北京市第四中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题

数学练习

班级姓名学号

学生须知

1.本练习卷共8页，共28道小题，满分IOO分.练习时间120分钟.

2.在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号.

3.答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效.

4.选择题、作图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答.

一、选择题（每题2分，共16分）

1.下列各式是最简二次根式的是（）

C.√6D.√50

2.下列各组数中，不能构成直角三角形的是（)

A.1,2,3B.3,4,5C.5,12,13D.7,24,25

3.下列化简正确的是（）

A.√4+√9=√13B.√12=2√3c.-7H7=3D.3√2-√2=3

4.菱形和平行四边形都具有的性质是（）

A.对角线相等B.对角线互相垂直

C.对角线平分一组对角D.对角线互相平分

5.在平面直角坐标系Xo），中，点A（2,M）,B（3,"）在函数y=-7x—4的图象上，则（）

A.y∖>y2B.y∣-y2C.yι<j2D.以上都有可能

6.下图是甲、乙两同学五次数学测试成绩的折线图.比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是（）

A.甲同学平均分高，成绩波动较小B.甲同学平均分高，成绩波动较大

C.乙同学平均分高，成绩波动较小D.乙同学平均分高，成绩波动较大

7.一副三角板如图放置，等腰直角三角板的斜边与含30。的直角三角板长直角边重合于AC,ZB=ZCAD

=90o,NACD=30°,AB=Be,点N在边Co上运动，点M在边Be上运动，连接AN,分别作出

MN和AN边的中点E和尸，测得EF的最小值是6cm,则最长的斜边CO的长为（）

D

A.3y∣6cmB.8χ∕2cmC.sʌ/ɜemD.8#Cm

8.图1是变量y与变量X的函数关系的图象，图2是变量Z与变量y的函数关系的图象，则Z与X的函数关

系的图象可能是（）

二、填空题（每题2分，共16分）

9.若在实数范围内有意义，则实数X的取值范围是.

10.己知√2≈.414,则般的近似值是（精确到0.01）.

11.一次函数的图象过点（-1,0）,且函数值随着自变量的增大而减小，写出一个符合这个条件的一次函数

的解析式.

12.在一次演讲比赛中，甲的演讲内容、演讲能力、演讲效果成绩如下表所示:

项目演讲内容演讲能力演讲效果

成绩908090

若按照演讲内容占50%,演讲能力占40%,演讲效果占10%,计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为

13.如图,A4BC的顶点A,8,C在边长为1的正方形网格的格点上,AC于点D,则BD的长为

14.如图，在平行四边形ABCD中，CE■平分NBCr>,交AB于点E,AE=3,EB=5,DE=4,则CE的长是

15.如图，在aABC中，点。，点E分别是AB,AC的中点，点厂是Z）E上一点，且∕AFC=90°,若BC=

12,AC=S,则。F的长为.

16.A,B,C三种原料每袋的重量（单位：kg）依次是1,2,3,每袋的价格（单位：万元）依次是3,2,5.现

生产某种产品需要4,B,C这三种原料的三类原料的总重量W（单位：kg）=（用含用，X2,X3的

代数式表示）；为了提升产品的品质，要求W213,当汨，X2,X3的值依次是时，这种产品的成本最

低.

三、解答题（17、18、21、23、25、26、27每题6分，19题4分，20、22、24每题5分，28

题7分，共68分）

17.计算：（万一1）一9+J12—-2卜

18.已知X=G-1，求代数式/+2%—4的值.

19.下面是正正设计的“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程.

已知：如图1,线段α,b,NMAN=90°.

求作：矩形ABC。，使AB=4,AD=b.

图1图2

作法：如图2,

①在射线AM,AN上分别截取AB=",ΛD=⅛;

②以B为圆心，b长为半径作弧，再以。为圆心，”长为半径作弧，两弧在NM4V内部交于点C；

③连接8C,DC.

.∙.四边形ABCD就是所求作的矩形.

根据正正设计的尺规作图过程，解答下列问题：

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：".'AB=DC=a,AD==b,

.∙.四边形ABCD是平行四边形（）（填推理的依据）.

VZMAN=90°,

二四边形ABCD是矩形（）（填推理的依据）.

20.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,

它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷.

图2

（1）应用场景1—在数轴上画出表示无理数的点.如图1,在数轴上找出表示3的点A,过点A作直线/垂直

于OA,在/上取点B,使AB=2,以原点O为圆心,OB为半径作弧,则弧与数轴的交点C表示的数是；

（2）应用场景2—解决实际问题.如图2,秋千由静止铅锤位置AB推至AC处，它的绳索始终拉直，量得水

平距离Cz）=2m,DB=Im,求绳索AC的长.

21.下面是证明直角三角形性质时的两种添加辅助线的方法，请选择其中：那方举，完成证明.

