2023年新疆高考数学总复习：立体几何（附答案解析）

2023年新疆高考数学总复习：立体几何

I.如图，四棱锥P-/8CZ)中，2。_1_底面488,AB∕∕CD,NBAD=等AB=I,CD=3,

M为尸C上一点，且MC=2PΛ∕,AD=2,PD=?,.

(1)证明：〃平面以。：

(2)求直线与平面PBC所成角的正弦值；

(3)求三棱锥M-P84的体积.

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2.如图，在四棱锥S-/8C。中，底面/8CD为矩形，ZXSNO为等腰直角三角形，SA=SD

=2√Σ,/8=2,F是BC的中点，二面角S-40-8的大小等于120°.

(1)在ZO上是否存在点E,使得平面SE尸，平面/88,若存在,求出点E的位置;

若不存在，请说明理由；

(2)求直线SX与平面SBC所成角的正弦值.

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3.如图，三棱锥E-88中，Z∖E8为正三角形，平面EcZ)，平面58,BC=DC=斗BD

=2,M,N分别是线段ED和8。的中点.

(1)求点C到平面8Z)E的距离；

(II)求直线EN与平面A/C8所成角的正弦值.

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4.如图，在三棱柱∕8C-∕ι8ιCj中，平面小/CCi_L平面∕8C,Z∖∕8C和4∕ι∕C都是正

三角形，。是N8的中点

(1)求证：BCi〃平面Z∣OC;

(2)求直线/8与平面Z)Ccl所成角的正切值.

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5.如图，在等腰直角三角形/DP中，已知/=],∕D=3,B,C分别是/P,OP上的点，

E是CD的中点，且8C〃Z。.现将△尸BC沿BC折起，使得点尸在平面/88上的射影

为点4

(1)若B,C分别是/尸、。尸的中点，求证：平面RlC，平面尸CD

(2)请判断是否存在--种折法，使得直线P8与平面所成角的余弦值是直线P8

与平面BlE所成角的正弦值的竺倍？若存在，求出/8的长；若不存在，请说明理由.

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6.在直三棱柱/8C-小BiCI中，N8∕C=90°,AC^AB=AA∖^2,设点Λ/,N,P分别是

AB,BC,B∖C∖的中点.

(I)证明：44i〃平面PMN；

(II)若0为4小上的动点，试判断三棱锥尸-QMN的体积是否为定值?并说明理由.

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1

7.在多面体/8CCMlBI中，四边形∕88∣4为菱形，BC∕∕B∖C∖,BC=^B∖C∖,A∖C∖^A∖A,

ABA-B∖C,NBlBA=60°,平面Z88Mι_L平面/8C.

(1)在棱/8上是否存在点O,使得平面8∣OC?若存在，请给予证明；若不存在,

请说明理由.

(2)求二面角C∖-AC-B的正弦值.

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8.在四棱锥尸-4BCD中，侧面R4Z)J_底面/8C。，PA=AD=DC=6,AC=6^2,AB=3,

CZ)〃平面Λ48,ZPAD=60Q.

(I)求证：平面PC。，平面尸8C；

(II)求二面角P-BC-D的余弦值.

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9.如图，已知四棱锥S-48C。的底面是边长为2的正方形，且平面平面Z8C。，M,

N分别为棱4O,BC的中点，SA=SD,SAYSD,P,。为侧棱SZ)上的三等分点(点、P

靠近点S).

(1)求证：PN〃平面MQC：

(2)求多面体反尸0CN的体积.

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10.如图，四边形M48C中，Z∖N8C是等腰直角三角形，ACVBC,Z∖M4C是边长为2的

正三角形，以4C为折痕，将4K4C向上折叠到的位置，使点。在平面/8C内

的射影在/8上，再将△肪IC向下折叠到4E4C的位置，使平面E/C_L平面Z8C,形成

几何体DABCE.

(1)点尸在8C上，若。F〃平面E/C,求点F的位置；

(2)求直线48与平面E8C所成角的余弦值.

