中考数学复习函数24 利用二次函数比较大小与解不等式（组）（教师版）

专题24利用二次函数比较大小与解不等式(组)

1知识对接

考点一、二次函数与不等式的关系

aχ2+bx+c>0(a∕0)的解集U二次函数y=ax2+bx+c的图象位于X轴上方部分对应自变量的取值

范围；

aχ2+bx+c<0(a翔)的解集=二次函数y≈ax2+bx+c的图象位于X轴下方部分对应自变量的取值

范围.

要点补充：

考点二、函数及其图象

1、抛物线y=4χ2+⅛χ+c中，a,》,C的作用

(I)a决定开口方向及开口大小，这与y=a∕中的&完全一样.

(2)匕和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线

bh

X=------,故：①b=0时，对称轴为y轴；②一〉0(即〃同号)时，对称轴

2aa

在y轴左侧；③2<0(即a、b异号)时，对称轴在y轴右侧.

a

(3)C的大小决定抛物线y=aχ2+0χ+c与y轴交点的位置.

当x=()时，y=c,抛物线y=+AV+c与y轴有且只有一个交点(O,c)：

①c=(),抛物线经过原点；②c>(),与y轴交于正半轴；③c<0,与y轴交于负半

轴.

以上三点中，当结论和条件互换时.，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则-<0.

a

2、几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式开口方向对称轴顶点坐标

y-ax2x=0(y轴)(0,0)

y-ax2+kx=0(y轴)(0,k)

y=Q(X-∕zFX=h(〃,0)

当Q>0时

y=Q(X-∕z)2+Z开口向上X=h(h,k)

当时

y=ax1+bx+ca<0bb4ac-b2

X=------(——，------------)

开口向下2a2a4a

项训练

一、单选题

1.如图，抛物线y=0γ2+c与直线V=皿+”交于A(T,p),3(3,4)两点，则不等式

Or2+c>wx+”的解集为()

D.XCT或x>3

【答案】D

【分析】

观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论.

【详解】

解：抛物线y=ατ2+c∙与宜线y=znr+”交于A(-1,p),B(3,q)两点，

由图可知：抛物线y=0r2+c在直线,y=mr+"上方时，

X的范围是：x<-l或x>3,

即ax2+c>nιx+n的解集是x<-l或x>3,

故选D.

【点睛】

本题考查二次函数与不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

2.如图是二次函数X="x'+fox+c(a≠())和一次函数%=如+"。"Ro)的图象.则下列结

论正确的是()

A.若点肛-2,4）,唱4）,外2,4）在二次函数图像上，则4<出</

B.当》<一；或x>3时，

C.2a-b=0

D.当χ=∕+2（4为实数）时，M≤c

【答案】D

【分析】

根据二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，观察图象即可判断.

【详解】

解：：抛物线的开口向下，对称轴为直线广1,且卜2-l∣>∣2-l∣>,

Λrf∣<⅛<⅛,故A错误；

无法求得两个函数图象的交点坐标，故B错误；

•••抛物线对称轴为直线k1,

b

...---=11,

2a

.∙.2a+b=Q,故C错误；

：抛物线对称轴为直线户1,

•••点（O,C）与点（2,C）故对称轴对称，

.∙.当产产+2（k为实数）时，y∣≤c,故。正确.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查直线和双曲线交点的问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

3.已知函数y=-V+2"，当x≤2时，函数值随X增大而增大，且对任意的l≤%≤α+l和

l<x2<a+l,%、X2相应的函数值%、%总满足|乂-对<9,则实数。的取值范围是（）

A.2≤α≤4B.-2<a≤4C.a≥2D.2<a≤3

【答案】A

【分析】

对任意的l≤xSα+l和15≤α+l,ɪi.&相应的函数值y””总满足IyI-”∣≤9,只需最大值与

最小值的差小于等于9即可，进而求解.

