2023年北京市丰台区高考数学一模试卷及答案解析

2023年北京市丰台区高考数学一模试卷

一、单选题(本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合4={x∣-1≤%≤1},B—[x∖0<X≤2},则/UB=()

A.{x∣—1≤%≤1]B.{x∣0<X≤1}

C.{x∣0<X<2}D.{x∣-1≤X≤2}

2.设a,b,cWR,且α>b,贝∣J()

A∙ac>bcB,i<∣C,α2>b2D,a-c>b-c

3.已知圆(X-2)2+(y+3)2=N与y轴相切，则r=()

A.√2B.√3C.2D.3

4.已知/(%)是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(x)=∣og2X,则/(一2)=()

A.-1B.0C.1D.2

5.在平面直角坐标系XOy中，若角α以X轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交点的横坐标

为印贝IJa的一个可能取值为()

A.-60oB.-30oC.45oD.60°

6.在△?!BC中，若2cos4sinB=SinC,则该三角形的形状一定是()

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

7.设数列{αrι}的前洸项和为％，则”对任意n∈∕V*,αrι>0”是“数列{S7l}为递增数列”的

()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不是充分也不是必要条件

8.已知抛物线C：y2=2pχ(p>0)的顶点是坐标原点0,焦点为F,A是抛物线C上的一点，

点4到X轴的距离为2√Σ过点A向抛物线C的准线作垂线、垂足为艮若四边形ABOF为等腰梯形,

贝Up的值为()

A.1B.√2C.2D,2√2

9.已知函数/(x)的定义域为R,存在常数t(t>0),使得对任意X∈R,都有f(x+t)=/(%),

当xe[O,t)时，/(X)=I久一彳I.若/(x)在区间(3,4)上单调递减，则t的最小值为()

A.3B.IC.2D.I

10.如图，在直三棱柱ABC-AlBlCl中，AC1BC,AC=2,BC=1,

AA1=2,点。在棱AC上，点E在棱BBl上，给出下列三个结论：

①三棱锥E-ABD的体积的最大值为多

(2)A1D+DB的最小值为√Σ+√5;

③点。到直线ClE的距离的最小值为竿.

其中所有正确结论的个数为()

A.0B.1C.2D.3

二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)

11.若复数岩(a6R)是纯虚数，贝IJa=—.

12.已知正方形ABCD的边长为2,则荏.血=—.

13.从-2,-1,1,2,3这5个数中任取2个不同的数，记“两数之积为正数”为事件4,“两

数均为负数为事件B.则P(BIa)=—.

14.设函数f(x)=｛黑：若f(X)存在最小值，则α的一个取值为;α的最大

值为.

15.三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决\/

这个问题.古希腊数学家PaPPUS(约300〜350前后)借助圆弧和双曲线给出ALr二

了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于a,/∖7F

B两点；取线段AB的三等分点O,D；以B为焦点，A,D为顶点作双曲线凡/C\

双曲线”与弧4B的交点记为E,连接CE,贝吐BCE=

①双曲线，的离心率为一；

②若"ICBwMCl=3√2,CE交AB于点P,则IOPl=—.

三、解答题(本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(本小题14.0分)

已知函数/(久)=2sin(ωx÷φ)(ω>0,0<φ<Tr)的部分图象如图所示.

(1)求/(%)的解析式；

(2)若函数g(x)=/(x)smx,求g(x)在区间［0币上的最大值和最小值.

17.(本小题14.0分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，AC交BO于点0,乙BAD=60o,PB=PD.

点E是棱PA的中点，连接。E,0P.

(1)求证：OE〃平面PCD：

(2)若平面PAC与平面PCo的夹角的余弦值为苧，再从条件①，条件②这两个条件中选择一

个作为己知，求线段OP的长.

条件①：平面PBD-L平面4BCD；

条件②：PBIAC.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

18.(本小题14.0分)

交通拥堵指数(TP/)是表征交通拥堵程度的客观指标，7P/越大代表拥堵程度越高,某平台计算

TP/的公式为：TP/=穿噜黑，并按TP1的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4

畅通行程时间

个等级：

TPI[1,1.5)[1.5,2)[2,4)不低于4

拥堵等级畅通缓行拥堵严重拥堵

某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPl的统计数据如图:

(1)从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”

的概率；

(2)从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TP/比2022年同日

TP/高的天数记为X,求X的分布列及数学期望E(X);

(3)把12月29日作为第1天,将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TP/依次记为由,

__1

α2,•••»a:，将2022年同期TP/依次记为瓦，％•••,b7,记G=ai-b^i=1,2,∙∙∙,7),c=^∑^=1ci.

