2022-2023学年湖北省荆州市沙市区高三年级（上）数学期末模拟测试

荆州市沙市区2022-2023学年高三年级(上)期末模拟测试

数学

一、单项选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分。下列各题，每小题只有一个

选项符合题意。)

1.已知集合知={》1丫=3》+1)}.N={y|y=e*},则〃N=()

A.(-1,0)B.(-l,+oo)C.(O,+oo)D.R

4i_

2.复数z=「，贝1日=()

1+1

A.-2-2iB.-2+2iC.2+2iD.2-2i

3.某人民医院召开抗疫总结表彰大会，有7名先进个人受到表彰，其中有一对夫妻.现要选3人

上台报告事迹，要求夫妻两人中至少有1人报告，若夫妻同时被选，则两人的报告顺序需要相邻，

这样不同的报告方案共有O

A.80种B.120种C.130种D.140种

4.已知△4661中，AB=AC=\,=后，点。是的外心，则C0.A6=O

A—及R_1r1nV2

2222

5.著名物理学家牛顿在1701年提出的牛顿冷却定律是传热学的基本定律之一：物体在空气中冷

却，如果物体的初始温度为4C,空气温度为为C,则大分钟后物体的温度。(单位：C)满足：

e=4+(a-4)e-"其中4是一个根据物体与空气接触情况而定的正常数，现有42c的物体放

在2c的空气中冷却，2分钟后物体的温度为22C.则再过4分钟该物体的温度可冷却到()

A6CB.7CC.8CD.9C

6.计算tan70。cos10。(相tan20。-1)=()

11

A.1B.-1C.-D.---

22

7.“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污.某乡

村一条污染河道的蓄水量为u立方米，每天的进出水量为上立方米.已知污染源以每天厂个单位污

染河水，某一时段］（单位：天）河水污染质量指数为加（。（每立方米河水所含的污染物）满足

加⑺=为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍.若

KyKJ

从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%,需要的时间大约是（参考数据：

In10«2.30）（）

A.1个月B.3个月C,半年D.1年

8.若不同两点P、。均在函数y=/（x）的图象上，且点P、。关于原点对称，则称（只。）是函

数丁=/（%）的一个“匹配点对”（点对（只。）与x=0视为同一个“匹配点对”）.已知

f，〉0

一恰有两个“匹配点对"，则”的取值范围是（）

2ax2,x<0

二.多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选

项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列式子等于COS的是（）

Geosx+sinx

L/.---------------------------------------------------

2

10.某市组织2022年度高中校园足球比赛，共有10支球队报名参赛.比赛开始前将这10支球队

分成两个小组，每小组5支球队，其中获得2021年度冠、亚军的两支球队分别在第一小组和第二

小组，剩余8支球队抽签分组.已知这8支球队中包含甲、乙两队，记''甲队分在第一小组”为事

件“乙队分在第一小组”为事件AT2,“甲、乙两队分在同一小组”为事件M3,则（）

A.P(M)=；3

B.P(M)=,

C.p(必)+P(%)=P(M)D.事件与事件M3相互独立

11.已知直线/：y=与抛物线ay2=2px（p>o）相交于46两点，点力在矛轴上

方，点是抛物线c的准线与以48为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（）

"陷2

A.p=2B.k=，2C.MFLABD.7—^=7

回5

12.已知四面体⑦的一个平面展开图如图所示，其中四边形/田”是边长为2近的菱形，B,C

分别为9的中点，8。=2&，则在该四面体中（）

A.BE1CD

B.庞•与平面颇■所成角的余弦值为交叵

15

C.四面体力用力的内切球半径为《变

30

D.四面体4及力的外接球表面积为9万

三.填空题（共4题，总计16分）

13.已知函数/（x）=（e'+aeT）ln（x+石）是偶函数，则。=.

14.将五枚质地、大小完全一样的硬币向上抛出，则正面向上的硬币枚数为2或者3的概率为

15.若椭圆龙2+>28$。=（0<。<_|卜勺焦距为2,则该椭圆的离心率为.

16.已知函数/（x）=X3—以（4>0）,b,c分别是/（%）的极大值点与极小值点，若d>6且

=则｝_____.

