2023-2024学年四川省成都市高二年级下册期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年四HI省成都市高二下册期中数学试卷

一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。请把答案填在答题卷指定的位置上）

1.（4分）下面命题中，正确命题的个数为（）

①桌面是平面;

②一个平面长3米，宽2米;

③用平行四边形表示平面，只能画出平面的一部分;

④空间图形是由空间的点、线、面构成的;

A.1B.2C.3D.4

2.(4分)如果。OB∕∕O∖B,那么乙408与N∕ιO∕ι()

A.相等B.互补C.相等或互补D.以上均不对

3.（4分）空间两个角α,β的两边分别对应平行，且a=60°,则β为()

A.60°B.120°C.30°D.60°或120°

4.（4分）下面说法错误的是（）

A.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

B.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面

C.如果两个不重合的平面有且只有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直

线

D.经过一条直线和一点，有且只有一个平面

5.（4分）在正方体mBiCln中,与平面NCQ小平行的棱共有()

A.2条B.3条C.4条D.6条

6.（4分）棱柱的侧面一定是（）

A.菱形B.矩形C.正方形D.平行四边形

7.（4分）两直线不平行是这两直线是异面直线的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.即不充分也不必要条件

8.（4分）分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是（）

A.异面B.平行

C.相交D.u]■能共面，也可能异面

9.（4分）已知直线α,6是异面直线，直线C平行于直线”，那么C与b（）

A.一定是异面直线B.一定是相交直线

C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线

10.（4分）已知球的半径为6cw,则它的体积为（）

A.36τTCm3B.144πcw3C.288TTC/D.864πcw3

11.（4分）下列命题一定正确的是（）

A.三点确定一个平面

B.依次收尾相接的四条线段必共面

C.直线与直线外一点确定一个平面

D.两条直线确定一个平面

12.（4分）已知平面a〃B，a是直线，则“a，a"是''a,β"（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.即不充分也不必要条件

13.（4分）已知斜线段长是它在平面a上的射影长的2倍，则斜线和平面所成的角为（）

A.30°B.45oC.60°D.90°

14.（4分）在正方体4S8-小小CIoI中，棱长为1,则异面直线Z）Z）I与/8之间的距离

为（）

A.ɪB.1C.亚D.√2

22

15.（4分）如图所示，四棱锥S-/8C。的底面为正方形，SDL}^ABCD,则下列结论中

错误的是（）

A.ACVSB

B.二面角S-NB-。与二面角S-BC-。相等

C./8〃平面SCO

D.平面”81.平面S8C

二、填空题：（本答题共5个小题，每小题4分，共20分）

16.（4分）若正方体的对角线长为a,那么正方体的表面积为.

17.（4分）已知正四棱锥的高为3,底面边长为√5,则该棱锥的体积为.

18.（4分）用长和宽分别为3π和P的矩形硬纸板卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面半径

是.

19.（4分）将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大的铅球，那么，这个大铅球的表面积

是.

20.（4分）已知一个圆锥的高为3,侧面展开图是半圆，则它的侧面积是.

三、解答题：（本大题共7小题，满分70分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.）

21.（10分）在正方体力8CZ）-∕ι8CιDι中，求异面直线与BC所成角的大小.

22.（10分）在直三棱柱ABC-小8ICl中，。为棱CCi上任一点.求证：直线/Ri〃平面ABD.

23.（10分）在正方体ZBCZ）-ZbδιCid中E、2分别是8Ci、GCl是的中点.

（1）求证£尸〃8。；

（2）求证BDL面4CCMι.

24.（10分）已知正四棱锥P-488,AB=PA=A,求以与底面Z8C。所成角的大小.

25.（10分）设正三棱柱力BC-∕'B'C棱长Z8=3CTH,44'=4cτn.计算此正三棱柱的体

积.

26.（10分）已知S-/8C。为正四棱锥，AB=2,SA=3,求棱锥的高和棱锥的体积.

27.（10分）某容器由圆柱与半球组成，已知圆柱的底面半径与高都是2c∙w,求容器的容积.

答案与试题解析

一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。请把答案填在答题卷指定的位置上）

1.（4分）下面命题中，正确命题的个数为（）

①桌面是平面；

②一个平面长3米，宽2米；

③用平行四边形表示平面，只能画出平面的一部分；

④空间图形是由空间的点、线、面构成的；

A.1B.2C.3D.4

【分析】根据平面的特征以及点线面的关系即可判断.

解：：桌面是给我们以平面的形象，并不是几何意义上的平面,

①错误；

:平面的特征是绝对的平以及无限延展，

.∙.②错误；③正确；

Y空间图形是由空间的点、线、面构成的，

，④正确.

故选：B.

2.(4分)如果O月〃。M，OB∕∕O∖B,那么NNoB与N∕ιθι8ι()

A.相等B.互补C.相等或互补D.以上均不对

【分析】由异面直线所成角的定义直接得解.

解：由异面直线所成角的定义可知，若。/〃。OB∕∕O∖B,那么与/小。山1

相等或互补.

故选:C.

