中考数学复习策略（全国通用）18 等腰三角形中的分类讨论

第18讲等腰三角形中的分类讨论

【应对方法与策略】

当给出等腰三角形的一条边时，我们要确定这条边到底是腰还是底边，同时还要确保三角形的两边之和大

于第三边，三角形的两边之差小于第三边。如果边不确定，那么一定要分类讨论！

当给出等腰三角形的一个角时，也要确定这个角是底角还是顶角。如果题中没有明显说明，那么一定要分

类讨论！

【多题一解】【一题多解】

一、解答题

I.(2022秋.河北邯郸.九年级统考期中)如图，长方形ABCD中(长方形的对边平行且相等，每个角都是

90o),AB=6cm,AD=2cm,动点尸，。分别从点A,C同时出发，点P以2cm⅛的速度向终点B移动，点

。以ICmZS的速度向点。移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为f(s),问：

⑴当f=Is时，四边形BCQP面积是多少？

(2)当f为何值时，点P和点。距离是3cm?

(3)当f为何值时，以点P,Q,。为顶点的三角形是等腰三角形.

【答案】⑴5cm2；

⑵/=或处包

33

,r∖3+-p13-Λ∕T^-IS.6__p.—6+2J33

(3)f=——或———或二或--------.

2253

【分析】当f=l时，CQ=Icm,AP=2cm,可得PB=6-2=4cm,由梯形的面积可得出四边形BCQP面

积.

分两种情况，如图1,当，<2时，作QEJ.A3于E；如图2,当f>2时，作QELABfE,在

心VPEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可.

分情况讨论，如图3,当PQ=O。时，如图4,当PD=PQ时，如图5,当尸。=QD,由等腰三角形的性质

及勾股定理建立方程就可以得出结论.

【详解】⑴如图，

・・・四边形ABC。是矩形，

.・.AB=CD=6,AD=BC=ZZA=ZB=ZC=ZD=90°,

TCQ=Icm,AP=2cm,

/.PB=6—2=4cm,

,^(l÷4)×2≡5cm2

2

所以四边形BCQP面积是5cm2.

(2)分以下两种情况讨论：

①如图1,作QE_LA3于E,

∙*∙QSzzzzBC-2cm,BE—CQ=t(cm),

VAP=(cm),

.∖PE=6-2t-t=(6-3f)cm,

在RfAPQE中，由勾股定理，得(6-3f)2+4=9,解得：f=处好,

•：CQ『,

：.QE=t-(6-2r)=3L6

在RfAPE。中，由勾股定理，得(3f-6)2+4=9,解得：f=心叵.

综上所述：/=匕5或@*5；

33

(3)分以下3种情况讨论：

①如图3,当PQ=Z)Q时，作QE_LAB于E,

ΛQE=BC=Icva,BE=CQ=t(cm),

VAP=26

.∖PE=6-2t-t=6-3tfDQ=6-r,

YPQ=DQ,

：.PQ=6-t,

T)2,解得：f=匹近.

在MAPQE中，由勾股定理，得(6-3r)2+4=(6

2

②如图4,当PD=PQ时,作PfLLD。于E,

图4

/.PE=AD=2cm.DE=AP=2tf

YDQ=6-t,

∙*∙2r=ʒɪ,解得：t=y；

③如图5,当尸O=Q。时，

图5

*：AP=2t,CQ=3

.'.DQ=6-t,

：.PD=6-t,

在RfAAPO中，由勾股定理，得4+4/2=(6-Q2,

6

解得〃=-+2亚,t2=-6-2^3(舍去).

33

综上所述：f=土立或三立或，或一6+2A.

2253

故答案为：f=色电或土皮或1或~6+2万.

2253

【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，分类思想的应用，双动点问题.

2.(2022春•江苏.九年级专题练习)如图，半径为1的M经过直角坐标系的原点O,且分别与X轴正半

轴、y轴正半轴交于点A、B,ZOMA=60°,过点8的切线交X轴负半轴于点C,抛物线过点A、B、C.

(1)求点A、8的坐标;

(2)求抛物线的函数关系式;

(3)若点。为抛物线对称轴上的一个动点，问是否存在这样的点。，使得△/?CD是等腰三角形？若存在,

求出符合条件的点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(I)A(1,0),B(0,√3);

(2)尸一乎几竿"6

(3)符合条件的点。为：(T,√ΓT+√3),(-1,-√Γi+√3),(T,2及)，(-1，-2夜)，(T，0).

【分析】(1)由题意可直接得出点A、B的坐标为A(l,0),B(0,√3);

(2)根据BC是切线，可求出BC的长，即得出点C的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式;

(3)先假设存在，看能否求出符合条件的点。即可.