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11.如图，直三棱柱BCF-4亚中，。为E//的中点，AB=BF,BFLCF,AB=BF=CF=

2.

(I)求证：AFVBH↑

(II)求平面4OC与平面Z8C所成角的余弦值.

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12.在如图所示的几何体中，四边形/8CD是菱形，ZBAD=∖20a,ABCD,AE

//CF.

(1)求证：DF〃平面4BE；

(2)若4D=AE=2CF=2,求该几何体的表面积.

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13.如图，在四棱锥尸-488中，△必。是等边三角形，平面以O_L平面/8C。，底面

N8C。是直角梯形，AD//BC,已知Ao=28C=4,NBAD=60°.

(I)若E为刃的中点，求证：BE〃平面PCz)；

(II)求二面角B-PC-D的正弦值.

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14.已知在平行四边形ZBCz)中，AD=2,AB=6,NADC=Z如图，DE//CF,且DE

6

=3,CF=4,/OC尸且平面ZBCOJ_平面COER

(I)求证：/UL平面CDEF；

(Il)求二面角D-AE-C的余弦值.

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15.如图，已知四棱锥P-43C。中，AD∕∕BC,AB=CD,AD=IBC=IPC=I,PD=W,

ZADC=GOo.

(1)求证：BP1.CD；

(2)若BP=√Σ,求直线PC与平面玄。所成角的正弦值.

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16.如图，在四棱锥P-N8CZ＞中，△必。是等边三角形，平面必。，平面48C£),底面

NBCD是直角梯形，AD//BC,已知∕O=28C=4,NBAD=60°.

(I)若E为BI的中点，求证：BE〃平面PCD；

(II)求四棱锥P-ABCD的体积.

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17.如图，在直三棱柱NBC-小81。中，4B=BC=AAι,ABLBC,。为NB的中点，E为

BC上一点、,满足CE=2E8.

(1)求证：/C〃平面BiDE;

(2)求二面角B∖-A∖C-C∖的余弦值.

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18.已知在平行四边形ZBCz)中，AD=2,AB=6,NADC=Z如图，DE//CF,且DE

6

=3,CF=4,/OC尸且平面ZBCOJ_平面COER

(I)求证：/UL平面CDEF；

(Il)求四棱锥F-/8C。的体积.

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19.如图所示，在四棱锥E-/8CZ)中，四边形NBC。是直角梯形，∕8=4E∙=8C==1,

BC//AD,AEV^-^ABCD,NBAD=90°,N为。E的中点.

(1)求证：NC〃平面E48；

(2)求二面角/-CN-。的余弦值.

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20.如图，在多面体NBCOE尸中，四边形/88、四边形XCFE均为菱形，ZBAD=ZEAC

=120°.

(1)求证：平面8。凡L平面NCFE;

(2)若BE=DE,求二面角C-8/-E的余弦值.

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21.如图所示，在三棱锥/8C。中，AB=BC=BD=2,AD=26,NCBA=NCBD=等煎

E,尸分别为N。，8。的中点.

(I)求证：平面4C0_L平面BCE；

(II)求四面体CDEF的体积.

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22.如图，在棱长为3的正方体中，过顶点Z)I作平面α交441于E点，交BBl于F点、,使

得4E=1,BF=I.

(I)求证：/C〃平面a；

(II)求点。到平面a的距离.

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23.已知4∕5C,AB=BC,ZCBA=60°,沿着边C8把C进行翻折，使平面/BC与

平面。8C垂直，AOBC可由448C翻折得到.回答下列问题.

(I)直线/C与平面/8。所成角的余弦值；

(II)二面角A-BD-C的余弦值.

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24.如图，四棱锥尸-Z8CQ,底面四边形48。为梯形，且满足Zo=1,AB=CD=3,BC

=4且4)〃8C,底面48CD设平面RID与平面PBC的交线为/.