四.解答题（共6题，总计74分）

17.已知等差数列｛qj首项为2,且4,2+%,4+四成等比数列.数列｛2｝的前〃项和为S”,

且S“=2"-l.

（1）求｛叫与也｝的通项公式；

（2）若c“=a也,求数列匕｝的前〃项和却

18.如图，在小中，。，h,c分别是角A,B,C所对的边且是三个连续的正整数，其

中a<bvc,C=2A.

（1）求/?；

（2）将线段A8绕点A顺时针旋转，到A。，且cos6=，，求小面积.

19.5G网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.2020年初

以来，我国5G网络正在大面积铺开.A市某调查机构为了解市民对该市5G网络服务质量的满意程

度，从使用了5G手机的市民中随机选取了200人进行问卷调查，并将这200人根据其满意度得分

分成以下6组：［40,50）、［50,60）、［60,70）、…，［90,100］,统计结果如图所示：

（1）由直方图可认为A市市民对5G网络满意度得分及单位:分）近似地服从正态分布"（从。?），

其中〃近似为样本平均数最，近似为样本的标准差s,并已求得s=14.31.若力市恰有2万名5G

手机用户，试估计这些5G手机用户中满意度得分位于区间（41.88,84.81］的人数（每组数据以区间

的中点值为代表）；

（2）该调查机构为参与本次调查5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有3轮抽奖活动，每

一轮抽奖相互独立，中奖率均为:.每一轮抽奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未

中奖，则抽奖活动结束.现小王参与了此次抽奖活动，求小王所获话费总额X的数学期望.

参考数据：若随机变量Z服从正态分布N（〃,b2）,即Z~N（〃,b2）,则

P（/j-a<Z<=0.6827,P（/z-2cr<Z</J+2a）-0.9545.

20.如图，在三棱锥P—A6c中，为等腰直角三角形，PA^PC,AC=2,一ABC为

正三角形，。为4C的中点..

（1）证明：平面?£火，平面P4C；

（2）若二面角P-AC-3的平面角为锐角，且三棱锥尸-A3C的体积为更，求二面角

6

A—的正弦值.

21.已知抛物线J=2px（p>0）的准线与圆/+；/=4相切.

（1）求P；

(2)若定点A(4,2),8(T,0),V是抛物线上的一个动点，设直线4犷，5M与抛物线的另一交点

分别为、M2,Mi”?恒过一个定点.求出这个定点的坐标.

22.已知函数/(x)=e「er-asinx,a>Q,其中e是自然对数的底数.

(1)当x>0,/(x)>0,求。的取值范围；

⑵当“>1时’求证：J；"Lsiwsin(l一

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参考答案

一.单项选择题

1.【答案】：c

2.【答案】:D

3.【答案】：D

4.【答案1C

5.【答案】:B

6.【答案】：D

7.【答案】：C

8.【答案】：B

多选题

9.【答案】:CD

10.【答案】:ABD.

11.【答案】：ABC

12.【答案】：ACD

—填空题

13.【答案】:—1

5

14.【答案】:

8

15.【答案】:也

2

16.【答案】：2

17【答案】：

(1)an=2n,bn=2'-'

n+i

(2)Tn=(n-l)-2+2

【解析】：

【小问1详解】

设｛4｝的公差为d,因为。|=2,(2+。2『=6・(4+%)

所以(4+df=2(6+6d),解得2=2,

所以。“=2+2(n-V)=2n.

数列也｝的前〃项和为S,,且S'=2"-1，①

当〃22时，S“_1=2"T—1,②

①-②，得b“=2"T.

当〃=1时，4=2—1=1,满足a=2"7,所以"=2")

【小问2详解】

因为q,=anbn=In-2”T=n-2",

所以7；=lx2l+2x22+…+(〃-l)•2"T+".2".③

27；,=lx22+2x23+---+(»-l)-2rt+n-2,,~l,④

③一④，得一7=2+22+---+2H-n-2,,+1=2^2--^-H-2,,+I>

"2-1

所以<=(〃—1>22+2.

18【答案】:

(1)b=5

(2)35+15&

4

【解析】：

【小问1详解】

由题意知a,c可以分别表示为人—1,b+\,

/?4-l

由正弦定理，得红工b+1_b+1_b+1,得cosA=

sinAsinCsin2A2sinAcosA2(^-1),

后+e+1)2_0_1)[6+4

由余弦定理得cosA=

2励+1)-2优+1)

b+4_b+\

所以2(1+1)-2(,-1),解得行=5.