3.（4分）空间两个角α,。的两边分别对应平行，且α=60°,贝邨为（）

A.60oB.120oC.30°D,60°或120°

【分析】根据空间中异面直线所成角的定义即可得解.

解：空间两个角α,B的两边分别对应平行，则α与β相等或互补，

又a=60°,

Λβ=60o或120°.

故选：Do

4.（4分）下面说法错误的是（）

A.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

B.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面

C.如果两个不重合的平面有且只有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直

线

D.经过一条直线和一点，有且只有一个平面

【分析】根据平面的基本性质即可逐一判断.

解：Y如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，

--A正确；

•••不共线的三点确定一个平面，

.∙.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，

B正确；

Y如果两个不重合的平面有且只有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直

线，

,C正确；

；当点在直线上时，经过一条直线和一点，有无数个平面，

错误.

故选：D.

5.（4分）在正方体Z8CD-m8∣CιA中，与平面ZCeI小平行的棱共有（）

A.2条B.3条C.4条D.6条

【分析】作图，根据正方体的性质及其线面平行的判定即可得解.

解：如图，

由正方体的性质可知，与平面/CCMi平行的棱881,DDi,共两条.

故选：A,,

6.（4分）棱柱的侧面一定是（）

A.菱形B.矩形C.正方形D.平行四边形

【分析】根据棱柱的定义进行求解即可。

解：有两个面互相平行，其余的各个面均为四边形，且相邻两个四边形的公共边都互相

平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，

由棱柱的定义可知，棱柱的侧面是平行四边形，

故选：D.

7.（4分）两直线不平行是这两直线是异面直线的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.即不充分也不必要条件

【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可。

解：由“两条直线不平行”可推出两直线相交或两直线是异面直线，

由“两直线是异面直线”可推出两直线既不平行也不相交，

由充分条件和必要条件的定义，可知两直线不平行是这两直线是异面直线的必要而不充

分条件，

故选：B。

8.（4分）分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是（）

A.异面B.平行

C.相交D.可能共面，也可能异面

【分析】根据空间中直线与直线的位置关系判断即可.

解：分别在两相交平面内的两条直线可以共面，也可以异面，

比如其中一个平面内的任意一条直线与交线必然共面，其中一个平面内与交线相交，另

一个平面内与交线相交，但两交点不一样的两直线异面.

故选：D。

9.（4分）已知直线α,6是异面直线，直线C平行于直线”，那么C与b（）

A.一定是异面直线B.一定是相交直线

C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线

【分析】根据直线与直线的位置关系判断即可。

解：∙.∙直线α,Z）是异面直线，直线C平行于直线。，

:.C与b相交或异面，不可能是平行直线，

故选：Co

10.（4分）已知球的半径为6cm,则它的体积为（）

A.36πcw3B.144KC∕M3C.288πcm3D.864πcm∙5

【分析】由球的体积公式直接得解.

解：由球的体积公式有，vɔɪɪ--×63=288Hcm3∙

故选：Co

11.（4分）下列命题一定正确的是（）

A.三点确定一个平面

B.依次收尾相接的四条线段必共面

C.直线与直线外一点确定一个平面

D.两条直线确定一个平面

【分析】根据不共线的三点确定一个平面即可判断.

解：♦.•不共线的三点确定一个平面，

.∙.直线与直线外一点确定一个平面，

.*.C正确，A错误；

当四条线段不在同一平面时，依次收尾相接的四条线段不一定共面；

∙,∙B错误；

当两条直线异面时，这两条直线不一定能确定一个平面，

∙∙∙o错误.

故选：C.

12.（4分）已知平面α“β,a是直线，则“a，a"是''a,β"（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.即不充分也不必要条件

【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可。

解：由题意可知，平面a〃0,。是直线，

由“a_La”,又由平面a“β,则可推出rta±β,∖

由ua±β,∖又由平面a〃仇则可推出ua±an,

由充分条件和必要条件的定义，

则“al_a”是aa±β"的充要条件，

故选：C<,

13.（4分）已知斜线段长是它在平面a上的射影长的2倍，则斜线和平面所成的角为（）

A.30oB.45oC.60oD.90°

【分析】根据题意及线面角的定义，求出其余弦值即可得解.

解：设斜线与平面所成角为0,θ∈[0o,90。],

则由线面角的定义可知，

Cc0oSsθ=J斜¾线⅛段长-ɔ2ɪ'

.∙.e=60°.

故选：Co

14.（4分）在正方体/8CD-小81CIDI中，棱长为1,则异面直线DZ）I与/2之间的距离

为（）

A.ɪB.1C.亚D.√2

22

【分析】作出图形，结合题意直接得解.

解：如图，

ABLAD,ADLDD∖,则异面直线。。ι与/8之间的距离为力。=1.

故选:B。

15.（4分）如图所示，四棱锥S-48C。的底面为正方形，SD工底面4BCD,则下列结论中

错误的是（）

B

A.AClSB

B.二面角S-/8-D与二面角S-BC-O相等

C.Aβ∕∕nSCD

D.平面SAS_L平面S8C

【分析】对于4由/C，平面S3。可判断；对于反由二面角的定义可判断；对于C,

由线面平行的判定可判断；对于。，观察图形可判断.

