北师大版七年级下册数学培优题

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北师大版七年级下册数学培优压轴题

-•解答题（共8小题）

1已知四边形ABCC中，AB=BCZABC=120,ZMBN=60,ZMBh绕B点旋转，它的两边分别交

ADDC（或它们的延长线）于E,F.当NMBN绕B点旋转到AE=CF寸（如图1）,易证AE+CF二E；当NMBN

绕B点旋转到AE/CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给

予证明；若不成立，线段AECF,EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

2.(1)如图，在四边形ABCDhAB=ADZB=ZD=90,E、F分别是边BCCD上的点，且NEAF=「NBAD

求证:EF=BE+FD

（2）如图，在四边形ABCDhAB=ADZB+ZD=180,E、F分别是边BCCD上的点,

且NEAF号NBAD（1）中的结论是否仍然成立?

⑶如图，在四边形ABCD中，AB=ADZB+ZADC=180,E、F分别是边BCCD延长线上的点,

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且NEAFiZBAD(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数

量关系，并证明.

3.如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中NC=90,ZB=ZE=30°

(1)操作发现：如图2,固定△ABC使ZxDEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段

DE与AC的位置关系是;

②设△BDC的面积为S,△AEC的面积为S,则S,与S的数量关系是.

B⑥

H102

(2)猜想论证：当ZxDEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中S与S2的数量关系仍

然成立，并尝试分别作出了△BDCffiAAEC中BCCE边上的高，请你证明小明的猜想.

(3)拓展探究：已知NABC=60,点D是角平分线上一点，BD=CD=QE//AB交BC于点E(如图4)•

若在射线BA上存在点F,使SADCF=SXBD,请直接写出相应的BF的长.

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H3JH4

4.如图1，已知线段AB的长为2a,点P是AB上的动点（P不与A,B重合），分别以ARPB为边向线段AB

的同一侧作正△APC和正ZxPBD

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（1）_____________________________________________当ZxAPC与八PBD勺面积之和取最小值

时，AP；（直接写结果）

（2）连接ADBC相交于点Q,设NAQCa，那么a的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由;

（3）如图2,若点P固定，将aPBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180。），此时a

的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）

5.如图1,RtAABC中AB=AC点DE是线段AC上两动点，且AD=ECAM垂直BD垂足为MAM的延长线

交BC于点N,直线BD与直线NE相交于点F.试判断△DEF的形状，并加以证明.

说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来

（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更

换已知条件，完成你的证明.1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形；2、

点K在线段BD上，且四边形AKNc为等腰梯形（AC//KN如图2）.

附加题：如图3,若点DE是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断ZxDEF的形状，并说明理由.

6.如图，已知等边三角形ABC中，点D,E,F分别为边AB,ACBC的中点，M为直线BC上一动点,

△DMNfe等边三角形（点M的位置改变时，△DMNfc随之整体移动）.

（1）如图1,当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE±?

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都请直接写出结论，不必证明或说明理由;

(2)如图2,当点M在BC上时，其它条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?

若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由;

(3)若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断⑴的结论中EN与MF的数量

关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由.

圄①

7.已知：等边三角形ABC(1)如图1,P为等边△ABC外一点，且NBPC=120・试猜想线段BR

PCAP之间的数量关系，并证明你的猜想;

⑵如图2,P为等边△ABC内一点，且NAPD=120.求证:PA+PD+PSBD

8.认真阅读材料，然后回答问题：

1

我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：G+h)=A+h

(a+b)2-a2+2ab+6,(a+b)3=(a+b)2(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3,・・・

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F面我们依次对（a+b）"展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的

形式：

（日也1...................................11

（a+b>?...................................121

[a+b）%...............................1331

（a+b>t..........................14641

（□+b）1=......15101051

（a+b>s..............1615201561

上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问

题：

（1）多项式（a+b）0的展开式是一个几次几项式?并预测第三项的系数；

（2）请你预测一下

多项式（a+b）”展开式的各项系数之和.__________________________________________

（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）”（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S,（结果用

含字母n的代数式表示）.

北师大版七年级下册数学培优压轴题参考答案与试题解析

1、【解答】VAB±AD,BC±CDAB=BCAE=CF

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ZA=ZC=90*,r•△ABE^ACBF（SAS；/-ZABE=ZCBFBE=BFVZABC=120,ZMBN=60

iAE=CF

•••ZABE=/CBF=30,AAE±BE,CF±BF;：/MBN=60,BE=BF；BEF为等边三角形；2

2

AAE+CF-BE±BF=BE=EjF

22

图2成立，图3不成立•证明图2.延长DC至点K,使CK=AE连接BK在ZxBAE和ZxBCK中，

rAB=CB

ZA=ZBCK=90”贝9ZxBAE^ABCKABE=BKZABEZKBCVZFBE=60,NABG=120,,AE=CK

ANFBC+ZABE=60,ANFBC+ZKBC=60,AZKBFZFBE=60，在ZXKBF和ZXEBF中，CBK=BE

ZKBF=ZEBKAKBF^AEBFAKF=EFAKC+CF=EF即AE+CF=EF

IBF=BF

图3不成立，AECF、EF的关系是AE-CF=EF

2.【解答】(1)延长EB至UG,使BG=DF连接AG

,AB=ADAAABWAADFAAG=AFZ1=Z2.

NBADANGAEZEAF又VAE=AEAEG^AEFAEG=EF

VEG=BE+BGAEF=BE+FD(1)中的结论EF=BE+F仍然成立.

