2020-2021学年湖北省新高考联考协作体高一(下)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年湖北省新高考联考协作体高一（下）期末

数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.设集合4=一5x+6>0},B={x|log2（x-l）>0},则4cB=（）

A.（-8,2）B.（-2,1）C.0+8）D.（2,3）

2.z=焉的共轨复数的虚部为（）

A.1B.-1C.iD.-i

2

3.已知a=2°，5,b=0.5,c=log0,s2.贝代）

A.,b<c<aB.b<a<cC.c<a<bT）.c<b<a

4.等边三角形力8c的边长为1,昵=五，刀=石，荏=3则方.石+石々+。五=（）

A.3B.-3C.|3D.3

5.设仇是空间中的一个平面，/,机，〃是三条不同的直线，则（）

A.若mua,nca,11m,11n,则Z_La

B,若mlIn,11a,则九la

C.若L//m,m1a,n1a,贝！J/_Ln

D.若muQ,n1a,11n,则L//m

6.已知函数〃>）=5也（2%+支.给出下列结论：

①“X）的最小正周期为兀；

②/6）是/（X）的最大值；

③把函数y=sinlx的图象上所有点向左平移g个单位长度，可得到函数y=/（x）

的图象.

其中所有正确结论的序号是（）

A.①B.①③C.②③D.①②③

7.已知正数x,y满足：：+W=l,则x+y的最小值为（）

A.2+V3B.2+2V3C.6D.6+26

8.在平行四边形Z8CZ）中，AB=2,BC=1,=60。，点E为边的中点，

点尸为边8c上的动点，则屁.加的取值范围是（）

A.[0,1]B.[1.|]C,[V3,3]D.母何

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二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.下列说法正确的是（）

A.已知落方为非零向量，则“五小>0”是“方与方的夹角为锐角”的必要不充分

条件

B,用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台

C.若两个平面互相垂直，则过其中一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线

必垂直于另一个平面

D.在△力BC中，A>B是sinA>的充要条件

10.已知/"（X）的定义域为R,其函数图象关于直线x=-3对称且/（x+3）=f（x-3）,

当xe［0,3］时，f（x）=2x+2x-ll,则下列结论正确的是（）

A.f（x）为偶函数B./Q）在［-6,-3］上单调递减

C./（x）关于x=3对称D./（2021）=-7

11.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果,

可以判断可能出现点数为6的是（）

A.平均数为3,中位数为2B,中位数为3,众数为2

C.平均数为2,方差为2.4D,中位数为3,方差为2.8

12.如图，正方体ABCD-48iCiDi的棱长为2,则下列四个命题正确的是（）

A.直线8c与平面A8GD1所成的角等于

B.点4到面力BCiDi的距离为近

C,两条异面直线。传和BCi所成的角为?

D.三棱柱441。1一88道1外接球表面积为37r

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知同=3,b=（1,2）,且十万，贝皈的坐标为.

14.已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30兀，则该圆锥的表面积为

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15.己知角a的顶点与坐标原点。重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点

P(3,4),则tan(2a+：)的值为.

16.我国著名的数学家秦九韶在微书九章提出了“三斜求积术”.他把三角形的三

条边分别称为小斜、中斜和大斜.三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到

中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到

上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开

平方后即得面积.所谓“实"、“隅”指的是在方程px2=q中，。为“隅”，q

为“实”.即若△ABC的大斜、中斜、小斜分别为a,b,c,则S2=»2c2-

(史亭欧/］已知点。是△AB。边/s上一点，4c=3,BC=2,AACD=45°,

tan/BCD=g更，则△ABC的面积为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.在复平面内，复数2=02-&-2+((12-3(1-4)«其中。€/?).

(1)若复数z为纯虚数，求”的值；

(2)对应的点在第四象限，求实数。的取值范围.

18.已知向量同=1,囚=2,若Z与石的夹角为120。.

(1)求|2五一百；

(2)向量上之与五-k石互相垂直，求实数k的值.

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19.已知a、b、c是△ABC中B,C的对边，a=4百，6=6,cosA=—

(1)求c；

(2)求cos48的值.

20.新冠肺炎疫情期间，某地为了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中

随机抽取若干居民进行评分（满分100分），根据调查数据制成如表格和频率分布直

方图已知评分在［80,100］的居民有900人.

满意度评分[40,60)[60,80)[80,90)[90,100)

满意度等级不满意基本满意满意非常满意

（1）求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数；

（2）定义满意度指数n=（满意程度的平均分）/100,若n<0.8,则防疫工作需要进

行大的调整，否则不需要大调整根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调

整？

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21.已知函数/(%)=sin(x+£)+sin。-?)+cosx+a的最大值为1.

oo

(1)求常数a的值；

(2)求函数/'(x)的单调递减区间；

(3)求使/(工)>0成立的x的取值集合.