(I)求/与平面Pf)C所成的角；

(II)己知PO=I,求平面218与平面尸。C所成的锐二面角的余弦值.

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25.如图，在三棱台N8C-HB,C中，已知平面N88'A'，平面/8C,ACVBC,Z

CBA=%四边形/88'A1是等腰梯形，AB=2A'B1=2BB',E,/分别为/8,A'

O

C的中点.

(1)求证：EFLAC-,

(2)求直线E尸与平面∕CC'A'所成角的正弦值.

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26.如图，ANBC为正三角形，半圆。以线段8C为直径，D是比上的动点(不包括点8,

C),平面N8C_L平面8CZλ

(1)是否存在点。，使得BD14C?若存在，求出点。的位置；若不存在，请说明理由.

(2)若NC80=30°,求二面角。-/O-C的余弦值.

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27.如图，Z∖Z8C是正三角形，D,E,尸分别是线段/8,BC,4C的中点，现将△/£(尸和

△CEF分别沿着。尸，EF折起，使得4C两点在P点重合，得到四棱锥P-8EE0.

(1)证明：平面PBF上平面BEFD；

(2)设正三角形C的边长为4,求三棱锥尸-P8E的体积.

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28.如图，在四棱锥尸中，底面为正方形，4RfO为等边三角形，平面以。

，平面PCZx

(I)证明：直线CO_L平面/M。；

(H)若/8=2,。为线段P8的中点，求三棱锥。-PC。的体积.

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29.如图，在四棱锥P-/18C。中，AD//BC,ADA.AB,并且8C=2∕O=2∕B=2,PM=号,

点尸在平面N8C。内的投影恰为8。的中点M∙

(1)证明：8尸，平面PCZ)；

(II)求点Z到平面PCD的距离.

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30.如图，在四棱锥尸-MC。中，已知以1.平面43CD,且四边形为直角梯形，Z

TT

ABC=NBAD=当AD=2,AB=BC=∖.

(1)当四棱锥尸-NBC。的体积为1时，求异面直线HC与PO所成角的大小;

(2)求证：CDj_平面以C

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31.如图所示，在三棱锥Z-BCA中，AB=BC=BD=2,AD=2>∕3,NCBA=NCBD=等

点E,F分别为4。，8。的中点.

(I)求证：EF〃平面48C：

(II)求平面8CE与平面/C尸所成锐二面角的余弦值.

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32.如图，在四棱锥P-/8CQ中，AD/∕BC,ADYAB,并且8C=2NO=248,点尸在平

面ABCD内的投影恰为8。的中点M.

(I)证明：81.平面PBD；

(∏)若PM=AD,求直线P4与CD所成角的余弦值.

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33.如图，在三棱锥尸-43C中，Rij"底面C,C是边长为2的正三角形，侧棱尸8

与底面所成的角为土

4

(1)求三棱锥P-ABC的体积匕

(2)若。为PB的中点，求异面直线Rl与8所成角的大小.

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34.如图1,在三棱柱/8C-nBiCl中，已知45L4C,JB=JC=I,/4=2,且工小，平

面N8C,过4,Ci,8三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）.

（1）求异面直线8。与44所成角的大小（结果用反三角函数表示）；

（2）求四棱锥8-4CCl小的体积和表面积.

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35.如图，在矩形/88中，将CZ)沿对角线/C折起，使点O到达点E的位置，且/E

LBE.

(1)求证：平面平面48C；

3√7

(2)若BC=3,三棱锥8-4EC的体积为；一,求点E到平面/8C的距离.

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36.如图，在直三棱柱/1BC-小8ιCl中，Z∖∕18C是正三角形，点Z)在棱上，且BBl=

381。，点E为BiC的中点.

(1)证明：平面平面8CCι8i;

(2)若B8ι=3√∑,AB=I,求点C到平面4。E的距离.

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37.如图所示，在直三棱柱月8C-小小。中，底面是等腰直角三角形，ZACB=90°,CA

=CB=CCi=2.点。，Oi分别是棱/C,4G的中点.