请直接写出©-取得最大值时i的值.

19.(本小题14.0分)

已知椭圆各，=l(a>b>0)的一个顶点为A((U),焦距为2.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点P(2,0)的直线与椭圆E交于B,C两点，过点B,C分另M乍直线hx=t的垂线(点B,C在

直线［的两侧).垂足分别为M,N,记ABMP,AMNP,△CNP的面积分别为S2,S3"试问：

是否存在常数3使得Si，1S2,S3总成等比数列？若存在，求出t的值,若不存在，请说明理由.

20.(本小题14.0分)

已知函数f(x)=x+3(a>0)∙

(1)求函数f(x)的极值；

(2)若函数/(x)有两个不相等的零点打，x2.

⑴求a的取值范围；

(ii)证明：x1+x2>2lna.

21.(本小题15.0分)

已知集合Sn={1,2,3,∙∙∙,2n}(n6N*,n≥4),对于集合Sn的非空子集4若Sn中存在三个互不

相同的元素使得均属于则称集合是集合的“期待子集”.

α,b,c,α+b,b+c,c+α44Sn

(1)试判断集合&={3,4,5},4={357}是否为集合S’的“期待子集”；(直接写出答案，不

必说明理由)

(2)如果一•个集合中含有三个元素X,y,z,同时满足①X<y<z,②x+y>z,③x+y+z

为偶数.那么称该集合具有性质对于集合的非空子集证明：集合是集合的“期待子

P∙Sn44Sn

集”的充要条件是集合4具有性质P;

若的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值.

(3)Sn(H≥4)mSnm

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：因为集合4={x∣-1≤X≤1}>B=[x∣0<%≤2},

所以4UB={x∣-l≤x≤2}.

故选：D.

根据并集运算求解.

本题主要考查并集及其运算，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：α>b,二α-c>b-c,因此£>正确.

c≤0时，4不正确；α>0>b时，B不正确；取a=—1,b=—2,C不正确.

故选：D.

利用不等式的基本性质即可判断出结论.

本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：由圆(x—2)2+(y+3)2=N的方程可得圆心的坐标(2,_3),

再由圆与y轴相切，可得半径r=2,

故选：C.

由圆的方程可得圆心坐标，再由与y轴相切，可得半径等于圆心到y轴的距离，可得半径的值.

本题考查直线与圆相切的性质的应用，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：因为/(x)是定义在R上的奇函数，

当X>。时,f[x}=]0g2x>

所以〃-2)=-/(2)=-log22=-1.

故选：A.

根据奇函数的性质及所给函数解析式计算可得.

本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：依题意可得COSa=冬则戊=30。+小360。，keZ或α=-30。+k•360。，k&Z,

所以ɑ的一个可能取值为-30。.

故选：B.

根据三角函数的定义得到c。Sa=苧，再根据特殊角的三角函数判断即可.

本题主要考查三角函数的定义，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：■：在△4BC中，sinC=s∣n[π—(Λ+B)]=sjn(∙^+B)=SinAcosB+CosAsinB,

.∙.2cosAsinB=SinC=SinAcosB+CosAsinB,即SiMACoSB-CosAsinB=Sin(A—B)=0,

A,B∈(0,Tr),

∙,∙A—BE(—it,Tr),

.-.A-B=O,即A=B,则AABC为等腰三角形.

故选：A.

利用内角和定理及诱导公式得到SinC=Sin(A+8)，利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入

已知等式变形，再利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到4-B=O,即4=B,即可确定出

三角形形状.

本题主要考查了诱导公式及和差角公式在三角形形状判断中的的应用，属于基础题.

7.【答案】4

【解析】解：数列｛a7l｝中，对任意neN*,an>0,则Sn=Sn_1+%τ>S71-I，n≥2；

所以数列｛Srι｝是递增数列，充分性成立；

当数列｛Srι｝为递增数列时，Sn>Sn.1,n≥2;

即Sjt-ι+a”>Srι-ι,所以afl>0,

如数列-1,2,2,2,...；不满足题意，必要性不成立；

所以“对任意nCN*,a7j>0”是“数列｛Sn｝为递增数列”的充分不必要条件.

