2023-2024学年江苏省无锡市广勤中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2023年江苏省无锡市广勤中学高三数学理上学期期末

试卷含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个

焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为（）

A.6-7区B.6一】c.2D.2

参考答案：

B

【分析】

设椭圆的两个焦点为人,弓，圆与椭圆交于四个不同的点，设用玛卜~，则

|M=c,此|=&.由椭圆的定义知斯=|圾|+|朋卜@c«c,根据离心率公式求

得答案.

【详解】解：设椭圆的两个焦点为4,4,圆与椭圆交于四个不同的点，

设用月|-2c,则鸟I=6c.

椭圆定义，得2x1T“KI+1"巴上de+c,

a=£=—=抬—1

所以a5/3+1,

故选：B.

1

2.函数y=sinx-x的图象大致是（）

▲

A.B.

c.D.

参考答案：

B

【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象.

【分析】判断函数的奇偶性，通过函数的导数，判断函数的单调性，利用特殊函数值判断

图象即可.

【解答】解：函数y=sinx-T是奇函数，排除D,

L7T

2--

函数y'=cosx+x,xG(0,2)时，y，>0,函数是增函数，排除A,

712

并且x="T时，y=l-元>0,排除C,

故选：B.

71

3.已知向量|a|=l,|b|=2,<a,b>=3,则|a+卜为()

A.9B.7C.3D.V?

参考答案：

D

【考点】向量的模.

【分析】由向量的数量积运算得让+己I』£+而2』.+2之行+/,把已知的数据代入

求解即可.

【解答】解：由题意得，G+EI=7(a+b)2=Va2+2a-b+b

jlI+2x1义2'xcosny-+4=、n

故选：D.

C://+2/=l甘

4.有一类双曲线芭和椭圆3有相同的焦点，在其中有一双曲线〃且过点

中.一3j.

7,则在K中任取一条双曲线其离心率不大于A的概率为（）

11y/2

A.2B.3C.2D.亚

参考答案：

A

9

♦z-a=i

由椭圆方程，易知双曲线Ei中，c1,b?la2,又『1-a?,解得,双曲线

111

Ei的离心率为％2,由题意，双曲线E的离心率为a,则1'■，即2'一,

_1

又O<a<c=l,故所求概率为0-3,所以正确答案为A.

5.已知4也446歌,则下列命题中必然成立的是（）

ab

A.若a>4c>b则4>cB.若则工7

C.若a'>占',则a>&D.若i>-b,则c-a<c1•&

参考答案：

D

对于选项A.a与c的大小关系不确定；

ab

对于选项B,取a=Zb=Lc=-Ld=-3,满足a>b,c>d,但不成立；

对于选项C,取==-Zb=-1,满足标,但a>6不成立；

对于选项D,若。>也则一。<“则c-a<c・b,选项D正确，

故选D.

6.设向量a,6满足：I=LIb\=2,a•（a+6）=0,则〃与6的夹角是

A.30°B.60°C.90°D.120°

参考答案：

D

7.已知”4则sin2x的值为（）

715±15

A.8B.16C,1<5D."16

参考答案：

A

.r*Sra7^x€（-1.♦«）

8.“a<l”是“x+1恒成立”的（）

A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条

件

参考答案：

A

9.已知点和圆♦必=0,过点P作圆c的切线有两条，则左的

取值范围是（）

s皑（岑.第（一卒。

A.RB.3c.33D.3

参考答案：

C

-1+4+k+4+k2>O,k2+4-4k2>0：•--<k<—

由题意得点二在圆「外33,选C.

a+i1

10.已知而与=b（1+i）（其中i为虚数单位，a,beR）,则a等于（）

1

A.-2B.2C.-1D.2

参考答案：

D

考点：复数相等的充要条件.

专题：数系的扩充和复数.

分析：根据复数相等的条件进行化简即可.

a+i_11

解答：解：由1+i2=b(1+i)得a+i-2(1+i)=b(1+i)(1+i)=2bi.

11

即a-2+2i=2bi.

11

则a-2=0且2=2b,

11

解得a=2,b=4,

故选：D.

点评：本题主要考查复数的计算，根据复数相等建立方程关系是解决本题的关键.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.命题”?xCR,x=sinx”的否定是.

参考答案：

?xGR,xWsinx

12.若函数f(x)=-2x3+2tx〉l存在唯一的零点，则实数t的取值范围为.

参考答案:

3

t>-2

【考点】函数零点的判定定理.

【分析】求解导数f'(x)=-6x2+4tx,分类讨论得出极值点,

根据单调性判断极值的大小，即可得出零点的个数.

【解答】解：(x)=-2x3+2tx2+l,

/.fz(x)=-6x2+4tx=0,

2t

x=0,x=3

(1)当t=0时，f(x=-2x'+l单调递减，

f(0)=1>0,f(2)=-15<0

・・・存在唯一的零点，是正数.