(1)求证：D,B,Bi,。四点共面；

(2)求直线8。与平面。881Ql所成角的大小.

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38.如图，在四棱锥SFBCQ中，底面/8CD是等腰梯形,Z8〃C。,CD=2AB=4,AD=√5,

△SCO是等腰直角三角形，SC=SD,S∕=3.

(I)证明：平面Sa)J■平面N8C。；

(II)若平面SND与平面SC8的交线为/,求二面角C-。的余弦值.

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39.如图，在矩形。中，将4/CO沿对角线/C折起，使点O到达点E的位置，且ZE

VBE.

(1)求证：平面/8E，平面48C；

3^7

(2)若EB=小,三棱锥8-4Ee的体积为一^-,求二面角E--8的余弦值.

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40.如图，在三棱柱/8C-NlBICl中，P,0分别是4小，CB上一点，且∕P=2R4ι,CQ

=208.

(1)证明：/。〃平面CPBi;

(2)若三棱柱∕8C-∕∣8Cι为直三棱柱，且力4=3,BC=BA=后,∕1C=2√3,求点

B到平面CPB\的距离.

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41.如图，在四棱锥尸-48C。中，底面是正方形，AB=2,尸。，平面48C。，PB

与底面NBC。所成的角为45°,过4。的平面分别与尸8,PC交于点、E,F.

(I)求证：EFA.DC；

2√2IPEl

(∏)若二面角P-/O-E所成角的余弦值为亏’求商的值.

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42.在四棱柱/8C。-Zι8ιCb0∣中，四边形ZBC。是平行四边形，=JC=1,ZABC=

30o,BC=2,平面∕88ι∕ι,平面/88,M,N分别为出C,/8的中点.

(I)求证：MN〃平面∕ι5Ci;

(II)若COSN∕ιC8=q,求二面角C-MN-。的余弦值.

4-

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43.如图所示，三棱柱/8C-mBiCI中，平面NCCMl，平面∕8C,AAilAC,AAi=AB=

BC=2,D,Ol分别为ZC,ZICl的中点，且∕A4C=30°.

(I)求证：DDilBCi

(II)求二面角Bl-DAi-Ci的余弦值.

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44.如图，四棱锥P-488的底面为正方形，PC=PA=亨PD=遍AD.E,尸分别是以,

PO的中点.

(I)证明：EF_L平面Pe0：

(II)求二面角A-CE-F的余弦值.

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45.如图，在四棱锥P-N8C。中，等边三角形均。所在平面与梯形Z8C。所在平面垂直,

且CD//AB,AD=BD=2,DC=^AB=√Σ,点G为/XPAD的重心，AC与BD交于点M.

(1)求证：GM〃平面「CQ；

(2)求点C到平面PBD的距离.

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46.如图，直三棱柱为BiCI-NBC中，AB=AC=I,ΛBAC=≡,小/=4,点M为线段小/

的中点.

（1）求直三棱柱小SG-48C的体积；

（2）求异面直线8M与8iCI所成的角的大小.（结果用反三角表示）

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47.如图，已知直角梯形488,BC//AD,BC=CD=2,AD=4,NBCD=90°,点、E为

X。的中点，现将三角形NBE沿8E折叠，得到四棱锥4-BCZJE,其中/4EQ=I20°,

点M为4。的中点.

(1)求证：48〃平面EMC；

(2)若点N为8C的中点，求四面体4MN8的体积.

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48.如图，在三棱锥尸-48C中，BC为正三角形，点。，E分别为ZC,Rl的中点，其

中Λ4=P8=4√Σ,PC=ZC=4.

(1)证明：平面BDE'1.平面/8C；

√6

(2)若点尸是线段"C上异于点。的一点，直线“E与平面所成角的正弦值为彳，

∆p

求就的值•

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49.如图，在四棱锥尸-4BC。中，四边形是梯形，AB∕∕CD,ABVBC,且RJ=Po

=BC=S=I,/8=2,PC=√3.