22.如图所示，在三棱柱4BC-&B1C1中,侧棱4遇底面

ABC,且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1,。是

4c的中点.

(I)求证：/C〃平面48D；

(II)求直线AB1与平面&BD所成角的正弦值；

(W)求二面角A-BD-&的大小.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：4={x|x<2或久>3},B=(x\x-1>1}={x|x>2],

二4nB=(3,+oo).

故选：C.

可求出集合4,B,然后进行交集的运算即可.

考查一元二次不等式，对数不等式的解法，集合的运算，考查了计算能力，属于基础题.

2.【答案】A

2T_(2T)(l-2i)_-Si

【解析】解:1+2i-(1+20(1-21)-

故5=3所以虚部为L

故选：A.

利用复数的除法运算求出z,由共规复数的定义以及虚部的定义求解即可.

本题考查了复数的除法运算，共痈复数定义以及复数虚部的概念，考查了运算能力，属

于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：：205>2°=1,0<0.52<1,logos2<logo,sl=。，

•­c<b<a.

故选：D.

2

根据指数函数和对数函数的单调性即可得出2。5>1,0<0.5<1,log0,52<0,然后

即可得出a,b,c的大小关系.

本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：由题意可得，<>=<2]>=<加]>=年

—T1,2

a-b+b-c+ca=lxlx(--)x3=—~

、2)2

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故选。

先确定出各向量的夹角，然后根据向量的数量积的定义即可求解

本题主要考查了向量的数量积的定义的简单应用，解题的关键是准确确定出向量的夹角

5.【答案】B

【解析】解：由a是空间中的一个平面，I,m,〃是三条不同的直线，知：

在力中，若mua,nua,11m,11n,

则/与a相交、平行或，ua,故4错误；

在8中，若1〃m,m//n,Zia,

则由线面垂直的判定定理得nla,故8正确；

在C中，若/〃m,m1a,nla,贝I故C错误；

在。中，若mua,nla,IIn,则/与相交、平行或异面，故。错误.

故选：B.

在N中，/与a相交、平行或1ua；在8中，由线面垂直的判定定理得nla；在C中,

l//n；在。中，/与机相交、平行或异面.

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，

考查运算求解能力，是中档题.

6.【答案】A

【解析】解：•.・函数f(x)=sin(2x+g)的最小正周期为弓=兀，故Z正确；

:/(；)=sin(?r+=—sin^=—奈不是/(x)的最大值’故8错误：

把函数y=sin2x的图象上所有点向左平移弓个单位长度，可得y=sin(2x+^)的图象,

故C错误，

故选：A.

由题意利用三角函数的周期性，最值，平移变换，得出结论.

本题主要考查考查三角函数的周期性，最值，平移变换，属于中档题.

7.【答案】B

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【解析】解：因为:+w=l,

所以久+y=x+y+2-2=(x+y+2)C+W)-2=2+*+^22+

2虎=2+28,

当且仅当乎=施时取等号，此时取得最小值.

故选：B.

利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出

本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题.

8.【答案】B

n

【解析】解：由题意如图：/在/E上的射影为P,C

当尸在C点时，射影为M,尸在8时，射影为M/

显然F在C时而的投影取得最小值，在B时，投影AL------£

取得最大值，叭

\DM\=1,\DN\=\DB\cos300=V3xy=|,

则屁•而的取值范围是：

故选：B.

画出图形，判断向量而在向量方上的投影，然后求解数量积的范围.

考查平面向量基本定理，数量积运算，向量共线，是中档题.

9.【答案】ACD

【解析】解：对于4当,7>0时，2与石的夹角为锐角，也可能为零角，故充分性不

成立，

当，与石的夹角为锐角时，方小>0一定成立，故必要性成立，故/正确；

对于8：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，

不用平行于圆锥底面的平面截圆锥，则不可能得到一个圆锥和一个圆台，故B不正确；

对于C：由面面垂直的性质定理可得，C正确；

对于D：在AABC中，4>B=a>bosinA>sinB,

所以4>B是sinA>sinB的充要条件，故。正确.

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故选：ACD.

由数量积的知识，正弦定理，结合充要条件的定义，即可判断/。是否正确；用几何体

的特征，即可判断8C是否正确.

本题考查向量的数量积，面面垂直，正弦定理，基本概念，逻辑知识.

