材料力学第九章 组合受力与变形1

材料力学19何斌806379258@3/15/2024第9章组合受力与变形前面几章中，分别讨论了拉伸、压缩、弯曲与扭转时杆件的强度问题。工程上还有一些构件在复杂载荷作用下，其横截面上将同时产生两个或两个以上内力分量的组合作用，例如两个不同平面内的平面弯曲组合、轴向拉伸（或压缩）与平面弯曲的组合、平面弯曲与扭转的组合。这些情形统称为组合受力与变形。

对组合受力与变形的杆件进行强度计算，首先需要综合考虑各种内力分量的内力图，确定可能的危险截面；进而根据各个内力分量在横截面上所产生的应力分布确定可能的危险点以及危险点的应力状态；从而选择合适的强度理论进行强度计算。

叠加原理应用的基本步骤：将载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每一组载荷的作用下，只产生一种基本变形分析每种载荷的内力，确定危险截面分别计算构件在每种基本变形情况下的危险截面内的应力将各基本变形情况下的应力叠加，确定最危险点选择强度理论，对危险点进行强度校核第9章组合受力与变形

弯曲与扭转组合

圆柱形薄壁容器应力状态与强度计算

结论与讨论

斜弯曲

拉伸（压缩）与弯曲的组合

斜弯曲

产生斜弯曲的加载条件

叠加法确定斜弯曲时横截面上的正应力

斜弯曲时横截面上的最大正应力

斜弯曲时强度条件

斜弯曲时中性轴

产生斜弯曲的加载条件斜弯曲（skewbending）或双向弯曲（bendingintwoplane）

产生斜弯曲的加载条件

斜弯曲

产生斜弯曲的加载条件

叠加法确定斜弯曲时横截面上的正应力

斜弯曲时横截面上的最大正应力

斜弯曲时强度条件

斜弯曲时中性轴

叠加法确定斜弯曲时横截面上的正应力为了确定斜弯曲时梁横截面上的应力，在小变形的条件下，可以将斜弯曲分解成两个纵向对称面内(或主轴平面)的平面弯曲，然后将两个平面弯曲引起的同一点应力的代数值相加，便得到斜弯曲在该点的应力值。

叠加法确定斜弯曲时横截面上的正应力

斜弯曲

产生斜弯曲的加载条件

叠加法确定斜弯曲时横截面上的正应力

斜弯曲时横截面上的最大正应力

斜弯曲时强度条件

斜弯曲时中性轴

斜弯曲时中性轴在平面弯曲和斜弯曲情形下，横截面上正应力为零的点组成的直线，称为中性轴（neutralaxis）。变形时，横截面将绕中性轴转动。

1.对于平面弯曲，如果加载方向与截面的某一形心主轴一致，则另一形心主轴必为中性轴。

2.对于斜弯曲，中性轴由下列方程确定：

3．不难证明，无论是平面弯曲还是斜弯曲，中性轴都通过截面形心。zyONeutralaxis

斜弯曲

产生斜弯曲的加载条件

叠加法确定斜弯曲时横截面上的正应力

斜弯曲时横截面上的最大正应力

斜弯曲时强度条件

斜弯曲时中性轴

斜弯曲时横截面上的最大正应力

对于矩形截面，由于两个弯矩引起的最大拉应力发生在同一点，最大压应力也发生在同一点，因此，叠加后，横截面上的最大拉伸和压缩正应力必然发生在矩形截面的角点处。上式不仅对于矩形截面，而且对于槽形截面或工字形截面也是适用的。因为这些截面上由两个主轴平面内的弯矩引起的最大拉应力和最大压应力都发生在同一点。

斜弯曲时横截面上的最大正应力？对于圆截面，上述公式是否正确

斜弯曲时横截面上的最大正应力对于圆截面，上述计算公式是不适用的。这是因为，两个对称面内的弯矩所引起的最大拉应力不发生在同一点，最大压应力也不发生在同一点。MyMzyzx

斜弯曲时横截面上的最大正应力对于圆截面，因为过形心的任意轴均为截面的对称轴，所以当横截面上同时作用有两个弯矩时，可以将弯矩用矢量表示，然后求二者的矢量和，这一合矢量仍然沿着横截面的对称轴方向，合弯矩的作用面仍然与对称面一致，所以平面弯曲的公式依然适用。yzMyMzM

