材料力学(I)第四章教材

1第4章弯曲应力§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图§4-2梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图§4-3平面刚架和曲杆的内力图§4-4梁横截面上的正应力·

梁的正应力强度条件§4-5梁横截面上的切应力·

梁的切应力强度条件§4-6梁的合理设计2工程实例3§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图I.关于弯曲的概念受力特点：杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用。变形特点：直杆的轴线在变形后变为曲线。

梁—以弯曲为主要变形的杆件称为梁。对称轴(symmetricalaxis)Pmq杆件轴线纵向对称面对称弯曲的概念5

对称弯曲：外力作用于梁的纵向对称面内，因而变形后梁的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线（也称平面弯曲）。

非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)；或梁虽有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。纵对称面6(1)支座的基本形式1.固定端—使梁的端面既不能移动也不能转动，有3个支反力。

II.梁的计算简图FRyFRxMR梁本身的简化：以轴线代替梁，长度称为跨度。计算简图：表示杆件几何特征与受力特征的力学模型。72.固定铰支座——实例如图中左边的支座，计算简图如图b、e。3.可动铰支座——实例如图a中右边的支座，计算简图如图c、f。8(2)梁的基本形式简支梁外伸梁悬臂梁9

在竖直荷载作用下，图a、b、c所示梁的约束力均可由平面力系的三个独立的平衡方程求出，称为静定梁。(3)静定梁和超静定梁

图d、e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定，称为超静定梁。10

试求图a所示有中间铰C的梁在A、B处的约束力。例题4-1解：1.整体受力分析，画受力图：11

此梁具有中间铰C，根据铰不能传递力矩的特点，作用在中间铰一侧(梁的AC或梁CB段)梁上的外力(荷载和约束力)对于中间铰C的力矩应等于零，还可列出1个独立的平衡方程。这样就可利用4个平衡方程求解4个未知的约束力。故该梁是静定梁。铰不能传递力矩

对于平面任意力系，仅可列出3个独立的平衡方程.（属平面任意力系）122.以CB段（图c）为分离体，求FBy。例题4-1133.再以整体（AB梁）为研究对象例题4-114

思路二：“先副后主”

——可将梁在中间铰C处拆开，先利用CB梁作为分离体求约束力FBy

，FCx和FCy，再将FCx，FCy等值反向后加在AC梁的C截面处，然后利用AC梁作为分离体求A处约束反力FAx，FAy和MA。(d)例题4-115

作用在该梁CB段上的荷载是要通过中间铰传递到梁的AC段上的，但作用在AC段上的荷载是不会传递给CB段的。故习惯上把梁的AC段称为基本梁(或称主梁)，把梁的CB段称为副梁（或称次梁）。具有中间铰的梁称为多跨静定梁。例题4-116§4-2梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图I.梁的剪力和弯矩(shearingforceandbendingmoment)简支梁其约束反力为:

梁的左段内任一横截面m-m上的内力，由m-m左边分离体(图b)的平衡条件可知：FS—剪力(shearingforce)，M—弯矩(bendingmoment)。17

根据作用与反作用原理，m-m左边的梁段对于右边梁段(图c)的作用力和力矩数值应与上式所示相同，但指向和转向相反。由m-m右边分离体的平衡条件加以检验：（对截面形心C取矩）18截面法求内力时，把剪力和弯矩的符号规定与梁的变形联系起来，内力符号规定如下：左上右下的相对错动（+）下凸（+）上凸（-）左下右上的相对错动（-）截面法求内力时，均按正向假设剪力Fs和弯矩M的方向！（受拉）（受拉）（受拉）（受拉）19

(1)

横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力的代数和。左侧梁段向上的外力或右侧梁段向下的外力将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。

(2)

横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力对该截面形心的力矩之代数和。

a)不论在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。b)截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩，而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩；截面右侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正负与之相反。梁的内力计算规律：20(1)某横截面上的剪力Fs，在数值上等于该横截面左侧或者右侧梁上外力(不包括力偶）的代数和。该横截面左侧梁上的外力向上取正值，向下取负值；该横截面右侧梁上的外力向上取负值，向下取正值。(2)某横截面上的弯矩M，在数值上等于该横截面左侧或者右侧梁上外力对该横截面形心取矩的代数和。该横截面左侧梁上的外力对截面形心取矩顺时针为正值，逆时针为负值；该横截面右侧梁上的外力对截面形心取矩逆时针为正值，顺时针为负值。口诀：左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。

剪力和弯矩的直接求法：21计算1-1,2-2截面的剪力和弯矩。解：计算支反力

FBFA（可用右段进行验证!）

注：若求得的支反力为负值，则需按实际方向画出！例题4-2（与保留左端求得结果一致）22II.剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图

剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律。显示这种变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。xFSx

M（注：弯矩图总是画在梁受拉的一侧）标注：单位、符号和特征值231.