【详解】

解：函数的对称轴为x=α,

而烂2时，函数值随X增大而增大，故”≥2;

Vl<x∣<a+l和l≤T2≤α+l,

.∙.χ=”时，开口向下，函数的最大值=〃，

故函数的最大值在和4a+l中产生，

则X=1,X=α+l那个距Λ="远，函数就在那一边取得最小值，

'：a>2,

6f-l>l,而α+l-α=l,

•••I距离。更远，

Λx=l时，函数取得最小值为：-l+2α,

：对任意的0ι≤a+l和l≤x2Wa+l,Xi,X2相应的函数值)1,”总满足∣j∣-y2∣W9,

只需最大值与最小值的差小于等于9即可，

Λ,a2-(-l+2α)<9,

31)2=9,

解得-3Wa-IW3,而定2,

.,.2<a<4,

故选:A.

【点睛】

本题考查的是二次函数图象与系数的关系，M-)，把3转换为最大值与最小值的差小于等于3,

是解题的关键.

l

4.已知二次函数y∣=0χ2+αx-l,y2=x+bx+∖,令h=b-a,()

A.若∕7=l,α<l,贝∣J%>y∣B.若〃=2,4<：，则%>)1

C.若∕z=3,α<0,贝!J%)％D.若〃=4,α<--∣,贝!I%>X

【答案】B

【分析】

建立%-乂=(1一。)/+。—〃卜+2,结合A,8,C,。选项的条件，分别计算▲，利用函数与龙

轴的交点情况，再分别判断48,C,/)选项即可得到答案.

【详解】

解：当人=1,a<∖,则6-α=l,l-a>0,

而2z

y2~y∖=(l-fl)x+(⅛-6t)x+2=(l-α)x+JC+2,

.-.Λ=l-8(l-α)=8α-7,

无法判断3与O的大小，故无法判断加%的大小，

故A错误，不符合题意；

当∕z=2,“<,时，则∕>=α+2,∖-a>—,

22

而22

y2-y↑=(l-α)x+(⅛-α)x+2=(l-β)x+2x+2,

,∙,i=4-4(l-α)×2=8α-4<0,

而函数图像的开口向上，

,。,

32-y∣>

故正确，符合题意：

•••J2>ʃi-8

当力=3,«<0,贝IJ〃一。=3』一。>1,

而％-乂=(l-α)χ2+(6-α)χ+2=(l-α)χ2+3x+2,

.∙.=9-8(l-α)=8a+l,

无法判断.,与O的大小，故无法判断加义的大小，故C错误，不符合题意；

当〃=4,a<--,则b-α=4,l-α>3,

22

而22

y2~y∖=(l-a)jr+(⅛-β)x+2=(l-iz)x+4x+2,

16-8(1—α)=8a+8,

无法判断。与。的大小，故无法判断加当的大小，故。错误，不符合题意；

故选：B.

【点睛】

本题考查的是二次函数与X轴的交点情况，二次函数的性质，掌握利用二次函数的性质判断

函数值的大小是解题的关键.

5.如图，己知抛物线y=6(x+f)(a*O)经过点4-3,-3),f≠O.当抛物线的开口向上时，

f的取值范围是()

A.r>3B.t>-3C.f>3或f<-3D.t<-3

【答案】A

【分析】

根据抛物线丫=依(》+。(。≠0)经过点4(-3,-3),求出f=3+L由抛物线的开口向上，可得

a

ɪ>0,可得f=3+,>3即可.

aa

【详解】

解：Y抛物线y=ax(x+t)(a≠0)经过点A(-3,-3),

Λ-3=α(-3)(-3+O(α≠O),f=3+L

a

:抛物线的开口向上，

；・α>O,—>O,

a

1・f=3+—>3.

a

故选择4.

【点睛】

本题考查抛物线性质，利用抛物线经过点求出关于f的代数式，利用抛物线开口方向确定

工>0是解题关键.

a

6.已知抛物线y=(m+l)f-2g+m-2与X轴有两个交点(％,0)G,0),现有如下结论:①

此抛物线过定点(LT)；②若抛物线开口向下，则〃?的取值范围是③若小>-1

21

时,有-2<%<-1,1<9〈2,则加的取值范围是-：<加<；其中正确结论的个数是()

94

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】

txtU)'解方程组的

把函数变形y-尤2+2=„1*2-2尤+1),由111为任意数，可得

JV=]

一，可判定①，由抛物线与X轴有两个交点，可求小>-2且机#-1,山抛物线开口向下,

J=T

AΠ÷1<0,结合抛物线与X轴有两个交点，机>-2且加工-1,可判定②，若〃?>-1时，抛

物线开口向上,当x=2,y>0,g,y<0,可得C。,解得一触4,

(w+1)-2m+/7?-2<O

当x=l,,y<0,当x=2,y>0,可得《解得加>-2,求公共部分即

4(zn+l)-4m+m-2>O

可.