斜弯曲时横截面上的最大正应力于是，圆截面上的最大拉应力和最大压应力计算公式为yzMyMzM此时中性轴在哪？

斜弯曲

产生斜弯曲的加载条件

叠加法确定斜弯曲时横截面上的正应力

斜弯曲时横截面上的最大正应力

斜弯曲时强度条件

斜弯曲时中性轴

斜弯曲时强度条件

在最大正应力作用点只有正应力作用，因此，斜弯曲时的强度条件与平面弯曲时完全相同，即下式依然适用：例题1

图示矩形截面梁，截面宽度b＝90mm，高度h＝180mm。梁在两个互相垂直的平面内分别受有水平力F1和铅垂力F2

。若已知F1＝800N，F2＝1650N，L＝1m，试求梁内的最大弯曲正应力并指出其作用点的位置。例题2一般生产车间所用的吊车大梁，两端由钢轨支撑，可以简化为简支梁。图中l=2m。大梁由32a热轧普通工字钢制成，许用应力

＝160MPa

。起吊的重物的重量FP＝80kN，并且作用在梁的中点，作用线与y轴之间的夹角

＝5

。

试校核:吊车大梁的强度是否安全？例题2解：1.首先，将斜弯曲分解为两个平面弯曲的叠加

将FP分解为z和y方向的两个分力FPz和FPy，将斜弯曲分解为两个平面弯曲，

dc例题2解：2.求两个平面弯曲情形下的最大弯矩根据前几节的例题所得到的结果，简支梁在中点受力的情形下，最大弯矩Mmax=FPl

/4。将其中的FP分别替换为FPz和FPy

，便得到两个平面弯曲情形下的最大弯矩：

dc例题2解：3.计算两个平面弯曲情形下的最大正应力在Mmax(FPy)作用的截面上，截面上边缘的角点a、b

承受最大压应力；下边缘的角点c、d

承受最大拉应力。+－例题2解：3.计算两个平面弯曲情形下的最大正应力

在Mmax(FPz)作用的截面上，截面上角点b、d

承受最大压应力；角点a、c

承受最大拉应力。d－+c例题2两个平面弯曲叠加的结果是：角点c承受最大拉应力；角点b承受最大压应力。因此b、c两点都是危险点。这两点的最大正应力数值相等，即

解：3.计算两个平面弯曲情形下的最大正应力

bc例题2解：3.计算两个平面弯曲情形下的最大正应力其中l=4m，FP=80kN，

=5

。另外从型钢表中可查到32a热轧普通工字钢的Wz=70.758cm3，

Wy=692.2cm3。将这些数据代入上式得到.因此，梁在斜弯曲情形下的强度是不安全的。

例题2解：4.讨论如果令上述计算中的

＝0，也就是载荷FP沿着y轴方向，这时产生平面弯曲，上述结果中的第一项变为0。于是梁内的最大正应力为

115.6MPa。这一数值远远小于斜弯曲时的最大正应力。可见，载荷偏离对称轴(y)一很小的角度，最大正应力就会有很大的增加(本例题中增加了88.4％)，这对于梁的强度是一种很大的威胁，实际工程中应当尽量避免这种现象的发生。这就是为什么吊车起吊重物时只能在吊车大梁垂直下方起吊，而不允许在大梁的侧面斜方向起吊的原因。

第9章组合受力与变形

弯曲与扭转组合

圆柱形薄壁容器应力状态与强度计算

结论与讨论

斜弯曲

拉伸（压缩）与弯曲的组合

拉伸（压缩）与弯曲的组合AB+=例题3

一桥墩如图示。承受的荷载为：上部结构传递给桥墩的压力F0＝1920kN，桥墩墩帽及墩身的自重F1＝330kN，基础自重F2＝1450kN，车辆经梁部传下的水平制动力FT＝300kN。试绘出基础底部AB面上的正应力分布图。已知基础底面积为b×h＝8m×3.6m的矩形。例题4

Aninclinedbeam,P=25kN,l=3m,

b×h=160×300mm2,Determinethemaximumtensileandcompressivestresses.Solution:Thelowerhalf:bendingandcompressionlPl/230°C30°Theupperhalf:bending

Pl/4Psin30°Inasectiontotherightoftheappliedforce:Inasectiontotheleftoftheappliedforce:lPl/230°C30°Pl/4Psin30°偏心拉伸（压缩）单向偏心拉伸（压缩）单向偏心压缩时,偏心力作用的一侧边缘总是产生压应力,而最大正应力(考虑正负)总是发生在距偏心力较远的另一侧,其值可能是拉应力,也可能是压应力.双向偏心拉伸（压缩）3.应力计算ABCD例题5

图示矩形截面钢杆，用应变片测得杆件上、下表面的轴向正应变分别为εa＝1×10－3、

εb

＝0.4×10－3，材料的弹性模量E＝210GPa。(1).试绘出横截面上的正应力分布图；(2).求拉力F及偏心距δ的距离。截面核心ABCD令y0，z0代表中性轴上任一点的坐标中性轴是一条不通过截面形心的直线中性轴中性轴