10.【答案】ACD

【解析】解：因为函数f(x)的定义域为凡且函数图象关于直线为=-3对称，

则/(x-3)=/(-x-3)恒成立，

又f(x+3)=/(x-3),

所以八-x-3)=f(x+3),

故/[-(%-3)-3]=f[(x-3)+3],BPf(-x)=f(x),

所以函数f(x)是偶函数，

故选项A正确；

因为f(x+3)=/(x-3),

所以f(x+6)=/(x+3-3)=/(X),即f(x+6)=f(x),

故函数f(x)是周期为6的周期函数，

当xe[0,3]时，f(x)=2x+2x-ll,则/(乃在[0,3]上单调递增,

所以f(x)在[—6,—3]上单调递增，

故选项8错误；

因为f(x)为偶函数且f(x)图象关于x=—3对称，

则有/(乂-3)=/[—(x-3)]=/(3—乃，/(-x-3)=/[-(-x-3)]=/(x+3),

所以f(3-x)=/(3+x),

则〃久)的图象关于直线x=3对称，

故选项C正确；

因为函数f(x)是周期为6的偶函数，

贝U/(2021)=f(336x6+5)=/(5)=/(-5)=/(-5+6)=/(I)=2+2-11=-

7.

故选项D正确.

故选：ACD.

利用函数图象的对称性以及/。+3)=/(久一3),可得/(一x)=/(x),即可判断选项

A,利用f(x+3)=f(x-3),结合赋值法以及周期函数的定义，即可判断选项8,利

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用函数的周期性即可判断选项c,利用周期性将所求函数值转化为/XI),即可得到答案.

本题考查了函数性质的综合应用，主要考查了函数的奇偶性，周期性，对称性，单调性

的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.

11.【答案】ABD

【解析】解：对于Z,例如2,2,2,3,6可满足条件且出现点数为6,.••选小

对于8,例如2,2,3,4,6可满足条件且出现点数为6,•••选8；

对于。，例如2,2,3,4,6可满足条件且出现点数为6,.••选O；

对于C,平均数为2,假设出现点数为6,则方差大于2.4,•••不选C.

故选：ABD.

对于ABD可举出满足条件且出现点数为6的例子；

对于C，假设出现点数为6,结合平均数2,可计算方差进行判断.

本题考查数据的众数、中位数、平均数、方差，考查数学运算能力及数据分析能力，属

于基础题.

12.【答案】BC

【解析】解：对于连接B]C,交BC1于点O,

由题意，四边形BCCiBi为正方形，COIBCi，

又因为ZB1平面ABCiDi，COu平面BCC/i，

所以AB1CO,

所以CO_L平面ABCiDi，

所以NCBO为直线8c与平面HBCRi所成的角，又

NCBO=5故力不正确；

对于8：因为CO_L平面ABCWi，

所以CO为点C到平面ABCiDi的距离，

又因为棱长为2,

所以CO=VI，故8正确；

对于C：连接DiC,AXB,

因为D1C〃&B,

所以N&BCi为异面直线。道和BQ所成的角，

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又因为BCi==&Q=2V2，

所以N4BC1=全故C正确；

对于£＞：因为三棱柱AA1D1-BB1C1的外接球与正方体的外接球相同，

设外接球半径为R,R=必+22+22=技

2

所以外接球表面积为S=4M?2=12兀，故。不正确.

故选：BC.

对于出连接BiC,交BCi于点O,易证C01平面力BCi%,从而可得4CB。为直线BC

与平面ABGDi所成的角，MCBO=%即可判断/是否正确；

对于8：由于C。J•平面ABCiDi，则CO为点C到平面ABCiDi的距离，再计算CO=&，

即可判断8是否正确；

对于C：连接0传，aCi，由于。得乙418cl为异面直线0传和BQ所成

的角，计算得N&BCI=%即可判断C是否正确；

对于D根据三棱柱A41Di-与正方体的外接球相同，计算正方体的外接球的半

径凡再计算外接球表面积，即可判断。是否正确.

本题考查空间几何体相关知识，解题中需要理清思路，属于中档题.

13.【答案】存,空）或（-哈-塔）

【解析】解：设平面向量丘=（%y）,

因为0=3,所以+y2=3,...①

又石=（1,2）,且可/E，

所以2x-y=0,...②

（3次（3V5

由①②组成方程组，解得（6"，或｛6"；

\y=­m

所以五的坐标为（哈噤或（-嘎-哈.

故答案为：（*第）或（一哈_?）.

设平面向量N=（x,y）,根据题意列方程组求解即可.

本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，也考查了解方程组的应用问题,

是基础题.

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14.【答案】757r

【解析】解：设圆锥的高为人,底面圆的半径为八母线为/,

因为圆锥的底面半径为6,其体积为30兀，

则U=g•兀•62•九=30兀，

解得八=|，

所以母线I=yjh2+r2=J6)2+62=—,

则该圆锥的表面积为S-nrl+nr2-n-6-+n■62—757T.

故答案为：757r.

设圆锥的高为心底面圆的半径为r,母线为/,利用体积求出〃，再利用勾股定理求出

母线/,然后由表面积公式求解即可.

本题考查了旋转体的理解与应用，圆锥的体积公式以及表面积公式的应用，考查了空间

想象能力与逻辑推理能力，属于基础题.