【详解】

解:把函数变形y-χ2+2=zn,-2x+l),由m为任意数

.Jχ2-2χ+l=0

y-χ2+2=O'

解得｛x=l,.

Iy=T

抛物线过定点(i,-i),

①此抛物线过定点(1,-1)正确；

抛物线y=G"+l)χ2-2皿+,"-2与X轴有两个交点('MG,。)，

(m+l)x2—2/ttx+m—2-0,

m+l≠O

(-2m)2-4(m+l)(zn-2)>0

解得机〉-2且〃2W-1,

V抛物线开口向下，

/.m+1<O,

解得加<-1,

又Vιn>-2^Lm≠-l»

.*.-2<m<-l;

②若抛物线开口向下,则m的取值范围是-2VmVT正确,

若〃?>-1时，m+l>0,抛物线开口向匕，

抛物线y=0n+l)f-2小+小-2与％轴有两个交点(％,0)G,0)，

-2<%<—1,

当x=-2,,y>0,当x=-l,y<0,

4(机+1)+4/n+fn-2>O

即

m+1+2/n+/n-2<O

解得一21

5<W7<I'

∖<x2<2,

.∙.当x=l,,y<0,当x=2,y>0,

(/77+1)-2/77÷W-2<O

即<

4(m+l)-4"z+机一2>0

解得m>-2，

21

.∙.有一2<玉<一1,1<々<2,则用的取值范围是一XCm.

94

21

③若〃7>-1时，有一2<X]V-1,1<X<2,则胆的取值范围是一二<加<:正确，

294

所以正确结论的个数有3个.

故选择D.

【点睛】

本题考查抛物线过定点，抛物线开口方向，抛物线与X轴的交点个数，抛物线与X轴两交点

位置，求范围，掌握抛物线过定点把函数变形构造方程组，抛物线开口方向，抛物线与X

轴的交点个数归结判别式的符号，抛物线与X轴两交点位置，利用函数值的符号列不等式组

是解题关键.

7.二次函数y=(x-b)2+b+l的图象与一次函数y=τ+5(-l≤x≤5)的图象没有交点，则人

的取值范围是()

171717

A.b<—4B.h>—C.b<—4或b>—D.—4<h<—

888

【答案】C

【分析】

先根据一次函数的解析式求出X=T和x=5时，>的值，再分b<-l,-l≤h≤5和b>5三

种情况，根据二次函数的图象与性质列出不等式，然后求解即可得.

【详解】

对于一次函数y=r+5(T≤x≤5),

当X=-1时，y=l+5=6,

当％=5时，y=-5+5=0,

二次函数y=(χ-∕√+∕j+ι的对称轴为χ=b,

由题意，分以下三种情况：

(1)当。<一1时，

若两个函数的图象没有交点，则当x=T时，二次函数的函数值大于6；或当x=5时，二次

函数的函数值小于0，

即(-l-⅛)2+⅛+l>6≡K(5-⅛)2+⅛+l<0,

不等式(-l-4+b+ι>6可化为〃+劝一4>o,

利用因式分解法解方程匕2+3〃_4=0得：4=1也=Y,

由二次函数z=〃+3〃-4的性质可知，当z>0时，6<→4或6>1(舍去)，

同理可得：不等式(5-b)2+6+]<o无解，

综上，此时〃的取值范围为6<T；

(2)当T≤6≤5时,

若两个函数的图象没有交点，则卜=C"b[+b+l无解，

[y=-x+5

即关于X的方程X2+(1-2勿工+/+6-4=0无解，

则方程的根的判别式△=(1-2))2-4(从+⅛-4)<0,

解得b>1[7,

O

17

则此时b的取值范围为?<匕45；

O

(3)当3>5时,

o23

当x=5时，二次函数的函数值为y=(5-力2+Hl=S-∙∣)2+γ>0,

所以二次函数的图象与次函数的图象没有交点，

则此时b的取值范围为力>5；

综上，b的取值范围为％<Y或〃>[,

O

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次函数以一次函数的综合，根据一•次函数的X取值范围，正确分三种情况讨论

是解题关键.

