2023年山西省大同市高考数学模拟试卷（B卷）及答案解析

2023年山西省大同市高考数学模拟试卷（B卷）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.集合4={κ∣∣x∣<2},B={x∖x2-1≥0）,则An（CRB）=（）

A.[-1,1]B.（-1,1）C.[1,2）D.（-2,-1]

2.已知i是虚数单位，复数Z-i=含，则复数Z的共密复数为（）

A.2B.-2C.2iD.-2i

3.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则

不同的取法共有（）

A.140种B.84种C.70种D.35种

4.已知Sin2（兀一。）=苧cos（手+。），0<∣θ∣<ɪ,则。等于（）

A.--6Rd∙--3JC-6uD'3-

5.已知%y>0,向量沆=（2x,1）与向量元=0,-gy）垂直，x,y,2成等比数列，则X与y的

等差中项为（）

A.IB.IC.ɪD.1

6.如果AABC内接于半径为R的圆，且2R（sin2∕l-Sin2。）=（√^α-b）sinB,则角C为（）

cA∙-6dB,4-jC3-uD∙—3

7.函数∕Q）=/in表禽的部分图象大致为（）

8.已知网、尸2分别是双曲线鸟―g=1的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点且需g=

abκ<,2∣

8α,则双曲线离心率的取值范围是（）

A.（1,3]B.[3,+∞）C.（1,2]D.[2,+∞）

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.若α,b,c,d均为不相等实数，下列命题中正确的是()

A.若Q>b,Od,则Q+c>6+d

B.若Q>0,6>0,α+b=ab,则Q+h>4

C.若Q>ð>0,Od,则QC>bd

D.当α>0时，不等式α+J∙≥l成立

α+l

10.已知4B,C为随机事件，则下列表述中不正确的是()

A.P(AB)=P(A)P(B)B.P(BUCIa)=P(BM)+P(CM)

C.P(A∖A)=1D.P(Z∣B)<P(AB)

n

11.已知数列｛αn｝满足On+an+1=2×(-l),n∈N*,且c⅛=1，则下列表述正确的有()

A.α1=-5B.数据｛t⅛l-J是等差数列

C.数列｛∣α"｝是等差数列D.数列｛嬴上｝的前n项和为访/

12.某数学课外兴趣小组对函数f(x)=lg答(X力0,XCR)的性质进行了探究，得到下列

四个命题，其中正确的命题有()

A.函数〃尤)的图象关于y轴对称

B.当X>O时，/(x)是增函数，当％<O时，/(x)是减函数

C.函数f(x)的最小值是S2

D.函数/Q)与X=2有四个交点

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.二项式(五一|)5的展开式中，X项的系数为一.

14.在边长为3的等边MBC中，BM=^MC,则祠.就=—.

15.一束光线由点”(6,2通)出发沿X轴反方向射向抛物线y2=8x上一点P,反射光线所在直

线与抛物线交于另一点Q,则直线PQ的斜率为一.

16.四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膈，在鳖席P-4BC中，P

P4_L平面ABC,PA=4,AB=BC=2,鳖膈P-ABC的四个顶点都在同

一个球面上，则该球的表面积是—.∖p∖

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知函数/(x)=2sinωx-cosωx+2√3cos2ωx-√5(其中3>0),直线X=X]、x=不是丁=

f(x)图象的任意两条对称轴，且氏-g1的最小值为宗

(1)求3的值；

(2)若/(α)=I，求COS(2α-a的值.

18.(本小题12.0分)

已知等差数列｛αn｝满足。4=7,a10=19.

(1)求数列｛a7l｝的通项公式a”；

n

(2)若垢=2an,求数列｛%｝的前几项和为

19.(本小题12.0分)

在四棱锥P-ABCD中，BD=2,乙DAB=ABCD=9。°,NCDB=30。，∆ADB=45o,PA=

PB=PD=2.

(1)求证：面PBnJ■面ZBCD；

⑵求平面P4D与平面PBC所成角的余弦值.

20.(本小题12.0分)

为了加强环保知识的宣传，某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动，活动设置了四个箱子，分

别写有“厨余垃圾”“有害垃圾"''可回收物”“其它垃圾”，另有卡片若干张，每张卡片

上写有一种垃圾的名称，每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断将每张

卡片放入对应的箱子中，按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分，比如将写有

“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子得0分，从所有参赛

选手中随机抽取20人,将他们的得分按照(0,20],(20,40],(40,60],(60,80],(80,100]分组,

绘成如下频率分布直方图.