⑶结论EF=BE+F不成立，应当是EF=BE-FD证明：在BE上截取Bq使BG=DF连接AG

vZB+ZADC=180,ZADF+ZADC=180,ANB=ZADFVAB=ADABG^ADF

ANBAGZDAFAG=AFANBAGZEADZDAFZEADZEAF二ZBAD

•••ZGAEZEAFVAE=AE^△AEG2AEF二EG=EF'EG=BEBG-EF=BE-FD

3・【解答】（7）@DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，二AC=CP

VZBAC=90-ZB=90°-30°=60°,~AACD是等边三角形，•NACD=60,

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XvZCDEZBAC=60,•ZACDZCDE-~DE//Aq

②VNB=30°,ZC=90°,­••CD=AC二AB-BD=AD=AC

根据等边三角形的性质，△ACD的边AGAD上的高相等，

•△BDC的面积和^AEq勺面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，

即S产S2；故答案为:DE//AqS=S；

(2)如图，・・・△DEC是由ZxABC绕点C旋转得到，・••BC=CEAC=CD

vZACNZBCN=90,ZDCMZBCN=180-90°=90°,•ZACNZDCMV在ZxACN^nADCM中，f

ZACN=ZDGnI

ZGffID=ZN=90:,・••△ACN^ADCM(AAS,■AN=DM

[AC=CD

•△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即$=$;

(3)如图，过点D作DF〃BE,易求四边形BEDF是菱形，所以BE=DF,

且BE、DF上的高相等,此时&DCF=S'E；过点D作DF±BDvZABC=60,FQ〃BE,

•ZF2FID=ZABC=60,VBF=DF,ZFiBD=-ZABC=30,ZHDB=90,­ZFiDF=ZABC=60,

•△DFF2是等边三角形，・DF=DF,VBD=CDZABC=60，点D是角平分线上一点，

•ZDBCZDCB=X60°=30°,-ZCDF=180°-ZBCD=180-30°=150°,

ZCDF=360°-150°-60°=150°,•ZCDF=ZCDF,v在ZxCDF和ZxCDF中，

r

DFi=DF2

,ZCD?FZCEFZ,ZCDF^ACDF(SAS,・点Fz也是所求的点，LCD=CDvZABC=60，点D是角平分

线上一点，DE//AB-ZDBCZBDEZABD=X60°=30°,

又VBD=4•BEV8-X44-COS30°=24"加聆•BF]BFz=BF+FF21,

2233333

故BF的长为土二或二二.

33

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B

=X2—：ax+"a2,X=L7A=a时ZxAPC与△PBD勺面积之和取最小值，故答案为：a；

当三a

(2)a的大小不会随点P的移动而变化，理由：・・・△APC是等边三角形，•••PA=PCZ

APC=60,・・・△BDP是等边三角形，•••PB=PDZBPD=60,AZAPCZBPD/•ZAPDZ

CPB•••AAPD^ACPB•••ZPADZPCBvZQAPZQACZACP=120,

ZQCPZQACZACP=120,­°•ZAQC=180一120°=60°

⑶此时a的大小不会发生改变，始终等于60°.理由：・・・△APC是等边三角形,

PA=PCZAPC=60BDP是等边三角形，二PB=PDZBPD=60,ANAPCZBPD

ZAPDZCPBAPD^CPB-ZPADZPCBvZQAPZQACZACP=120,

ZQCPZQACZACP=120,-ZAQC=180—120°=60°

5・【解答】△DEF是等腰三角形；证明：如图，过点C作CP±AC交AN延长线于点P

VRtAABC中AB=AC-ZBAC=90,ZACB=45-ZPCNZACBZBADZAGP

VAM±BD'ZABDZBAMZBAMZCAP=90;•••/ABDZCAP・△BAD^AAGP

-AD=CPZADBZP；VAD=CE-CE=CPVCN=CN・△CP『CEN

•ZP=ZCEN-ZCENZADB-ZFDEZFED•△DEF是等腰三角形.

附加题：/DEF为等腰三角形，•证明：过点C作CPLAC交AM的延长线于点P

VRtAABe中AB=AC-ZBAC=90,ZACB=45;-ZPCNZACBZECNVAMLBD

•ZABDZBAMZBAMZCAP=90ABDZCAP・△BADW八AGP-AD=CPZD=ZP；

VAD=ECCE=CP又VCN=CN・△CPN^ACEN-ZP=ZE;

-ND=ZE;A^DEF为等腰三角形.

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6.【解答】⑴判断：EN与MF相等（或EN=MF,点F在直线NE上，（2）成立.

连接DF,NF,证明△DBMFnaDFN全等（AAS,ABC是等边三角形，二AB=AC=BC又VD,E,F是三边的

中点，•••EF=DF=BFvZBDMZMDF=60,NFDNNMDF=60,•••ZBDMZFDN

rZBM=ZFBN

在ZxDBMfyDFN中，上U又二DFN,「・△DBM^ADFN二BM=FNNDFNZFDB=60,

DM=EN

•­•NF//BDVE,F分别为边ACBC的中点，•••EF是ZxABC的中位线，二EF〃BD

•••F在直线NE上,VBF=EF二MF=EN

⑶如图③，MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）・连接DFDE

由（2）知DE=DFNNDEZFDMDN=DM

rDE=DF

在aDN丽△DM冲，-ZNDE=ZFDM.•.△DNE^DMFMF=NE

DN=DK

1

7.【解答】AP=BP+PC（1）证明：延长BP至E,使PE=PC连接CEvZBPC=120,

•••ZCPE=60,又PE=PL△CPE为等边三角形，二CP=PE=CEZPCE=60,

••・△ABC为等边三角形，•••AC=BCZBCA=60,ANACBZPCE-ZACBZBCPZ

PCEZBCP即：NACPZBCE•△ACP^B