(1)证明：80,平面RI。；

(2)求直线与平面P8C所成角的正弦值.

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50.在四棱锥尸-/BC。中，PA=PC=2,底面ZBCD是菱形，AB=2®ZABC=60o.

(I)求证：ACVPBy

(II)求四棱锥P-ABCD的体积.

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2023年新疆高考数学总复习：立体几何

参考答案与试题解析

I.如图，四棱锥尸-ZBCD中，ABCD,AB∕∕CD,ZBAD=ɪ,AB=∖,CD=3,

Λ/为PC上一点，且Λ∕C=2PΛ∕,40=2,PD=3.

(1)证明：〃平面以。；

(2)求直线DW与平面P8C所成角的正弦值；

(3)求三棱锥尸历！的体积.

【解答】(1)证明：过M作MN〃CD交PD于N,连接“N,

MNPM11

pl⅛=7F=?∙,∙≡=3cβ=1

又AB//CD,/8=1,

：.AB//MN,AB=MN,

四边形ABMN是平行四边形，

.∖BM∕∕AN,又BMU平面RIO,/NU平面∕⅜0,

.∙.8Λ∕〃平面以O.

(2)解:连接8。，

*8=1,AD=2,ZBAD^≡,：.BD=Jl+4-2×l×2×eosɪ=√3,

.∖AB2+BD2=AD2,:,ABLBD,

又ABUCD,IBDLCD,

以。为原点，以DB,DC,OP为坐标轴建立空间直角坐标系。-Xyz,如图所示,

则。(0,0,0),M(0,1,2),P(0,0,3),B(√3,0,0),C(0,3,0),

：.DM=(0,I,2),BC=(-√3,3,0),BP=(-√3,0,3),

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于呼=0,即-V3x÷3y=O

设平面P8C的法向量为n=(x,yfz),则

n∙BP=O—y∕3x÷3z=O

令V=I可得|=(百，1,1),

—>DM三3_3

/.cos<DM,n>=京卮二弓'

∖DM∖∖n∖

：.直线。阳■与平面PBC所成的角的正弦值为a

(3)解：`JMC=IPM,

.11"Illv3

..VτzM-R4B=WτKzC-以B=WRP-/1BC=WXWX2XdIXJ3X3=方.

2.如图，在四棱锥S-ZBC。中，底面Z8CD为矩形，Z∖S∕O为等腰直角三角形，SA=SD

=2√2,AB=2,尸是BC的中点，二面角S-4D-8的大小等于120°.

(1)在川D上是否存在点E,使得平面SEF，平面N8C。，若存在，求出点E的位置；

若不存在，请说明理由；

(2)求直线S/与平面SBC所成角的正弦值.

【解答】解：(1)在线段上存在点E满足题意，且E为/。的中点.

如图，连接ERSE,SF,

：四边形是矩形，.∙.48"L4),

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又E、尸分别是/1。、BC的中点，

.∖EF∕∕AB,ADLEF,

为等腰直角三角形，SA=SD,E为/。的中点,

.'.SELAD,

"."SEPiEF=E,SE、EFU平面SEF,

.•.4O_L平面SM,

U平面/8CZ),二平面SEFl.平面ZBCD,

故工。上存在中点E,使得平面SE/口_平面/8CD

/SEF为二面角S-/O-8的平面角，即/SE产=120°.

