北京市大兴区2023-2024学年高二年级上册期末检测数学试题（解析版）

大兴区2023〜2024学年度第一学期高二期末检测

数学

1.本试卷共4页，共两部分，21道小题.满分150分.考试时间120分钟.

2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号.

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.

4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求

的一项.

22

土+J

1.椭圆94的长轴长为（

A.4B.5C.6D.9

【答案】C

【解析】

【分析】由椭圆的方程即可得出答案.

【详解】由三+二=1可得片=9,则2。=6.

94

故选：C.

r22

2.双曲线匕=1的渐近线方程为（）

42

R4母

A.y=±xB.y=±——x

2

Cy=+y/2xD.y=±—x

2

【答案】B

【解析】

【分析】直接由渐近线的定义即可得解.

2222£7

【详解】由题意双曲线Z—二=1的渐近线方程为土—二=0,即y=±%x.

42422

故选：B.

3.若直线/的方向向量为（2,1,m），平面a的法向量为11,。,2）且则m=（

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】由可知，直线/的方向向量与平面a的法向量平行，列方程组求解即可.

【详解】:•直线/的方向向量为（2,1,m），平面a的法向量为]l,g,2],且

；•直线/的方向向量与平面£的法向量平行，

则存在实数九使（2,1,m）=,

2=4

:・<1=—2,解得X=2,机=4,

2

m=2A

故选：D.

4.两条平行直线犬—y=0与％—y—1=0间的距离等于（）

A.—B.1C.J2D.2

2

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用两平行线间的距离公式求解.

【详解】两条平行直线X—y=0与X—y—1=。，

」+[V2

由两平行线间的距离公式可知，所求距离为

d=7—2.

故选：A.

5.过点（1,0）且被圆Y+（y+2）2=l截得的弦长最大的直线方程为（）

A.2x+y—2=0B.2x—y—2=0

C.x+2y-l=0D,x-2y-l=0

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆的性质可知所求直线即为过圆心的直线，结合直线的截距式方程求解.

【详解】由题意可知：圆好+（丁+2）2=1的圆心为（0,—2）,

显然圆的最大弦长为直径，所求直线即为过圆心的直线，

可得直线方程为彳+==1,即2x—y—2=0.

故选：B.

6.圆弓：必+：/=2与圆2）2+（y—2）2=2的位置关系是（）

A.相交B.相离C.内切D.外切

【答案】D

【解析】

【分析】求出两个圆的圆心距即可判断得解.

【详解】圆G：f+y2=2的圆心£（0,0）,半径4=四，圆。2：（X-2）2+（y-2）2=2的圆心。2（2,2）,

半径&=近，

显然|。。2|=2四=彳+々，所以圆G与外切.

故选：D

7.采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，

指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结

果，经随机数模拟产生了20组随机数：

907966181925271932812458569683

431257393027556488730113537989

根据以上数据估计，该学员三次射击至少击中两次的概率为（）

3729

A.—B.—C.-D.—

1020520

【答案】B

【解析】

【分析】根据所给数据计数至少击中两次的次数后计算概率.

【详解】所给数据中有181,271,932,812,431,393,113共7个数据表示至少击中两次，

7

所以概率为尸==.

故选：B.

22

8.若方程—+3—=1表示双曲线，则实数加的取值范围为（）

m-34-3m

（4

A.U（3,+oo）B.

I3p3

（4

-00,-------o（3,+oo）

C.I3D.p3

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意得到（加-3/4-3加）＜0,再解不等式即可.

【详解】依题意，（m-3）（4-3m）＜0,则机＜g或机＞3.

故选：A

2

9.已知耳，鸟是双曲线G：d-L=1与椭圆。2的左、右公共焦点，A是G，G在第一象限内的公共点，若

8

闺阊=闺4则的离心率是（）

321

A.-B.-c.1D

553-1

【答案】A

【解析】

【分析】由双曲线定义、椭圆定义以及离心率公式，结合已知条件运算即可得解.

=J8+1=3，

所以阳阊=|为4|=2c=6,

•.♦|耳川一|乙A|=2a=2,.•.优A|=4,.•.忻闻+区.=10,

**,IFpz|=6,。2禺心率是c——=—

-105

故选：A.