求约束反力例题4-22.

列剪力方程和弯矩方程由分离体（图b）的平衡，得FS(x)M(x)(b)列剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。243.

作剪力图和弯矩图

由(1)式知，FS图为斜直线，由x=0，x=l的FS值可画出FS图。由(2)式知，M图为二次抛物线，由x=0，l/4，l/2的M值可画M图。例题4-4Note:MhasamaximumwhenFS=025例题4-3F列剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。2.列剪力方程和弯矩方程:AC和CB两段的剪力方程和弯矩方程均不相同，因此需分段列出。1.求约束反力：26AC段梁例题4-5FCB段梁FS(x)M(x)F27剪力方程和弯矩方程：注意区间的表示方法F3.作剪力图和弯矩图(设a<b

)在集中力F作用点处，FS图发生突变，M图出现折点。28

在集中力F作用（C截面）处，其左、右两侧的剪力发生突变，且二者的差值等于F，即

其原因是把分布在小范围的分布力，抽象成为集中力所造成的。若集中力F视为作用在Dx段上的分布力，就不存在突变现象了（图d）。F29列剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。xFAFBx解：1.计算支反力：2.剪力方程和弯矩方程AC段：CB段：3.作剪力图和弯矩图(设a<b

)

C处作用有集中力偶，弯矩为开区间。例题4-6在集中力偶m作用处，M图发生突变，FS图不受影响。

30对称性与反对称性规律：

对称结构在对称载荷作用下，FS图反对称，M图对称;

对称结构在反对称载荷作用下，FS图对称，M图反对称。F31FllFl对称性与反对称性的应用：FFFlABF+F–lllABFFF/3F/3Fl/3Fl/32F/3F/3–++F/3MFS反对称正对称反对称正对称32列出剪力方程和弯矩方程，并作Fs图和M图。(a)

xBAl/2l/2CqFAFB例题4-71.求支座的约束反力(校核:)332.分段建立剪力方程和弯矩方程

AC段：

(a)例题4-7CB段：（以x截面右边为分离）

xBAl/2l/2Cq343．求控制截面的内力，绘FS、M图

FS图：

AC段内剪力方程是x的一次函数，剪力图为斜直线，计算A和C端截面的剪力值例题4-7CB段内剪力方程为常数，剪力图为水平线。(b)

FSx38

l18

ql38

ql(a)

xBAl/2l/2Cq35(b)

FSx38

l18

ql38

ql(a)

xBAl/2l/2CqAC段内弯矩方程是x的二次函数，为二次抛物线，需求出三个截面的弯矩。尚需考察该段内弯矩有无极值：极值弯矩为:例题4-7M图：36CB段内弯矩方程是x的一次函数，只需求出两个端点的弯矩。(b)

FSx38

l18

ql38

ql(c)

Mx9128ql2116ql2梁的弯矩图如图c所示。(a)

xBAl/2l/2Cq例题4-7标注单位、符号和特征值！37III.弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系及其应用M(x),FS(x)与q(x)间微分关系的导出

q(x)为x的连续函数，规定向上为正得：由梁的微段的平衡方程

剪力图上某点处的切线斜率等于该点处的荷载集度!若q=0，则Fs图为水平线。38得：弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。

弯矩图上一点处的凸凹方向可由梁上该点处荷载集度q(x)符号决定。39常见荷载作用下FS，M图的一些特征:

若某截面FS(x)=0，根据该截面的弯矩为极值！40集中力作用处集中力偶作用处最大弯矩的可能位置：在剪力突变的截面在紧靠C点的某一侧的截面41自左向右突变

外力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q>0q<0Fs图特征M图特征CPCm水平直线xFsFs>0FsFs<0x斜直线增函数xFsxFs降函数xFsCFs1Fs2Fs1–Fs2=P自左向右突变xFsC无变化斜直线xM增函数xM降函数曲线xM上凸xM下凸自左向右折角逆时针向上突变xM在C处有尖角

MxM1M21、几何关系2、突变规律42

求支座约束反力；分段确定剪力图和弯矩图的形状；求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；确定|FS|max和|M|max

。

利用以上各特点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程（简易法），步骤如下：43

一简支梁在其中间部分受集度为

q=100kN/m的均布荷载作用，如图a所示。试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系校核图b及图c所示的剪力图和弯矩图。x(b)+-100kN100kNFSxFS

图yFAFBABCDE2m1m4mq(a)+100150100xMM图（kN·m）(c)例题4-844

该梁的荷载及约束均与跨中对称，可得FA和FB为1.