故选：A.

根据题意，分别判断充分性和必要性是否成立即可.

本题利用数列的前n项和考查了充分与必要条件的应用问题，是基础题.

8.【答案】C

【解析】解：如图所示:

过点4(不妨设为第一象限点)向X轴作垂线、垂足为E,

设准线交X轴于。，

因为四边形ABoF为等腰梯形，

所以∣0B∣=∣4F∣,乙FoB=4OFA,

所以ZDOB=∆EFA,

又乙BDo=Z-AEF=90°,

所以ABDO三△4EF,

所以IoDl=IFEI=1

所以IDEl=∖D0∖+∖0F∖+∖FE∖=当,

所以MBl=El=当，

由抛物线的定义可得：∖AF∖=∖AB∖=W

在直角三角形AE尸中,MFl=当,∣EF∣=*∖AE∖=yA=2√2,

由勾股定理可得：g)2+(2√Σ)2=(第2,解得p=2.

故选：C.

过点4向X轴作垂线、垂足为E,设准线交X轴于D,利用几何法求出直角三角形4EF的三边，利用

勾股定理即可求解.

本题主要考查抛物线的性质，考查转化能力，属于中档题.

9.【答案】B

【解析】解：因为存在常数t(t>O),使得对任意R,都有/(x+t)=∕O),

所以函数的周期为3

当X∈[0,t)时,函数/(x)=IXTl在[0,今单调递减,

所以当X≥0时，函数/Q)=比三阳("1)£,但/)何6*)上单调递减，

因为/(x)在区间(3,4)上单调递减，

(nt<3

所以j22!≥4'

(n≤∣

故I£

[2n+l≥f

所以∣≤t≤3,

所以t的最小值为*

故选:B.

根据函数的周期性和绝对值型函数的单调性进行求解即可.

本题主要考查了函数的单调性及周期性在不等式求解中的应用，据函数的周期的性质，结合绝对

值型函数的单调性是解题的关键.

io.【答案】c

【解析】解：在直三棱柱ABC-AlBIG中BBlJ■平面ABC,

对于①：因为点E在棱BBl上8Bι=Λ4ι=2,所以BE∈[0,2],又=3BE∙SMBD，

11

又AC1BC,AC=2,BC=1,点。在棱AC上，所以4D∈[0,2],SAABD=-BC=^AD∈[0,1],

BE

所以=I-SMBD≤∣∙当且仅当。在C点、E在BI点时取等号，故①正确；

对于②：如图将△?!BC翻折到与矩形4CQ&共面时连接交AC于点D,此时4D+DB取得最小

值，

因为AICl=CCl=2,BC=1,所以BCl=3,所以4B=JAG+C$2=g,

即+DB的最小值为√∏,故②错误；

对于③：如图建立空间直角坐标系,

设。

(α,0,0),a∈[0,2],E(O,l,c),c∈[0,2],C1(0,0,2),

所以M=(α,0,-2),QE=(0,1,c-2).

C∖D'C∙[E.

则点。到直线GE的距离d=IQDI2-d∙)2=α2+4-(T丝冬)2=

■∖ClE∖'

4(-2)2

α2+4-

(C-2)2+1

当C=2时d=√α2+4≥2,

111q∩,416

当0≤c<2时0<(c—2)2≤4,1+—贝可,

C)(c-2)z

2

所以当建含取最大值3且M=°时dm"

即当。在C点E在B点时点。到直线ClE的距离的最小值为等，故③正确;

故选：C.

根据锥体的体积公式判断①，将AABC翻折到与矩形ACaal共面时连接48交AC于点D,此时

DB取得最小值，利用勾股定理求出距离最小值，即可判断②，建立空间直角坐标系，利用

空间向量法求出点到距离，再根据函数的性质计算可得.

本题主要考查了三棱柱的结构特征，考查了利用空间向量求点到直线的距离，属于中档题.

IL【答案】ɪ

【解析】解∙"=(α+D(3+ι)=3αT+(α+3〉

L用W腑∙3T(3-i)(3÷i)IO'

∙∙∙EkL=/解得α=g∙

故答案为：ɪ

将复数言(α∈R)化成代数形式，令其实部为0,虚部不为0,解出即可.

本题考查复数的运算、复数的分类.属于基础题.