10.平面内与定点片（-。,0）,乙（。,0）距离之积等于/（a>0）的动点的轨迹称为双纽线.曲线。是当

a=2拒时的双纽线，P是曲线。上的一个动点，则下列结论不正确的是（）

A.曲线C关于原点对称

B.满足用=归闾的点P有且只有一个

C.|OP|<4

D.若直线，=区与曲线。只有一个交点，则实数上的取值范围为（—1,1）

【答案】D

【解析】

【分析】由题意得当a=2夜时的双纽线方程为（必+；/1=16卜2—力，对于八，用（一%,一丁）替换方程

中的（％y）即可判断；对于B,令|P片|=|P阊，求出点P的坐标即可验证；对于C,由

x?+9=16（：—；16即可判断;对于D,由方程（1+左2）2炉=16。—无零解，即可得解.

x+y

【详解】根据双纽线的定义可得+a)2+-.J(x—a)2+y2=/,

当a=2夜时，曲线C：^(%+272)2+/■^(%-272)2+/=8.

BP/+2/(x2+8)+(x2-8)2=64,整理，^(x2+y2)2=16(x2-y2),

对于A,用（-x,-y）替换方程中的（％y）,原方程不变，所以曲线C关于原点中心对称，故A正确；

对于B,若归片|=归阊，则,卜+2可+/=小—2⑸，所以x=0,此时V+8=8,即y=0,

所以满足|W|=|P闾的点P有且只有一个，即（0,0）,故B正确；

对于C,由卜2+）?）2=16卜2—V）,得于+,2=16（：—1）«]6,所以曲线c上任意一点到原点的距

离，即都不超过4,故C正确；

对于D,直线与曲线C一定有公共点（0,0）,若直线与曲线C只有一个交点，将,=近代入方程

（丁+力2=16卜2-力中，

得（1+左2）,4=16（1—左2.2,当XW0时，

方程（1+左2）2/=16（1—无零解，则1—左2<0,解得左21或左W—1,故D错误.

故选：D.

【点睛】关键点睛：判断D选项的关键是首先一定有公共点（0,0）,然后通过化简方程组得方程

（1+左2）2/=160—无零解，由此即可顺利得解.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11如果事件A与事件B互斥，且尸（A）=0.2,P（B）=0.3,则P（AB）=—.

【答案】0.5

【解析】

【分析】P（AI8）表示事件A与事件B满足其中之一占整体的占比.所以根据互斥事件概率公式求解.

【详解】P（A5）=P（A）+P（B）=0.2+0.3=0.5

【点睛】此题考查互斥事件概率公式，关键点在于理解清楚题目概率表示的实际含义，属于简单题目.

12.经过原点（0,0）且与直线3x+4y+5=0垂直的直线方程为.

【答案】4x-3y=0

【解析】

【分析】与直线3x+4y+5=0垂直的直线方程可设为：4x-3y+b=Q,再将（0,0）代入即可得出答案.

【详解】与直线3x+4y+5=0垂直的直线方程可设为：4x-3y+b=0,

又因为经过原点（0,0）,所以8=0.

所求方程为4x-3y=0

故答案为：4x-3y=0.

2

13.已知双曲线C=1（m〉0）是等轴双曲线，则。的右焦点坐标为；C的焦点到其渐

m

近线的距离是.

【答案】①.（四,0）②.1

【解析】

【分析】根据等轴双曲线的概念求得比,即可得焦点，再根据点到直线的距离可得结果.

【详解】双曲线。：必—二=1（根〉0）是等轴双曲线，则机2=1，“2=1,

m

二片+^=1+1=2,则c=0,则则。的右焦点坐标为（、历,0卜

双曲线的渐近线方程为丁=土无，即x土y=0,

则焦点（±V2,o）到渐近线的距离d=If=1，

故答案为：（3,0）,1.

14.探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光

学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆图，在平面直角坐标系

中，抛物线C:9=8x,一条光线经过M（8,-6）,与天轴平行射到抛物线C上，经过两次反射后经过

N（8,%）射出，则为=，光线从点/到N经过的总路程为

Q

【答案】①.—②.20

3

【解析】

【分析】由点N与点。的纵坐标相同和韦达定理可得为，利用抛物线的定义可求得总路程.

【详解】如图，设第一次射到抛物线上的点记为尸，第二次射到抛物线上的点记为Q,易得6

因为尸（2,0）,

所以直线P户的方程为12x+5y—24=0.

联立上一消去X整理得3y2+10y-48=0,

12x+5y-24=0

可设Q（x。，%），显然-6和%是该方程的两个根,

Q

则一6yo=T6,所以为=§.

（方法一）光线从点M到N经过的总路程为

\MP\+\PQ\+\QN\=（XM一%）+（龙尸+尤2+4）+（税一九2）=光”+^+4=20.