8.对于题目：“线段y=-%+#1#X3)与抛物线尸加-2⅛?0)有唯一公共点，确定。

的取值范围“、甲的结果是乙3的结果是α>3=,则()

22

A.甲的结果正确B.乙的结果正确

C.甲、乙的结果合在一起才正确D.甲、乙的结果合在一起也不正确

【答案】D

【分析】

根据抛物线和线段的位置关系，找到临界点，确定。的值，即可求解.

【详解】

解：线段，=-++21#X3)与抛物线y=2∕x(α?())有唯一公共点，

OQ

・・._A.+=幺2_2八(-1#X3)只有一个实数解，

44

BP:加+去-2α2χ-言=0在T≤X≤3范围内只有一个实数解，

44

.∙.函数在T≤X≤3范围与工轴只有一个交点，

・・・且端点与端点内，不存在同时为0的情况，

Λ(2a2+a-3)(-6π2+9π)?0

.∖a(a-l)(2α+3)(2/・3)?0

33

.*.a≤——或0≤α≤l或α≥二且〃wθ,

22

3

经验证，QWl且〃≠=,

2

33

ʌa<——或0<。<1或〃>二，

22

，甲、乙的结果合在一起也不正确，

故选：D.

【点睛】

本题考查的是二次函数性质和图象，根据抛物线和线段的位置关系，找到临界点是解题的关

键.

9.平面直角坐标系中有两条抛物线4：y=++云+。与"：必=。/+/^+〃，其中

a>c>O,下列三个结论中：

①如果抛物线4与X轴的一个交点为(〃?,0),那么(,,0)是抛物线4与X轴的一个交点；

m

②如果当x>0时》随X的增大而增大，那么当x>0时％也随X的增大而增大；

③如果y<%,那么X的取值范围为-ICX<ι.

其中正确结论是()

A.φ(2)B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【分析】

将（九0）代入X=K2+灰+c∙变形即可判断①，开口向上的抛物线x>0随X的增大而增大则

对称轴在y轴左侧，判断方对称轴即可判断②，解/+bx+cV52+fcv+α即可判断③.

【详解】

解：将（加,0）代入X=Q尤2+"+c得：0=am2+bm+c,

VoO,

・、机wO,两边同除以加2得：O=a+b---FC∙（—）2,即一是Cr2+Zzx+q=O的根，

mtntn

∙∙.（ɪ,θ）是抛物线/,与X轴的一个交点，①正确；

m

：当x>0时,随X的增大而增大，Ha>0（开口向上），

对称轴X=-二在y轴左侧，即一二<0,

la2a

Va>c>O,

.∙.-^-<o,即然对称轴也在y轴左侧，开口向上，

2c

，当x〉O时内也随X的增大而增大，②正确；

22μ2

ax+bx+c<ex∙vbx∙vaΓW（6f—c）x<a-cf

Va>c>O,

∙*∙X2<1,B[J-l<x<l,③正确；

故选：D.

【点睛】

本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是根据已知列出式子适当变形.

10.给出下列命题及函数y=—X,y=-V,y=-_L的图象.①如果“<τ那么

Xa

②如果一lvα<O,那么一>-a；③如果Oea<1,那么一/>-a>--；④如果

aa

那么」〃，则正确命题的序号是（）

a

A.（D@B.②③C.①③D.③④

【答案】C

【分析】

先画出函数尸-X,）=-1,产工的图象，确定它们的交点坐标，然后观察图象的位置得到当X

.X

<_]时，当-l<χ<O时，当O<χ<l时，当x>l时函数值的大小，可得结果.

【详解】

解：分别令T=T2,解得：aO或4I,

则尸一X与尸.2的图象交点坐标为（0,0）,（1,一1）,

令—X=—，解得：-T=-I或X=1,

X

则v=・x与y=-L的交点坐标为（-1,1）,（1,-1）»

X

令一丁二一2_,解得：x=l,

X

则）=-χ2与尸-，的交点坐标为（1,-1）；

X

当XV-I时，_工>」>-2,

X

当/VxVO时，-!>r>-f,

X

2

当OVX<1时，-x>-x>--f

X

当x>1时，-L>-X>-X2,

X

・•・①③正确，②④错误，

故选C.

