2022-2023学年高一数学 人教A版2019必修第一册 同步讲义 第10讲 二次函数与一元二次方程、不等式6种题型 含解析

第10讲二次函数与一元二次方程、不等式6种题型

【考点分析】

考点一：一元二次不等式的概念

一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二

次不等式，即形如或其中”，均为常数，

OX2+⅛r+c>0(≥0)0√+zλr+c<o(≤o)(b,C

4Z≠0)的不等式都是一元二次不等式.

考点二：二次函数的零点

一般地，对于二次函数J我们把使的实数叫做二次

y=G+⅛r+c,OX2+/?x+c=OX

函数y=G?+6x+c的零点.

考点三：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

对于一元二次方程的两根为玉、Ξ设△=〃

Or2+Ax+c=O(α>0)x2JLXI≤x2,-Aac,

它的解按照△>(),A=。，△<()可分三种情况,相应地,二次函数y=θχ2+bχ+c(α>0)

的图像与X轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式

ax2+bx+c>O(α>O)≈Kαr2+bx+c<O(4>0)的解集.

Δ=Z?2-AacΔ>0Δ=0Δ<0

二次函数1∏r-ɪ

y=ax2+bx+c

(α>0)的图象o∣¾=¾

有两相等实根ɪ

ax1+bx+c=O有两相异实根

b无实根

的根x,x(x<X)

(α>0)1212…F

ax2+bx+c>O(rlx<xWw>x}«XX≠---I

12R

(α>0)的解集I2.∫

ax2+bx+c<0

{x∣x1<X<x2)00

(4>0)的解集

考点四：一元二次不等式恒成立问题

伍〉0

①a/+⅛χ+c>O(α≠O)在χ∈R上恒成立=√恒成立

Δ<0

@ax2+hx+c<O(α工0)在x∈R上恒成立=〈八

Δ<0.

考点五：简单的分式不等式的解法

x-a

—~~—>O=(X-Q)(X-力)>O;VO=(X-6Z)(%-/?)<0

x-bx-b

x-bx-b≠0x-bx-b≠0

考点六：简单的绝对值不等式的解法

∖ax+l∖<c<^>-c<ax+b<ci∖ax+k∖>c<^>ax+b>c^ax+b<-c

【题型目录】

题型一：解不含参数的一元二次不等式

题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇

题型三：含有参数的一元二次不等式的解法

题型四：不等式的恒成立问题

题型五：一次分式不等式的解法

题型六：实际问题中的一元二次不等式问题

【典型例题】

题型一：解不含参数的一元二次不等式

【例1】(2022.浙江.高一阶段练习)不等式(2+x)(2-x)>0的解集是()

A.{Λ∣X>2}B.{ΛIX<-2}

C.{x∣X<-2>2}D.{x∣-2<x<2}

【答案】D

【解析】

【分析】

直接解一元二次不等式即可得答案.

【详解】

解：原式化为(x-2)(x+2)<0,即-2<x<2,故不等式的解集为{x∣-2<x<2}.

故选:。

22

【例2】(2022.湖北.宜昌市夷陵中学模拟预测)记集合M={φ>4},N={x∖x-4x≤θ∖f

则MN=()

A.{x∣2<x≤4}B.{x∣x≥0或x<-2}

C.{x∣0≤x<2}D.{x∣-2<x≤4}

【答案】A

【解析】

【分析】

化简集合，再由交集的定义即得.

【详解】

∙/M=∣x∣x2>4}={x∣x<-2或%>2},N={x∣χ2-4x≤θ}={x∣θ≤x≤4},

所以M（N={x∣2<x≤4}.

故选：A.

【例3】（2022.浙江•诸暨市教育研究中心高二学业考试）设XeR,则“l<x<2”是

“f_2x-3<0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

先解出不等式d-2χ-3<0,再判断充分性和必要性即可.

【详解】

由于不等式x2-2x-3<0的解集为{x∣T<x<3},则l<x<2可推出-l<x<3,反之不成立,

所以"l<x<2"是“χ2-2x-3<0"的充分而不必要条件.

故选：A.

【例4】（2022.广东.新会陈经纶中学高一期中）不等式-f+2x-3>0的解集是（）

A.RB.φC.{x∣x<-3或x>-l}£）.{x∣-3<x<-l}

【答案】B

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质，分析即可得答案.

【详解】

由题意得所求2x+3<0,令y=f-2x+3,为开口向上的抛物线，

Δ=（-2）2-4×l×3=-8<0,

所以V=/-2x+3>0恒成立,

所以>=/-2》+3<0不成立，故-Y+2χ-3>0的解集为¢.