⑴分别求出所抽取的20人中得分落在［0,20］和(20,40］内的人数;

(2)从所抽取的20人内，得分落在［0,40］的选手中随机选取3名选手，以X表示这3名选手中得

分不超过20分的人数，求X的分布列和数学期望.

21.(本小题12.0分)

己知椭圆G：≡∣+4=l(α>b>O)的离心率为冬并且直线y=χ+b是抛物线C2：y2=4x

的一条切线.

(I)求椭圆G的方程.

(∏)过点S(O9的动直线/交椭圆Cl于4、B两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定

点7,使得以4B为直径的圆恒过定点7?若存在求出T的坐标；若不存在，请说明理由.

22.(本小题12.0分)

已知函数f(%)=α(x+l)Znx+2x,aER.

(1)若/'(；)=e+2,讨论函数/Q)的单调性；

(2)当％≥1时，/(%)≤e"T+2α仇%+%恒成立，求实数a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：集合A={x∖∖x∖<2}={x∣-2<X<2},

B={x∖x2—1≥0}={x∖x≤—1或无≥1},

・•・CRB={x∣-1<%<1),

则4C(CRB)={%∣-1V%V1}∙

故选：B.

求出集合4B,CRB,利用交集定义能求出/n(CRB).

本题考查集合的运算，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基

础题.

2.【答案】A

rΛn-tcιM-3+i(3+i)(l-04-2iɔ.

【解析】解：z-l=-=^i-^=-=2-l,

故Z=2,所以Z=2.

故选：A.

根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共规复数的定义，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及共甑复数的定义，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查两个基本原理和组合的应用，属基础题.

取出3台，至少要有甲型与乙型电视机各1台，则有甲型1台、乙型电视机2台与甲型2台、乙型电

视机1台两种情况，分别求解情况数，相加即可.

【解答】

解：甲型1台与乙型电视机2台共有4∙(⅛=40种，

甲型2台与乙型电视机1台共有C；-5=30种，

•••不同的取法共有70种，

故选C

4.【答案】D

【解析】解：因为Si∏2(7Γ-9)=苧cos(多+0),

所以siM。=ɪsinθ,

即Sine(Sine—ɪ)=0-

所以Sino=。或sin。=浮

又因为0<网<*

所以Sine=γ›

所以。=宗

故选：D.

由已知条件可得S讥B=0或sin。=等，再根据0<∖θ∖<≡,即可得。的值.

2l

本题考查了三角函数的化简及求值，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：•・・向量记=(2%1)与向量记=垂直，

*∙m∙n=0,即X—∣y=0,ʌy=2χf

,：X,y,2成等比数列，・,・V=2》,

ʌ(2x)2=2%,即2/=%,

Vxy>0,:∙X≠0,

1

・•・X=-,

・•・y=If

・•.X与y的等差中项为亨=∣∙

故答案为：A,

先利用记•元=0,求出y=2%,由％,y,2成等比数列可得/=2%,两个式子联立求出％,y的值,

再利用等差中项的定义求解.

本题主要考查了等比数列和等差数列的性质，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：由正弦定理可得：：所以

S―inA=•S—tnBr=2R,α=2Rsim4,b=2RsinB,

由题意可得2R(sin2%-sin2C)=2fi(√2sin½一SinB)SEB,

整理可得：sin2½+sin25—sin2C=∖[2sinAsinB>

由正弦定理可得a?+b2—c2=∖[2ab=2abcosC>

解得CoSC=予C∈(0,π),

可得C=≡,

故选：B.

由正弦定理及余弦定理可得C角的余弦值，再由C角的取值范围，进而解得C角的大小.

本题考查三角形中正弦定理，余弦定理的综合应用，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：∙∙"(x)=∕hl表黑，XWR,

e+cos(-x)e+coSX

∙'∙/(r)=(-ɪ)ɜɪn-X3In

e-cos(-x)e—cosx=一/(X)，

∙∙∙f(x)为奇函数，其图象关于原点成中心对称，可排除4与B；

又当XT0+时，/(x)>0,故可排除。,

故选：C.

先判断函数的奇偶性，可排除4与B选项，当x→0+时，/(x)>0,排除C选项，从而可得答案.

本题主要考查函数图像的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性以及极限思想解决问题是关键,

考查推理能力与运算能力，属于中档题.

8.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查了双曲线的简单性质，三角形边与边之间的关系，考查计算能力，属于中档题.

2

设IPFll=m,∖PF2∖=∏>由题得m-n=2α,m—8an,由此得到m与n的关系，求得离心率范

围.