以E为原点，EA、E厂所在的直线分别为x、y轴，作EzJ_平面力8CA,建立如图所示的

空间直角坐标系，

在等腰RtZ∖SZO中，SA=SD=2√2,：.AD=4,SE=2,

：.S(0,-1,√3),A(2,0,O),B(2,2,O),C(-2,2,O),

.".SA=(2,1,-√3),S⅛=(2,3,-√3),SC=(-2,3,-√3),

r→T

设平面S8C的法向量为£=(x,y,z),则[.呼=°∫2x+3y-√3z=O

t∏∙SC=O'[-2%÷3y—V3z=O

令y=l,贝IJX=O,z=V3,.*.n=(0,1,V3),

设直线SA与平面SBC所成角为3

T→

TTS4n1-3√2

则rtlsinθ=ICoS<SA,n>∣≈∣∙ST-I=|/33/=~τ，

∣Sτl∣∙∣n∣√4+l+3×24

故直线SA与平面SBC所成角的正弦值为

4

3.如图，三棱锥E-BC力中，Z∖E8为正三角形，平面ECoJ_平面BCD,BC=DC=当BD

=2,M,N分别是线段Eo和8。的中点.

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(I)求点C到平面8Z)E的距离；

(Il)求直线EN与平面Me8所成角的正弦值.

【解答】解：(I)；平面ECDl.平面5C。，且AECA为正三角形，CD=2,

二点E到平面BCD的距离为6,

,：BC=DC=斗BD=2,.∙.Z∖8Cr)是等腰直角三角形，

∙'∙S^BCD=∙^BC*DC—2.

在48OE中，BE=BD=2√2,DE=2,

:∙S^BDE=2×2×V7=√7.

设C到平面8。E的距离为力

*∙*VE-BCD=Vc-BDEy

Λ~×ʌ/ɜ×2=g×d×y∏,解得d=

故点C到平面BDE的距离为耳ɪ.

(II)以C为原点，CD、CB所在的直线分别为x、y轴，作CzL平面BCD,建立如图

所示的空间直角坐标系，

,3√3L

则B(0,2,0),C(0,0,0),D(2,0,0),M0,―),E(1,0,√3),N(1,

1,0),

→→3√3→

ΛEN=(0,1,—V3),CM=(5,0,-)fCB=(0,2,0),

TT(3J3

2,5=°,BP2x+Tz=0.

{n-CB=O(2y=0

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令x=l,则y=0,z=-V3,.*.n=(1,O,—√3),

设直线EN与平面MBC所成角为8

T→

,T→EN-Ti32

则Sine=ICOSvEN,n>∣≈∣-~~-1==ʌ,

IENH九I

3

故直线EN与平面MBC所成角的正弦值为7

4.如图，在三棱柱/8C-mBiCl中，平面∕ιZCCi_L平面Z8C,Z∖∕8C和ZC都是正

三角形，。是/8的中点

(1)求证：BCi〃平面小。C；

(2)求直线48与平面。CCl所成角的正切值.

【解答】(1)证明：连接ZC1,交出C于E,连接。E,

V四边形CCl是平行四边形，

：.E^AC\的中点，

；。是48的中点，：.DE//BC\,

：OEu平面Z∣OC,BCiC平面∕ιOC,

.∙.8Cι〃平面A∖DC.

(2)解：取NC的中点O,连接小0,BO,

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C和△小/C都是正三角形，.∖A↑O±AC,BOLAC,