（方法二）设抛物线的准线为Z,则其方程为x=-2,分别过点P,。做准线/的垂线，垂足分别为G,H,

WJ|PF|=|PG|,\QF\=\QH\,所以|PQ|=|PF|+|QF|=|PG+|QM，

故光线从点M到N经过的总路程为

\MF\+\PQ\+\QN\=\MG\+\NH\=8+2+8+2=20.

15.画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔・蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆

22

中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.己知椭圆。：［+•=1（4＞匕＞0）的离心率为

ab

当，耳,B分别为椭圆的左、右焦点，A3为椭圆上两个动点.直线/的方程为bx+纱-。2—尸=0.给出下列

四个结论：

①C的蒙日圆的方程为f+y2=3〃；

②在直线/上存在点尸，椭圆C上存在A3,使得PB；

③记点A到直线/距离为d,则d—的最小值为半6；

④若矩形肱VGH的四条边均与C相切，则矩形肱VGH面积的最大值为6户.

其中所有正确结论的序号为.

【答案】①②④

【解析】

【分析】由。（。力）在蒙日圆上可得蒙日圆的方程，结合离心率可得。力关系，由此可知①正确；由/过

且P他,。）在蒙日圆上，可知当A3恰为切点时，PA±PB，知②正确；根据椭圆定义可将

d-|4工|转化为d+|A周—2a,可知耳A，/时，2+|4耳|取得最小值，由点到直线距离公式可求得

4+|4昂最小值，代入可得8-|4工|的最小值，知③错误；由题意知，蒙日圆为矩形肱VGH的外接圆，

由矩形外接圆特点可知矩形长宽与圆的半径之间的关系必+V=12户，利用基本不等式可求得矩形面积最

大值，知④正确.

【详解】对于①，过。（。3）可作椭圆的两条互相垂直的切线：x=a,y=b,

•••Q（a,b）在蒙日圆上，.•.蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2,

由e=£=Jl—t=交,得标=2〃，

a\a22

...C的蒙日圆方程为三+丁2=3/,故①正确；

对于②，由/方程知：/过尸他,a）,

又P（b,a）满足蒙日圆方程，尸0,a）在圆龙2+y2=3户上,

当A3恰为过P作椭圆两条互相垂直切线的切点时，PA±PB,故②正确；

对于③，♦.•人在椭圆上，，|441+|4居1=2匹

d-\AF2\=d-（2a-\AF,\）=d+\AF{\-2a,

当月A，/时，d+1A4|取得最小值，最小值为F［到直线/的距离，

又可到直线/的距离41“丁3」-人常工芈匕,

荷+/0b3

•••（d-\AF2|）min=^b-2a，故③错误；

对于④，当矩形肱VGH的四条边均与。相切时，蒙日圆为矩形祢VGH的外接圆,

矩形肱VGH的对角线为蒙日圆的直径，

设矩形肱VGH的长和宽分别为办"，贝U疗+〃2=12/,

矩形MNGH的面积S=根〃<-------=6b2,当且仅当根="=6时取等号,

2

即矩形面积的最大值为6/，故④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】关键点睛：本题考查圆锥曲线中的新定义问题的求解，解题关键是能够根据蒙日圆的定义，结合

点（。力）在蒙日圆上，得到蒙日圆的标准方程，从而结合圆的方程来判断各个选项.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.己知两直线6：7m:+8y+〃=0和6：2x+my-l=Q,

（1）若乙与4交于点尸（私T），求也”的值；

（2）若“〃2，试确定办72需要满足的条件.

【答案】（1）m=l,n=7

（2）当机=4,"w-2或机=#2时，

【解析】

【分析】（1）将点代入则得到方程，解出即可；

（2）根据平行列出方程，解出加=±4,再排除重合的情况即可.

【小问1详解】

将点P（机,—1）代入两直线方程得：77?一&+〃=o和2根—m―1=0,

解得m=1,n=7.

【小问2详解】

由/J//2得：〃厂一8x2=0=>加=±4，

又两直线不能重合，所以有8x（—1）—〃加w。，对应得〃w±2,

所以当根=4,〃w-2或m=T,〃w2时，lj/l2.

17.已知椭圆C：三+上=1与经过左焦点Fl的一条直线交于A,B两点.

43

（1）若工为右焦点，求AAB区的周长；

TT

（2）若直线A3的倾斜角为一，求线段A3的长.

