2023年荆州市中考数学压轴题总复习题及答案解析

2023年湖北省荆州市中考数学压轴题总复习

中考数学压轴题是想获得高分甚至满分必须攻破的考题,得分率

低，需要引起重视。从近10年中考压轴题分析可得中考压轴题主要

考查知识点为二次函数，圆，多边形，相似，锐角三角形等。预计

2023年中考数学压轴题依然主要考查这些知识点。

1.如图①，线段AB是。。的直径，AB=4,点C在。。上，∕C4B=30°,点P在射线

AC上运动(点P不与点A重合)，直径AB的垂线。。与AB的平行线PO相交于点D,

连接尸8,设P8=x.

(1)求X的取值范围；

(2)如图②，点E是线段尸3与通的交点，若EB=求证：直线PO与。。相切；

(3)如图③，当x=4时，连接A。，判断四边形ABPD的形状，并说明理由.

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2.对于平面直角坐标系XOy中的图形M及以点C为圆心，1为半径的OC,给出如下定义：

尸为图形M上任意一点，Q为OC上任意一点，如果P,。两点间的距离有最小值，那

么称这个最小值为图形M到OC的“圆距离”，记作d(M-C).

(1)点C在原点。时，

①记点A(4,3)为图形M,则d(M-O)=；

②点8与点A关于X轴对称，记线段A8为图形则d(M-O)=；

③记函数y=kx+4(A>0)的图象为图形M,且"(M-0)≤1,直接写出火的取值范围；

(2)点C坐标为C,0)时，点A,B与(1)中相同，记/AOB为图形M,且“(M-

C)=1,直接写出，的值.

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3.在平面直角坐标系Xoy中，过点N(6,-I)的两条直线∕ι,Ii,与X轴正半轴分别交于

M、8两点，与y轴分别交于点。、A两点，已知。点坐标为(0,1),A在y轴负半轴，

以AN为直径画OP,与y轴的另一个交点为E

(1)求M点坐标；

(2)如图L若C)P经过点M.

①判断。尸与X轴的位置关系，并说明理由；②求弦AF的长；

(3)如图2,若OP与直线/1的另一个交点E在线段OM上，求√TUNE+A尸的值.

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4.如图①，在AABC中，NA8C=90°,AB=A,BC=3.点P从点A出发，沿折线AB

-BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2

个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、。同时停止运动.当点P不与

点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q,连结尸。交AC于点E,连结。P、

DQ.设点P的运动时间为r秒.

(1)当点尸与点B重合时，求f的值.

(2)用含f的代数式表示线段CE的长.

(3)当aPOQ为锐角三角形时，求r的取值范围.

(4)如图②，取Po的中点M,连结QM.当直线QM与aABC的一条直角边平行时,

直接写出f的值.

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5.［初步尝试］

(1)如图①，在三角形纸片ABC中，NACB=90°,将aABC折叠，使点B与点C重

合，折痕为则AM与的数量关系为；

［思考说理I

(2)如图②，在三角形纸片ABC中，AC=BC=6,AB=IO,将aABC折叠，使点B与

AM

点C重合，折痕为MM求工二的值；

［拓展延伸］

(3)如图③，在三角形纸片ABC中，AB=9,BC=6,ZACB=2ZA,将AABC沿过顶

点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点夕处，折痕为CM.

①求线段AC的长；

②若点。是边AC的中点，点P为线段OB'上的一个动点，将aAPM沿PM折叠得到

PF

△A'PM,点A的对应点为点A',A'M与CP交于点F,求不的取值范围.

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6.阅读材料:

若小。都是非负实数，则α+8≥2√^.当且仅当时，“=”成立.

证明：∙.∙（√Ξ-√h）2>0,Λα-2√^+⅛>O.

'-a+b≥2√0fe.当且仅当“=b时，"="成立.

举例应用：

已知x>0,求函数y=2x+1的最小值.

解：y=2x+∣≥2J2x∙∣=4.当且仅当2x=g即x=l时，"=”成立.

当x=l时，函数取得最小值，y母小=4.

问题解决：

汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度.某种汽车在每小时70~110公里之间行驶

1450

时（含70公里和IIO公里），每公里耗油（二+二）升.若该汽车以每小时X公里的

18X2

速度匀速行驶，1小时的耗油量为y升.

