四川2023年大专生专升本数学考试及答案 (一)

普通高等学校招生全国统一考试

数学

（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）

L“a=l”是“直线x+”0和直线xf=0互相垂直”的（）.

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.在A/J8C中，AB=3,AC=2,BC=M,则布•就=（）.

3223

A.-2B.~3c.3D.2

尸cos（x+—兀）

3.为得到函数I3）的图象，只需将函数V=sinx的图像（）.

兀71

A.向左平移％个长度单位B.向右平移Z个长度单位

5兀571

C.向左平移不个长度单位D.向右平移不个长度单位

4.函数/（》）=》7陞1在定义域上零点个数为（）.

A.1B.2C.3D.4

主视图斜视图

5.如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果直角三角形

像视图

的直角边长均为1,那么这个几何体的体积为（）.

A.1B.2C.3D.6

6.一个等差数列｛an｝中，al=-5,它的前11项的平均值是5,若从中抽取一项，余

下项的平均值是4,则抽取的是（）

A.allB.alOC.a9D.a8

7.设函数f(x)=logax(a>0,且a/1)满足f(9)=2,则f—l(log92)等于()

2

A.2B.V2C.2D.±^2

8.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D—ABC

的体积为()

33

aaV23

旦3---a

A.6B.12C.12D.12

9.设0、A、B、C为平面上四个点,°/=a,08=b,OC=C,且a+b+c=O,

a•b=b・c=c,a=—'1,则|a|+|b|+|c|等于()

A.2后B.2百C.3V2D.3百

10.设函数/㈤的定义域为R,满足/(x+D=2/(x),且当XG(0,1］时，/(x)=x(x-1).若对

/1/(X)>——

任意xe(-8,团，都有,9,则m的取值范围是()

/9-z7

f■/

--l-

\4—\3

A._13.

c.F一

D.

71

11.已知ae(0,2)2sin2Q=cos2a+1,则sina=()

A.5B.5

V32石

c.丁D.丁

上上1

2

12.设F为双曲线C：/b(a>0,b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径

的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为()

A.五B.6

C.2D.布

二、填空题(共4小题，每小题5分；共计20分)

1、如果AABC的三个内角A,B,C成等差数列，则B一定等于.

2、已知tana=-2,7,则tan4的值为.

3.如图，长方体46GA的体积是120,E为的中点，则三棱锥E-BCD的

体积是.

4.在平面直角坐标系X。7中,P是曲线,》上的一个动点，则点P到直线x+y=0

的距离的最小值是.

三、大题：(满分70分)

〃、_/+1+6

1、已知函数*X,｛。”｝是等差数列，且。2=/⑴，%=〃2),%=〃3).

(1)求｛叫的前〃项和；

(2)求/⑴的极值.

2、已知集合A是由a-2,2a2+5a,12三个元素组成的，且一3£A,求a.

3.(本题满分12分)已知四边形”88是菱形，ZBAD=60°

四边形瓦)即是矩形，平面BOE/F平面N88,G、"分别是CE、B的中点.

⑴求证：平面Z”//平面8OG"

(2)若平面BDGH与平面ABCD所成的角为60。，

求直线CF与平面BDGH所成的角的正弦值

4.设尸即必),。区，必)是抛物线V=2px(p>0)上相异两点，Q、P到y轴的距离的积为4

且而•丽=0

(1)求该抛物线的标准方程.

(2)过Q的直线与抛物线的另一交点为R,与％轴交点为T,且Q为线段RT的中点,

试求弦PR长度的最小值.

5.已知椭圆C1以直线mx+厂遥=0所过的定点为一个焦点，且短轴长为4.

(I)求椭圆C1的标准方程；

(II)已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1

的长轴和短轴的长的人倍(人>1),过点C(-1,0)的直线1与椭圆C2交于A,

B两个不同的点，若正=2可，求4OAB的面积取得最大值时直线1的方程.

6.已知函数式(aGR).

(I)讨论g(x)的单调性；

fTT\)哲右f(x)=~x7T1~[g(x)—2x—x~]x+—.证明：当x>0,且xWi时，cf((\x\)>I7nTx.

参考答案：

一、选择题：

1-5题答案:CDCCC

6-10题答案:ABDCB

11-12题答案:BA

二、填空题：

1、60。；

2、3；

3、10；

4、4.

二、大题:

.._x}+x+b，八、1+1+b2}+2+bb=

r石刀土匚i/1\j,/(x)=a2=/(I)=:=b+2a=f(2)---------=-+5

I1、【解析】⑴由x得1,322

33+3+Z>

a=”3)=+,c(/>+2)+(-+10)=2(-+5)如

434°由于为等差数列,.•.%+/=2%,即'V32，解

产………2=-6+2=-4,%=*4+5=2,^1+10=-|+10=8,设数列口}的公

付°一u，..2'

差为“，则4=%-。2=6,首项4故数歹|J｛%｝的通项公式为""=4+("-lW=6"-16,

Si=2(^l=^-10^n-16)：=in2_]3n

，数列｛%｝的前"项和为22

x3+x+b_x3+x-6r(x)=2x+§=2X3+6_2,+3)

/(x)==x2--+l(x^0)

（2）法一（导数法）：XXXXx2

当x'+3<0,即x<_君时，八x）<0,函数/（x）在（-8，-g）上单调递减，当丁+3>0,即x>-近

时，/（、）>°,函数"X）在（-%，口）上单调递增，故函数〃x）在"-我处取得极小值,且

5

极小值为〃-加）=如+1,无极大值.

