【2023小升初】等积变形（思维提高）-小升初数学思维拓展卷（通用版）

等积变形

一.填空题(共30小题)

1.如图，在正六边形ABCQM中，如果黑色部分的总面积为120,则灰色部分的总面积为，

*'

0

2.如图，在4X4的正方形方阵中，S阴SABCD=______。

0

BC

3.如B图，形ABCDEF.如果正六边形ABCf)E尸的面积为80平方厘米，那么用来组成正六边形ABCDEb的所有菱形的面积总和是平方匣米.

4.如图是由两个直径为2的圆和四个腰长为2的等腰直角三角形组成，则图中的阴影部分面积是.(π=3)

5.如图，正卜二边形的面积是2016平方厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米.

6.如图，梯形A8C。面积为30,下底8。是上底AQ的2倍，那么阴影部分的面积是.

7.如图，直角三角形A3C中，NABC=90°,AC=14,四边形BCDE和四边形4"G都是正方形，连结AD与5C相交于点〃，如果G”与AC平行，那么阴影四边形8瓦汨的面积是.

8.一个容积是100立方厘米的水杯（即这个水杯装满水时，水的体积是100立方厘米），内有一部分水，盛盛向杯中放入了一个小正方体，水溢出了20立方厘米；盛盛又向杯中放入了一个相同的小正方体，水又溢出了

30立方厘米（如图），那么，原来水杯中装有立方厘米的水.

沮出20cm,又溢出30CE'

■RQ

9.如图，已知梯形ABCD中，CD=IO,梯形ABC£）的高是4,那么阴影部分的面积是一

DEC

10.两个正六边形的面积都是2016,中间连接一个正方形，那么图中阴影三角形的面积是.

II.如图，已知正方形A4CZ）的边长8厘米，正方形DEFG边长5厘米，则三角形AC”的面积是平方厘米.

12.正方形A、8、C、。的边长依次是15,b,10,d（b,d都是自然数），若它们的面积满足SA=SS+SG5D,则加d=,

13.如图，若长方形S长方形ABa）=60平方米，S长方博χy∑∕?=4平方米，贝IJ四边形S网如EKPG〃=平方米.

14.长方形A4C。被CE、。尸分成四块，已知其中3块的面积分别是5、16、20平方厘米，那么四边形ADoE的面积是平方厘米.

15.如图所示，正方形ABCO的对角线80长20厘米，BDFE是长方形.那么，五边形ABEFo的面积是平方厘米.

A

16.计算：123456789X8+9=.

17.掷出2个骰子，将2个骰子掷出的点数相加，和最有可能得到的数字是.（每个骰子是正方体，6

个面上分别是1到6,例如：第一个骰子掷出3,第二个骰子掷出5,那么两个点数的和就是8）

18.有一个正方体木块，每个面上分别写上了1,2,3,4,5,6,并且相对两面上的数的和是7.这个木块按如图放置后，按照图中箭头所示方向翻动，翻动到最后一格时，木块朝上一面的数是.

19.2400年前的希腊数学家毕达哥拉斯称数列1,3,6,10,15,…为三角数列，他和门徒用1个圆点代表1,并且把三角数用如图所示的图形表示，那么2016年是三角数列中的第项.

20，人们都不使用阿拉伯数字计数，而是使用英文字母计数，A、B、C…,Z分别对应0,1、2、…，25,请问地球上的2016星球上应表示为,

21.下面是一串按某种规律排列的自然数：1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,…请问：其中101个数至第110个数的和是。

22.在数列1,2,3,4,5,6,7,8,9,…,2015.2016中，去掉带有数字1和9的数，把剩下的数从小到大排成一列：2,3,4,5,6,7,8,20,22,23,24,25,26,27,28,30,那么在列数从左到右第319

个数是.

23.如图是用棋子摆成的“巨”字.按以下规律继续摆下去，一共摆了16个“巨”字，那么共需要..枚棋子.