15.【答案】一落

【解析】解：•••角的终边过点P(3,4),

二

：・tana=4—可i-得zQt,an2a=-2-t-a-na=——2,4

3l-tan2a7

则tan(2a+3=^i=—^.

'47l-tan2a31

故答案为:一卷.

根据三角函数的定义先求出tana的值，利用二倍角的正切公式，两角和差的正切公式

进行求解即可.

本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的定义求出正切值以及利用两角和差的

正切公式进行转化是解决本题的关键.难度不大.

16.【答案】亚

4

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1,+小

【解析】解：因为tan44cB=tan(^ACD+乙BCD)=—=一V15,

1--

1

-

所以cos乙4cB4

由余弦定理可知AB2=AC2+BC2-2AC-BCcos乙ACB,

=9+4-2X3X2X(_)=16,

即AB=4,

根据，，三斜求积术”可得S2=川义22-（中）”舞,

所以s呼.

故答案沏早

由已知结合两角和的三角公式及同角平方关系可求COSZ.ACB,然后结合余弦定理可求

月8,代入已知公式即可求解.

本题主要考查了两角和的正切公式及同角基本关系，余弦定理在求解三角形中的应用.

17.【答案】解：（1）因为复数z为纯虚数，所以卜;一？一2=°解得a=2；

（2）因为z对应的点在第四象限，所以卜：一；一2/°八，解得：a6（2,4）.

iaz-3a-4<0

即a的取值范围（2,4）.

【解析】（1）由纯虚数的代数形式可解决此问题：

（2）由复数对应点几何意义可解决此问题.

本题考查复数的相关概念、复数与复平面内点的对应关系、一元二次不等式组的解法,

考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题.

18.【答案】解：⑴|2日一臼=J(2五一石/=J4|a|2+\b\2-4\a\\b\cosl20°=

J4+4-8X(-1)=2V3;

(2)因为向量ka+石与五-k1互相垂直，

所以（蔗+石）・0-序）=0，整理可得广一3/£-1=0,解得卜=生亘.

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【解析】(1)根据向量模的定义代入计算即可；

(2)由向量垂直可得(kH+E)•a—kE)=O,整理可得关于％的一元二次方程，解出即

可.

本题考查向量的模，向量垂直，数量积运算等知识点，属于基础题.

19.【答案】解：(1)因为a=4b，b=6,cosA=-^,

所以在A/IBC中，由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosA,可得48=36+c?-2X6X

ex(-1),即c2+4c-12=0,

所以c=2,或一6,负值舍去.

所以c-2.

(2)由已知，得cos8=Q±Q=且，

2ac3

所以cos2B-2COS2B—1=—

所以cos4B=2COS22B—1=—最

【解析】(1)在AHBC中，由余弦定理可得c2+4c-12=0,解方程即可得解。的值.

(2)由已知利用余弦定理可求cosB的值，进而根据二倍角的余弦公式即可求解.

本题主要考查了余弦定理，二倍角的余弦公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和

方程思想的应用，属于基础题.

20.【答案】解:(1)由频率分布直方图知(0.002+0.004+0.014+0.02+0.035+a)x

10=1,即10x(0.075+a)=1,

解得a=0025,

设总共调查〃人，则呼=(0.035+0.025)x10,解得n=1500.

即调查的总人数为1500人.

(2)由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.02,0.04,0.14,0.20,0.35,0.25,

八ccr、八c

ri=-45-x-0-.-02-+-5-5-x-0-.0-4-+-6-5-x0-.-1-4-+7-5-x-0-.2-+-8-5-x-0-.3-5-+-9-5-x0-.-2-5=0.807>0.8,

1100

该区防疫工作不需要进行大调整.

【解析】(1)根据直方图中各区间所对应的频率和为1,即可求解“，再结合［80,100］的

居民有900人，［80,100］区间所对应的频率为0.06,即可求解.

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(2)根据已知条件，结合平均值公式，即可求解.

本题考查频率分布直方图的应用，考查分析推理和运算求解能力，属于基础题.

21.【答案】解：(1)由题意：函数/(x)=sin(>+*)+sin(x-，)+cosx+a,

化简得：f(%)=sinxcos-+cosxsin-+sinxcos--cosxsin-+cosx+a

6666

=V3smx+cosx+a

=2sin(x4-7)4-a,

6

sin(x+3)的最大值为1,

:./(%)=2X1+Q=1,解得：a=-1.

(2)•由⑴可知/(x)=2sin(x+^')-1.

根据三角函数的性质可得：x+?e[2/OT+5,2/OT+日](k€Z).

Ozz

即2kli+<x+<2kn+(k6Z)

・••解得：2kn+<x<2kn4-y,(fc6Z),

/(%)的单调递减区间为[2/CTT+