4

24

【答案】（1）8（2）—

【解析】

【分析】（1）直接画出图形结合椭圆的定义即可求解.

JT

（2）由题意结合左焦点4的坐标以及直线AB的倾斜角为一，可得直线AB的方程,将其与椭圆方程联立,

4

结合韦达定理以及弦长公式即可得解.

【小问1详解】

由题意a=2,由椭圆定义有=2a=4,忸耳|+忸闾=2a=4,

所以AAB耳的周长为+|和|+忸阊=|A制+|班|+忸国+忸阊=4+4=8.

【小问2详解】

设4（和%）5（孙%），

2

由题意直线AB的斜率为左=tan：=l,°=1a_济=,4-3=1，即片（一1,0），

|22

22X"-1

所以直线A3的方程为＞=%+1将它与椭圆方程二+二=1联立得＜43

43

y=x+l

消去y并化简整理得7必+8尤—8=0，

88

显然△>€),由韦达定理得X]+冗2=—亍，%%2=—,，

所以线段AB的长为=J1+左2归-x2\=J1+左2，(再+%2『-4七々=A/2x

18.已知圆C经过点A(2,0),与直线x+y=2相切，且圆心C在直线2x+y-1=0上.

(1)求圆C的方程;

(2)已知直线/经过点(0,1),并且被圆C截得的弦长为2,求直线/的方程.

【答案】(1)(x-1)2+(j+1)2=2

(2)尤=0或3尤+4y-4=0

【解析】

【分析】(1)由圆C的圆心经过直线2x+y-1=0上，可设圆心为C(a,1-2a).由点到直线的距离公式表

示出圆心C到直线尤+y=2的距离d,然后利用两点间的距离公式表示出AC的长度即为圆的半径，然后根

据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由

a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可.

(2)分类讨论，利用圆心到直线的距离为1,即可得出结论.

【小问1详解】

因为圆心C在直线2x+y-1=0上，可设圆心为C(a,1-2a).

|-a-11

则点C到直线x+y=2的距离d=%」.

据题意，d=\AC\,则।।=，(a—2¥+(1—2ay,

解得a=l.

所以圆心为C(l,-1),半径r=d=J5，

则所求圆的方程是(x-1)2+(y+1)2=2.

【小问2详解】

左不存在时，x=0符合题意；

k+2|3

左存在时，设直线方程为丘-y+l=0,圆心到直线的距离,-----=1,.,.k=—,

Jie2+14

，直线方程为3x+4y-4=0.

综上所述，直线方程为尤=0或3x+4y-4=0.

19.如图，在四面体ABC。中，AD，平面ABC,点M为棱AB的中点,

AB=AC=2,BC=25AD=2.

BC

(1)证明：AC1BD-,

(2)求平面BCD和平面DCM夹角的余弦值；

(3)在线段8。上是否存在一点P,使得直线PC与平面DCM所成角的正弦值为如？若存在，求空

6BD

的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

⑵正

3

(3)不存在，理由见解析

【解析】

【分析】(1)由勾股定理得AB1AC,由平面ABC得AD，AC,从而AC,平面ABD,进而得

出结论；

(2)以A为坐标原点，以A3,AC,AO所在直线分别为羽％z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BCD与

平面DCM的法向量，利用向量夹角公式求解；

RP

(3)设——=X(0K2<1),则=48。，求得「(2-240,24),设直线PC与平面DCM所成角为0,

BD

,.PC-n

由题意sin3=cos{PC,n)=———，列式求解即可.

'/PC\\n

【小问1详解】

VAB=AC=2,BC=242,：.AB~+AC2=BC2-AABJ.AC,

：A£)_L平面ABC,ACu平面ABC,，ADJ_AC,

VABryAD=A，A3,ADu平面钻口,

AC_L平面

；3Du平面ABD，AAC.LBD.

【小问2详解】

以A为坐标原点，以A5,AC,AT）所在直线分别为苍％z轴，建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,2),M(l,0,0),