；平面ZlZCCl_1_平面ABC,平面A∖ACCι∏平面ABC=AC,

平面Z8C,：.A\OA.BO,

以O为原点，OB、OC.OAx所在直线分别为X、八Z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

√31

设∕C=2,则/(0,-1,0),B(√3,0,0),C(0,1,0),D(―>-4>0),CI(0,

2/

2,√3),

→→ʌ/ɜo→FS5

ΛAB=(√3,1,0),CD=(―,一］0),DC=(一与，-,√3),

2/1，2

T(n∙CD—0孚％—?y=0

设平面。CCl的法向量为72=G,乃Z),则?uf-U,即《22,

n∙0C1=θ­-yX+2y÷=0

令x=3,则y=b,Z=-1,Λn=(3,√3,-1),

T→

→TAB-n

设直线”与平面DCCl所成的角为θ,贝IJSine=ICOS<4B,n>|=「一-∣=

∖AB∖-∖n∖

3√3+√3τ√3

l2×√9+3+ll-√13,

Λtanθ=2V3,

故直线AB与平面DCel所成角的正切值为2√1

5.如图，在等腰直角三角形4。P中，已知4=*，∕D=3,B,C分别是/P,。尸上的点，

E是CO的中点，且BC〃/1。.现将△尸8C沿8C折起，使得点P在平面Z8C。上的射影

（1）若B,C分别是4P、OP的中点，求证：平面以CJL平面尸CD

（2）请判断是否存在一种折法，使得直线P8与平面/88所成角的余弦值是直线PB

√26

与平面以E所成角的正弦值的七倍？若存在，求出/8的长；若不存在，请说明理由.

【解答】（1）证明：I.点尸在平面/8C。上的射影为点4

平面ASCD,

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U平面/8。。，：.PA±CD,

∙/等腰Rt&DP,且C为。尸的中点，

.'.AClCD,

"JPAdAC=A,PA,JCc5FffiPAC,

.∙.CD,平面PAC,

又CDU平面PCo平面刃CL平面PC0.

(2)解：平面/8CQ,

ΔR

.∙.∕∕8P为直线尸8与平面/38所成的角，设其大小为α,则CoSa=附

过点B作BML4E,交/E于点连接尸”，

平面/8C。，：.PA1BM,

AEC∖PA=A,AE.fi4⊂5FffiPAE,

.∙.8ΛΛL平面Λ4E,

.∙.NBPM为直线P8与平面BIE所成的角，设其大小为由则SinB=福，

√26

直线PB与平面ABCD所成角的余弦值是直线PB与平面PAE所成角的正弦值的~ξ~

倍，

.*.cosa=∙^^sinβ,BPAB=

设/8=/(0<∕<3),则BM=⅛,DE=^CD=鼻D=&,

√26ZbZ

设NABM=NDAE=。,

DE4D

在DE中，由正弦定理知,

sinZ.DAESin乙AED'

3

-：,

sinΘs~ι~nzɜ(ʃr-~θZ)Γ

Vsin2θ+cos2θ=1,且6∈(0,—),

2

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6-t

.*.cosθ=

x∕212-12t+36

t(6-t)

：.BM=

√2t2-12t+36,

又BM=

.∙./'VT)=焉,化简整理得，2∕2+f-3=0,解得f=l或一,(舍负)，

√2t2-12t+36726L

故当月8=1时，直线房与平面48。所成角的余弦值是直线尸8与平面RlE所成角的

正弦值的手与吾.

6.在直三棱柱/BC-NIBICI中，NA4C=90°，AC=AB=AA∖^2,设点/，N,P分别是

AB,BC,BiCi的中点.

(I)证明：/4〃平面PMN；

(II)若。为A41上的动点，试判断三棱锥P-。MN的体积是否为定值？并说明理由.

【解答】(I)证明：；点"，N,尸分别是NB,BC,8ιCI的中点，；./W〃CC1，

又；441〃Ce1,J.AA∖∕∕PN,

：1C平面PMN,PNU平面PMN,

；./小〃平面PMM

(Il)解：如图，连接/N,AP,

根据等体积法可知，Vp-QMN=VQ.PMN，

由(I)可知，441〃平面PMM

又0为441上的动点，.∙.VQ-PMN=VA-PMN=Vp-AMN，

11

SRAMN=2×1×1=2,

111

即VP-QMN=VQ-PMN=VA-PMN=VP-AMVWX2×=ɜ•

・・・若。为/小上的动点，则三棱锥尸-QVW的体积定值

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1

7.在多面体/8CCMIBl中，四边形∕88∣4为菱形，BC∕∕B∖C∖,BC=^B∖C∖,小Cj=Zl4

ABlBiC,NBlBA=60°,平面ASBMi_L平面/8U

(1)在棱/8上是否存在点O,使得/8_L平面8∣OC?若存在，请给予证明；若不存在,

请说明理由.