【解答】

2

・•・m-n=2a1m=8QΠ,

.nɪ-n_2a

∙∙m2Qanf

・•・m2—4mn+4n2=0,

ʌm=2nf

∙*∙Tt=2d,m,—4Q,

7

在APf√2中,∣F1F2∣<∣PFι∣+∣PF2∣,

ʌ2c<4Q+2α,

/.a-<3,

当P为双曲线顶点时，：=3

又•・•双曲线e>l,

ʌ1<e≤3,

故选4.

9.【答案】AB

【解析】解：A项：由不等式的性质，4正确；

选项Bt由α+b=cιb,得石+£=1，故(Q+")(]+/=2+~4-ɑ≥4,

当且仅当£=2时，等号成立，又a丰b,8正确；

ba

选项C：若α=；,h=ɪ,c=-l,d=-2时，ac=(j)^1=2,bd=(ɪ)-2=9»故C错误；

选项D-.当α>。时，α+-ɪ-=(α+1)+-ɪr-1≥2(a+1)∙-ɪr=2-1=1»

α+l''α+lg/a+1

此时a=O或a=—2,与a>O矛盾，。错误.

故选：AB.

4项：由不等式的性质可得；B：利用“1”的代换可判断；选项C-.代入特值a=i,∂=l,c=-l,

d=一2可判断：

选项利用配凑法可判断.

本题考查不等式的性质，考查基本不等式，属于中档题.

10.【答案】ABD

【解析】解：4选项，当事件4、B相互独立时，P(AB)=P(A)P(B),A错误；

B选项，当事件8、C为互斥事件时，P(BUCM)=P(BM)+P(C∣4),B错误;

C选项，。(*4)=需=筮=1,C正确；

。选项，P(AIB)=鬻≥P(AB),。错误.

故选：ABD.

根据事件的基本关系和条件概率公式逐项判断即可.

本题考查条件概率公式应用，是基础题.

11.【答案】BD

an

【解析】解：数列｛an｝满足％ι+n+ι=2×(-l),n∈N*,

ʌa2k-l+a2k=-2,①

a2k+a2k+l=2，k∈N",(2)

两式相减可得:。2火+1-a2k-l=4,

・•・数列｛Q2n.l｝是等差数列，公差为4,

Va5=1,ʌa1+2×4=1,解得Ql=-7,

・•・CL2k-ι=-7+4(fc-1)=4fc-11,

ʌʤ——3,

两式①÷②可得：a2k-l+a2k+l=~^a2k9

••—2∏2fc=4k—11+4(k+1)—11，解得。2上=9—4k,

・•・α4=1,

c

而∣ο⅛l+l⅛l=4,21α4J=2,

λ

l⅜l+lɑsl≠2∣α4b

因此数列｛∣grJ｝不是等差数列.

aaaa

∏—2∕c∏t,αrl-Ian^2k-Γ2k(4k-ll)(9一4k)2Q/c-94k-11)'a∏n+l2k2k+l

(9-4k)(4k-7)=2妹-9)，

=_______

an-lan+anan+l2、4k-74k-lrf

数列｛£⅛3的前71项和为T［⅛-⅛+(τ-⅛+⅛-τ)+∙∙∙+(WTT-获X)+(高-

4k-ll)］=2(4k-7+=2(2n-7+7)=14n-49'

Tl=2k-1时，同理可得数列｛f^-｝的前n项和为谭方.

anan+l1472-4，

练上可得：只有3。正确.

故选：BD.

αn-a

数列｛ajl｝满足α∏+n+ι=2X(―l),TIeN*,可得α2∕c-1+a，2k~2,Ct2Ic+2k+1=2,keN*,

两式相减可得：^∙2k+l—^∙2k-l=4,两式相加可得：a2k-l+。2上+1=—^∙^-2k,可得。2α-1，0-2k,

进而判断出结论.

本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、分类讨论方法、裂项求和方法，考查了推理能

力与计算能力，属于难题.

12.【答案】AC

【解析】解：•••/(%)=电鲁(XHO,xCR)的定义域为(一8,0)U(O,+8),关于原点对称，

ιx∖

又满足/(-X)=/(χ),所以函数/(X)是偶函数，其图象关于y轴对称，故A正确；

当X>0时，f(x)=Ig%ɪ=Ig(X+：)，令t(χ)=X+p则/(t)=Igt,由双勾函数的性质可知t(%)

在(0,1］上是减函数，

在口,+8)上是增函数，又f(t)=∕gt在定义域上是增函数，所以由复合函数的单调性可知，/(x)在

(0,1］上是减函数，在［1,+8)上是增函数，故8错误；

x>0时，x+：≥2(当且仅当x=1时取等号)，又/(x)是偶函数，

所以函数/(x)的最小值是匈2,故C正确；

由函数定义可知，/Q)不可能与4=2有四个交点，。错误.