BC=(-2,2,0),CD=(0,-2,2),CM=(1,-2,0),

设平面BCD的法向量为加=（七,另，4），

m-BC=-2玉+2%=0

令3=1,则M=1,Z]=1,m=(1,1,1)>

m-CD=-2yt+2z1-0

设平面DCM的法向量为〃=（々,必*2），

n-CD=-2y,+2z,=0

由彳'一，令%=1，则%=2,z?=1,n=(2,1,1),

n-CM=x2-2y2=0

/\m-n42^2

•COS(m,n)=-j—n~~r=―产———-------

'/“〃V3x^63

平面BCD和平面DCM夹角的余弦值为述

3

【小问3详解】

PP

设=A(O<^<1),则BP=A.BD>

BD

设P(x,y,z),则(%—2,丁/)=/1(-2,0,2),得x—2=—2X,y=0,z=2；l,

/.尸(2-22,0,22),PC=(22-2,2,-22),

平面DCM的法向量为“=（2,1,1）,

设直线PC与平面DCM所成角为夕，

/\PCn|22-2|76

由题意，sin。=cos(PC,n)=——n—=,=~,

'/PC”V8A2-82+8XV66

.•.42+1=0,此方程无解,

在线段8。上是不存在一点P，使得直线PC与平面DCM所成角的正弦值为逅.

6

20.已知抛物线C:y2=2/(p>0),过。的焦点尸且垂直于x轴的直线交。于不同的两点P,Q,且

阕=4.

(1)求抛物线。的方程；

(2)若过点〃(0,2)的直线/与。相交于不同的两点A,3,N为线段A5的中点，。是坐标原点，且JL05

与△MQV的面积之比为6：1，求直线/的方程.

【答案】(1)>2=4%

(2)y=；x+2或y=-x+2

【解析】

【分析】(1)由题意可得直线P,Q方程，进而可得|尸。=2,,可求得。值，即可得答案.

(2)设直线/的方程为y=Ax+2(左/0),联立直线与抛物线，根据韦达定理及弦长公式求得点N的横坐

标/，|人用，求出。到直线/距离d,由与△MON的面积的关系列式求出左，可得答案.

【小问1详解】

抛物线C：V=2px(0>0)的焦点《go],

则尸,。两点所在的直线方程为：x=g,

代入抛物线C:y2=2px(p>0),得_/=/,y=±p；

则|PQ|=2夕=4,故夕=2,

抛物线C的方程为y2=4x.

【小问2详解】

由题意，设直线/的方程为y=Ax+2(左/。)，4(西,％),3(々,当)，

y=kx+2,,

联立广，，得左2^+（4左—4）x+4=0,

y=4x

A=（4左一4）2—16左②=—32左+16〉0,解得左且左w0,

4-4k4

Xx+X2=———,,

——一、ix,+x92-2k

点N的横坐标为xN==2，

乙K

\AB\=J（l+左2）[（5+%）2-标㈤=J（l+左2）[4^）2-1]=4«+k[Q-2k）一

,2

。到直线/距离i——不

4jl-2左

•・•一AOB的面积；I明•d=；X4W+）

2a--P-

L2«V1+

△MON的面积S△MON=,咏I=；x2x专学=三g,

由题意S#'S,MON'

_7I

.Z"2k=舟二#，整理得3尸+2左一1=0,解得左=彳或左=—1,

k2k23

中,左、右焦点为耳,月，四边形片片生工是面

积为2的正方形.

（1）求椭圆C的方程;

（2）若P是椭圆P上异于男,当的点，判断直线尸耳和直线尸员的斜率之积是否为定值？如果是，求出定

值；如果不是，请说明理由；

2

（3）已知圆d+y2=§的切线/与椭圆c相交于2E两点，判断以DE为直径的圆是否经过定点？如果

是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.

丫2

【答案】（1）—+/=1

2

（2）是定值，定值为-,

2

（3）过定点，定点为（0,0）

【解析】

【分析】（1）根据题意列式求。，仇c,即可得椭圆方程；

（2）设P（%,%）,%W0,根据斜率公式结合椭圆方程分析求解；

（3）取特例x=±g可知定点应为（0,0）,再对一般情况，利用韦达定理可得OC.。。=0,即可得结果.

【小问1详解】

b=C\a=^2

由题意可得x2bx2c=2,解得,8=1,

2

2i2,2C—\

a—b+c〔

所以椭圆C方程为三+y2=l.

2

【小问2详解】

是定值，理由如下：

设W0,则，+y；=i,可得x；=2（l—y；）,

由（1）可知：4（0,—1）,5（0,1）,

%+1.>0T_y；T=y；_1=_j_

则kpB、’kpB?

/Xoxo20-端2,

所以直线PB］和直线PB2的斜率之积是定值.

【小问3详解】

由题意可知：圆好+丁=：的圆心为（0,0）,半径为手,

因为逅＜1,可知圆产+丁=2在椭圆内，可知切线/与椭圆c相交,

33

①当直线/的斜率不存在时，因为直线/与圆/相切，故切线方程为x=±Y5,