【详解】(1)解:'：MO=MA=I,/OMA=60。，：.OA=1,

又乙408=90。，,AB经过点M,

NABO=30。，

.,.OB=-Ji,

."(I,O),B(O,√3);

(2)是切线，

/.ZABC=90°,

由(1)知NoAyW=60°,

.∙.NACB=30。，

又由(1)可得AB=2,

.∙.AC=4,

ΛC(-3,0).

设抛物线的解析式为广加+法+以将点A、B、C代入得,

α+b+c=0

<C=Wi,

9a-3⅛+c=0

[6

a=-----

.∙.抛物线的解析式为产-@/_2叵x+G；

33

(3)解：设在对称轴上存在点/),使ABC。是等腰三角形，

由(2)可得对称轴为直线X=T,所以可设点。(T,m),

分3种情况讨论：①BC=B。，则^l+(∕n-√3)2=26,

解得m=±JrT+√3;

②BC=CD,贝1」再版=26，解得加=±2&；

③BD=CD,14+府=Ql+(m-6)，解得：fn=Of

・・・符合条件的点。的坐标为：

(-1,VH+ʌ/ɜ)»(-1,-VΓT÷>∕3),(-1,2—),(一1，-2及)，(τ,o).

【点睛】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线解析式的求法和等腰三角形判定等知识

点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合等数学思想的运用.

3.(2022春•九年级课时练习)如图，已知点A在X轴的负半轴上，点B在V轴的正半轴上，AO=3,

AB=5,点P在线段AB上，从点A出发以每秒5个单位长度的速度向点B运动，设运动时间为＜1)

秒，过点P作PQLy轴于点2.

(2)当尸Q=PA时，求r的值；

(3)在X轴上是否存在点例，使，43根为等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理

由.

-3

【答案】⑴5

⑵3

'’8

7

(3)存在，M(-8,0),(2,0),(3,0),(-,0)

【分析】(1)由已知可得线段PQ为三角形的中位线，根据三角形中位线定理可以得到解答;

⑵由已知可得崇翳，把上面等式用含，的代数式表示出来，然后解方程即可;

(3)MA=MB,AM=AB,BM=BA三种情况讨论.

【详解】(1)解：由题意可得：当t='时，PA=PB,PQ//AO,

嚼■BQ=QO,

：.PQ为三角形ABO的中位线,

13

：.PQ=-AO=-.

3

故答案为

（2）解：由题可知，PA=PQ=5t,：.PB=AB-PA=5-5t

•：PQ//AONBPQ=NBAo

又：BQP=/BoA=90°

；./\BPQS/\BAO

（3）：由题意可设满足条件的M为（x,0）,则可分三种情况:

如图，MA=MB,

7

解之可得：X=!

O

7

为（-,0）；

则有k+3∣=5,

解之可得：JFz2或4-8,

：.M为（2,0）或（-8,0）；

如图，BM=BA,

ΛX2+16=25,

解之可得：Λ=3或广ɪs(舍去),

：.M为(3,0)；

7

，满足条件的M为：(-8,0)或(2,0)或(3,0)或(2，0).

6

【点睛】本题考查三角形的动点问题，熟练掌握三角形中位线的定义和性质、三角形相似的判定和性质、

等腰三角形的性质、方程思想与勾股定理的应用是解题关键.

4.(2021•福建福州・统考一模)如图，直角梯形ABCZ)中,

AD/∕BC,NZMB=90。，AZ)=4,AB=8,BC=IO.点E为线段Z)C的中点，动点P从点A出发，以每秒

1个单位的速度沿折线ATBTC向点C运动，设点P的运动时间为/.

(1)点P在运动过程中，BP=；(用含♦的代数式表示)

(2)点P在运动过程中，如果以。、P、E为顶点的三角形为等腰三角形，求f的值;

(3)当点尸运动到线段BC上时，过点尸作直线乙〃。C,与线段AB交于点Q,使四边形。QPE为直角梯

形，求此时直角梯形OQPE与直角梯形ABCD面积之比.

【答案】⑴I8-rI

49

(2)3或丁或12

O

e225i25

⑶二或WT

44854

【分析】(1)分点尸在AB上运动时和点P在BC上运动时列出代数式即可；

(2)分DE=DP、DP=PE、DE=PE情况求解即可；

⑶分∕EL>β=NOQP=90。时和N£>EP=/EPQ=90。时两种情况，利用相似三角形的判定与性质求解即

可.