（1）求y关于X的函数关系式（写出自变量X的取值范围）；

（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）.

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7.如图，二次函数y=∣r2+⅛r+c的图象过点A(4,-4),B(-2,,n),交y轴于点C(O,

-4).直线BO与抛物线相交于另一点。，连接AB,AD,点E是线段AB上的一动点,

过点E作EF//BD交AD于点F.

(1)求二次函数y=//+⅛x+c的表达式；

(2)判断aABO的形状，并说明理由；

(3)在点E的运动过程中，直线8。上存在一点G,使得四边形AFGE为矩形，请判断

此时AG与B。的数量关系，并求出点E的坐标；

(4)点H是抛物线的顶点，在(3)的条件下，点P是平面内使得∕EPF=90°的点，

在抛物线的对称轴上,是否存在点。,使得44PQ是以/P。”为直角的等腰直角三角形，

若存在，直接写出符合条件的所有点。的坐标；若不存在，请说明理由.

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8.已知I：菱形ABCQ和菱形A'B'C'D',ZBAD=ZB1A'D',起始位置点A在边

A'B'上，点B在A'B1所在直线上，点8在点A的右侧，点8'在点A'的右侧，连

接AC和A'C,将菱形ABcD以A为旋转中心逆时针旋转α角(0°<α<180o).

(1)如图1,若点4与A'重合，且NB4。=/B'A'D'=90°,求证：BB'=DD'.

(2)若点A与A'不重合，M是A'C上一点，当AM'=MA时，连接和A'C,

和A'C所在直线相交于点P.

①如图2,当NBAD=NB'A'D'=90°时，请猜想线段BM和线段A'C的数量关系

及NBPC的度数.

②如图3,当NBAD=NB'A,D'=600时，请求出线段BM和线段A'C的数量关系

及NBPC的度数.

③在②的条件下，若点A与4'B1的中点重合，A'B1=4,AB=2,在整个旋转过程

中，当点P与点M重合时，请直接写出线段BM的长.

D'C'D'C

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9.【了解概念】

有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线.

D

(1)如图①，对余四边形ABCD中，A2=5,BC=6,CD=4,连接AC.若AC=AB,

求sin∕C4O的值;

(2)如图②，凸四边形ABCZ)中，AD=BD,ADLBD,当ZCZAaP=CA?时，判断四

边形ABC。是否为对余四边形.证明你的结论;

【拓展提升】

(3)在平面直角坐标系中，点A(-L0),B(3,0),C(1,2),四边形ABCZ)是对

4E

余四边形，点E在对余线亚上，且位于"BC内部’4EC=9(Γ+NABC设靛="

点。的纵坐标为3请直接写出“关于，的函数解析式.

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10.小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.

1

图1图2图3

(-)猜测探究

在aABC中，AB=AC,M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与

/BAC相等的角度，得到线段AM连接NB.

(1)如图1,若M是线段BC上的任意一点，请直接写出NNAB与/MAC的数量关系

是,NB与MC的数量关系是；

(2)如图2,点E是AB延长线上点，若M是NCBE内部射线8。上任意一点，连接

MC,(1)中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由.

(二)拓展应用

如图3,在AAIBICI中，A∣β∣=8,ZΛ∣βιCι=60o,NBIAlel=75°,P是BCI上的

任意点，连接AiP,将AIP绕点Al按顺时针方向旋转75°,得到线段AiQ,连接BiQ.求

线段长度的最小值.

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11.已知：在BC外分别以CB,Ae为边作AAEB与AAFC.

（1）如图1,Z∖AEB与AAFC分别是以AB,AC为斜边的等腰直角三角形，连接EH以

EF为直角边构造RtZ∖EFG,且EF=FG,连接BG,CG,EC.

求证：①AAEF咨ACGE

②四边形BGCE是平行四边形.

（2）小明受到图1的启发做了进一步探究：

如图2,在aABC外分别以AB,AC为斜边作RtAAEB与RtZ∖AFC,并使∕E4C=NE48

=30°,取BC的中点£>,连接OE,EF后发现,两者间存在一定的数量关系且夹角度

ED

数一定，请你帮助小明求出二7的值及NOEE的度数.