故选：B

【例5】（2022•安徽省利辛县第一中学高一阶段练习）不等式-2∕+x+15≤0的解集为（）

A.jx|—∣≤x≤3∣B.卜卜≤-∣∙或xN3}

C.jx-3≤x≤||D.{x∣x4-3或x≥∣∙}

【答案】B

【解析】

【分析】

将式子变形再因式分解，即可求出不等式的解集；

【详解】

解：依题意可得2Yr-i5≥0,故(2x+5)(x-3)≥O,解得x≤-∣或x≥3,

所以不等式的解集为卜x≤-∣或x23}

【题型专练】

1.(2022.全国•高一单元测试)设集合A={x∈Z∣-3<x<2},B={x—+3χ-4<θ},则AB=

()

A.{-1,0}B.{-2,—1,0}

C.{x∣-3<x<2}D.{x∣-2<x<l}

【答案】B

【解析】

【分析】

先化简集合A,B,再求二者交集

【详解】

A=∣x∈Z∣-3<x<2}={-2,-l,0,1},B={x∣f+3x-4<θ}=∣x∣-4CXC1},

则AB={-2-1,0}.

故选：B.

2.(2022•新疆喀什・高一期末)解下列不等式：

(I)X2+4X+3>0;

9

(2)-4x~9+6x—<0.

4

【答案】(l){x∣x<-3或x>T)

⑵{x∣x≠*

【解析】

(1)

⑴因为A=I6—4x1x3=4>0,

所以方程X2+4x+3=0有两个不等实根X/=-1,&=-3.

所以原不等式的解集为“11<-3或x>T}.

(2)

O

(2)因为A=36—4x(-4)x(-Z)=O,

93

所以方程有两个相等实根x∕=X2==

44

所以原不等式的解集为{x∣x≠j).

3.(2022.四川眉山.高一期末(理))不等式3x-4<O的解集为()

A.(-oc,-l)U(4,+oc)B.(—4,1)

C.(-1,4)D.(-oc,-4)U(l,+oc)

【答案】C

【解析】

【分析】

直接用因式分解求得解集即可.

【详解】

因为不等式f-3x-4<0可化为:(x+D(x-4)<0

解得:-1CX<4

所以解集为:(-1,4).

故选:C.

4.(2022・贵州•高二学业考试)不等式χ2-4≤0的解集是()

A.(-8,-5)B.[-5,-2)C.[-2,2]D.(2,+∞)

【答案】C

【解析】

【分析】

直接解不等式即可求解.

【详解】

由χ2-4≤0得(X+2)(X-2)40,解得-2≤X≤2,即解集为

故选：C.

5.(2022•北京•东直门中学高二阶段练习)不等式2W+χ7>0的解集是()

B.(l,+∞)

o-,+∞

(2I

【答案】C

【解析】

【分析】

将不等式化简为(2x-l)(x+l)>0,即可求出其解集.

【详解】

由2∕+l>0可得：(2x-l)(x+l)>0,所以不等式的解集为：(-8,-1)鸣,+8).

故选：C.

6.(2022.全国•高一多选)下列不等式的解集为R的有()

A.x2+x+1>0B.X2—2逐x+逐>0

C.x2+6x+10>0D.2x2-3x+4<l

【答案】AC

【解析】

【分析】

利用判别式的正负，即可判断选项.

【详解】

A中A=r-4xl<0.满足条件；

B中A=(-2逐)2-4x后>0,解集不为R；

C中A=62-4xl0<0,满足条件；

D中不等式可化为2√—3x+3<0,所对应的二次函数开口向上，显然不可能.

故选：AC

题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇

【例1】(2022•四川甘孜•高一期末)若不等式加+法-2<0的解集为{x∣-2<x<l},则

a+b-()

A.-2B.0C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】

利用二次函数，把不等式问题转化为方程问题，再用韦达定理.

【详解】

因为不等式加+法-2<0的解集为{H-2<X<1}

所以α>O，-2和1是方程OX2+bχ-2=o的两实数根

所以；,解得α=l,b=l

-2x1=二

a

所以4+b=2.故A,B,C错误.

故选：D.

【例2】（2022•四川省高县中学校高一阶段练习（理））已知关于X的不等式

χ2-40r+3/vθm>θ）的解集为（ΛPX2）,则M+々+，二的最小值是（）

X\X2

,√6r2√3r4√3八46

3333

【答案】C

【解析】

【分析】

由根与系数关系及基本不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件.