(1)

解：当点尸在AB上运动时，BP=AB-AP=S-ħ

当点P在BC上运动时BP=tS,

故答案为：I8—/I；

(2)

解：过。作OH_LBC于连接EH,则NO”C=NQHB=90。，

.∙.NABC=NDAB=90。=NDHB,

.∙.四边形A8HZ)为矩形，

：.DH=AB=S,BH=AD=4,DH//AB,ZADH=90°,

贝IJCH=BC-BH=6,

在RtAOHC中，CD=JDH。+CH?=荷+©=10,

为CD的中点，

/.DE=CE=EH=ICD=5,

①当DE=Z)P时，DP=5,点尸在AB上，

在RtAAOP中，AP=y∣DP2-AD2=√52-42=3>∙,∙f=3;

②当。P=PE时，点P在AB上，取。”的中点凡连接EF并延长交AB于°,

又YE为CO的中点，

.∙.EF=ɪCH=3,EF//CH,

：.NCHD=NEFD=NDFQ=90。,则四边形AQFD为矩形,

：.FQ=AD=A,NAQE=90。，AQ=DF=A,

在Rl∆ADP中，DP2=AD2+AP2=l6+t2,

在RtAEPQ中，EQ=EF+FQ=I,PQ=It-4I,

.∙.PE2=EQ2+PQ2=49+(/-4)2,

.∙.16+/=49+(r-4)2,

49,

解得：f=~~<8>故P不可能在BC上；

O

③当。E=PE时，PE=5,V5<7,点P在BC上，

'JEH=DE=S,

二当P运动到H处时，有DE=PE,此时/=8+4=12；

综上，满足条件的，值为3或949或12；

O

解：如图，当∕Ef>Q=∕OQP=90。时，四边形OQPE为直角梯形,

过。作OZLLBC于"，

L

由(2)中知，。〃=8,CH=6,OE=5,CD=10,NADH=NCHD=9。。,

'：NADQ+/QDH=NCDH+NQDH=90。,

：.ZADQ=ZCDH,又ZA=ZCHD=90。,

二∆ADQ^>∆HDC,

二处=强=或即±=理=吗

DHCHCDS610

.∙.AQ=3,DQ=5,则8β=48-AQ=8-3=5,

∖'PQ∕∕DC,

：.ZHCD=ZBPQ,又NCHD=NB=90°,

J.∕∖CDH^∕∖PQB,

♦・喘喑哈祟

若，

1Y25、U

c—X(5H)×5

Q直角梯形。。PE=24_223

448

S直角梯½4B8∣×(4+10)×8

如图，当/。£：尸=/后P。=90。时，四边形。。PE为直角梯形,

由(2)中知，DH=8,CH=6,CE=5,CD=IO,NCHD=90°,

'：ZC=ZC,ZCEP=ZCHD=W,

：.XEPCs丛HDC,

.EPCECPEP5CP

••---=---=---即nπ---=-=---,

DHCHCD86IO

20255

,EP=—,CP=y,贝IjPB=BC-CP=XQ-=-,

"：ΛCDH^ΛPQB,

:喘考日常

・"若，

1氏25、20

,

S∣t角梯形Z)QPE=2*+9X3=25

54

S直角梯形ABCol×(4+10)×8

综上，直角梯形。QPE与直角梯形ABC。面积之比为二或∙

4487547

【点睛】本题考查四边形的动点问题，涉及相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等

腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、直角梯形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运

用，利用分类讨论思想求解是解答的关键，计算量较大，需要细心计算.

5.(2022秋・浙江•八年级期中)如图，已知在AABC中，/B=90。，AB=Scm,BC=6cm,P、Q是AABC边

上的两个动点，其中点P从点A开始沿4一B方向运动，且速度为每秒ICm,点。从点B开始沿8-C方

向运动，且速度为每秒2cm,它们同时出发，设出发的时间为，秒，0<f<8.

C

(1)当/=2秒时，求PQ的长：

(2)求出发时间为几秒时，APQB是等腰三角形？

(3)若Q沿BTCTA方向运动，则当点。在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时

间.(直接写答案)

【答案】⑴2

(理秒

【分析】(1)可求得AP和BQ,则可求得BP,在用ABPQ中，由勾股定理可求得PQ的长；

(2)用f可分别表示出BP和8Q,根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ,可得到关于，的方程，可求得

t;

(3)用f分别表示出BQ和CQ,利用等腰三角形的性质可分BQ=8C、Cβ=8C和8Q=C0三种情况，分别

得到关于f的方程，可求得f的值.