EF

（3）小颖受到启发也做了探究：

如图3,在AABC外分别以AB,AC为底边作等腰三角形AEB和等腰三角形AFC,并使

ZCAF+ZEAB=90Q,取BC的中点。，连接DE,EF后发现，当给定NEAB=C（时，

两者间也存在一定的数量关系且夹角度数一定，若AE=m,AB=n,请你帮助小颖用含

ED

加，〃的代数式直接写出一的值，并用含α的代数式直接表示/OE尸的度数.

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12.如图1,直线y=χ-4与X轴交于点B,与y轴交于点A,抛物线y=经过点

B和点C(0,4),Z∖ABO沿射线AB方向以每秒√Σ个单位长度的速度平移，平移后的三

角形记为(点A,B,。的对应点分别为点。，E,F),平移时间为f(0<fV4)

秒，射线Z)F交X轴于点G,交抛物线于点M,连接ME.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当tan∕EMF=g时，请直接写出f的值；

1

(3)如图2,点N在抛物线上，点N的横坐标是点M的横坐标的3，连接OM,NF,

OM与NF相交于点尸，当NP=FP时，求f的值.

第：L2页共192页

13.在平面直角坐标系中，二次函数y=#+6x+c的图象与X轴交于A(-2,O),B(4,0)

两点，交y轴于点C,点尸是第四象限内抛物线上的一个动点.

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图甲，连接AC,PA,PC,若S△附C=竽，求点P的坐标：

(3)如图乙，过A,B,P三点作C)M,过点尸作X轴，垂足为。，交G)M于点£点

P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求

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14.在平面直角坐标系中，抛物线)，=-Jx2+bx+c交X轴于A(-3,O),B(4,0)两点,

交y轴于点C.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图，直线y='x+*与抛物线交于A,£)两点，与直线BC交于点E.若M(m,

0)是线段AB上的动点，过点M作X轴的垂线，交抛物线于点F,交直线4。于点G,

交直线BC干点、H.

①当点F在直线AD上方的抛物线上，且SsEFG=∣SΔ0EG时，求〃?的值；

②在平面内是否在点尸，使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；

若不存在，请说明理由.

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15.已知aABC内接于O。，AB=AC,NABC的平分线与。。交于点。，与AC交于点E,

连接CD并延长与。0过点A的切线交于点F,记NBAC=α.

(1)如图1,若α=60°,

①直接写出而的值为;

②当。。的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为

图1图2

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16.问题背景：如图1,在四边形ABCZ）中，ZBAD=WQ,NBC£>=90°,BA=BC,Z

ABC=120°,NMBN=60°,NMBN绕B点旋转,它的两边分别交40、OC于E、F.探

究图中线段AE,CF,EF之间的数量关系.

小李同学探究此问题的方法是：延长尸C到G,使CG=AE,连接8G,先证明ABCGg

△BAE,再证明aBFGgaBFE,可得出结论，他的结论就是；

探究延伸1：如图2,在四边形ABCQ中，NBAO=90°,NBCD=90°,BA=BC,Z

ABC=2NMBN,NMBN绕B点旋转.它的两边分别交AZXDC于E、F,上述结论是否

仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由；

探究延伸2：如图3,在四边形ABC。中，BA=BC,ZBAD+ZBCD=∖S0°,ZABC=2

ZMBN,NMBN绕B点、旋转.它的两边分别交A。、OC于E、F.上述结论是否仍然成

立？并说明理由；

实际应用：如图4,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的4处.舰

艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令

后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以

100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、尸处.且

指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°.试求此时两舰艇之间的距离.

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17.如图1和图2,在AABC中，AB=AC,BC=8,tanC=≡点K在AC边上，点M,N

分别在AB,BC上，且AM=CN=2.点P从点M出发沿折线MB-8N匀速移动，到达

点N时停止；而点。在AC边上随P移动，且始终保持NAPQ=N8.

（1）当点P在2C上时，求点尸与点A的最短距离：

（2）若点P在MB上，且PQ将AABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；

（3）设点P移动的路程为X,当0<xW3及3<x<9时，分别求点P到直线AC的距离

（用含X的式子表示）；

（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角/APQ扫描AAPQ区域（含边界），扫描器

随点P从M到B再到N共用时36秒.若AK=*,请直接写出点K被扫描到的总时长.

