弯曲应力-弯曲切应力（材料力学）

1、强度条件二、切应力的强度计算最大正应力发生在最大弯矩截面的上下边缘处，该处切应力为零，即正应力危险点处于单轴应力状态。最大切应力发生在最大剪力截面的中性轴处，该处正应力为零，即切应力危险点处于纯剪切状态。mmFSM

τττ’τ’弯曲切应力2、需要校核切应力强度的几种特殊情况（1）梁的跨度较短(l/h＜5)，M较小，而FS较大时,要校核切应力；（2）铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力；（3）各向异性材料(如木材)的抗剪能力较差，要校核切应力。工程实际中，梁的强度主要由正应力强度条件控制。为此，在设计梁的截面时，通常先按正应力强度条件设计截面尺寸，再进行切应力强度校核。一般情况下，按梁正应力强度条件设计的梁截面，其上最大切应力常常远小于材料许用切应力，因此一般不需要校核。但在一些特殊情况下，则需要校核切应力。q=3.6kN/mBAL=3m例题1矩形（b×h＝0.12m×0.18m）截面木梁如图。其许用正应力[]=7MPa,许用切应力[]=0.9MPa，试校核梁的强度。解：（1）计算支反力并作内力图，确定危险截面。4.05+-5.45.4M图（kN·m）Fs图（kN）（2）求最大应力并校核该梁满足强度条件。例题2简支梁AB如图所示，l＝2m，a＝0.2m。

梁上的载荷为q为10kN/m，F＝200kN。材料的许用应力为[

]=160MPa，[

]＝100MPa，试选择工字钢型号。解：（1）计算支反力作内力图。qBACDElFFaa821020841.841.845（2）根据最大弯矩选择工字钢型号查型钢表，选用22a工字钢，其M图（kN·m）Fs图（kN）（3）校核梁的切应力

腹板厚度d=0.75cm，由剪力图知最大剪力为210kN查表得22a工字钢超过

很多，应重新选择更大的截面。现对25b工字钢进行试算。查表得所以应选用型号为25b的工字钢。弯曲切应力一、切应力公式推导1、矩形截面梁横力弯曲的梁横截面上内力既有弯矩又有剪力，其应力既有正应力又有切应力。下面对任意荷载作用下，梁横截面上的切应力进行分析。不同形状的梁横截面，其切应力分布规律不同。（1）两个假设（a）切应力与剪力平行；（b）切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离处切应力相等）。q(x)F1F2（2）分析方法（a）用横截面m-m,n-n从梁中截取dx一段，两横截面均有弯矩和剪力，且两横截面上的弯矩不等，所以两截面同一y处的正应力也不等；q(x)F1F2mmnnxdxmnmxyzObdxm’m’hnyABA1B1ABB1A1mnxzyyḿFN2FN1（b）假想地从梁段上截出体积元素mB1，在两端面mA1，nB1上两个正应力合力即法向内力FN1、FN2不等。mmM+dM

1nnxMFsFsyBAn’

2mnmxyzOyABA1B1bdxm’m’hnττ’（c）在纵截面上必有沿x方向的切向内力dFS′。ABB1A1mnxzyyFN1FN2dFS’ḿ其中微单元dx的长度很小，所以假设切应力沿AB1面均匀分布。将表示出来带入平衡方程，可求出AB1截面上切应力。又由切应力互等定理有

。由此求出横截面上切应力。dxABB1A1mnxzyym’FN1FN2dFS’（3）公式推导（a）求、、假设m-m，n-n上的弯矩为M和M+dM，两截面上距中性轴y1

处的正应力为

1

和

2.

为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积。式中：为面积A1对中性轴的静矩。同理：y1化简后得（b）代入平衡方程ABB1A1mnxzyym’FN2FN1dFS’其中（c）由切应力互等定理，横截面上距中性轴y的点，其切应力计算公式ABB1A1mnm’ττ’则y1b矩型截面的宽度。yz整个横截面对中性轴的惯性矩。距中性轴为y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩。（4）切应力沿截面高度的变化规律同一截面的剪力，惯性矩和宽度都是常数。则切应力

沿截面高度的变化由静矩与y之间的关系确定。b可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化。zτmaxy=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处）τ=0；y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值式中，A=bh为矩形截面的面积。yzh/2y12.工字形截面梁工字形截面由腹板和翼缘两部分组成，翼缘上分布的切应力较复杂，且数值很小，可忽略不计。对于腹板上的切应力，假设所求应力的点到中性轴的距离为y。研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为Hoyxbzhdy（1）切应力公式—距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积A对中性轴的静矩。d—腹板的厚度；Ozydxy（a）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化；（b）最大切应力也在中性轴上。这也是整个横截面上的最大切应力。最小切应力在腹板上下边缘处。整个界面，则可得腹板内的切应力近似计算公式：（2）切应力沿截面高度的变化规律Ozytmaxtmaxtmin假设：（