故选：AC.

A.利用函数的奇偶性判断；

8.由κ>O时，/(x)=ɪgɪj-p=∙g(x+|)>令t(x)=x+§，由复合函数的单调性判断；

C.由X>O时，x+^>2,再结合函数/(X)是偶函数求解判断；

。.结合函数的定义即可判断.

本题考查了函数的基础性质，复合函数的单调性满足同增异减，属于中档题.

13.【答案】-IO

【解析】解：二项式(H-95的展开式的通项公式为*+1=C.(_2)r.%空，

令*5-3r)=1,求得r=1,

故展开式中含X的项的系数为-2废=-10,

故答案为：-10.

先求出二项式展开式的通项公式，再令X的哥指数等于1,求得r的值，即可求得展开式中含X的项

的系数.

本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某

项的系数，属于基础题.

14.【答案】一|

【解析】解：AM-BC=(AB+BM)∙BC=(AB+ɪfit)-BC=AB-BC+^BC2

=∖AB∖∖BC∣cos(τr-β)+∣∣fiC∣2

=3×3×(-j)+∣×32=-|,

故答案为：-1.

转化祠-BC=(AB+^BM)-BC=(AB+^BC)-^BC,利用数量积的定义即得解.

本题考查了平面向量数量积的运算，属于基础题.

15.【答案】2√6

【解析】解：将y=2历代入y2=8x中，可得x=3,.∙.P(3,2√^),

又根据抛物线的光学性质可得：该反射光线过尸(2,0),

二直线PF的斜率为：≠≠=2√6.

3—2

・•・所求直线的斜率为2连，

故答案为：2巫.

根据抛物线的光学性质，两点的斜率公式，即可求解.

本题考查抛物线的光学性质，属基础题.

16.【答案】24兀

【解析】解：把鳌膈P-ABC补成一个长方体，如图所示:

则长方体的外接球即是鳌第P-ABC的外接球,

又∙.∙PA=4,AB=BC=2,

二长方体的外接球半径R=∣×√42+22+22=√6,

鳌席P-ABC的外接球半径为R=√6,

则该球的表面积是4兀/?2=24TΓ,

故答案为：24π.

根据题意，把鳌嚅P-4BC补成一个长方体，则长方体的外接球即是鳌膈P-4BC的外接球，从而

求出鳌膈P-/BC的外接球半径为R,再利用球的体积公式即可求出结果.

本题主要考查了三棱锥的外接球，是基础题.

17.【答案】解：(l)∕(x)=2sinωx∙cosωx+2√3cos2ωx—V3

=sin2ωx+y∕3cos2ωx

ɪ

=2(-sin2ωx-I--cos2ωx)

=2sin(2ωx+^)(ω>0),

•・,直线X=X1、X=X2是y=f(%)图象的任意两条对称轴，且IXI-的最小值为宏

ʌω=1；

(2)由⑴知，/(x)=2sin(2x+∣),

•・,/(α)=2sin(2α+与)=|,

:∙sin(2α+∣)=ɪ,

・•・cos(2α-=COSG—2a)=SinW2α)]=sin(2α÷¾=ɪ.

OOCtOɔɔ

【解析】⑴依题意，化简可得f(x)=2sin(23x+g)(3>0),由τ=∣≡=2x日=兀，可求得3；

ɔZtOL

(2)由/(α)=2sin(2α+今=|,结合诱导公式可求得COS(2α-看)的值.

本题考查三角恒等变换与两角和与差的三角函数，考查运算求解能力，属于中档题.

18.【答案】解：(1)设等差数列｛a7l｝的公差为d,∙∙y=7,α10=19,

ʌα1÷3d=7,α1+9d=19,

联立解得%=1,d=2,

ʌαn=1+2(n—1)=2n—1.

nn

(2)hn=2αn=(2n-1)∙2,

n

・・・数列｛bn｝的前Ti项和为4=2+3X的+5X23+…+(2τI-I)∙2,

27；=22÷3×23+∙∙∙+(2n-3)∙2n+(2n-1)∙2n+1,

相减可得：-7；=2+2(22+23+∙∙∙+2n)-(2n-1)∙2n+1=2+2×归丁)_(2∏-1).2n+1，

化为〃=(2n-3)∙27l+ι+6.

【解析】(1)设等差数列｛αn｝的公差为d,由α4=7,%o=19,可得%+3d=7,α1+9d=19,

联立解得的,d,利用通项公式即可得出ajt.

nn

(2)fon=2an=(2n-1)∙2,利用错位相减法即可得出数列｛b｝的前n项和为7；.