【小问2详解】

由(1)知匕=5,c=6,cosZBAC=-,贝Isin/BAC=也.

44

因为cos6=也^，且。＜。＜2，所以sin。=

323

所以

币币3正7+30

sinZCAD=sin(ZBAC+6)=sinABACcos0+cosABACsin0=----x------F—x----=-----------

434312

iVisjiac1,■/尸”八1c,7+3>/235+15\/2

则4的面积S=—bcsmZ.CAD=-x5x6x----------=--------------

22124

19【答案】：

（1）16372（人）

1300

(2)（元）

27

【解析】：

【小问1详解】

由题意知样本平均数为7=45x0.1+55x0.15+65*0.2+75x0.3+85x0.15+95x0.1=70.5，

.•.4=1=70.5,丁cr=s=14.31,所以，(〃一2s,〃+s]=(41.88,84.81],

而P(〃一2x<ZW〃+s)=；P(〃-cr<ZW〃+cr)+；(〃-2cr<ZW〃+2cr)=0.8186

故2万名5〃手机用户中满意度得分位于区间［41.88,84.81］的人数约为20000x0.8186=16372

（人）

【小问2详解】

由题意可知才的可能取值有0、100、200、300,

2221130()

E(X)=0x-+100x-+200x—+3(X)x—=（元）

39272727

20【答案】：

（1）证明见解析

⑵述

7

【解析】：

【小问1详解】

证明：VPA^PC,〃为〃'中点，AACA.PD.

又.ABC为等边三角形，BA=BC,：.ACA.BD.

,：BDPD=D,BD,PDu平面PDB,ACJ•平面。如

：ACu平面为C,...平面处C_£平面P£）B.

【小问2详解】

•.〈ABC为正三角形，AC=2,：.cABC的面积为石，设三棱锥P—ABC的底面ABC上的

高为力，

/0*//=且/7=正=力=1,作PO_LOB于。，由（1）「。_1平面48。，所以「。=!，

PM33622

又PD=1,所以ZPDO=30°,DO=—

2

所以。是阳的中点，记BC的中点为£,以OBOE,OP为X，»z轴，建立空间直角坐标系

O-xyz,则

，＜0,0,1]

点00〕Cr--凡JU。）

22

I)7

'p8=悍。，-4,PC=1字

・・.AP=

设〃।=（X，y,zJ是平面用6的一个法向量

G1_n

+y+9]=0

=><氐;：：+；=（/取"=小5

61_n

—x,—z,=0

I2121

设%=（无2,%，22）是平面阳。的一个法向量

-z=0

22

T取〃2=(i,G,V^)

百,1_n-\3%->+2y,-z,—0

--7/+必―/=0

々•%11-3+311

COS⑶-'-设二面角A—必―C的平面角为氏

7

1一8“2如〃2）=军

则sin6=Jl—cos?”

21【答案】:

(1)〃=4；

（2）（4,16）

【解析】：

【小问1详解】

依题意，直线x=\与圆d+y2=4相切，£=2,p=4.

【小问2详解】

<2\/2A/2\

抛物线方程V=8x,设M今,%,%今,y,M今，为，

、8J（8J\o）

22

A_A

过MM,的直线方程为尤—宣=88（）,_yj

8'0

化简得：/MM：8x=（yo+y）y-%y同理，/”%：8*=（%+必）丁一%%，

又4”必，4晚分别过A（4,2）,B（-4,0）.

32=2（%+凶）-,32=yoy2

消去%,16（%+%）=>跖+32代入得

IM,M2

lMlM2:8x-32=(y+%)(y-16),直线必必恒过一个定点(4,16).

22【答案】：

(1)(0,2];

(2)证明见解析

【解析】：

【小问1详解】

解:因为/(%)=e*-b―asinx,则/'(x)=e'+e-*-acosx,

①当0<a42时，由一1Wcosx<1可知-2W-aWacosx<a<2,

又因为6'+6-*22，7或=2,当且仅当x=0时，等号成立，

所以/'(x)=ev+e-'-acosx20恒成立，且