【详解】(1)解：BQ=2×2=4cm,BP=AB-AP=S-2×1=6Cm,

•：NB=90°,

在MABPQ中，由勾股定理可得PQ=2;

⑵解:根据题意得：BQ=BP,即2/=8-3

Q

解得：f=];

Q

即出发时间为三秒时，APQB是等腰三角形；

（3）解：分三种情况：①当Cβ=BQ时，如图1所示:

图1

贝∣J/C=NCBQ,

∖∙ZABC=90o,

：.ZCBQ+ZABQ=90o,ZA+ZC=90o,

.∙.ZA=ZABQ

：.BQ=AQ,

：.Ce=AQ=5

.∖BC+CQ=∖∖,

.gl÷2=5.5秒.

②当CQ=BC时，如图2所示：

则BC+CQ=12

.g2÷2=6秒.

③当BC=B。时，如图3所示：过8点作BE,AC于点E,

则βE=4.8Cem)

CEcmf

CQ=ICEcm,

BC+CQcιn,

Λr=13.2÷2=6.6¾J^.

由上可知，当，为5.5秒或6秒或6.6秒时，ABCQ为等腰三角形；

【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类

讨论思想的应用.

6.(2023秋・湖南益阳・九年级统考期末)如图所示，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，四边形ABCO

是菱形，点A的坐标为(-3,4),点C在X轴正半轴上，直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点儿

(1)求直线AC的函数解析式及的长；

(2)连接,动点P从点A出发，沿折线A→8→C方向以每秒1个单位的速度向终点C匀速运动，设

△PA仍的面积为S(SRo),点尸的运动时间为，秒，求S与f之间的函数关系式，并写出自变量，的取值

范围；

(3)在(2)的情况下，当点尸在线段A8上运动时，是否存在以BM为腰的等腰三角形P?如存在，直

接写出f的值；如不存在，说明理由.

【答案】(Dy=_/1彳+］5，MH=j3

-3+=(0,,r<5)

⑵S=I44

v7525

T(5<f,,i0)

44

⑶当t=l或I■时，MWB为以BM为腰的等腰三角形.

【分析】(1)由A点的坐标，利用勾股定理和菱形的性质易得点C的坐标，由A,C的坐标可得直线AC

的解析式；令X=0,解得y,得QW的长，易得MH;

(2)设点M到BC的距离为心由ΔABC的面积易得〃，利用分类讨论的思想，三角形的面积公式①当P

在直线AB上运动；②当尸运动到直线8C上时分别得ΔP3M的面积；

(3)分类讨论：①当M3=Λ∕P时，PH=BH,解得人②当8Λ√=8P时，利用勾股定理可得BM的长，易

得J

【详解】(1)解：点A的坐标为(-3,4),

∙∙Q=5,即C点的坐标为(5,0),

A4

设直线AC的解析式为y=H+"则仁一+"n=

Iɔ/e^rU—V

k=--

2

解得：s,

b=-

2

•・・直线AC的解析式为：y=-→+∣,

令X=O得：y=∙∣,

即OM=3,

2

(2)解:设点M到BC的距离为6,

由SΔΛ5C=SSBM+Se^CM，

①当夕在直线AB上运动时APBM的面积为S与P的运动时间为，秒关系为:

13315

S=—(5—1)×-,BPS=——∕÷-(0„<5)；

②当。运动到直线BC上时"MB的面积为S与P的运动时间为/秒关系为：

S=/[5—(10—f)χ^J,即S=-/——(5<10),

-2Z+2∣(O,,∕<5)

44

故S=,

→-^(5<A,10)

44

(3)解：存在①当MB=MP时，

点A的坐标为(-3,4),AB=5,MB=MP,MH1,AB,

:.PH=BH,即3τ=2,

.∙J=1；

②当BM=BP时，即5τ=J(4-∙∣>+22,

解得：r=∣∙

综上所述，当f=l或T时，ΔPMB为以BM为腰的等腰三角形.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，动点问题，等腰三角形的性质和三角形的面积公式及待定系数法求

解析式，解题的关键是利用分类讨论的思想，数形结合的思想求解.

7.（2022秋•福建泉州•九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=V+bx+c与X轴交

于点A、B（点B在点A右侧），与V轴交于点C,且OC=Q3=304=3,E是第四象限内抛物线上的动

点.

（1）求抛物线的解析式；

⑵连接OE交5C于点八当SACEF：SAOCF的值最大时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下：当SACEF：SMCF的值最大时，如图，过点E作EDj∙X轴于点。，交BC于点M,在

X轴上是否存在这样的点户，使得以点"，B,P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所

有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=χ2-Zr-3

⑶存在，q(0,0),P2色芋,0，喉0)，心件衿,0

【分析】(1)利用待定系数法求解，由点A在X轴的负半轴上，点8在X轴的正半轴上，点C在y轴负半

轴上，且OC=O3=304=3,确定A、B、C的坐标，再将A、B、C的坐标代入y=∕+fov+c,求解即

可；

(2)用待定系数法求出直线BC的解析式，过点E作功＞，龙轴于点。，交BC于点M,设点厂的横坐标

为乙用含f的代数式表示S△即：SMCF,易知ME取最大值时，SACEF∙SAOCF最大，再设点E的横坐标为

X,用含X的代数式表示点E和点M的坐标及线段ME的长，再根据二次函数的性质即可求解；

(3)由(2)知O(I,θ}M(∣,-1),由勾股定理求出OM=BM=手，由等腰三角形PBN的腰长为∣∙

或述求出。P的长即可得到点户的坐标.