图1图2

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18.根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相

似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.

（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直

接在横线上填写“真”或"假"）.

①四条边成比例的两个凸四边形相似；（命题）

②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（命题）

③两个大小不同的正方形相似.（命题）

（2）如图1,在四边形ABCZ）和四边形AIBICIQI中，ZABC=AA∖B∖C∖,NBCD=N

√4BBCCD

BiCiDi,----=-----=-----.求证：四边形ABC力与四边形AlBlejOI相似.

AlBlB1C1C1D1

（3）如图2,四边形ABa）中，AB//CD,AC与8。相交于点。，过点。作EF〃A8分

别交A。，BC于点E,F.记四边形ABFE的面积为Si,四边形McZ）的面积为S2,若

四边形ABFE与四边形EFC。相似，求绘的值.

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19.探究

(1)如图①，在等腰直角三角形ABC中，NACB=90°,作CM平分NACB交AB于

点M,点。为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段

CE,连接力E交射线CB于点尸，连接B。、BE

填空：

①线段B。、BE的数量关系为.

②线段2C、Z)E的位置关系为.

推广：

(2)如图②，在等腰三角形ABC中，顶角NACB=α,作CM平分NACB交AB于点M,

点D为AABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转a度得到

线段CE,连接OE、BD、BE请判断(1)中的结论是否成立，并说明理由.

应用：

(3)如图③，在等边三角形ABC中，AB=4.作BM平分NABC交AC于点点。

为射线BM上一点，以点B为旋转中心将线段B。逆时针旋转60。得到线段BE,连接

OE交射线BA于点尸，连接A。、AE.当以A、D、M为顶点的三角形与aAEF全等时，

请直接写出OE的值.

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20.(1)【操作发现】

如图1,将AABC绕点4顺时针旋转60°,得到连接BC,则NABO=度.

(2)【类比探究】

如图2,在等边三角形ABC内任取一点P,连接PA,PB,PC,求证：以PA,PB,PC

的长为三边必能组成三角形.

(3)【解决问题】

如图3,在边长为夕的等边三角形ABC内有一点P,∕4PC=90°,NBPC=120°,求

△APC的面积.

(4)【拓展应用】

如图4是A,B,C三个村子位置的平面图，经测量AC=4,BC=5,NACB=30°,P

为AABC内的一个动点，连接∕¾,PB,PC.求∕¾+P8+PC的最小值.

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21.如图1,在平面直角坐标系中，。是坐标原点，抛物线y=∣χ2+fcv+c经过点B(6,0)

和点C(0,-3).

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图2,线段OC绕原点。逆时针旋转30°得到线段OD过点B作射线BZX点

M是射线BO上一点(不与点8重合)，点M关于X轴的对称点为点N,连接MW,NB.

①直接写出aMBN的形状为；

②设AMBN的面积为Si,AOOB的面积为是S2.当Sl=IS2时，求点M的坐标；

(3)如图3,在(2)的结论下，过点8作BELBM交NM的延长线于点E,线段BE

绕点8逆时针旋转，旋转角为α(0o<a<120o)得到线段2F,过点F作FK〃x轴，

交射线BE于点K,NKBF的角平分线和NKFB的角平分线相交于点G,当BG=2K时，

请直接写出点G的坐标为.

图1图2图3

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22.如图，抛物线y=∕+⅛x+12与X轴交于A,B两点(8在A的右侧)，且经过点C(-1,

7)和点D(5,7).

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)连接AD,经过点B的直线I与线段AD交于点E,与抛物线交于另一点F.连接

CA,CE,CD,aCED的面积与aCAQ的面积之比为1：7,点尸为直线/上方抛物线上

的一个动点，设点尸的横坐标为r.当f为何值时，APFB的面积最大？并求出最大值；

(3)在抛物线y=αv2+⅛r+i2上，当时，y的取值范围是12WyW16,求

的取值范围.(直接写出结果即可)

备用图

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23.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线产一步+法+。与X轴交于A,8两点，A点坐标

为(-2,0),与y轴交于点C(0,4),直线y=与抛物线交于B,。两点.

(1)求抛物线的函数表达式.

(2)求"?的值和。点坐标.