校核剪力图yFAFBABCDE2m1m4mq(a)例题4-8解:AC段和DB段内无荷载作用，剪力图均为水平线。其剪力值分别为+-100kN100kNFSxFS

图(b)CD段内有向下（q<0）的均布荷载作用，该段的剪力图为向右下方倾斜的斜直线。可见图b所示剪力图是正确的。452.校核弯矩图+100150100xMM图（kN·m）(c)yFAFBABCDE2m1m4mq(a)AC和DB段内无分布荷载作用，弯矩图均为斜直线。控制点的弯矩分别为:MB=0MD=100kN·m；CD段均布荷载向下，其弯矩图为下凸的二次抛物线。FS=0即x=2m处，M有极值：则图示的弯矩是正确的。MA=0，MC=100kN·m；例题4-8+-100kN100kNFSxFS

图(b)46Fsxqa/2qa/2qa/2––+qa2/2xMqa2/2qa2/23qa2/8–+qqa2qaABCDaaa47ABCD1m1m1mxM

15kNm5kNm20kNmxFs30kN20kN10kN+48M10kNm12.5kNm10kNm驻点D:2m1mABC10kN10kND+1.5mFs49解:DABCD1m1m1m20kNm20kN/m5kN15kN520Fs/kN51510M/kNm50ABCaa–Fs+M51已知：图中梁的约束力为试指出下列图示梁各自内力图中的错误。正确答案：52已知：图中梁的约束力为正确答案：53已知图中梁的约束力为：正确答案：54a2aaqqa2ABQx––+qa/4qa/43qa/47qa/4xM+qa2/43qa2/249qa2/325qa2/455已知FS图，求下列梁外载及M图(梁上无集中力偶）1m1m2m231q=2kN/m5kN1kN+–+11ABCDE(kN·m)MFS(kN)1.25561KN+–+3KN2KN0.5m1m1.5m2KN1KN5KNMFSABCD解:斜线段:M驻点:－＋57已知M图,求荷载图及剪力图。ADCB40KN

20KN

20KN

20KN20KN解:1m1m1mABDC5820KN2m2m2m20KN

20KN

ADCB解:已知M图,求荷载图及剪力图。59BqllACBPqAqC解:绘制连续梁的剪力图、弯矩图。求解支反力取副梁分析有：得：取主梁分析有：60绘制连续梁的剪力图、弯矩图。10510A

CDEBA

1m2m1m1mBDEC解:51551061面积增量关系：即：弯矩函数的增量等于对应梁段上剪力图的面积。

若将载荷图、剪力、弯矩三图上下对齐，则下图函数的增量等于上图的面积。当两横截面间无集中力作用时：当两横截面间无集中力偶作用时：即：剪力函数的增量等于对应梁段上分布载荷图的面积。左侧面积+集中载荷：力、力偶为正。62aaqaqABC试画梁的内力图。Fsxqa–qa2–xMM

利用面积增量关系计算各截面的FS、M63IV.按叠加原理作弯矩图(1)在小变形情况下,对于图a所示悬臂梁，其剪力方程和弯矩方程分别为

在小变形情况下，此梁横截面上的剪力和弯矩分别等于集中荷载F和均布荷载q单独作用时相应内力的叠加(代数和)。64F=ql/4(a)F=ql/4(b)(c)(2)叠加原理当所求参数(约束力、内力、应力或位移)与梁上(或结构上)荷载成线性关系时，由几项荷载共同作用所引起的某一参数之值，就等于每项荷载单独作用时所引起的该参数值的叠加。步骤：①分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；②将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。

叠加法前提条件：小变形，材料服从虎克定律。=+65○-﹢○﹢○○-F﹢○﹢○ql/4○-○-F(a)F=ql/4(b)(c)﹢○○-66按叠加原理作弯矩图qF=+ABFABqAB=+