・•••••

•••••••••

••••

•••••

••••••••

24.如图中的30个格子中各有一个数，其中最上面一行和最左面一列中的数己经填好，其余每个格子中的数等于同一行最左面数与同一列最上面数之和（例如。=14+17=31）。请问：这30个数的总和等于,

101113151719

25.将图中左边的大-:角形纸板剪3刀，得到4个大小相同的小三角形纸板（第•次操作），见图中间，再将每个小三角形纸板剪3刀，得到16个大小相同的更小的Y角形纸板（第二次操作），见图右边，这样继续操作

下去，完成前六次操作共剪了刀.

26.设ABCD是宽为I厘米的长方形，画一条与它的宽平行的直线将它分成两个长方形，使得其中一个长方形的周长是原来长方形周长的一半，余下的长方形为AdiCiOi,对于长方形AiBCiA再画一条与它的宽平行的

直线将它分成两个长方形，使得其中一个的长方形的周长是AmcIe周长的一半，余下的长方形为A282C2Q2,…，这样一共分割了十次，最后余下的长方形周长是6厘米，原来长方形的周长是厘米.

27.如图所示，从一个正三角形开始以下操作：

第•步，将三个边分别一:等分，在每•条边的中间三分之一处，向外做边长等于原来边长三分之•的小正：角形，并删除底边，得到一个六角星：

第二步，对六角星的每•条边继续第•步的操作，得到∙个更为复杂的六角星：

这样•直下去，就会得到一个类似雪花的美丽图形，这个图形是瑞典数学家柯赫于1904年首先构造出来的，被称为“柯赫曲线”.

设原三角形的面积为1，那么，第3步后，所得到图形的面积为.

∆0G0

28.有一串数I,2,4,7,II,16,…是按照一定规律依次排列的，按照此规律，这串数的第十个数是.

29.如图所示，用红、黄、蓝3种颜色的彩笔，按规律给表格染色。第20行和第30列交叉处的方格所染的是颜色。

红黄篮红黄

亘¥亘ɪ-

匡ɪ宜…

ɪɪ—

-

宜-

30.在下列每个2X2的方格中，4个数的排列存在着某种规律.根据这样的排列规律，可知♦=.

∣2∣1∣∣3∣4∣16∣4∣15卜|

二.解答题（共30小题）

31.四边形ABCD中，M为AB的中点，N为C。的中点，如果四边形48Co的面积是80平方厘米，求阴影部分BNQM面积是多少？

32.如图，在梯形ABCo中，对角线AC、8。相交于。点，OE平行于AB交腰BC于E点，如果三角形OBC的面积是115平方厘米，求三角形AOE的面积？

33.熙熙军团的胸章是如图所示的正八边形图案，已知正八边形的边长为18.那么阴影部分的面积是多少？

34.有四条弧线都是半径为3厘米的圆的一部分，它们成一个花瓶（如图）.请你把这个花瓶切成几块，再重新组成一个正方形，并求这个正方形的面积.

35.如图所示，点M是平行四边形ABC。的边CD上的一点，且Z）M：MC=I：2,四边形EBR7为平行四边形，FM与BC交于息G.若三角形R7G的面积与三角形的面积之差为135落求平行四边形ABCD的面

积.

36.5个相同的长方形放在一个正方形内，所有长方形的边都平行于正方形的对应边，正方形的边长为24厘米，求：单个长方形的面积.

37.边长分别为8cm和6s?的两个正方形ABCO与BEFG如图并排放在一起.连接OE交BG于P,则图中阴影部分八PEG的面积是多少？

8cmB6cmE

38.如图，八8C。是个梯形，其对角线的交点为。，延长AC至点£满足CE=AO,延长08至点凡满足BF=O。若48FG的面积为2015平方厘米.求：ZXCGE的面积.

39.如图，E为正方形ABCO的边AB的延长线上一点，尸为线段QE上一点，描交BC于点G、ED交BC于点H,已知5A柞=50,SSFCE=15,SMBC=175,

（1）直接写出34HG

（2）求SMBFX

（3）求正方形48CD的面积：

（4）求梯形AGHQ的面积.