(3)点P是直线BO上方抛物线上的动点，过点P作X轴的垂线，垂足为“，交直线

8。于点尸，过点。作X轴的平行线，交.PH于点、N,当N是线段Pf的三等分点时，求

P点坐标.

(4)如图2,。是X轴上一点，其坐标为(一20).动点〃从A出发，沿X轴正方向

以每秒5个单位的速度运动，设M的运动时间为fG>0),连接AO,过M作MGl_A£>

于点G,以MG所在直线为对称轴，线段AQ经轴对称变换后的图形为A'Q',点M在

运动过程中，线段A'Q'的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段MQ1与抛

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24.已知函数yι=x+2m-1,"=(2〃?+1)x+1均为一次函数，，*为常数.

(D如图1,将直线4。绕点A(-1,0)逆时针旋转45。得到直线/,直线/交)，轴于

点艮若直线/恰好是yι=x+2"?-1,”=(2,"+l)x+1中某个函数的图象，请直接写出

点2坐标以及〃?可能的值：

(2)若存在实数6,使得向-(6-1)√1—b=0成立，求函数yι-x+2m-1,yι=(.2m+∖')

x+1图象间的距离；

(3)当时，函数yι=x+2∕"-l图象分别交X轴，y轴于C,E两点，”=(2∕n+l)

56

x+l图象交X轴于D点，将函数y=y∖∙y2的图象最低点F向上平移而工Y个单位后刚好

落在一次函数yι=x+2w-1图象上.设y=yι∙"的图象，线段。£>,线段OE围成的图形

面积为S,试利用初中知识，探究S的一个近似取值范围.(要求：说出一种得到S的更

精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值

差不超过0.01.)

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25.如图1,抛物线y=αx2+6x+3(a≠0)与X轴交于A(-1,O),B(3,0),与y轴交于

点C已知直线y=Ax+〃过B,C两点.

(1)求抛物线和直线BC的表达式；

(2)点P是抛物线上的一个动点.

①如图1,若点尸在第一象限内，连接用，交直线BC于点D设△「£><?的面积为Si,

△月OC的面积为S2,求T1的最大值；

②如图2,抛物线的对称轴/与X轴交于点E,过点E作EFj_8C,垂足为F∙点。是对

称轴/上的一个动点，是否存在以点E,F,P,。为顶点的四边形是平行四边形？若存

在，求出点尸，。的坐标；若不存在，请说明理由.

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26.如图，抛物线y=^x2+hx+c与X轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C.直

线y=∣x-2经过B、C两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上的一动点，过点尸且垂直于X轴的直线与直线BC及X轴分别交于

点。、M.PNLBC,垂足为N.设M（m,0）.

①点P在抛物线上运动，若R。、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三

点重合除外）.请直接写出符合条件的机的值；

②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时,是否存在一点P,使aPNC与AAOC相似.若

存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

（第24题图）（备用图）

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27.如图1,抛物线y=-a+法+。经过点C(6,0),顶点为8,对称轴x=2与X轴相交

(1)求抛物线的解析式；

(2)P为线段BC上任意一点，M为X轴上一动点，连接MP,以点M为中心，将AMPC

逆时针旋转90°,记点P的对应点为E,点、C的对应点为F.当直线EF与抛物线)=

-Jf+fex+c只有一个交点时，求点M的坐标.

(3)AMPC在(2)的旋转变换下，若PC=√Σ(如图2).

①求证：EA=ED.

②当点E在(1)所求的抛物线上时，求线段CM的长.

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28.【性质探究】

如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BZ)相交于点O,AE平分N8AC,交8C于点£作

DF工AE于点H,分别交A8,AC于点F,G.

(1)判断aAFG的形状并说明理由.

(2)求证：BF=IOG.

【迁移应用】

(3)记aOGO的面积为Si,△£«F的面积为S2,当II=细，求当的值.

S23AB

【拓展延伸】

(4)若。尸交射线AB于点凡【性质探究】中的其余条件不变，连结EF,当ABEF的

面积为矩形ABCD面积的工时，请直接写出tanZBAE的值.

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29.问题提出

(1)如图①，已知直线/及/外一点A,试在直线/上确定8、C两点，使NBAC=90°,

并画出这个Rt∆ΛBC.