2

【详解】(1)解：抛物线y=V+法+c与X轴交于点A、B(点5在点A右侧)，与y轴交于点C,且

OC=OB=3OA=3,

・•・A(T,0),B(3,0),C(O,-3),

A、B、C的坐标代入y=f+feχ+c,

l-⅛+c=O

得9+3"C=O,解得

c=-3

抛物线的解析式为y=x2-2r-3;

(2)设直线BC的解析式为y="-3,则女-3=0,

解得k=1,

・,・直线BC的解析式为y=x-3,

过点E作_Lx轴于点。，交JBC丁点M,

V

设厂(fJ-3),

ss

CE"F=CcEMM-SΓFCEΛM7=-2-ME-OD--2-ME-'(OD-1∖4=-2-ME-t

,SACEF：%CF==

二当ME取最大值时，SACEF∙SAOCF有最大值，

设点£(羽炉一2x-3),M(x,x-3),(0<χ<3),

.,.ME—x—3—^x"—2A'—3)=-x"+3X=--ʃ÷—,

3

二•当X=5，ME最大，S&CEF∙SAOCF的值最大，

此时《1，-野

(3)存在,

。I，。，M3_3

2,~2

3

.∙.Do=DB=DM=—

2

.X轴于点O,

点＜、p2,P3、B在X轴上，

当点片与点。重合时，EM=BM=呼，6(0,0)；

当BkSM=还时，OP——,小空,θ];

22212J

当点A与点Z)重合时，CM=AB=I,嘿,θ,

当BiM=述时，OR=3+逑=包，B隹;

22212J

综上所述，片(0,0),P2生¥可，呜，q，《殳¥斗

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰三角形的判定，用待定系数法求函数解析式，勾股定

理，第3小问注意分类讨论，求出所有符号条件的点P坐标.

8.(2022秋.浙江温州•八年级瑞安市安阳实验中学校考阶段练习)如图1,在平面直角坐标系中，点A的

坐标为(8,0),点B的坐标是(0,6),连接A8.若动点P从点B出发沿着线段54以5个单位每秒的速度向终

点A运动，设运动时间为，秒.

(1)求线段AB的长.

(2)连接OP,当-OBP为等腰三角形时，过点P作线段A3的垂线与直线OB交于点〃，求点M的坐标；

(3)已知N点为AB的中点，连接ON,点尸关于直线ON的对称点记为p(如图2),在整个运动过程中，若

P'点恰好落在AoB内部(不含边界)，请直接写出r的取值范围.

【答案】(I)IO

⑵(。，-∙∣),(0T),(0,-6)

14

⑶当77<f<l时，P'点恰好落在408内部(不含边界)

【分析】(1)勾股定理直接求解即可；

(2)分Po=P8,80=BP,08=BP三种情形，分别讨论，即可求解；

(3)当〃在上时，过点N作NFLX轴于点尸，过点。作过点P作PG_Ly轴于点G,因

为N点为AB的中点，由(2)可知N(4,3),O£=y,根据等面积法求得PG=4r,进而得出BG=3f,

OG=6-3t,产N=5—5,,根据轴对称的性质得出OP=OP,SPON=SPON，继而求得OP=8-8,，在

Rt△(?PG中，PG2+OG2=OP2,即可求解.

【详解】(1)解：Y点A的坐标为(8,0),点B的坐标是(0,6),

/.OA=8,OB=6,

∙"∙AB=J斯+03〉=10；

(2)当PB=PO时，如图，过点P作PCy轴于点。，PC,X轴于点C,

•：PB=PO,

：•ZPBO=ZPOB9

・.・ZPOB+ZPOA=90o,ZPAO+ZPBO=90o,

：・ZPOA=ZPAOf

：.PO=PA=-AB=5,

2

设OM=x,

在RJPoW中，PM2=PD2+DM-)

在Rt1∆8PM中，PM2=MB2-BP2,

PD1+DM1=MB2-BP2

即42+(3+X)2=(6+X)2-52

7

解得：X=-,

.∙.M(O,-)