X3+X+id+X-66

fM==x29——+1(x*0),,f(x)=x2--+1

法二（基本不等式法）：XxX当x>0时，X

为单调递增函数，故八X）在（°，+°°）上无极值.

当x<。时，则一｝°,,/(X)--+1=(-犷+(1)+1=(-"+S)+号)+123b)2.号)4)+1

-5（一大丫=_

=3疗+1=33+1,当且仅当（-r,即x=-冷时，等号成立.

5

综上所述，函数/⑴在--将处取得极小值，且极小值为〃一次）=必+1,无极大值.

【评注】本题考查等差数列的通项公式以及前〃项和、函数单调性及应用，数列与函

数进行结合考查，综合性较强，属于中档题.

2、解：

由一3£A,可得一3=a-2或一3=2a2+5a,

.*.a=—1或a=-

2

则当a=-1时，a—2=-3,2a2+5a=—3,不符合集合中元素的互异性，故a=-1

应舍去.

Q7

当a=—时，a—2=—,2a2+5a=-3,

22

3.参考答案：解:

（1）G、“分别是CE、CE的中点

所以昉//G"——①—1分连接"C与8。交与。，因

为四边形/BCD是菱形，所以。是的中点,连

OG,0G是三角形NCE的中位线°G//U一②3分

由①②知，平面4跖//平面即G"一4分

(2)BF1BD^^BDEF1ABCD,所以职工平面NBC。----5分

取E尸的中点N,ON//8/ON1平面ABCD,建系(OBQCQN}

设15=2,8/7=f,则6（1，0,0）,。（0,忘。）,尸（1，0,。[2,2'2）_____$分

砺=（1,0,0）,丽=一

（222J设平面8以汨的法向量为〃।=（x，V，z）

•—..

H]OB=x=0

<------1V3t_

〃“"丁+》*产。,所以（）平面的法向量小（』）

*=°L0,0__9

|COS<〃2>1-/=—c

分一VW2,所以厂=9,”3——10分

所以6=（1,-"3）,设直线b与平面80G4所成的角为e

sin0=|cos(CF,n)|=-'台『3V13

Vl3X2V313

4.参考答案：解：（1）OP・g=0,则xlx2+yly2=0,-1分

又P、Q在抛物线上，故yl2=2pxl,y22=2px2,故得

平•华+yly2=0,yly2=-4p2

2p2p

•••I1=等逑-=4P2

4P,3分又|xlx2|=4,故得4P2=4,p=l.

所以抛物线的方程为：「=2x-----------4分

(2)设直线PQ过点E(a,O)且方程为x=my+a

[x=my-\-a[必+歹2=2m

联立方程组iV=2x消去X得y2—2my—2a=01%为=一2”①

设直线PR与x轴交于点M(b,0),则可设直线PR方程为x=ny+b,并设R(x3,y3),

同理可知，

%+%=2〃匹

1乂%=-2'②_7分由①、②可得先0由题意，Q为线段RT的中点，

y3=2y2,/.b=2a

又由(I)知，yly2=-4,代入①，可得-2a=-4a=2.故b=4.

•必乃=-8•|PR|=Jl+〃2I乂-%|=Jl+〃2、(乂+%)2-4凹％

•♦••

=27177.7778>4A/2.当n=o,即直线PQ垂直于X轴时|PR|取最小值4板

5.已知椭圆C1以直线mx+y-遥=0所过的定点为一个焦点，且短轴长为4.

(I)求椭圆C1的标准方程；

(II)已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1

的长轴和短轴的长的人倍(人>1),过点C(-l,0)的直线1与椭圆C2交于A,

B两个不同的点，若正=2可，求4OAB的面积取得最大值时直线1的方程.

【解答】解：(I)所给直线方程变形为尸FX+粕，

可知直线所过定点为(°，瓜).

，椭圆焦点在y轴，且c=旄，

依题意可知b=2,a2=c2+b2=9.

（II）依题意，设椭圆C2的方程为9人2+4人2-1,A（xl,yl）,B（x2,y2）,

•.•人>1,.•.点C（-1,0）在椭圆内部，直线1与椭圆必有两个不同的交点.

当直线1垂直于x轴时，正二连（不是零向量），不合条件;

故设直线1为y=k（x+1）（A,B,O三点不共线，故kWO）,

'y=k(x+l)

(~y+4)y2^yy+9_36X2=o

由14V2+9*2=36入2得k2k

18k

yi+y=----r

由韦达定理得29+4k2.

VAC=2CB,而点C(-1,0)，

(-1-xl,-yl)-2(x2+l,y2),则yl=-2y2,

-18k

yo-

即yl+y2=-y2,故9+4k.

AOAB的面积为SAOAB=SAAOC+SABOC

1X1X1x1x1Q2181kl---/279

=7Il+yh21=2-IyiLyIy2L9+4ik三士由《砺气

I，|2_13_2

上式取等号的条件是出I-"即1<=±2时，/XOAB的面积取得最大值4.

33

.,.直线的方程为尸V+1）或尸Rx+l）.

6.已知函数g（x）=1nx+2x咛（aGR）

（I）讨论g（X）的单调性；

（II）若《）二去1&）一2'十］4.证明：当x>0,且x#l时，«）>詈.

【解答】（I）解：由已知得g（x）的定义域为（0,+8）,

g,缶）=工+2哼=绚尹

xXX（1分）

方程2x2+x-a=0的判别式△=l+8a.…(2分)

①当a%/时，△W（）,g'（x）20,

此时，g（x）在（0,+8）上为增函