40.如图，四边形ABC。的对角线AC和8。相交于0点，如果S△48。=10,Sjsc=12,Sz^DC=20,那么S"好的面积是多少？

41.如图，正方形ABCo的面积为1,E、F分别为8。、CD的中点，AE和8尸相交于点0.求:

(1)ZXABE的面积;

(2)AO：OE；

(3)ZU08的面积；

(4)ACOO的面积.

42.如图，大正方形的周长比小正方形的周长多80厘米，阴影部分的面积为880平方厘米，那么，大正方形的面积是多少平方厘米？

43.某校科技小组有一块长方形试验田，已知这块试验田的面积是7.79平方米，并且长比宽多2.2米，这个长方形的周长是米.

44.把一个正方形的一边减少20%,另一边增加2米，得到一个长方形.它与原来的正方形面积相等.问正方形的面积是多少？

45.如图ABeD是平行四边形，E为AB延长线上一点，K为AO延长线上一点.连接5K,DE相交于一点O,问：四边形AooB与四边形ECK。的面积是否相等？请说明理由.

46.找规律：(高等难度)

根据下面字母的排列规律abaebadebabaebadebabaebadebaba`,,,确定第100个字母应是=.

47.找出规律，并在空格中填上合适的数。

49.按图里呈现的规律，第10个图由多少个O组成？

工

O&(⅛)∞⅛

50.下面•组图形的一:角形位置是有规律的，请根据这个规律把第四幅图填在横线上.

51.找规律，在空格里填上适当的数.

(1)

8175

1216

IO119

(2)

71412

4129

624

52.找规律，请在如图的空格中填入适当的数.

53.已知数列5,7,11,17,-S按照前几项规律，写出第十五项的数，应该是多少？

54.有一个100位的数，各位数字都是1,这个数除以6,商的个位数字是几？

55.仔细观察如图所示的图，把不同类的图找出来。

56.根据每道题前面图形中各数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数.

57.根据已给图形的变化规律，把所缺的图形补上。

58.按图形的变化规律，接着画出第四幅图。

OOOO»000e•0o

♦♦♦♦

60.发现规律，并在空白处填上适当的图形。

等积变形

参考答案与试题解析

一.填空题（共30小题）

1.如图，在正六边形ABSEF中，如果黑色部分的总面积为120,则灰色部分的总面积为3。

询

D

【分析】如图所示，连接、因为为正六边形，所以，又因为ABCDEF为正六边形，所以SdBGH=S,0GH=S201H=SdCHl=13s

4QHQ,ABCOEFSΔAGO=SΔAPO=SΔDRO=S^DIO=S^OBI=S^OGC≈

△OCG=I0：同理可得：SMPQ=S"OQ=SdRoQ=S.ERQ=13S△（）PE=I0：所以，阴影部分面积=8XHG=80。

【解答】解：如图所示，连接A。、HQ,

因为ABCDE尸为正六边形，

所以SfSGo=SWO=S,∖DRO=SsDIO=S.OBl=SdoGC=SdORF=SdoPE=1+4=3。;

又因为为正六边形，所以

ABCDEFSΛBGH=S^OGH=S^oiH=S^CHI=13SΔOCG=10；

同理可得：SMPQ=S,OQ=SdROQ=S&ERQ=13SM）PE=10；

所以，阴影部分面积=8×SAOHG=800

故答案为：80

A

D

【点评】本题关键在于找到并连接AD、"Q两条辅助线；再根据正六边形的性质得到各个三角形面积。

2.如图，在4X4的正方形方阵中，S阴SABCD=711200

K

BC

【分析】如图，连接PO、EO.AP.ORPC；再根据梯形中的蝴蝶模型中的面积比。2：H：ab：必，即可求出S,3即、S4QPR、SΛOPQ›Szʃɑ的面积。因为正方形ABCZZ且A。、BC为正方形对角线，可以求出