当3P=3O=6时，如图，过点尸作尸O∙Ly轴于点O,PC,X轴于点C,过点。作QELAB于点E,

・・.DO=PC,DP=OC9

∙.∙S,ΛA<O√OΠ=-AB×OE^-×OB×OA,

.“OB×OA6×824

・・OE=----------==—

AB105

∙.∙SPeK=LXBOxPD=LXBPXOE,

'oh22

：,PD=OE=-

5

设尸C=α,P£)=4.8,

在RIAPC4中，«2+(8-4.8)2=42,

解得：a=2.4,

即OQ=2.4,

在RL.PZMf中，PM2=PD2+DM2>

在RtABPM中，PM2=MB2-BP2,

PD2+DM2=MB2-BP2，

即4.82+(2,4+X)2=(6+X)2-62,

解得：x=4,

M(0,-4),

当08=0P时，如图，

,.∙OP=OB,

：.NOBP=NOPB,

'：MPlAB,

：.NBPo+NOPM=90°,

又ABMP+AMBP=90°,

.∙./OMP=NOPM,

：.OM=OP=OB=6,

ΛM(0,-6),

综上所述，M(O或M(O,-4)或M(O,-6),

(3)如图，当〃在Q4上时，过点N作NF_LX轴于点尸，过点。作OELAB,过点P作尸GLy轴于点

G,

YN点为AB的中点，

由(2)可知N(4,3),OE=y,

则NF=3,

,BP=5t,BO=6,AO=8,

・S∩=—BOXPG=—BP×OE,

80rPp22

24

•PG=吆2=匕=短

BO6

•BG=y∣BP2-PG2=3r)

:∙OG=6—31,

•：BN=LAB=5,

2

二PiV=5-5/,

Y对称，∙∙.OP=OP,SPoN=SPON，

•••SPON=；PNXoE=S,onΛθP'×NF,

1241

即LX—x(5-5∕)=-OPx3,

25172

,

JOP=OP=8-8t9

在RtZ∖OPG中，PG'+OG2^OP1

：.（4z）2+（6-3r）2=（8-8r）2

解得r=2（舍去）或

当点尸运动到点N,此时尸,P',N重合，此时5t=5,解得f=l,

14

.∙.当前<f<l时，P点恰好落在AOB内部（不含边界）.

【点睛】本题考查了勾股定理，解一元二次方程，坐标与图形，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题

的关键.

9.（2023秋•山东德州•八年级统考期末）（1）问题发现：如图①，,ABC和都是等边三角形，点

B、D、E在同一条直线上，连接AE.

①NAEC的度数为；

②线段A£、BZ）之间的数量关系为；

（2）拓展探究：如图②，和aEDC都是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,点、B、D、E在同

一条直线上，CM为△£»C中C）E边上的高，连接AE,试求NAEB的度数及判断线段CM、AE、BE之间

的数量关系，并说明理由；

（3）解决问题：如图③，TlBC和△££心都是等腰三角形，ZACB=ZDCE=36。，点、B、D,E在同一条

直线上，请直接写出/K4B+/EC8的度数.

【答案】（D①120。；②相等；（2）90°；BE=AE+2CM,理由见详解；（3）180°.

【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得EC=OC,AC=8C,NECD=NACB=60。，然后证明

NECA=NDCB,从而可证明AAECgABDC,再利用全等三角形的性质，①、②即可求解：

（2）类似（1）中方法，证明AAEC丝Z∖B3C,得出NAEB=NeE4—NCEB=90。，根据等腰直角三角形

的性质得到CW=EM=MZ）,即可得到线段CM、AE.BE之间的数量关系；

（3）根据C解答即可.

【详解】（1）解：如图①所示，

,ABC和AEDC都是等边三角形，

.∙.EC=DC,AC=BC,/ECD=ZACB=ZCDE=60o,

:"ECD-ZACD=ZACB-ZACD,

.∙.NECA=NDCB,

在AAEC与.5Z)C中，

EC=DC

,ZECA=NDCB,

AC=BC

.「AEeABDC(SAS)

.∙.ZAEC=NBDC,AE=BDf

NCOE=60。，点3、D、E在同一条直线上，

/.ZB/X?=120°,

.∙.ZAEC=ZBDC=120°,

故①的答案为：120。；

②的答案为：相等；

(2)解:如图②所示,

o

.ABC和△££>(?都是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90f

.∙.EC=DC,AC=BC,ZECD=ZACB=90o,ZCDE=/CED=45°,

.∙.ZECD-ZACD=ZACB-ZACD,

・,.NECA=NDCB,

在AAEC与，8DC中，

EC=DC

<ZECA=NDCB,

AC=BC

.;AEC"BDC(SAS)