【详解】

由题设，%,+X2=4t∕,玉々=3/且α>0.

所以x∣+x,+∕-=4α+J-≥2∖R3=^,当且仅当α=正时等号成立.

xxx23a∖3a36

故选：C

【例3】（2022•全国•高一专题练习）若不等式加+2x+c<0的解集是

则不等式er?-2x+α≤0的解集是（）

11^∣「1厂

A.B.

L23」L32j

C.[-2,3]D.[-3,2]

【答案】C

【解析】

【分析】

依题意和T是方程0r2+2x+c=0的两个实数根,利用韦达定理得到方程组，即可求出〃、

c,再解一元二次不等式即可.

【详解】

解：因为不等式加+2］+(?<0的解集是18，-§卜(2，+8

..•-：和3是方程加+2戈+，=0的两个实数根,

112

------=—

由,ɜ2",解得：q=τ2,c∙=2,

11c

—X—=—

[32a

2

故不等式Cr2-2x+a≤0即2X-2Λ-12≤0-

即V-x-6≤0,即(x-3)(x+2)≤0,解得：-2≤x≤3,

所以所求不等式的解集是：［-2,3］.

故选：C.

【例4】(2023•全国•高三专题练习)已知函数f(x)=χ2+αχ+∕,(m6∈R)的值域为［O,+∞),

若关于X的不等式/(x)<c的解集为(小，机+6),则实数C的值为()

9

A.4B.3C.9D.-

4

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数的值域求出“与b的关系,然后根据不等式的解集可得F(X)=C的两个根为北帆+6,

最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可.

【详解】

；函数F(X)-x2+ax+b(0,⅛∈R)的值域为［O,+∞),

2

Λ/(x)=χ2+αχ+0=0只有一个根，即A=46=0贝Ij。=幺，

4

不等式/(x)VC的解集为(∕H,∕π+6),

2

即为/+〃龙+—VC解集为(m,∕n+6),

4

贝IJx2+0r+-——C=O的两个根为"?，∕π+6

4

解得c=9

故选：C.

【题型专练】

1.（2022・四川・射洪中学高一阶段练习）已知I不等式V—χ+α<0的解集为{x∣-2<x<3},则

«=（）

A.—6B.—C.6D.—

66

【答案】A

【解析】

【分析】

根据一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系直接求解即可.

【详解】

由不等式的解集知：—2和3是方程/-x+α=O的两根，二。=—2x3=-6∙

故选：A.

2.（2022・湖南•怀化五中高一期中）若关于X的不等式∕nχ2+8,nx+21<0的解集为

{Λ∣-7<X<-1},则实数〃?的值为.

【答案】3

【解析】

【分析】

根据二次不等式的解，结合韦达定理即可求出，

【详解】

由题可知，一7和一1是二次方程侬2+8〃U^+21=0的两个根，

Ol

故2=—7X（T）nm=3.经检验满足题意

tn

故答案为：3.

3.（2021•安徽省定远中学高一阶段练习）已知关于X的不等式加+fer+c>O的解集为（-2,4）,

则不等式Cr2—法+〃<0的解集是（)

A.B∙RΓX4}

；或；

C.pXC-x>}D∙RΓX4}

【答案】B

【解析】

【分析】

根据不等式以2+法+00的解集，得到b=-2α,c=-8a,代入以2-辰+αv0中即可求解.

【详解】

bc

由题意得-2+4=-2-2'4=—,。<0,即Z?=-2α,c=-8a,

aa

所以一8以2+2办+。<0即8∕-2X-1<0,解得一（<x<;.

故选：B

4.（2022•内蒙古赤峰•高一期末（文））二次不等式办2+笈+。<0的解集是（2,3）,则.的值

为（）

A.9655

B.C.D.

5566

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意得2,3为方程0√+fer+c=o的两个根，根据韦达定理，化简计算，即可得答案.

【详解】

因为二次不等式，所以αwθ,

因为不等式加+云+0<0的解集是（2,3）,

所以2,3为方程Gr2+Zzr+C=O的两个根，

所以2+3=_^,2X3=£,即幺=_5,£=6

aaaa

所以9=-∙f.

b5

故选：B

5.（2022•黑龙江・大庆中学高二期末）若不等式以2+for+2>O的解集是卜卜；<》<；｝,则

依+b>O的解集为（）

D+0

A.C.——,+8-⅛°.

B'6

【答案】A

【解析】

【分析】

利用根于系数的关系先求出。泊，再解不等式即可.