A0B+S∆A0C+SΔC0D=34×SABCD：再用大面积减去空白面积计算即可。

【解答】解：如图，连接PO、EO、AP.OF.PCx

由图可知，AE=I,OM=I2。

且S梯形AEOM=(12+l)X2÷2=32,

S梯形BFoM=(12+2)X2÷2=52;S阴影SABCD=971516=71120：

蝴蝶模型可知：

因为OMAE=I2,所以SZ∖OPM=Il+2+2+4s梯形AEoM=I9x32=16：

所以S∆AEP=4S∆OPM=23;

同理可得，SΔOMQ=110,SΔBFQ=85;

因为S∆AOD+S∆AOB+SΔBOC=34SABCD=12;

所以阴膨部分的面积为：

12-SMEP-S∆OPM-SaOMQ-SdBQF

=12-16-23-110-85

=9715。

所以S阴影SABCD=971516=71120

故答案为：71120

【点评】本题难度较高，主要考查梯形中的蝴蝶模型，关键在于添加OM、AE.OE.BM.O尸这几条辅助线构造蝴蝶模型，难度较大。

3.如图，形ABCDER如果正六边形ABcDEF的面积为80平方厘米，那么用来组成正六边形ABCDE尸的所有菱形的面积总和是平方厘米.

【分析】按题意，可以将图形等积变形，再图中用虚线标出所有的小菱形，再数•下有多少个小菱形，即可求得菱形的面积.

【解答】解：根据分析，如图，将正六边形ABCDE/分割成若干个面积相等的小菱形,

共有48个小菱形，每个小菱形的面积为：80÷48=53平方厘米，

则画实线的菱形面积为：53X27=45平方厘米.

即：那么用来组成正六边形ABCDEF的所有菱形的面积总和是45平方厘米.

故答案是：45.

【点评】本题考查了等积变形，本题突破点是：将图形等积变形，只要数出小菱形的个数，即可算出所有菱形的面积.

如图是由两个直径为2的圆和四个腰长为2的等腰直角三角形组成，则图中的阴影部分面积是4.5.(π=3)

将右边阴影部分补到左边对应位置上，可以补成大等腰三角形,面积为2X(2×2)÷2=4:还有两个弓形，刚好是半网减去小等腰三角形的面积，半圆面积为3X(2÷2)2÷2=1.5,小等腰三角形面积为2X(2÷2)

÷2=1,那么弓形面积为1.5-1=0.5；从而求出整体阴影面积为4+0.5=4.5,据此解答即可.

【解答】解：见上图，根据分析可得，

大等腰角形面积为：2X(2×2)÷2=4,

半圆面积为：3X(2÷2)2÷2=1.5,

小等腰三角形面积为：2X(2÷2)÷2=1,

弓形面积为：1.5-1=0.5,

整体阴影面积为：4+0.5=45

答：图中的阴影部分面枳是4.5.

故答案为：4.5.

t点评】本题关键是在保证面积不变的情况下通过旋转平移使的问题简单化.解答这种类型的问题往往利用“割补结合”等积变形：观察图形，把图形分割，再进行移补，形成一个容易求得的图形.

5.如图，正十二边形的面积是2016平方厘米，那么图中阴影部分的面积是672平方厘米.

【分析】据观察，可以将阴影部分的面积等积变形，画在图中，标上字母，不难求得阴影部分的面积.

【解答】解：根据分析，如图，首先将阴影部分等积变形成下图形状，并设正三角形面积为

四边形面积为b,整个正十二边形是由12个α这样的正三角形和6个b这样的四边形组成，

而阴影部分是由4个α这样的正三角形和2个b这样的四边形组成，恰好是整个正十二边形的13,

故阴影部分面积=2016X13=672平方厘米.

故答案是：672.

【点评】本题考查了等积变形，本题突破点是：将阴影部分面积等积变形，不难求得阴影部分的面积.

6.如图，梯形ABCQ面积为30,下底BC是上底AO的2倍，那么阴影部分的面积是20.