【点睛】

本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部

分组成,题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”

形式.有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.也考查了观察函数图象

的能力.

二、填空题

II.已知函数y=一二+20W2)的图象如图所示，观察图象，则当函数值a-6时，对应

-2x(X>2)

的自变量X的取值范围是.

【答案】-2√2<r<3

【分析】

根据图象以及不等式解法，分别解不等式，得出自变量的取值范围即可.

【详解】

当函数值比-6时，分两种情况：

①右2时，-》2+2々-6,

x2<8,

结合图象可以得出：-2√∑≤r≤2,

此时烂2,

所以-2立三烂2,

②x>2时，当函数值比-6时，

-2x≥-6,

解得：Λ≤3,

此时x>2,

所以2<x≤3.

综上所述，y≥-6时，对应的自变量X的取值范围是：-2√2≤x≤3，

故答案为-2&SE3.

【点睛】

此题考查依据图象及函数值求自变量的取值范围，列一元一次不等式解决问题，正确理解题

意及函数图象是解题的关键.

12.如图，抛物线y=-χ2+2x+,"+l交X轴于点A(a,0)和B(b,0),交V轴于点C,抛物线的

顶点为。.下列四个命题：①当x>0时，y>0;②若α=T,则6=4；③抛物线上有两点

「(西,苗)和。(毛，％)，若玉<1<々，且x∣+W>2,则y∣>y?;④点C关于抛物线对称轴的

对称点为E,点G、F分别在X轴和y轴上，当〃?=2时，四边形EDFG周长的最小值为

6√2.其中真命题的序号是.

【答案】③

【分析】

①根据二次函数所过象限，判断出y的符号：

②根据48关于对称轴对称，求出b的值；

③根据号>1，得到M<1<X2,从而得到。点距离对称轴较远，进而判断出》>)，2；

④作。关于y轴的对称点。'，E关于X轴的对称点E，，连接沙£,与。E的和即为四边

形EQFG周长的最小值.求出。、E、。、£的坐标即可解答.

【详解】

①当x>0时，函数图象过一四象限，当0<xV〃时，>,>0；当x>人时，y<0,故本选项错

误；

②二次函数对称轴为)=不工;=当时有Ξ解得匕故本选项错误；

2x(-1)1，”=-1⅛22=1，=3,

③∙."∣+X2>2,

...宥>],

又「Xi-IV0<X2-l,

•••。点距离对称轴较远，

,∖y∣>y2,故本选项正确；

④如图，作。关于y轴的对称点少，E关于X轴的对称点E,

连接D'E',Z)E与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值.

当，”=2时，二次函数为y=-χ2+2r+3,顶点纵坐标为广一∣+2+3E,力为(1,4),则。为(-1,

4)；C点坐标为C(0,3)；贝IJE为(2,3),E为(2,-3)；

2222

则DE=√(2-I)+(3-4)=√2;DE=λ∕(-l-2)+(-3-4)=√58.

四边形EDFG周长的最小值为α+病，故本选项错误.

正确的有1个.

故答案为：③.

【点睛】

考查了二次函数综合题，涉及函数与不等式的关系、二次函数的对称轴、函数图象上点的坐

标特征、轴对称一最短路径问题等，掌握二次函数的性质，轴对称的性质是解决问题的关键.

13.如图，抛物线y=ax2+c与直线y=-mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点，则不

等式ax2+mx+c>n的解集是.

【答案】x<-1或x>3.

【分析】

观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论.

【详解】

解：抛物线y=0γ2+c与直线>=-,nr+“交于A(-I,p),B(3,q)两点，

观察函数图象可知：当XV-I或x>3时，直线y=-Mtr+”在抛物线y=αχ2+c的下方，

，不等式"2+c>-mx+n的解集为x<-1或x>3,

即不等式Or2+M+C>ZJ的解集是X<-1或x>3.

故答案为：XV-1或x>3.

【点睛】

本题主要考查了利用一次函数与二次函数的图象交点去求不等式的解集,解题的关键在于能

够熟练掌握相关知识进行求解.