(2)当t>0时，

f7(x)=-6x2+4tx>0,即03

2>21

f'(x)=-6x2+4tx<00,即x<0,x3

2t

；.f(X)在(-8,0),(3,+8)单调递减

2t

在(0,T)单调递增

2t

极大值f(3)>f(1),极小值f(0)=1>0,

存在唯一的零点，

(3)当t<0时,

2t

f'(x)=-6x2+4tx>0,即3<x<0

2t

fz(x)=-6x2+4tx<00,即x<3,x>0

2t

；.f(x)在(-8,3),(0,+8)单调递减

2t

在(与，0)单调递增

2t

，极小值f（与）<f（1）,极大值f（0）=l>0,

2t

•.•只需极小值f（3）>0即可，

8t3

27+1>0,且t<0

3

-2<t<0,

3

综上：-2Vt<0,或t20

3

故答案为：t>-2

13.已知函数，（耳=2;则在［0,10］内任取一个实数。，使得，（马）216的概率

是-

参考答案：

0.6

14.复数〃-加+刁+面-4、（i是虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为.

参考答案：

1

略

15.过圆外一点F'作圆的切线尸4（只为切点），再作割线PBC依次交圆于B,C.

若EX=6,A<=8,B<=9,则4生.

参考答案：

4

TAPAB与APCA相似，"=—=——--=—=—,PB=3,AB==4

PCPACAPB+968

16.若直线/：ax+”=1与圆C：/+V=1有两个不同的交点，且点P的坐标为

（°»）,则点尸与圆「的位置关系是

参考答案：

户在圆外

17.将1卫二夕这9个数学填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每列从

上到下分别依次增大，当4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为一种（用数

字作答）；

参考答案：

12

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.（本小题满分13分）

已知为等差数列，且・出+/=12.（I）求数列3；的通项公

式；（II）记匕』的前附项和为号，若为•&成等比数列，求正整数上的值。

参考答案：

f2.+2d=8

（I）设数列以｝的公差为d,由题意知12al+"=12解得勺=2/=2

所以4=%+（"IM=2+2（M-1）=2n

如咄=如型

（II）由（I）可得22因成等比数

列，所以乙从而（冽'=2#+2）（上+3）,即二一$七_6=0

解得尢=6或七=T（舍去），因此七=6

19.（本小题满分12分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次

数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.

甲组乙组

970x89

1110

35

(I)如果乙组同学投篮命中次数的平均数为了，求X及乙组同学投篮命中次数的方

差；

(II)在(I)的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中，各随机选

取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为17的概率.

参考答案：

a_H2

(1)x=8,方差16.(2)3.

【解析】

8

试通分析：（1）由，=x+8+9+lO=

拳e

<2>记甲组投宣命中;欠觉低于10次的同学为4.4,他们的命中次H吩砌9.T.

乙组投望命中次鼓低于10次的丽9玛，身.为,他们的命中;温吩晒8,8,9.

依国谶,不同的选取方法有：

（44M4M（44）,（&易）<44）.《&鸟）共e冷.—9分

设“这两名同学0W望命中次射之和为为事件c,硝C中恰含有（4.A）.（4.易）共2神.

由古曲餐型K事的计■公式可傅.

试UH折，（1）休JB■得:，=二+1：9+10=?,第阳x=8.-------------3分

44

<2>记甲组投温命中;逢低于10次的同学为4.4>,他们的合中次f吩极）为T.

乙蛆投篮命中次H低于10次的同学为町号.即他们的命中;城分别为8,8,9.

依附■，不同的选取方法胃：

（44）.（44）<4㈤，（&A）.《小，》（4鸟》共6ff.—0分

设“这两名同学的投篮命中次M之和为n"为事件c,则c中恰含有（4.4）.（4.与）#2稗.

.•汽C）=".-------------12分

63

考点：基叶图，方差，古日默曼微率的计翼.

20.（本题满分12分）

为了研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度*满足：27°CLJ'3=<:）的生长状

况，某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验.现有关于该地区10月

份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：C）的记录如下:

30

♦平均•工」及

•平均量备温度

(I)根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期.

(II)设该地区今年10月上旬(10月1日至10月10日)的最高温度的方差和最低温度的

方差分别为估计A•乌的大小？(直接写出结论即可).

(III)从10月份31天中随机选择连续三天，求所选3天每天日平均最高温度值都在之间的

概率.

参考答案：

见解析

考点：概率综合

解：(I)农学家观察试验的起始日期为7日或8日.

(II)最高温度的方差大.

(III)设“连续三天平均最高温度值都在之间”为事件A,

则基本事件空间可以设为Q=((LZ3),(2J4),Q4,5),…<29,20,31»,共计29个基本事件

由图表可以看出，事件A中包含10个基本事件，所以29,

10

所选3天每天日平均最高温度值都在之间的概率为方

2L设函数〃加.2吗）d）的图象过点喉T.

吟10?r

（I）求”门的解析式；（II）已知1212；13,2，求

（3吟

I4）的值.

参考答案:

解（I）"⑺的图象过点U2）,：.I⑴I123；2

.../=2(3分)

/(x)=2sin(2x+g

故/。）的解析式为（5分）

a.a兀、刀]c.f八10