(2)求二面角Cl-Ae-B的正弦值.

【解答】解：(1)在棱月8上存在点。(。为棱N8的中点)，使得/8,平面BiOC.

理由如下：

连接∕8ι,；四边形488∣∕ι为菱形，且N8ι8∕=60°,

.♦.△/囱8是等边三角形，

又。为48的中点，.∙.B∣0L∕8,

∖'ABLBiC,8ιO∏8∣C=8ι,BiOu平面BlOC,8ιCU平面'OC,

平面B9C.

(2)由(1)知，ZC_L平面BiOC,：.ABLOC,

又平面N88ι∕ι，平面ABC,平面NBBMi∩平面4BC=AB,

；.OC_L平面488ι4,OC1,B↑O,

以O为坐标原点，OB,OC,。81所在直线为X,y,z轴，建立空间直角坐标系，

取BiCi的中点E,连接∕ιE∙CE,由题意知几何体NBC-ZiBiE是三棱柱，

取出31中点。，连接OE,则OGDEKAg,

==乙

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设/4=2,则O(0,0,0),A(-1,0,0),C(0,1,0),Bl(0,0,√3),A∖(-

2,0,√3),

.∙.OC1=OBλ+B↑A1+AiC1=OB1+2OA+2OC=(0,0,√3)+2(-1,0,0)+2(0,

1,0)=(-2,2,√3),

ΛCι(-2,2,√3),AC=(1,1,0),Al=(-1,2,√3),

设平面NCCI的法向量益=(x,y,z),

Im∙^=x+y=0,取X=],得益=(∣,…√1),

,m∙AC1=-X+2y+√3z=O

平面/BC的一个法向量£=(O,0,1),

设二面角Ci-/C-8的平面角为θ,

则c°sθ=儒R强Sine=√10

^5^∙

√10

二二面角CI-/C-8的正弦值为一丁.

8.在四棱锥P-48C。中，侧面以。_1_底面N8CD,P4=4D=DC=6,NC=6√Σ,AB=3,

8〃平面以8,ZPAD=6Qa.

(I)求证：平面尸C£)J_平面尸8C；

(Il)求二面角P-BC-D的余弦值.

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P

【解答】解：(I)证明："JAD=DC=(>,^C=6√2,J.AD1+DC1^AC1,：.ADVDC,

VffilJffi必。_1_底面ABCD,侧面HO∩底面ABCD=AD,

，(?。_1平面以。，；尸。U平面/MO,J.CD±PD,

取PC和。C的中点分别为M和N,连接MV,BM,

则MN〃尸。，：.CDlMN,

；。。〃平面以8,CD〃平面/8CO,平面∕M8∩平面48CO=∕8,

：.CD〃AB,

,：AB=ND=3,四边形NAVZ)为平行四边形，

：.BN//AD,；.CDLBN,

•；BNCMN=N,；.CD1_平面BMN,

VSMc5FffiBMN,.,.CD±BM,

：CD_L平面BW,且为U平面以。，

.".ABLPA,即△口8为直角三角形，PB=√62+32=3√5,

•：PB=BC,且M是尸C的中点，C.PCLBM,

"：PCHCD=C,平面尸Cz),

∙.∙8Λ∕u平面P8C,平面尸Co_L平面P8C.

(II)在中，∖'PA^AD=6,ZPAD^60a,

ZXRlO为等边三角形，PD=6,

取AO的中点0,连接尸O,C.POVAD,⅛PO=√62-32=3√3,

:平面RW_L平面/8CZ),平面均。C平面ASCO=AD,；.PO_L平面N8CD,

过点P作P∕ΛL8C,交BC于点“，连接CW,

则NP"O即为三面角P-BC-D的平面角，

•：PD=CD=6,C£>_LP。，.∙.△尸DC为等腰直角三角形，

PC=√CP2+PD2=√62+G2=6√2,

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：由（I）知尸8=8C=3而，M为PC的中点，.'