M2a670.5FlMFl0.5Fl0.5FlFFlll0.5F0.5F0.5FF0ABFAB=+FlABC=+0.5F按叠加原理作弯矩图68§4-3平面刚架和曲杆的内力图I.平面刚架

由同一平面内不同取向的杆件相互间刚性连接的结构(具有刚节点的杆件结构)。

平面刚架杆件的内力—剪力、弯矩、轴力。节点(join)：杆件与杆件之间的连接区域。刚节点：不能相对转动，也不能相对移动。铰结点：能相对转动，不能相对移动。69作刚架内力图习惯上按下列约定：弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号；

剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架外侧），但须注明正负号；剪力和轴力的正负号仍与前述规定相同。701.列各杆的内力方程CB杆(0≤x≤a)(杆的外侧受拉)BA杆(0≤x1≤l)(杆的外侧受拉)例题4-8解:试作图a所示刚架的内力图。712.绘内力图:由内力方程画出FN，FS，M图。CB杆(0≤x≤a):(杆的外侧受拉)BA杆(0≤x1≤l):(杆的外侧受拉)722aABqC3a作图示刚架的内力图。解：(1)求支座反力(2)对各杆分段求内力BA杆：以A为原点ACBC杆：以C为原点（内侧受拉）（内侧受拉）73+-+BA杆：以A为原点BC杆：以C为原点ABCFNABC弯矩图画在受拉侧MABCFS(3)作内力图2a3a74II.平面曲杆

平面曲杆的横截面系指曲杆的法向截面(亦即圆弧形曲杆的径向截面)。当荷载作用于曲杆所在平面内时，其横截面上的内力除剪力和弯矩外也会有轴力。75

图a所示A端固定的半圆环在B端受集中荷载F作用时，其任意横截面m-m上的内力有:根据内力方程将内力值在与q

相应的径向线上绘出。76○-○+(c)

FN图(d)

FS

图+77例如：AC和DB段。横截面上有弯矩又有剪力。称为横力弯曲(bendingbytransverseforce)。

例如：CD段。横截面上只有弯矩没有剪力。称为纯弯曲(purebending)。

平面弯曲的两种形式：§4-4梁横截面上的正应力·梁的正应力强度条件781、横向线(mm、nn)

仍保持为直线，但发生了相对转动；

实验观测2、纵向线(aa、bb)

弯成弧线，凹侧缩短，凸侧伸长；实验现象：3、横向线仍然垂直于弧线(aa、bb)

。（（MeMeI.纯弯曲时梁横截面上的正应力792、纤维单向拉压假设：

各纵向纤维之间相互不挤压，处于单向受力状态。1、弯曲变形的平面假设(planeassumption)：

梁的横截面在弯曲变形后仍然保持平面，只是绕截面的某一轴线转过一个角度，且与变形后梁的轴线垂直。两个假设MeMe80两个概念中性轴：中性层与梁的横截面的交线，垂直于梁的纵向对称面。中性层：既不伸长也不缩短的一层纤维。中性层(Neutralsurface）纵向对称面中性轴(Neutralaxis)横截面对称轴拉伸区压缩区81

变形几何关系设横截面的对称轴为y

轴，向下为正，中性轴为z

轴（位置未定）。

表明线应变ε的大小与该点到中性层的距离y成正比。考虑bb的纵向线应变e：(a)OOdxbby中性层bbyMMOO曲率半径radiusofcurvature曲率中心(变形后：变形前：(——弯曲正应变分布规律82

横截面上任意一点的正应力σ与该点到中性轴的距离y成正比，距中性轴为y的同一等高线上各点处的正应力均相等。？问题：中性轴的位置、ρ值单向拉压假设胡克定律弯曲正应力的分布(b)中性轴xyMz

物理关系弯曲正应力的分布——弯曲正应力分布规律M83(1)(2)(3)将式(b)代入式(2)，得

:

因为y

轴为截面的对称轴，必然有Iyz=0。(自然满足)(b)

静力学关系整个横截面上的微内力sdA可合成三个内力分量：M梁上只有外力偶Me作用，则横截面内力只有弯矩M。——弯曲正应力的计算公式84

式中：1/ρ为梁弯曲变形的中性层的曲率，将式(b)代入式(3)，得：

z轴通过截面形心！由此确定了中性轴的位置！将式(b)代入式(1)，得:

由此确定了ρ的大小！EIz

称为梁的抗弯刚度。y(对称轴）z（中性轴）oC形心85(弯曲正应力计算式)在实际的计算中通常用M、y的绝对值来计算正应力s的大小，再由弯曲变形判定是拉应力还是压应力。M：横截面上的弯矩y：横截面上所求应力点的纵坐标Iz：横截面对中性轴z的惯性矩式中，中性层86矩形：高h，宽b圆形：直径为D

给定尺寸的工字型、T型等截面形状，用平行移轴公式计算惯性矩Iz；型钢查附录表可得惯性矩。y1y2腹板web翼缘Flange分析以下横截面上弯曲正应力的分布思考：87例1:已知l=1m，q=2kN/m，10号槽钢。求最大拉应力和压应力。解：（1）作弯矩图（2）由型钢表查10号槽钢（3）求最大应力M88小结两个概念：中性层、中性轴。三个关系：几何关系、物理关系、静力学关系。两个假设：平面假设、单向拉压假设。建立了梁的弯曲正应力的计算公式：89II.纯弯曲理论的推广1.对于横力弯曲当其跨高之比l/h大于5时适用。FMqF1F2lh

当其跨长与截面高度之比l/h大于5时，梁的跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超过1%适用范围：2.上式虽然是以矩形截面梁为例导出的，但对于平面弯曲的情形均有效。90

中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应力的值smax为：Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数(sectionmodulusinbending)，其单位为m3。hbzyodzyoM91

中性轴

z不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为92对于宽为b

，高为h的矩形截面对于直径为D的圆形截面对于内外径分别为d、D的空心圆截面常用截面的Wz值:=d/DbHBhz空心矩形截面（箱形截面）93

图a所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后的尺寸见图b。已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力smax和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处(图b)的正应力sa。例题4-91、作弯矩图如图，截面C为危险截面，相应的最大弯矩值为解:94由型钢规格表查得56a号工字钢截面最大正应力：危险截面上点a处的正应力为：例题4-995由梁的自重引起的最大正应力仅为而危险截面上的最大正应力变为远小于外加荷载F所引起的最大正应力。

如果考虑梁的自重(q=1.041kN/m)则危险截面未变，但相应的最大弯矩值变为解:(1)1-1截面上1、2两点的正应力1m2mq=60kN/m11AB1120180302yz例:受均布载荷作用的简支梁1-1截面上1、2两点的正应力；此截面上的最大正应力；全梁的最大正应力；已知E=200GPa，求1-1截面的曲率半径。971120180302yz（2）1-1截面上的最大正应力:（3）全梁的最大正应力:(4)1-1截面的曲率半径:1m2mq=60kN/m11ABxM98解：由几何关系得：例:钢板尺厚0.8mm，长252mm，弹性模量E=200GPa。求当钢板尺弯成圆弧π/3时，钢板尺内的最大正应力。简支梁受均布荷载q作用如图，求梁下边缘的总伸长。100强度校核:载荷设计:截面设计:其中[

]为材料的弯曲许用正应力III.梁的正应力强度条件

梁的危险截面上最大正应力所在各点系处于单轴应力状态。于是可按单向应力状态下的强度条件形式来建立梁的正应力强度条件：强度计算：101对于抗拉和抗压强度相等的材料(如炭钢)，只要绝对值最大的正应力不超过许用弯曲应力即可。对于抗拉和抗压不等的材料(如铸铁)，则最大的拉应力和最大的压应力分别不超过各自的许用弯曲应力。

为充分发挥脆性材料的强度，中性轴往往不是截面对称轴，以尽量使梁的最大工作拉应力st,max和最大工作压应力sc,max分别达到(或接近)材料的许用拉应力[st]和许用压应力[sc]。102若中性轴是横截面的对称轴，则危险截面为：|M|max

截面若中性轴不是横截面的对称轴，则危险截面为：

M+max

或M-max

截面判断危险截面：103图a所示工字钢制成的梁，其计算简图可取为如图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力[s]=152MPa

。试选择工字钢的号码。例题4-10画M图，确定Mmax。解:104强度条件要求：

此值虽略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以选用56b工字钢。由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为2.求Wz，选择工字钢型号例题4-1010512