解：对于“，∙.Z8CD为正方形，

.∖AC1BD,

又SO_L底面/8C。，JCc5FffiABCD,

.∖SD1,AC,

而SOCBD=O,且SZ）U平面S8£>,8。U平面S3。，

.∙.∕UL平面SBD,

又SBu平面SBD,

：.AC1.SB,选项4正确；

对于8,由SZJL底面ZBCD,结合二面角的定义可知，二面角S-/8-。的平面角为/

SAD,二面角S-BC-。的平面角为/SC。，

显然ZZ∖S8,则/"O=NSCA,选项8正确；

对于C,由于AB//CD,∕18ςt平面SCD,CDU平面SCD,

,NB〃平面SC。，选项C正确；

对于。，由图形可知，平面SN8与平面SBC不垂直，选项。错误.

故选：D.

二、填空题：（本答题共5个小题，每小题4分，共20分）

16.（4分）若正方体的对角线长为α,那么正方体的表面积为2次.

【分析】先求出正方体的棱长，再由表面积公式得到答案.

解：设正方体的棱长为X,则Jχ2+χ2+χ2=a,

2

・2-a

・・X-3'

2

，正方体的表面积为6χ2=6X⅛-g2.

故2金

17.（4分）已知正四棱锥的高为3,底面边长为√5,则该棱锥的体积为2.

【分析】由锥体的体积公式直接计算即可.

解：由锥体的体积公式有，VqS底h《"X&X亚X3=2∙

故2.

18.（4分）用长和宽分别为3π和TT的矩形硬纸板卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面半径是

题4-

22

【分析】根据圆柱的底面周长为侧面展开图的长进行求解即可。

解：设圆柱的底面半径是八

当以矩形的宽为母线时，该圆柱的底面周长为3ττ,高为ir,

则有2τtr-3ττ,

所以「=四；

2

当以矩形的长为母线时，该圆柱的底面周长为n,高为3π,

则有如r=n,

所以r=-∙,

2

故3或工。

22

19.（4分）将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大的铅球，那么，这个大铅球的表面积

是一12对兀一•

【分析】先根据题意求出大铅球的半径，再由球的表面积公式求解即可.

解：设大铅球的半径为R,则∙∣•兀XFA兀X春兀XR3,

2_

.∙.R3=9,则R=3于，

2_

...大铅球的表面积是4兀R2=47ΓX(33)2=12⅛3π∙

故答案为.12⅛3π

20.（4分）已知一个圆锥的高为3,侧面展开图是半圆，则它的侧面积是近

【分析】根据圆锥的高与母线与底面的半径关系可得$+32=/2,再由圆锥的侧面展开图

为半圆，利用圆锥底面

解：设该圆锥的底面半径为「，母线长为/,

则由题意可得J+32=∕2,①

又因为侧面展开图是半圆，

所以有π∕=2nr,②

联立①②，解得r=√^,∕=2√3.

所以侧面展开图的弧长为2√5n,

,该圆锥的侧面积为S=Lx2√ξπX2√^=6π,

2

故6π（>

三、解答题：（本大题共7小题，满分70分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.）

21.（10分）在正方体力8。。-小8|。£>1中，求异面直线川）与BC所成角的大小.

【分析】易知NOMO为所求角，而44）Dι为等腰直角三角形，由此容易得到答案.

解：易知BC//AD,则异面直线AD∖与BC所成角即为直线ADi与AD所成角，即ZDiAD,

又在正方体N88-小小CIOI中，4∕D5为等腰直角三角形，

.∙.NO1ZΣ>=45°,即异面直线/Oi与BC所成角的大小为45°.

22.（10分）在直三棱柱ABC-A∖B∖C∖中，。为棱CCI上任一点.求证：直线小囱〃平面ABD.

AC

【分析】由小结合线面平行的判定即可得证.

证明：在直三棱柱NBC-aBiCi中，A∖B∖∕∕AB,

又4183平面ZBD,48U平面/8。，

.•.4131〃平面ABD.

23.（10分）在正方体NBCO-//ClZ）I中E、F分别是8i。、DICI是的中点.

(ɪ)求证

(2)求证8。_L面XCCl4.

【分析】(1)由B。〃囱。1,EF∕∕B∖D∖,即可得证；

(2)由AAC上BD,结合线面垂直的判定即可得证.

证明：(1)在正方体/8Co-NlBiCI9中，易知BD〃BiDi,

又E、尸分别Ble1、OICl是的中点，

：.EF//B\D\,

：.EF//BD；

(2)在正方体ZgCZ)-4向COi中,易知侧棱44ιJ_3Q,

又四边形/38为正方形，则4C"L8O,

ffijAC^AA∖=A,JJι⊂5FffiACCιA∖,JCc5PfflACC∖A∖,

.∙.8"面ZCCE.

24.(10分)已知正四棱锥P-∕8CZλAB=PA=4,求RI与底面48C。所成角的大小.

【分析】作图，易知/孙。为%与底面/8CD所成角，再在RtAPIO中求其余弦值即

得解.

解：如图，连接∕C∩8D=0,

P

/t∙∖∖

/人—」—\~—二