因为梯形的上下底平行，所以三个阴影三角形等高，再根据“等底等高的三角形面积相等”转化为求三角形A8C的面积即可.

【解答】解：因为下底BC是上底AO的2倍，所以A。：BC=L2,

则阴影部分的面积是30X22+1=20.

故答案为：20.

【点评】利用等积变形，根据等底等高的三角形面积相等转化能使问题简单化.

7.如图，直角三角形ABC中，ZAfiC=90o,AC=14,四边形BCQE和四边形ABFG都是正方形，连结与BC相交于点从如果G”与AC平行，那么阴影四边形”的面积是98.

【分析】设小正方形的边长为小大正方形的边长为。，根据AGF//中的勾股定理以及4A8"SZ∖AEO的比例关系，得到/+庐=^?,ab-a=a+bb,代入梯形面积中计算即可.

【解答】解：设小正方形的边长为小大正方形的边长为A

根据G"与AC平行可得FH=BC=b,

工在AGFH中,a2+h2=142,①

由BH〃ED可得AABHSAAED,

ΛABBH=AEED..,.ab-a=a+bb,②

S阴毋=12(b-a+b)}=2b2-ab2,

z

由②可得H?=//-a,

S∣Ath=2b2-ab2=a2+b22=98.

故答案为：98.

【点评】考察勾股定理及详细-：角形的比例关系，灵活将所知量进行转换，本题即可解决.

8.•个容积是IOO立方厘米的水杯(即这个水杯装满水时，水的体积是I(X)立方厘米)，内有•部分水，盛盛向杯中放入了•个小正方体，水溢出了20立方厘米：盛盛又向杯中放入了•个相同的小正方体，水乂溢出了

30立方厘米(如图)，那么，原来水杯中装有90立方厘米的水.

溢出20cm'乂溢出Mcm'

■HQ

【分析】首先放入的木块水溢出20C/〃3,此时容器是满的，再加入相同的木块水溢出30”尸，说明木块的体积是30Cm3,而不是20“/.说明第一次加入时候容器是有空余的.做差即可.

【解答】解：根据木块的体积相同，第二次加入时候水溢出30.第一次水溢出20.证明原路容器中有30-20=10cτ√空余部分.

这个容器共IOOtvn3,原来的水共有100-I0=90C∕∕Z3.

故答案为：90

【点评】根据两次水溢出的水量不同判断第二次才是木块的体积，第一次容器中水没有装满，根据条件做差即可求解.问题解决.

9.如图，己知梯形ABCO中，CD=IO,梯形ABCo的高是4,那么阴影部分的面积是一20.

【分析】如下图：连接AC,aAEC和48EC如果都以EC为底，那么它们属于同底等高的两个三角形，故，它们的面积相同；这样整个阴影部分的面积就等于AAOC的面积.

【解答】解：如上图所示：连接AC,ZXAEC和ABEC如果都以EC为底，那么它们属丁•同底等高的两个三角形，故，它们的面积相同；

这样整个阴影部分的面积就等于Z∖AOC的面积，而AAOC的高等于梯形的高;

即：阴影部分面积=AAOC的面积=OCX高÷2=10X4÷2=20.

故：应该填20.

【点评】等积变换重点找和部分阴影面积相等的图形.

10.两个正六边形的面积都是2016.中间连接•个正方形，那么图中阴影一:角形的面积是一672.

【分析】如下图，进行等积变形，将正六边形六等分，•份的面积为2OI6÷6=336,由此即可解决问题.

【解答】解：如下图，进行登积变形,

将正六边形六等分，一份的面积为2016÷6=336,

所以阴影部分的面积=336×2=672.

故答案为672.

【点评】本题考查三角形的面积、正六边形的性质、等积变形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题.

II.如图，已知正方形AACD的边长8厘米，正方形Z)E尸G边长5厘米，则三角形Ae/的面积是」平方厘米.