∙∙.ZAEC=/BDC,AE=BD,

」NCDE=45。，点、B、。、E在同一条直线上，

.∙.ZBDC=135。，

二ZAEC=ZBDC=135°f

ZAEB=ZAEC-ZCEB=135o-45°=90°,

△£DC都是等腰直角三角形，CMtDE,

..CM=EM=MD,

.∙.ED=2CM,

.-.BE=BD+DE=AE+2CM,

∙∙∙NAEB的度数为90。，线段C0、AE.BE之间的数量关系为：,3E=AE+2QW；

(3)解：根据(1)(2)中结论可知：AiAECgZSBOC,得NAEC=N83C,

一ABC和△£»C都是等腰三角形，ZACB=NDCE=3G,

NCDE=ZABC=180°^^*°=72°,

2

.∙.ZAEC=NBDC=180°-72°=108°,

.∙.ZAEC+ZABC=108°+72°=180°,

.∙.NEAB+ZECB=360°-180o=l80°.

【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形

的性质等知识，熟练而灵活运用这些性质解决问题是解答此题的关键.

10.(2022・江苏•九年级专题练习)如图，四边形ABCD是矩形，点尸是对角线AC上一动点(不与A、C

重合)，连接PB,过点P作交射线OC于点E,已知AT>=3,AC=5.设4尸的长为x.

(I)AB=;当x=l时，—=；

/D

(2)试探究：否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由;

(3)当PCE是等腰三角形时，请求出X的值.

PE3

【答案】⑴"=4,而北

(2)修PE为定值,PE_3

ΓD~PB~4

7

(3)X=W或x=4

ppPN

【分析】⑴作W舫于M交8于M由MgWWE,推出而=丽,只要求出WBM即可解

决问题；

PE

(2)结论：籍的值为定值.证明方法类似(1)；

(3)分两种情形讨论求解即可解决问题；

【详解】(1)解：作PM_LAB于M交CO于N.

图1

四边形A88是矩形，

.∙.BC=AD=3,AC=5,ZABC=90°,

:.AB=-JAC2-BC2=√52-32=4.

34

在RtΔΛPM中，PA=λ,PM=∣,AM

BM=AB-AM,

MN=AD=3,

,-.PN=MN-PM=—,

5

,NPM8=NPNE=NB尸E=90°,

.∙.ZBPM+ZEPN=90o,/EPN+NPEN=90°,

:4PM="EN,

:ΛBMP^∕∖PNE,

12

.PEM_3

..=——=—,

PB164

T

3

故答案为4,ɪ.

4

PE

（2）结论：箴的值为定值.

3443

理由：由2=x,可得PM=Sx.AM=-xfBM=4--X9PN=3--X9

ΛBMP^ΛPNE9

PE=PN二丁二3

4^4

4a----X

5

(3)①当点E在线段CQ上时，连接SE交AC于F.

图2

ZPEC>90°,所以只能EP=EC,

.∙.ZEPC=^ECP,

ZBPE=ZBCE=90°,

.-.ABPC=ABCP,

.-.BP=BC,

.∙.BE垂直平分线段PC,

在RtBCF中，cosNBCF=,

BCAC

CF3

T~59

∙∙∙CF4

IQ

.∙.PC=2CF=-

5

.»*5上=Z

55

②当点E在OC的延长线上时，设BC交PE于G.

图3

ZPCE>90o,所以只能CP=C£.

.-.ZCPE=ZE,

ZGPB=NGCE=90o,ZPGB=NCGE,

NPBG="=NCPE,

ZABP+ΛPBC=90P,ZAPB+ZCPE=90°,

.∙.AB=AP=4,

综上所述，X的值为（7或4.

【点睛】本题属于四边形综合题、考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角

形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大.

11∙（2022∙福建厦门•厦门市湖里中学校考模拟预测）阅读材料：

如图①，ABC与.QEr都是等腰直角三角形，ZACB=NEDF=9（1°,且点。在AB边上，AB,EF的中

点均为。，连接8尸、CD、CO,显然，点C、F、。在同一条直线上，可以证明V8O尸史CO所以

BF=CD.

解决问题:

（1）将图①中的RfAOE尸绕点O旋转到图②的位置，猜想此时线段BF与CO的数量关系，并证明你的结

论.

（2）如图③，若ABC与1）砂都是等边三角形，AB,E尸的中点均为0,上述（1）中结论仍然成立

吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出防与CD之间的数量关系.

（3）如图④，若ABC与一。口都是等腰三角形，AB.EF的中点均为0,且顶角ZACB=NEDF=a,

请直接写出B尸与C力之间的数量关系（用含有α的式子表示出来）.