跨长l=2m的铸铁受力如图。已知材料的拉、压许用应力分别为[st]=30Mpa和[sc]=90Mpa，试根据截面最为合理的要求，确定T字形截面梁横截面尺寸d，并校核梁的强度。1.截面最为合理应使同一危险截面上最大拉应力与最大压应力之比与相应许用应力之比相等。可得中性轴（形心轴）位置：106根据组合截面形心坐标公式：解得d=24mm2.强度校核计算截面对中性轴的惯性矩Iz梁的最大弯矩：计算梁的最大压应力并校核：满足强度条件107

图a所示为槽形截面铸铁梁，横截面尺寸和形心C的位置如图b所示。已知横截面对于中性轴z的惯性矩Iz=5493×104mm4，b=2m。铸铁的许用拉应力[st]=30MPa，许用压应力[sc]=90MPa。试求梁的许用荷载[F]。例题4-11108解：1.确定危险截面、危险点86134C截面B截面(d)

由M图可知，B、C截面上正应力的分布规律如图d所示F1≤19.2kN截面C：截面B：F1≤24.6kN[F]=19.2kN，可见此梁的强度由最大拉应力确定。109§4-5梁横截面上的切应力·梁的切应力强度条件I.梁横截面上的切应力1.矩形截面梁从发生横力弯曲的梁中取出长为dx的微段如图。hbzyO110

A*为横截面上距中性轴z为y的横线AA1或BB1以外部分的面积(图b中的阴影线部分);

为面积A*(图b)对中性轴z的静矩.即由于,故纵截面AA1B1B上有切向内力dF'S(图b)：1111.由于梁的侧面为自由表面(图a和图b中的面mABn为梁的侧表面的一部分)，其上无切应力，故根据切应力互等定理可知，横截面上侧边处的切应力必与侧边平行；2.对称弯曲时，对称轴y处的切应力必沿y轴方向，亦即与侧边平行。

为确定这个纵截面上的切应力t'，先分析横截面与该纵截面的交线AA1处横截面上切应力t的情况：112从而对于狭长矩形截面可以假设：1.横截面上各点处的切应力均与侧边平行；2.横截面上距中性轴等远处的切应力大小相等。zyy

根据切应力互等定理可知，距中性层为y的纵截面AA1B1B上在与横截面的交线AA1处各点的切应力t'均与横截面正交，且大小相等。t'在dx长度内可以认为没有变化。即t'在纵截面内均匀分布：113

根据切应力互等定理可知，梁的横截面上距中性轴z的距离为y处的切应力t

必与t

'互等，从而亦有代入前式得为矩形截面梁切应力计算公式114横截面上切应力的变化规律bhdy1yyzOy11.t

沿截面高度系按二次抛物线规律变化；

2.同一横截面上的最大切应力tmax在中性轴处(y=0):1152.

工字形截面梁(1)腹板上的切应力其中

可见腹板上的切应力在与中性轴z垂直的方向按二次抛物线规律变化。116(2)在腹板与翼缘交界处：在中性轴处：

对于轧制的工字钢，上式中的就是型钢表中给出的比值，此值已把工字钢截面的翼缘厚度变化和圆角等考虑在内。117

由56a号工字钢制成的简支梁如图a所示，试求梁的横截面上的最大切应力tmax和同一横截面上腹板上a点处(图b)的切应力ta

。不计梁的自重。例题4-13118求tmax。作剪力图，由图可见FS,max=75kN。解:

查表得56a号工字钢Iz=65586cm4和Iz/S*z,max=47.73cm。d=12.5mm119其中：于是有：2.求ta例题4-131203.薄壁环形截面梁

薄壁环形截面横截面上切应力的特征如图a所示：

(1)由于d<<r0，切应力t

的大小和方向沿壁厚d

无变化；

(2)由于梁的内、外壁上无切应力，故根据切应力互等定理知，横截面上切应力的方向与圆周相切；(3)根据与y轴的对称关系可知：

(a)y轴两侧各点处的切应力其大小及指向均与y轴对称。

(b)横截面上与y轴相交的各点处切应力为零；121A*=pr0d且

整个环形截面对于圆心O的极惯性矩：对于中性轴z的惯性矩Iz：从而有式中A=2pr0d为整个环形截面的面积。在中性轴上：122(4)圆截面梁离中性轴z为任意距离y的水平直线kk'上各点处的切应力均汇交于k点和k'点处切线的交点O'

。沿宽度各点处切应力沿y方向的分