14.如图，抛物线y=0χ2+⅛r+c(存0)的对称轴为直线x=l,与X轴的一个交点坐标为(-

1,0）,与）'轴的交点坐标为（0,3）其部分图象如图所示，下列结论：

①2n+b=0;

②心-44cV0;

③方程0χ2+bχ+c=o的两个根是X]=-|,X2-2∙

④将y=α∕先向右平移1个单位，再向上平移4个单位可得到>="2+法+。的图象;

⑤当y>0时，尤的取值范围是-l<x<3

其中正确的结论是.（填序号）

【答案】①④⑤

【分析】

由抛物线y=0χ2+bχ+c（存0）的对称轴为直线χ=l,得-9=1，即可判断①正确；由抛

物线与X轴有两个交点，可判断②不正确；根据抛物线y=，*+6x+c（"翔）的对称轴为直

线x=l,与X轴的一个交点坐标为（-1,0）,可得抛物线与X轴的另一个交点为（3,0）,

可判断③不正确：根据抛物线过（-1,0）、（3,0）、（0,3）三点，可求得抛物线为丫=-丁+2》+3,

a=-1,则抛物线y=0√为y=-χ2,将y=-χ2先向右平移1个单位，再向上平移4个单位

得到的抛物线为y=-（x-l>+4,化简得y=-f+2χ+3,可判断④正确；根据当-l<x<3

时，抛物线在X轴上方，可判断⑤正确.

【详解】

解：：抛物线y=αχ2+⅛v+c（存0）的对称轴为直线x=l,

—ʌ=1,B∣J2α+⅛=0>故①正确：

2a

∙.∙抛物线与X轴有两个交点，

ΛΔ>0,B∣Jb2-4ac>0,故②不正确；

；抛物线y=αχ2+⅛r+c（a≠0）的对称轴为直线x=l,与X轴的一个交点坐标为（-1,0）,

二抛物线与X轴的另一个交点为（3,0）,

，方程ΛT2+∕M+C=0的两个根是Xl=-1,X2=3,故③不正确；

：抛物线过（-1,0）、（3,0）、（0,3）三点

<7-⅛+C=0a=-↑

则9q+3Z?+C=0,解得<b=2

c=3c=3

.∙.抛物线y=-χ2+2χ+3

则抛物线y=αr2为y=-J,

将y=-/先向右平移1个单位，再向上平移4个单位得到的抛物线为y=-(x-iy+4,化

筒得y=-f+2χ+3,故④正确；

∙.∙当-l<x<3时，抛物线在X轴上方，

Λy>O,故⑤正确，

故答案为：①④⑤.

【点睛】

此题主要考查了二次函数的图像与系数的关系、函数图像的变换、与一元二次方程的联系等,

熟练掌握二次函数的有关性质是解题的关键.

15.如图，抛物线y=0γ2+c与直线y=⅛x+/,交于A(-1,m),B(2,")两点，则不等

式ax2-kx+c<b的解集是.

【答案】-l<x<2

【分析】

根据不等式αr2-H+cV6可变形为以2+c<fcc+z,,进而得出谁大谁的函数图象在上面，

进而求出X取值范围即可.

【详解】

解：•；不等式Or2-"+c∙<b可变形为Ori+c<fcv+3,

•••图象上抛物线在直线下方时对应X的范围即为不等式的解集，

观察函数图象可知：'"L1<X<2时，抛物线y=a√+c在直线y="+b的下方，

不等式Or2-kx+c<b的解集为-1<x<2,

故答案为：-l<x<2.

【点睛】

本题考查的是二次函数与不等式(组)的知识点，解题关键在于对图像得理解，谁大谁的图

象在E≡.

三、解答题

16.如图，抛物线y=∕-2x+c与），轴交点为C,与X轴交点为A,B,点A位于点B左侧,

目OB=3Q4,点尸为抛物线的顶点.

（1）求抛物线的解析式及顶点户的坐标：

（2）若经过点B,C的直线解析式为y=京+6,则不等式/-2x+c≤丘+6的解集为.

【答案】（I）y=x2-2x-3,顶点尸为（LT）：（2）0≤x≤3.

【分析】

（1）根据OB=3Q4,设点A的坐标为（τ%0）,则点8的坐标为（3相,0）,列方程求m的值，

即可求出抛物线的解析式及顶点户的坐标；

（2）画出直线BC图象，f一2χ+c≤履+/,的解集即为抛物线y=f-2x+c的图象在直线

BC图象下方所对应的.r的取值范围，根据图象可得结果.