【答案】(I)BF=CD;(2)不成立，见=也;(3)—=tan-

CD3CD2

【分析】（1）如答图②所示，连接OC、OD,由全等三角形的判定定理S4S证明VB。尸式VCon即可;

（2）如答图③所示，连接OC、OD,由等边三角形的性质和锐角三角函数的定义推知竺=竺•=立,

OCOD3

结合NBoF=NCOD即可证明VBoFECOD,相似比为正;

3

（3）如答图④所示，连接OC、OD9由等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义推知

—=tan∣,结合NBO尸=NCo力即可证明V8O/SVCO£>,相似比为tan4

【详解】解：(1)猜想：BF=CD.理由如下：

如答图②所示，连接OC、OD,

Y..ABC为等腰直角三角形，点0为斜边AB的中点，

：.OB=OC,NBOC=90。,

YDE尸为等腰直角三角形，点。为斜边所的中点，

:・OF=OD,ZDOF=90°f

•：/BOF=ZBOC+/CoF=90。+/CoF,

ZCOD=ZDOF+ZCOF=90o+ZCOF,

：・ZBOF=ZCOD,

在.30F与中，

OB=OC

<ZBOF=ZCOD,

OF=OD

:.VBQF期COD(SAS)

.・・BF=CD;

如答图③所示，连接OC、OD,

・・・_ABC为等边三角形，点。为边AB的中点,

Λ-=tan300=-,ZBOC=90°,

OC3

♦・,_OE尸为等边三角形，点。为边EP的中点,

ʌ-=tan30°=-,NDOF=90°,

OD3

.OBOF√3

•∙==

OCOD3

•：NBoF=/BOC+NCOF=90。+/COF,

ZCOD=ZDOF÷ZCOF=90o÷ZCOF,

：・ZBOF=NCoD,

在二60户与ACODB,

嘤啜咚々OF="，

：.NBOFKCOD

(3)^j=tany.理由如下：

如答图④所示，连接OC、OD,

・・・_ABC为等腰三角形，点。为底边AB的中点,

-----=tan—,ΛBOC=90°，

OC2

・・・D所为等腰三角形，点。为底边吹的中点,

・・・竺=tan^,NDOF=90。,

OD2

.OBOFa

・•---........=tan—,

OCOD2

T/BOF=/BOC+/COF=90。+/CoF,

ZCOD=ZDOF+ZCOF=90o+ZCOF,

：•ZBOF=ZCOD9

在_3。尸与ZXCOD中,

..OBOFa

----=tan—NBoF=ZCOD,

•OCOD2

：.VBOF尔CoD

【点睛】本题是几何综合题，考查了旋转变换中相似三角形、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三

线合一的性质、锐角三角函数.解题关键是：第一，善于发现几何变换中不变的逻辑关系，即

7HOFmCOD或MBOFWCOD第二，熟练运用等腰直角三角形、等边三角形、等腰三角形的相关性

质.本题(1)(2)(3)间的解题思路一脉相承，体现了由特殊到一般的解题思想方法.

12.(2022秋•重庆巴南•九年级统考期末)已知抛物线y=αγ2+bx+4(α≠0)与X轴交于点A(-3,0)、B

(2,0),与y轴交于点C,直线V=MV+”经过两点A、C.

(2)如图1,点P在已知抛物线上，且位于第二象限，当四边形BlBC的面积最大时，求点尸的坐标.

(3)如图2,将已知抛物线向左平移T个单位，再向下平移2个单位•记平移后的抛物线为V,若抛物线V

与原抛物线的对称轴交于点点E是新抛物线P的对称轴上一动点，在(2)的条件下，当APQE是等

腰三角形时，请直接写出点E的坐标.

22

【答案】(1)〃=一§,⅛=~y

⑵P(TT)

(3)(τ"∣乌或(T号与或(-1,2+G)或(-1,2-扬

29

【分析】(1)将A(-3,0),8(2,0)代入、=奴2+版+4,即可得α的值为8的值为-：；

22

(2)连接OP,过户作PDJ轴于。，作PE_Ly轴于E,设尸(/,-耳/-丁+4),则尸E=τ,

OO

PD=-∣r-∣r+4,而Saβoc=4,故四边形P4BC的面积最大即是四边形PAoC面积最大，又

QQQ33

2

⅞a^Λ0c=5AΛTO+SΛOW=-(/+D+ɪ,可得/=一彳时，SllWa•最大，即四边形P4BC的面积最大，P(--,

1)；

(3)由y=-<x2-<x+4=一1x+3?+?,得原抛物线对称轴是直线X=将y=-1》+；尸+§向左平移

J33262326

；个单位，再向下平移2个单位得：y=-∣(χ+i)2+⅛,即可得Q(-4,2),设E(-l,m),则

/ɔOZ

22