把图形补全成为•个大正方形，则阴影部分的面积就等于大正方形减去3个空白一角形的面积；据此解答即可.

【解答】解：8+5=13（厘米）

13×13-l3×5÷2×2-8×8÷2

=169-65-32

=72（平方厘米）

答：三角形ACF的面积是72平方厘米.

故答案为：72.

【点评】这种类型的问题，常常通过割、补、平移、旋转，把面积相等的图形补到另一个图形上，使不规则的图形变成规则的图形，以此来达到简算的目的.

12.正方形A、B、C、D的边长依次是15,b,10,d（Z>,d都是自然数），若它们的面积满足SA=S8+Sc+So，则Hd=13或15.

222

【分析】按题意，则有：SA=SB+Sc+Sι^∖5=b+∖O+d∖故可以求得b和d的平方和，根据b和d是自然数，可以得到〃和d的值，从而求得Hd的值.

【解答】解：根据分析，SA=SB+SC^-SD

=>152=^2+lθW,

=川+/=|25,

•・”和d是自然数，，①b=2,d=ll,W=13；

②b=10,d=5,Hd=15,

故答案是：13或15.

【点评】本题考查了等积变形，本题突破点是：可以求得力和d的平方和，根据方和d是自然数，可以得到6和d的值，从而求得Hd的值.

13.如图，若长方形SK力用4scc=60平方米，SK方拒XKZR=4平方米，则四边形S仲”吃EFG，=32平方米.

【分析】将图中面积相等的图形标出来，即等积变形，即长方形SK方后A8S减去SK方带XYNR四边形后剩的八个三角形的面积可分成两半，一半再四边形EAG〃中，从而由此可以求得S四边形日

【解答】解：根据分析，如下图所示：

长方形S&方琏ABCD=Sk方危XYZfi+AAEF+AEFR+AFBG+4FGX+AHCCh∙AHGY+ADHE+AHEZ

=S长方帚XYZR+2×(a+b+c+d)

=60=4+2X(a+b+c+d)

="+A+e+∙d=28

四边形S四W*EFGH=4EFR+AFGX+4HGY+AHEZ+S性方HiXYZR

=a+b+c+d+S长方形XYZR

=28+4=32(平方米).

故答案是：32.

【点评】本题考查了等积变形，本题突破点是：利用等积变形，将四边形的面积分割成四个三角和一个长方形，最后求和.

14.长方形ABCO被CA。产分成四块，已知其中3块的面积分别是5、16、20平方厘米，那么四边形八QOD的面积是一19平方厘米.

【分析】连E则由题意，EF=I2DC,FO=12DO,5ΔEDO=2SΔEOF=10,ΛSΔEDF=14SκΛllMβCD=5+10=15,可得S-形ABS=60,即可求出四边形AOOE的面积.

【解答】解：连则

由题意，EF=12DC,FO=12DO

.*.S∆EDO=2S∆E0F=10,ΛS∆EDF=14sKAftMfiCD=5+10=15,

*∙S长4.48CD=60,

：.四边形ADOE的面积是60-5-20-16=19,

故答案为19.

【点评】本题考查等积变形，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

15.如图所示，正方形ABCD的对角线8。长20厘米，BDFE是长方形.那么，五边形ABE/7）的面积是30—平方厘米.

A

ECF

【分析】如图所示，连接Ae与8。交于。，则图中的6个直角三角形的面积相等，即可得出结论.

【解答】解：如图所示，连接AG与8。交于。，则图中的6个直角三角形的面积相等，所以五边形ABHD的面积=6个△ABO的面积=6X12XIOX10=300平方厘米,

故答案为300.

A

EC

【点评】本题考查五边形ABEFo的面积的计算，考查等积变形，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

16.计算：123456789X8+9=987654321.

【分析】先计算出几个简单算式，再通过计算得出规律，

12X8+2=98,

123×8+3=987,

1234X8+4=9876,

12345×8+5=98765,

通过计算以上算式可得规律：从1开始的几个连续自然数组成的几位数乘8加几，结果是从9递减1的几个连续自然数组成的几位数，得数的位数和第一个因数的位数相同：依照此规律解答即可.