【详解】

（I）'：OB=30A,

设点A的坐标为（τn,0）,则点B的坐标为（3肛0）.

∙'∙nr+2m+c=9m2-6m+c-

解得叫=1,w2=O（舍去）.

∙*∙l+2÷c=0.

C=-3.

抛物线解析式为y=√-2x-3.

顶点尸为（L-4）.

（2）由（1）可知，8点坐标（3,0）,C点坐标（0,-3）

不等式f-2x+c≤"+匕的解集，即抛物线y=∕-2x+c∙的图象在直线5C图象卜方所对应

的X的取值范围，

由图象可知：0≤x≤3.

【点睛】

本题考查二次函数.设计一元二次方程的的求解，求解二次函数的解析式，二次函数与不等

式之间的关系.

17.已知抛物线y=,nr?+2,nr+3”——4.

(1)该抛物线的对称轴为；

(2)若该抛物线的顶点在X轴上，求抛物线的函数表达式；

(3)设点M(",y)∖N(2,%)在该抛物线上，若X>%，求〃的取值范围.

【答案】(1)直线X=-1;(2)y=-χ2-2x-l或y=gχ2+gx+g；(3)当α>O时，〃<-4

或〃>2；当“<O时，-4<rt<2.

【分析】

(1)利用二次函数的对称轴公式即可求得.

(2)根据题意可知顶点坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数解析式.

(3)分类讨论当〃7>0时和，”<0时二次函数的性质，即可求出〃的取值范围.

【详解】

解：(1)利用二次函数的对称轴公式可知对称轴χ=-∣^=-l.

2m

故答案为：x=-l.

(2)∙.∙抛物线顶点在X轴上，对称轴为X=T,

••・顶点坐标为(-1,0).

将顶点坐标代入二次函数解析式得：0=m(-iy+2mχ(-1)+3^2-4,

整理得：(加+1)(3，"-4)=(),

解得：∕n=-l或雨=；

.∙.抛物线解析式为y=*-2x-l或广4产+“R+不4

(3)∙.∙对称轴为直线x=—1,

.∙.点N(2,%)关于直线X=T的对称点为M(T,,

根据二次函数的性质分类讨论.

(i)当，〃>0时，抛物线开口向上，若)〕>”，即点M在点N或N'的上方，两点NN外

侧，则〃<-4或〃>2：

(iɪ)当加<0时，抛物线开∏向下，若yi>”，即点M在点N或N'的上方，两点内部，

则-4<〃<2.

【点睛】

本题为二次函数综合题,二次函数对称轴，待定系数法求：次函数解析式，比较函数值大小，

掌握二次函数的性质是解答本题的关键.

18.如图，已知二次函数y=∕+⅛x+c的图象经过点A(4,5)与点8(0,-3),且与X轴交于点

C、D.

(1)求该二次函数的表达式，以及与X轴的交点坐标.

(2)若点Q(m,")在该二次函数图象上，

①求〃的最小值；

②若点。到X轴的距离小于3,请结合函数图象直接写出m的取值范围.

【答案】(1)J=X2-2X-3,C(-l,0),0(3,0)；(2)①-4,②l-√7<∕n<0或2<m<l+√7

【分析】

(1)用待定系数法求函数的表达式，进而求解；

(2)①由y=∕-2x-3=(x-l)2-4…-4,即可求解；

②令Iyl=IX2-2X-3∣=3,解得X=2或1±√7,即可求解.

【详解】

fs=16+4b÷Cf⅛=—2

(1)将点A、8的坐标代入抛物线表达式得ʌ,解得.

[c=-3[c=-3

故抛物线的表达式为y=∕-2x-3,

令y=χ2-2x-3=0,解得x=3或-1,

故抛物线与X轴的交点坐标为(3,0)、(-1,0)：

(2)①y=χ2-2x-3=(x-lf-4…-4,

故”的最小值为T;

②令IyHX2-2X-3∣=3,解得尸0、x=2或1±√7,

故机的取值范围的l-√7<m<0或2<〃?<1+夕.

【点睛】

本题考查的是抛物线与X轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征、点的对称性等，利

用轴对称确定最短路线是解题的关键.