12.【答案】4

【解析】解：在正方形4BCD中，AC=AB+AD,

即有希-AC=AB∙(AB+AD')=AB2+AB-AD

=4+0=4.

故答案为：4.

由向量加法的平行四边形法则，以及向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，向量垂直

的条件：数量积为0,计算即可得到所求值.

本题考查向量的平行四边形法则和向量的数量积的性质，考查运算能力，属于基础题.

13.【答案】ɪ

【解析】解：从-2,-1,1,2,3这5个数中任取2个不同的数有底=10种取法，

其中满足两数之积为正数的有废+Cj=4种取法，

满足两数之积为正数且两数均为负数的有耨=1种取法，

所以P(A)=白,P(AB)=专，

所以P(BM)=需

故答案为：；

4

根据古典概型的概率公式求出P(4),PQAB),再由条件概率的概率公式计算可得.

本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了条件概率公式，属于基础题.

14.【答案】O1

【解析】解：当α<0时，函数/(x)图像如图所示，不满足题意,

当a=0时，函数f(x)图像如图所示，满足题意;

当0<α<2时，函数/(x)图像如图所示，要使得函数有最小值，需满足—ɑ2+l≥0,解得：0<

当a=2时，函数f(x)图像如图所示，不满足题意,

当α>2时，函数/(x)图像如图所示，要使得函数/(%)有最小值，需(a—2)2≤-tl2+ι,无解,

故不满足题意；

综上所述：ɑ的取值范围是[0,1],

故答案为：0,1.

对函数/(x)分段函数的分界点进行分类讨论，研究其不同图像时函数取最小值时ɑ的范围即可.

本题主要考查利用分段函数图像确定函数最小值是分界点的讨论，属于较难题目.

15.【答案】27-3√3

【解析】解：①由题可得|。*=α,|。Bl=c,所以c=2α,

所以双曲线H的离心率为2=2；

②因为NACB=2,且MCl=∖BC∖=3√2,

所以MBl=√18+18=6,

又因为NBCE=；"CB,所以乙4CP=g,NBCP=%

所以S"CP_14C|.|CP|sinZu4CP_ɪ_∣4P∣,

SABCP-l∖BC∖-∖CP∖sin∆BCP~∖~∣βpΓ

所以MPl=√3∣BP∣.

因为∣4Bl=∖AP∖+∖BP∖=(√3+I)IBPl=6.解得IBPl=3√3-3,

所以IoPl=∖OB∖-∖BP∖=7-3√3.

故答案为：2；7—3V3∙

①根据图形关系确定C=2α即可求解：

②利用面积之比鬻H渭:黑黑=需进而可求出出P=3d3,再根据NPI=

|。BI-IBPI求解.

本题主要考查了双曲线的性质，考查了双曲线离心率的求法，属于中档题.

16.【答案】解：⑴由图象可知：T=4有一力=2兀,

ʌω=1

将点6,2)代入y=得/α)=2sm(≡+φ)=2,

'9=3+2kn,kEZ9

•：U<φ<Ti,

π

∙∙∙(P=%，

.∙√(x)=2sin(x+^);；

(2)g(x)=f(x)sinx=y∕2sinx{sinx+COSX)=号(sin2x—cos2x)+ɪ=sin(2x—^)+γ>

由xe[0币得2%'∈L∕],

当2x-与=_今时，即X=O,g(x)min=0，

当2x-%=%时，即X=*,g(x)mɑx=鱼.

【解析】(1)由图象及三角函数的性质可以得到3,φ,进而得到/(X)的解析式；

(2)根据三角恒等变换化简g(x),进而分析在区间[0,勺上的最大值和最小值.

本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键.要求熟练

掌握函数图象之间的变化关系.

17.【答案】解：(1)由题意可知，。是4C中点，

又因为E是棱Pa的中点，所以。E〃PC,

又因为PCU平面Pe。，OEC平面PC。，

所以OE〃平面PCD；

(2)选择条件①：

因为PB=P。，。是BO的中点，所以POlBD,

因为平面PBC平面PBon平面4BC。=B。，PoU平面PB。，

所以PO_L平面ABCD,因为ACu平面ABCD,所以POlAC,

又ACj.BD,所以OB,OC,OP两两垂直，

以。为坐标原点，分别以OB,OC,OP所在直线为X轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系。-町z,