【解答】解：根据分析可得，

123456789×8+9=987654321

故答案为：987654321.

【点评】这种类型的找规律的题目，一般先从简单的入手，找到规律，是解决此题的关键.

17.掷出2个骰子，将2个骰子掷出的点数相加，和最有可能得到的数字是7.（每个骰子是正方体，6

个面上分别是1到6,例如：第一个骰子掷出3,第二个骰子掷出5,那么两个点数的和就是8）

【分析】用列表的方法分析每种和的可能情况，然后加以分析即可.

【解答】解：

从上表中可以看出，在这么多的和之中，7出现的次数最多.

故答案为：7.

【点评】此题采用列表的方法，将每种情况一一列举出来加以分析.

18.有一个正方体木块，每个面上分别写上了1,2,3,4,5,6,并且相对两面上的数的和是7.这个木块按如图放置后，按照图中箭头所示方向翻动，翻动到最后一格时，木块朝上一面的数是6

【分析】按照图中箭头所示方向翻动：两次向右翻动、两次向前翻动、1次向右翻动、1次向前翻动，翻动到最后一格时，木块朝上一面的数是6.

【解答】解：两次向右翻动，4在下，3在上，6在前，2次向前翻动，3在下，4在上，1在前，2在右，1次向右翻动，2在下，5在上，1在前，1次向前翻动，1在下，6在上，

故答案为6.

【点评】本题以正方体木块为模型，考查找规律，考查学生的动手动脑能力，确定每次翻动各面的数字是关健.

19.2400年前的希腊数学家毕达哥拉斯称数列1,3,6,1(),15,…为三角数列，他利门徒用I个圆点代表1,并且把三角数用如图所示的图形表示，那么2016年是三角数列中的第项.

【分析】每个三角形的点子可以用等差数列求和公式求出，(首项+末项)X项数÷2.

【解答】解：

20I6×2=4032

4032=64X63=(63+1)×63

所以项数是63,也就是第63个三角形

故填63

【点评】这题主要是通过将2016的2倍进行分解，分解成相邻两个数的乘积形式.

20，人们都不使用阿拉伯数字计数，而是使用英文字母计数，A、B、C-,Z分别对应0,1、2、…，25,请问地球上的2016球上应表示为LMME.

【分析】这题实际就是26进制，也就是逢26进一.26以内就用一个字母表示；大于25,小于26X26=676用两个字母表示：大于676,小于26X26X26=17576就用三个字母表示；大于17576,小于26X26X26X

26=456976就用四个字母表示.

【解答】解：

201644÷17576=11-8308,11对应着字母L

8308÷676=12∙∙∙19612对应着字母M

196÷16=I2∙∙∙412对应着字母4对应着字母E

所以这个数应表示为LMME.

【点评】这题满26才进一，因此要先确定这个数在什么范围之内，用几个字母表示.

21.下面是一串按某种规律排列的自然数：1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,…请问：其中101个数至第IK）个数的和是5300

【分析】首先根据题意，这个每2个数一组，是连续的自然数，分别求出第101个数和第110个数分别是多少，进而判断出第101个数至第110个数分别是哪些数；然后把这10个数相加，求出它们的和是多少即可。

【解答】解：第101个数是：（101+1）÷2=51

第IIO个数是：110÷2=55

所以第IOI个数至第110个数分别是：51、51、52、52、53、53、54、54、55、55；

它们的和是：51+51+52+52+53+53+54+54+55+55=530。

答：第IOI个数至第110个数的和是530。

故答案为：530。

【点评】此题主要考查了数列中的规律，解答此题的关键是分析出这10个数分别是多。

22.在数列1,2,3,4,5,6,7,8,9,…，2015,2016中，去掉带有数字I和9的数，把剩下的数从小到大排成•列：2,3,4,5,6,7,8,20,22,23,24,25,26,27,28,30,…，那么在列数从左到右第319

个数是588.