问题探究

(2)如图②，。是边长为28的正方形ABCQ的对称中心，M是BC边上的中点，连接

OM.试在正方形ABCD的边上确定点N,使线段ON和OM将正方形ABCD分割成面积

之比为1：6的两部分.求点N到点M的距离.

问题解决

(3)如图③，有一个矩形花园ABC£>,AB=30m,BC=AOm.根据设计要求，点E、F

在对角线8。上，且NEAF=60°,并在四边形区域AECF内种植一种红色花卉，在矩形

内其他区域均种植一种黄色花卉.已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种

黄色花卉每平方米需180元.试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少

图①图②图③

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30.如图一，在射线QE的一侧以AQ为一条边作矩形ABCQ,AD=5√3,CD=5,点M是

线段AC上一动点(不与点A重合)，连结BM,过点M作的垂线交射线OE于点M

连接BN.

E____ANDENAD

B

(图二)

(1)求/C4D的大小；

(2)问题探究：动点M在运动的过程中，

①是否能使AAMN为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理

由.

②/M8N的大小是否改变？若不改变，请求出NMBN的大小；若改变，请说明理由.

(3)问题解决：

如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点、为F,MN的中点为H,求线

段FH的长度.

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31.【发现】如图①，已知等边AABC,将直角三角板的60°角顶点。任意放在BC边上（点

。不与点8、C重合），使两边分别交线段A3、AC于点E、F.

（1）若AB=6,AE=4,BD=I,则CF=；

（2）求证：AEBDsADCF.

【思考】若将图①中的三角板的顶点。在BC边上移动，保持三角板与边A3、AC的两

个交点E、F都存在，连接EF,如图②所示，问：点。是否存在某一位置，使EQ平分

BD

/BEF且FQ平分NCFE?若存在，求出力的值；若不存在，请说明理由.

【探索】如图③，在等腰AABC中，AB=AC,点。为BC边的中点，将三角形透明纸

板的一个顶点放在点。处（其中NMoN=NB）,使两条边分别交边4B、AC于点E、F

（点E、尸均不与44BC的顶点重合），连接EF.设N8=α,则△斗£尸与aABC的周长

之比为（用含α的表达式表示）.

图①图②图③

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32.在矩形ABC。中，AO>AB,点尸是CO边上的任意一点(不含C,。两端点)，过点P

作PFHBC,交对角线8。于点F.

求证：AOE尸是等腰三角形;

(2)如图2,将△「£>尸绕点。逆时针方向旋转得到APOP,连接PC,FB.设旋转角

为α(0°<a<180°).

①若0°Va<NBOC,即。/在NBDC的内部时，求证：XDP'S∕∖DFB.

②如图3,若点P是CD的中点，△。产B能否为直角三角形？如果能，试求出此时∙tan

NQBp的值，如果不能，请说明理由.

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33.如图，BC是OO的直径，A。是。。的弦，A。交8C于点E,连接AB,CD,过点E

作EF_LA8,垂足为F,NAEF=NO.

(1)求证：ADVBCx

(2)点G在BC的延长线上，连接AG,ZDAG=2ZD.

①求证：AG与。。相切；

AF2

②当——=-,CE=4时，直接写出CG的长.

BF5

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34.如图所示：。。与AABC的边BC相切于点C,与AC.AB分别交于点D、E,DE//OB.DC

是00的直径.连接0E,过C作CG〃OE交Oo于G,连接。G、EC,DG与EC交于

点F.

(1)求证：直线AB与G)O相切；

(2)求证：AE∙ED=AC∙EF;

(3)若EF=3,tan/ACE=，寸，过A作AN〃CE交Oo于M、N两点(M在线段AN

上)，求AN的长.