19.如图，已知二次函数y=αχ2+⅛r+c的图象过点A（TO）和点C（O,3）,对称轴为直线X=L

（1）求该二次函数的关系式和顶点坐标；

（2）结合图象，当y<3时;直接写出X的取值范围.

【答案】（I）y=-∕+2x+3,（1,4）；（2）x<0或x>2

【分析】

（1）把A点和C点坐标代入y=αr2+⅛χ+c∙得到两个方程，再加上对称轴方程即可得到三元

方程组，然后解方程组求出。、氏C即可得到抛物线解析式，再把解析式配成顶点式即可得

到顶点坐标；

（2）先计算出函数值为3所对应的自变量的值，然后根据二次函数的性质写出y<3时，X

的取值范围.

【详解】

解：（1）根据题意得：

6z-⅛+c=0a=-↑

<c=3,解得：⅛=2,

bc=3

-------=11I

.2a

所以二次函数关系式为）=-∕+2χ+3,

因为y=-（X-I）2+4,

所以抛物线的顶点坐标为（1,4）；

(2)当y=3时,-%2+2r+3=3,解得Λ=0或2,

所以当y<3时，XVO或x>2.

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根

据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物

线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解：当已知抛物线的顶点

或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与X轴有两个交点时，可选择设

其解析式为交点式来求解.也考查了二次函数的性质.

20.如图，抛物线的顶点坐标为4(2,-1),且过点8(0,3).

(I)求抛物线的解析式；

(2)当l<x<4时，求V的取值范围.

2

【答案】(Dy=(x-2)-li(2)-l≤y<3,

【分析】

(1)首先设出二次函数的顶点式，将所给点的坐标代入解析式求出字母α的值即可；

(2)求得x=4,x=l时的函数值，然后根据二次函数的性质即可求解.

【详解】

解：(1)根据抛物线的顶点坐标为42,-1),设该抛物线的解析式为：y=“(x-2)2-I,

；该抛物线过点(0,3),

：.a(0-2)2-1=3,

解得：a-∖,

二抛物线的解析式为y=(χ-2)2-1；

(2)当x=l时，y=(1-2)2-l≈0,

当x=4时;y=(4-2)2-1=3,

"."a—I,

.∙.抛物线开口向上，函数最小值为-1,

.∙.当l<x<4时，求y的取值范围是-lSy<3.

【点睛】

主要考查了运用待定系数法来求二次函数的解析式，二次函数的性质；解题的关键是灵活设

出二次函数的解析式准确求解，注意该函数最小值为顶点纵坐标.

21.己知二次函数的图像如图所示.(1)求这个二次函数的表达式；(2)该二次函数图像与

y轴的交点坐标为；(3)写出当y>o时自变量X的取值范围.

2

【答案】(I)y=(x+l)-4i(2)(0,-3)；(3)x<-3或x>l

【分析】

(1)根据函数图象可设二次函数顶点式，即可得解：

(2)令X=O即可得解；

(3)根据函数图象求解即可;

【详解】

解：(1)由图像可知二次函数的顶点坐标为(-1,-4),

可设二次函数的表达式为y=α(x+l)2-4,

把(1,0)代入表达式可得α=l,

所以二次函数的表达式为y=(*+7尸-4：

(2)令X=0,可得尸-3,

∙∙.与y轴的交点坐标为(0,-3)；

(3)令y=o,即(x+I)2-4=0,

解得：X∣=1,工2=-3,

•••抛物线与X轴的另一个交点为(-3,0),

,观察图象得：y>0时，x<-3或x>l.

【点睛】

本题主要考查了二次函数的图象和性质，同时考查了用抛物线与X轴的交点坐标，判断函数

值在某一范围时自变量的取值范围的方法.利用了“数形结合”的数学思想.

22.已知，点P为二次函数了=-。-〃?)2-2加+1图象的顶点，直线y=区+2分别交X轴的

负半轴和y轴于点A,点B.

(1)若二次函数图象经过点B,求二次函数的解析式.

(2)如图，若点A坐标为(YO),且点尸在AOB内部(不包含边界).

①求机的取值范围；

②若点c1-∙∣,yj,。(提%)都在二次函数图象上，试比较%与力的大小

2

【答案】(i)y=-(χ+ιy+3;(2)①-g<m<o