【分析】先看从1~99以内去掉1、9、IO~I9,21、29、31、39、41、49、51、59、61、69、71、79、81、89、90~99一共是36个数，剩下99-36=63个数；

100~199去掉；

200-299去掉36个数，剩下100-36=64个数；

同样300—399,400-499,500-599,同样都剩下64个数.

【解答】解：

1~99去掉36个数，剩下63个数:

319-63=256（个）

200~299去掉36个数，剩下IoO-36=64个数，同样300~399,400-499,500-599,同样都剩下64个数.

256÷64=4,所以要求的数是500-599留下的最后一个数.

故答案为：588.

【点评】此题的关键是找出去掠数的规律，从而分析得出要求的数在哪个范围内.

23.如图是用棋子摆成的“巨”字.按以下规律继续摆下去，一共摆了16个“巨”字，那么共需要1120枚棋子.

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【分析】由已知图形可以发现：前三个图形需要的棋子数分别为10,18,26,每个图形都比它的前一个图形多8个棋子，所以可得规律为第〃个“巨”字所需要的棋子数是8〃+2.

【解答】解：依题意得：〃=1,需要的棋子数为10；

〃=2,需要的棋子数为18；

〃=3,需要的棋子数为26：

因此〃=〃时需要的棋子数为8/Z+2：

当〃=16时•，需要棋子130个.

共需要lO+18+26+∙∙∙+13O=10+1302×16=1120（枚共

故答案为1120.

【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.

24.如图中的30个格子中各有一个数，其中最上面一行和最左面一列中的数已经填好，其余每个格子中的数等于同一行最左面数与同一列最上面数之和（例如α=14+17=31）°请问：这30个数的总和等于685°

10II13151719

12

14a

16

18

【分析】计算第二列时，U被计算了4次，同理，除了10,其他数字都被计算了4次，求和时就被计算5次，据此解答。

【解答】解：1（）+（Il+12+I3+I4+15+I6+I7+18+19）×5

=10+l5×9×5

=10+135X5

=10+675

=685

答：这30个数的总和等于685。

故答案为：685。

【点评】本题主要考查了找规律，根据求和过程中每行每列第一个数字计算的次数来求解是本题解题的关键。

25.将图中左边的大三角形纸板剪3刀，得到4个大小相同的小三角形纸板（第一次操作），见图中间，再将每个小三角形纸板剪3刀，得到16个大小相同的更小的三角形纸板（第二次操作），见图右边，这样继续操作

下去，完成前六次操作共剪了4095刀.

【分析】首先分析第二块是剪3刀，变成4块，之后就是每一块上都是3刀，继续计算即可.

【解答】解：依题意可知：

第一次是剪3刀变成4块.

第二次是每一块都被剪3刀共12刀变成16块.

第三次为I6×3=48（刀）；块数是16×4=64（块）；

第四次为64X3=192（刀）；块数是64X4=256（块）；

第五次为256X3=768(刀)；块数是256X4=1024(块)；

第六次为1024×3=3072(刀

3+12+48+192+768+3072=4095.

故答案为：4095

【点评】本题考查队找规律的理解和运用，关键问题是找到块数和刀数的关系.问题解决.

26.设ABC。是宽为1厘米的长方形，画一条与它的宽平行的直线将它分成两个长方形，使得其中一个长方形的周长是原来长方形周长的一半，余下的长方形为对于长方形4B∣C∣D∣再画一条与它的宽平行的

直线将它分成两个长方形，使得其中一个的长方形的周长是ABclz)I周长的一半，余下的长方形为A2&C2D2,…，这样一共分割了卜次，最后余下的长方形周长是6厘米，原来长方形的周长是厘米.

【分析】设每次分割时，大长方形的周长为C,余下的长方形周长为C2,分割后，增加了2个宽的长度，即2厘米，所以新得到的两个小长方形的周长总和为。+2,其中一个小长方形的周长为C