因为菱形的边长为2,/-BAD=60°,

所以BD=2,AC=2√3,

所以C(O,√5,0),D(-l,0,0),设P(O,O,t)(t>0),

所以反=(l,√3,0),DP=QO,t)，

设记=(X,y,z)为平面PCD的一个法向量，

由俨1匹可得卜+√⅜=0,

(n1DPIx+tz=0

¾x=y∕3t,y=-t,z=—V3>所以元=(百t,—t,—

因为Bo1平面P4C,所以平面PAC的一个法向量为元=QO,0),

平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为半，

rrp*l×V3tIVI5

所以ICoS<n,∏7>I=■，所以I2,、2L2——~，

1115J(√3t)+(-t)+(-√3)Xl

所以5£2=4尸+3,所以12=3,

因为t>0,所以t=√5,

所以线段OP的长为√5.

选择条件②：

因为PB_L4C.在菱形ABC。中，BDLAC,

因为BDU平面PBD,PBU平面PBD,PBeBD=B,

所以AC1平面PBD,

因为PoU平面PBD,所以4CIP。，因为POJ.BD,AC1BD,

所以。B,0C,OP两两垂直，

以。为坐标原点，分别以OB,0C,OP所在直线为X轴，y轴，Z轴，建立空间直角坐标系。-4∕z,

因为菱形的边长为2,/.BAD=60°,

所以BC=2,AC=2√3,

所以C(O,√5,0),D(-l,0,0),设P(O,O,t)(t>0),

所以反=(1,√3Λ0),DP=(1,0,t)，

设元=(X,y,z)为平面PeD的一个法向量，

由Fj■史,可得卜+岛=°,

InlDP(χ+tz=0

IXx=y∕3t,y=-t,z=—√3>所以元=(bt,—t,—遮)，

因为8。1平面24C,所以平面P4C的一个法向量为4=(1,0,0),

平面24C与平面PCD的夹角的余弦值为半，

∕ψrIl×V3tIV15

所以gs<k,∕>∣=可’所以I顺花捻源I=可，

所以5t2=4∕+3,所以产=3,

因为t>0,所以t=vɜ.

所以线段OP的长为√5∙

【解析】(1)根据线面平行的判定定理证明；

(2)利用空间向量的坐标运算表示出平面PaC与平面PCD的夹角的余弦值，即可求解.

本题主要考查了线面平行的判定定理，考查了利用空间向量求二面角，属于中档题.

18.【答案】解：(1)由图可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥

堵”的共2天，

所以这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为余

(2)由图可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日TP/高的天数只有4月3日和1月4日这2天,

所以P(X=O)W=票=5,P(X=I)=等=IM，p(x=2)=誓=

所以X的分布列为:

X012

241

P

________7________________7________________7________

数学期望E(X)=0×∣+l×^+2×i=^;

(3)由题意，c1=a1-b1=1.908-2.055=-0.147,c2=a2-b2=2.081-2.393=-0.312,

c3=α3-h3=1.331—1.529=-0.198,=a^-b4=1.202—1.302=—0.1,c5=α5-h5=

1.271-1.642=-0.371,c6=a6-b6=2.256-1.837=0.419,c7=a7-b7=2.012-1.755=

0.257,

--11

所以C=^∑∙L1ci=ʌ×(-0.147-0.312-0.198-0.1-0.371+0.419+0.257)≈-0.065,

所以∣q-2∣取得最大值时，i=6.

【解析】(1)根据随机事件的概率公式即可求解；

(2)结合题意先求出X的分布列，再结合数学期望的公式求解即可；

(3)结合题意先求得£≈-0.065,进而即可求解.

本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.

19.【答案】解：(1)根据已知可得b=1,2c=2,

所以b=1,c=l,a2=b2+C2=2,

2

所以椭圆E的方程为a+丫2=1；

(2)由已知得，BC的斜率存在，且B,C在X轴的同侧，

设直线BC的方程为y=k(x-2),B(x1,y1),C(x2,y2)>不妨设/<%2，

则y，2>°，Xι<t<X2>

,y—k(x—2)

由/得(1+2k2)/一8卜2刀+8卜2-2=0，

S=1

所以4=8(1-21)>0,x1+x2=∙x2=普

11-]