8本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能

力，属于中档题.

19.【答案】解：(I)证明：取BD的中点。，连接PO,AO,

因为PB=PD,。为BD的中点，

所以PO1BD,

在4BCD,AZBD中，

因为BD=2,∆DAB=乙BCD=90°,4CDB=30。，乙ADB=45。,

所以40=DO=1,

所以△PDO中，PO=√3.

又PA=2,

所以AP40为直角三角形，

所以POj.4。，

又AonPo=0,

所以Po1面ABCD,

又POU面PBD,

所以面PBo

(2)由于△ABD为等腰直角三角形，。为斜边BD的中点,

所以401OB,

由(I)知P。J■面ABC。，

所以建立如图所示的坐标系，贝IJP(0,0,冉)，4(1,0,0)，D(O,1,O),C(-y,j,O)>

所以同=(1,0,-√5),PD=(0,-l,-√3),PF=(0,l-√3).PC=(-y,i,-√3),

设平面PAD与平面PBC的法向量分别为沆=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,¾)>

得『-噜=。。和『尸7。

1-71-√3z1=0(-yx2+2y2-√3Z2-θ

令y1=V3»z2=V3，

则沅=(一√5,√5,-l),n=(-√3,3,√3),

设法向量而，记所成角为α,贝IJCOSa=ɪɪpɪ=一缪，

∣m∣∣n∣65

所以平面PAD与平面PBC所成角的余弦值为绊.

65

【解析】CL)取BD的中点0,连接P。，A0,由PB=PD,。为Bn的中点，得POLBD,计算P4

由勾股定理的逆定理可得P。∙L4。，由线面垂直的判定定理可得P。∙L面4BCD,再由面面垂直的

判定定理可得面PBD_L面NBeD.

(2)根据题意可得4。10B,由(I)知PoJ⅛4BCD,建立坐标系，可得方=(1,0,-遮)，而=

(0,-l,-√3)-PB=(0,l-√3),PC=(-y,∣,-√3)>设平面P4D与平面PBC的法向量分别为沅=

(XI,%,Zi),元=(X2/2*2)，贝M嘉和解得沆，孔由向量的夹角公式，即可

得出答案.

本题考查空间中面与面的位置关系，二面角，解题中需要理清思路，属于中档题.

20.【答案】解：⑴由题意知，所抽取的20人中得分落在组［0,20］的人数有0.0050X20X20=2(

人)，

得分落在组(20,40］的人数有0.0075×20×20=3(A),

•••所抽取的20人中得分落在组［0,20］的人数有2人，得分落在组(20,40］的人数有3人；

(2)X的所有可能取值为0,1,2,

P(X=O)=知器

P(X=I)=誓=余

P(X=2)=誓=急

X的分布列为：

故EX=OX4+Ix卷+2XK=L2.

【解析】(1)利用频率分布直方图能求出所抽取的20人中得分落在组［0,20］的人数和得分落在组

(20,40］的人数;

(2)X的所有可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望.

本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于基础题.

21.【答案】解：(/)由=Vtb得/+(2b—4)x+b2=0

直线y=x+b是抛物线C2：y2=4χ的一条切线.

所以△=0=b=ie=E=t=α=√Σ

a2

所以椭圆G：y÷y2=1(5分)

(∏)当直线1与X轴平行时，以AB为直径的圆方程为―+(y+i)2=©2

当直线［与y轴重合时，以AB为直径的圆方程为M+y2=1

所以两圆的切点为点((U)(8分)

所求的点7为点(0,1),证明如下.

当直线L与X轴垂直时，以AB为直径的圆过点(0,1)

当直线［与X轴不垂直时，可设直线/为：y=kx-l

y=kx-∖

2得(189+9)X2-12kx-16=0

{e=ι

(+不=3

设A(XI,%),B(X2,、2)则I1一铲+%

一一,416

TA∙TB=(l+k)%ι%2—Wk(X]+—g-

一164k12k16

=(1÷∕c2)∙

9+18∕C239+1879

所以再1方，即以4B为直径的圆过点(0,1)

所以存在一个定点7,使得以AB为直径的圆恒过定点T(13分)

【解析】(/)先跟据直线y=%+b是抛物线C2:y2=4%的一条切线，求出b的值，再由椭圆离心率

为苧，求出ɑ的值，则椭圆方程可得.

(∏)先假设存在一个定点7,使得以4B为直径的圆恒过定点，再用垂直时，向量万，刀的数量积

为0