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35.（1）如图1,点尸为矩形ABCO对角线BQ上一点，过点尸作E/〃BC,分别交AB、

CD于点E、F.若BE=2,PF=6,ZSAEP的面积为S,ZXCFP的面积为我,则Sι+S2

（2）如图2,点P为团ABC力内一点（点P不在BO上），点E、F、G、，分别为各边的

中点.设四边形AEP”的面积为Si,四边形PFCG的面积为S2（其中S2>S∣）,求APBD

的面积（用含Si、S2的代数式表示）；

（3）如图3,点P为团ABC。内一点（点P不在8。上），过点尸作E尸〃A£）,HG//AB,

与各边分别相交于点E、F、G、H.设四边形AEP”的面积为Si,四边形PGCF的面积

为S2（其中S2>Sι）,求aPBO的面积（用含51、S2的代数式表示）；

（4）如图4,点A、B、C、。把Oo四等分.请你在圆内选一点P（点P不在AC、BD

上），设P8、PC、船围成的封闭图形的面积为Si,PA,PD.而围成的封闭图形的面积

为S2,Z∖P8O的面积为S3,△办C的面积为S4,根据你选的点P的位置，直接写出一个

含有Si、S2、S3、S4的等式（写出一种情况即可）.

图1图2

图3图4

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36.定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形∙

(1)下面四边形是垂等四边形的是;(填序号)

①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形

(2)图形判定：如图1,在四边形ABCD中，AD//BC,ACl.BD,过点。作Bo垂线交

BC的延长线于点E,且NQBC=45°,证明：四边形ABC。是垂等四边形.

(3)由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半.应用：

在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于OO中，∕BCD=60°.求Oo的半径.

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37.问题提出

(1)如图1,在Rt∆ABCΦ.∕ACB=90°,AC>BC,ZACB的平分线交AB于点D.过

点D分别作DElAC,DFYBC.垂足分别为E,F,则图1中与线段CE相等的线段

是.

问题探究

(2)如图2,AB是半圆。的直径，AB=8.P是砂上一点，且丽=IPA,连接AP,BP.Z

APB的平分线交AB于点C,过点C分别作CE_LAP,CFLBP,垂足分别为E,F,求线

段C尸的长.

问题解决

(3)如图3,是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知。。的直径AB=7O"?,

点C在C)O上，且C4=CB.P为AB上一点、,连接CP并延长，交C)O于点D连接A。，

BD.过点尸分别作PEL4D,PFLBD,垂足分别为E,F.按设计要求，四边形PED尸

内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区.设AP的长为

阴影部分的面积为y(加2).

①求y与X之间的函数关系式；

②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30小时，整体布局比较合理.试

求当AP=30m时.室内活动区(四边形PEOQ的面积.

图1图2图3

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38.已知：在矩形ABCO中，E,F分别是边AB,A。上的点，过点尸作EF的垂线交。C

于点H,以EF为直径作半圆0.

（1）填空：点A（填“在”或“不在”）Oo上；当屈=丽时，tan/AE尸的值

是;

（2）如图1,在AEFH中,当FE=F，时，求证：AD=AE+DH;

（3）如图2,当AEFH的顶点F是边A。的中点时，求证：EH=AE+DHi

（4）如图3,点M在线段/7/的延长线上，若FM=FE,连接EM交OC于点M连接

FN,当AE=AD时,FN=4,HN=3,求tan∕4EF的值.

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39.问题提出

(1)如图①，在aABC中，A8=4,NA=135°,点8关于AC所在直线的对称点为夕，

则88'的长度为.

问题探究

(2)如图②，半圆。的直径AB=IO,C是ZS的中点，点。在坑1上，且丽=2皿，P

是AB上的动点，试求PC+PD的最小值.

问题解决

(3)如图③，扇形花坛AOB的半径为20〃?，/408=45°.根据工程需要.现想在油上

选点P,在边OA上选点E,在边OB上选点F,用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个

/XPEF,使晚上点亮时，花坛中的花卉依然赏心悦目.为了既节省材料，又美观大方，

需使得灯带PE+EF+FP的长度最短，并且用长度最短的灯带围成的APEF为等腰三角

形.试求PE+E尸+FP的值最小时的等腰的面积.(安装损耗忽略不计)

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40.已知：OO是正方形ABC。的外接圆，点E在油上，连接BE、DE,点尸在而上连接

BF、DF,BF与DE、DA分别交于点G、点H,且DA平分NEz）F.

（1）如图1,求证：NCBE=NDHG；

（2）如图2,在线段AH上取一点N（点N不与点4、点，重合），连接BN交。E于点

L,过点、H作HK〃BN交DE于点K,过点E作EPLBM垂足为点P,当8P="F时,

求证：BE=HK:

（3）如图3,在（2）的条件下，当34F=2