求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

已知：如图，在AABC中，∕ACB=90°,点。是AB的中点.

22.在平面直角坐标系XO)，中，点4(1,4)在直线∕ι:y=kx+3-k(⅛>0)_t,直线/2：y=x+m过点8(2,

3).

(1)求。的值及直线/2的表达式；

(2)当x>—1时，对于X的每一个值，函数y=Ax+3-&(A>0)的值大于函数y=x+"?的值，直接写出k

的取值范围.

23.如图，在平行四边形ABC。中，8。平分/4BC.

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)连接AC交B。于点。，延长Be到点E,在NOCE的内部作射钱CM,使得NECM=I5°,过点。作

OFLeM于点F.若Z4BC=70°,DF=yβ,求NAC。的度数及8。的长.

25.一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发.设快车离乙地的距离为"(km),

慢车离乙地的距离为X(km),慢车行驶时间为x(h),两车之间的距离为S(km),力，”与X的函数关系图

象如图1所示，S与X的函数关系图象如图2所示.请根据条件解答以下问题：

(I)图中的“=,C点坐标为；

(2)求当尤为何值时两车相遇？

(3)请直接写出当X为何值时两车相距200千米？

26.在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一利用函数图象研究其性质一应用函数解决问

题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点或平移的方法画出一个函数的大致图象.同时，我们也

a(a≥0)

学习了绝对值的意义∣α∣=<阳阳结合上面的学习过程，对函数y=∣2x-a∣的图象与性质进行了探

-fl(α<0)

(1)当α=l时，

①化简函数的表达式：

当X≥L时，y—,

2'

当X<g时，y=；

②在平面直角坐标系中，画出此函数的图象；

(2)函数y=∣2x—3|的图象可由y=∣2x-l∣的图象向平移个单位得至∣J;

(3)对于任意的l<x<3都满足关于X的不等式|2x—α∣<x+2,请直接写出实数”的最大值.

27.如图，在菱形ABCD中，NA=60°,点E为BC延长线上一点.连接DE,在线段DE上取点F使

NFBE=L/CDE,点、G为FB与CD的交点、.

2

求证：（1）FD-AD；

（2）请写出线段GC、CE、EF之间的数量关系，并证明.

28.如图，在平面直角坐标系XO），中，对于线段AB和点Q,给出如下定义：若在直线y=x上存在点P,使

得四边形ABPQ为平行四边形，则称点Q为线段AB的“银杏点”.已知A（3,2）,B（I,4）.

（1）在Q∣（T,3）,2（-2,-6）,Q,（2,-2）,2（4,4）中，线段AB的“银杏点”是；

（2）点Q为直线y=近一2上一点，若点。是线段AB的“银杏点”且不在第四象限，求k的取值范围；

（3）已知正方形COEF边长为1,以T（2,f）为中心且各边与坐标轴垂直或平行，点M,N在线段AB上.若

正方形CZ）EF上的任意一点都存在线段使得该点为线段MN的“银杏点”，直接写出f的取值范围.

数学练习答案

一、选择题

12345678

CABDADDC

二、填空题

910111213141516

x251,2.83不唯一8616/54√52XI+2Λ⅛+3X3;1，5,1

三、解答题

17.原式=l-3g+2百+6-2=-1.

18.原式=(X+1)2-5=3—5=—2.

19.(1)图略(2)Ao=BC,两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩

形.

20.(1)√13；(2)设秋千绳索Ae的长度为Xm,由题意可得4C=AB=xm,

'：CD=2m,DB=Im,：.AD=AB~BD=(LI)m,

在RtZ∖ADC中，AD2+DC2=AC2,：.(ɪ-ɪ)2+22=√,解得x=25,

答：绳索AC的长为2.5m。

21.(1)(法一)；点。是AB的中点，：.AD=BD.

'JDE=CD,四边形ACBE是平行四边形.

：NACB=90°,.∙..ACBE是矩形.：,AB=CE.

VCD=-CE,S.CD=-AB.

22

(法二)：点。是48的中点，：.AD=BD.

；点E是BC的中点，：.CE=BE.C.DE∕∕AC.LNDEB=NACB

∙.∙∕ACB=90°,.∙.NOEB=90°.,CE是BC的垂直平分线.

ΛCD=DB.,.∙BD=-AB,：.CD=-AB.

22

3

22.(1)4=3,直线/2：y=x+l;(2)∖<k<-.

2

23.(1)有一组邻边相等的四边形是菱形；(2)ZACD=55。,BD=2非.

24.(1)72.5；

(2)p∣<p2;理由：pι=19,八年级被抽取学生的中位数74.5分，说明八年级被抽取的学生中有20名学生的

成绩高于74.5分，因此八年级被抽取的学生中至少有2