因为Sl=爹(t-χι)IyjS2=?(2—。四一为1，53=2(小一。四1，

所以5「53=[(%2—。«-％1)"42|=—t)(t-Xl)y,2=；好。2~t)(t-X1)(%ι-

22

2)(X2-2)=∖k∖t(x1+x2)-X1-X2-t]■[x1∙x2-2(x1+X2)+4]=言ɪ--

/)•(寓一黑+4)=[-2丑一"一尸+2],洛/(2-产仇一月T=

22

2222222238

⅛fc(2-t)(x2-x1)=⅛fc(2-t)[(x2+ɪi)-4X1X2]=⅛fc(2-θ^(ɪɪ)-^2~2J=

入离"2(一)2+("2丹

要使Si，∣S2,S3总成等比数列，则应有-t?+?="-2)2解得t=l,

所以存在t=l,使得Si，∣S2,S3总成等比数列.

【解析】(1)根据α,b,C的关系求解；

(2)表示ABMP,AMNP,ACNP的面积，利用韦达定理表示出S1,S3,；5会即可求出常数t的值.

本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题.

20.【答案】解：⑴因为f(x)=x+*所以/，(X)=I-S=票，因为α>0,

由f'(%)>0有:X>Ina,由广(X)<0有：X<Ina,

所以函数f(%)在(-8,Ind)单调递减，在(mQ,+∞)单调递增，

所以函数/(%)无极大值，有极小值/(仇a)=1+Ina；

(2)(i)由(1)有：函数/(x)在(一8,仇Q)单调递减，在(mQ,+8)单调递增，

若函数f(x)有两个不相等的零点不，则/(，九a)=1÷/nɑ<0,解得Q<ɪ,

所以OVQV，因为当％τ+8时，£—0,工+%—+8,所以/(%)τ+8,

所以/(%)=无+卷在(切2+8)上有1个零点，

当％→一8时，晟=αφx→÷∞,又“指数爆炸”，所以/(x)→+8,

所以/(%)=X+郎在(一8,)Q)上有1个零点，

综上，当0<αv3时，函数/(%)有两个不相等的零点%1，x2∙

证明：3)由⑴有：当O<α<f寸，函数/Q)有两个不相等的零点匕，%2,

,,

不妨设%ι<Ina<X2»构造函数F(%)=f(x)-f(2lna-%),则F'(%)=∕(x)+f(2lna—x),

因为f'(x)=l—a所以尸'出=1_5+1_-=2_备+》，

因为O<α<L所以巴+竺≥2叵三=2,当前仅当X=时取到等号，

eexayexa

所以F'(x)=2-(^+≤)≤0,所以F(X)=/(x)-f(2lna-%)在R上单调递减，

又x∙l>Ina,所以F(X2)<Fand)=f(Ina)—f(2lna—Ind)=0,

即F(X2)=/(&)-f(2lna-x2)<0,即/(小)<f(2lna-x2),又/"(不)=

所以J(XI)<f(2Znα—工2)，又无ι<lnα<%2,所以2∕nα—&<伍乐

由(1)有:函数/'(x)在(一8,mα)单调递减，所以a⅛>21na-%2,

即巧+X2>2Ina,结论得证.

【解析】(1)利用导数研究函数的单调性和极值；

(2)(i)利用导数研究函数的单调性与极值，再结合图象与零点进行求解；(ii)利用构造对称函数以

及导数进行证明.

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了函数的零点问题，属于中档题.

21.【答案】解：(1)因为S4={1,2,3,4,5,6,7,8},

对于集合&={3,4,5),

(a+b=3(α=2

令b+c=4,解得b=1,

c+α=5Ic=3

显然1ES4,2eS4,3GS4

所以&是集合S4的“期待子集”；

对于集合&={357},

a1+b1=3

令瓦+J=5,则a[+b1+c1=γ,

,c1+α1=7

因为的,b1,CieS4,即由+瓦+q€N*,故矛盾，

所以4不是集合S4的“期待子集”；

(2)先证明必要性：

当集合4是集合SJl的“期待子集”时，

由椭圆，存在互不相同的α,b,CeSn,使得α+b,b+c,c+a&A,

不妨设α<b<c,令X=α+b,y=α+c,z=b+c,

则久<y<z,即条件P中的①成立；

又X+y-z=(α+b)+(c+α)-(b+c)=2α>0,

所以x+y>z,即条件P中的②成立；

因为久+y+z=(α+b)+(c+α)+(b+c)=2(α+b+c),

所以x+y+z为偶数，即条件P中的③