，则的取值范围是_________________。参考答案：16.在斜二测画法下，四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为，则原四边形的面积是___________．参考答案：8略17.已知，若与平行，则m＝

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.若存在常数，使得数列满足对一切恒成立，则称为“可控数列”.(1)若数列的通项公式为，试判断数列是否为“可控数列”？并说明理由；(2)若是首项为5的“可控数列”，且单调递减，问是否存在常数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(3)若“可控数列”的首项为2，，求不同取值的个数及最大值.(直接写出结果)参考答案：(1)解：，.故为“可控数列”.

……………………(4分)(2)解：假设存在常数满足题意.由是单调递减的“可控数列”，得.

……(5分)累加，得.………(8分)当时，，不合题意.……………(9分)当时，，.…(11分)令，得.故的值为.

……………………(14分)(3)解：的不同取值个数是2018，最大值为2019.……(18分)(各2分)19.（13分）设函数在上的最大值为（）．（1）求的值；（2）求数列的通项公式；参考答案：（1）解法1：∵当时，当时，，即函数在上单调递减，∴，

当时，当时，，即函数在上单调递减，∴

解法2：当时，，则当时，，即函数在上单调递减，∴，当时，，则当时，，即函数在上单调递减，∴（2）令得或，∵当时，且当时，当时，故在处取得最大值，即当时，,------（）当时（）仍然成立，综上得

20.(本小题满分12分)已知函数与的图像都过点，且在点处有相同的切线.（1）求实数a,b,c（2）设函数，求在上的最小值.参考答案：(1).(2)解不等式故单调增区间为同理,单调减区间为因此，当当21.（本题满分12分）设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．（1）求实数b的取值范围；（2）求圆C的方程；（方程中可含参数b)（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论参考答案：（1）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；令，由题意b≠0且，解得b＜1且b≠0．———————————————5分（2）设所求圆的一般方程为令＝0得，它与＝0是同一个方程，故D＝2，F＝．令＝0得，此方程有一个根为b，代入得出．所以圆C的方程为.——————————9分（3）由得.当时，得，所以，不论b为何值，圆C必过定点．————————12分22.（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．【专题】：计算题．【分析】：（I）将（1，﹣2）代入抛物线方程求得p，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程．（II）先假设存在符合题意的直线，设出其方程，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线方程有公共点，求得t的范围，利用直线AO与L的距离，求得t，则直线l的方程可得．解：（I）将（1，﹣2）代入抛物线方程y2=2px，得4=2p，p=2∴抛物线C的方程为：y2=4x，其准线方程为x=﹣