【详解】

不等式OX2+⅛x+2>0的解集是卜卜5<x<]

则根据对应方程的韦达定理得到:

解得

b=-2

贝∣J-12x-2>0的解集为

故选：A

6.(2022•浙江•金华市曙光学校高一阶段练习)己知不等式Or2-fccτ≥o的解集是

jx∣-^≤x≤-∣∣,则不等式χ2-feχ-α<o的解集是.

【答案】{尤∣2<x<3}

【解析】

【分析】

根据给定的解集求出α,b的值，再代入解不等式即可作答.

【详解】

依题意，,-ɪ是方程0r2-1=O的两个根，且“<0,

23

因此，不等式V-⅛γ-α<0为：X2-5χ+6<0>解得2<x<3,

所以不等式的解集是{X∣2<X<3}.

故答案为：{x∣2<x<3}

题型三：含有参数的一元二次不等式的解法

【例1】(2023•全国•高三专题练习)若关于X的不等式χ2-(w+2)x+2"7<0的解集中恰有4

个整数，则实数机的取值范围为()

A.(6,7]B.[-3,-2)

C.[-3,-2)(6,7]D.[-3,7]

【答案】C

【解析】

【分析】

讨论m与2的大小关系，求得不等式的解集，根据解集中恰有4个整数，确定,"的取值范

围.

【详解】

不等式χ2-(“z+2)x+2m<0即(X-2)(x-m)<0,

当〃?>2时，不等式解集为(2,〃?)，此时要使解集中恰有4个整数，

这四个整数只能是345,6,故6<m≤7,

当帆=2时，不等式解集为0,此时不符合题意；

当〃?<2时，不等式解集为(也2),此时要使解集中恰有4个整数，

这四个整数只能是-2,-1,0,1,故一3≤mv-2,,

故实数m的取值范围为[-3,-2)∣(6,7],

故选：C

【例2】(2022•广东•梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习)解关于X的不等式

ax2+2x-a+2>0

【答案】答案不唯一，具体见解析

【解析】

【分析】

原不等式可化为(x+l)(0r-。+2)>0.然后分α=0,a>0和“<0三种情况求解不等式

【详解】

解：关于X的不等式加+2x-a+2>0

可化为(X+1)(④'-α+2)>0.

(1)当a=0时，2(x+l)>0,解得{x∣x>T}.

(2)当α>0,所以+

所以方程(犬+1)1-巴21=0的两根为-1和M2,

VaJa

当T<史2,即α>l时，不等式的解集为{x|x<—1或X>U},

aa

当-1=7,即α=lH寸，不等式的解集为{xlxw-1}.

当-1›巴工，即0<“<l时，不等式的解集为1x∣x<±2或χ>τ},.

aIa

(3)当αvθ时，+

因为方程(X+I)\-F)=O的两根为一1和1，

又因为j/7—9=l-2'>l,所以一1</7—2

aaa

即不等式(1+1)[*_一)<0的解集是{x∣T<x<p),

综上所述：当α<0时，不等式的解集为[x∣-l<x<g'

当α=0时，不等式的解集为何切-1卜

当o<“<ι时，不等式的解集为卜∣χ<p或x>-1}

当α=l时，不等式的解集为{x∣XHT}，

当。>1时，不等式的解集为卜∣χ<T或χ>与2}，

【例3】(2022•河南♦华中师范大学附属息县高级中学高二阶段练习(文))已知条件p：

X2-7X-8<0,条件q：X2-2X+1-∕M2≤0(其中，〃>0),若P是q的必要而不充分条件，

则实数机的取值范围为()

A.(0,8)B.(0,+∞)C.(0,2)D.[2,8]

【答案】C

【解析】

【分析】

分别解出两个不等式，再根据P是g的必要而不充分条件，可得g对应得集合是P对应得集

合的真子集，列出不等式组，从而可得出答案.

【详解】

解：由Λ2-7X-8<0,得T<x<8,

所以p:-l<x<8,

由x2-2,x+l-m^≤0(加>0),↑'.f∖-m<x<∖+m,

所以∕l-zn≤x≤l+zn,

因为P是4的必要而不充分条件，

所以{x∣l-∕n4x≤l+"?}u{x|-l<x<8}

∖-m>-∖

所以，1+〃?<8,解得0<加<2,

m>0

即实数，"的取值范围为(0,2).

故选：C.

【例4】(2022•湖南•新邵县第二中学高一开学考试)设y=a√+(l-α)x+α-2.

(1)若不等式y≥-2对一切实数X恒成立，求实数。的取值范围；

(2)解关于X的不等式Or2+(1-a)x+a-2<a-l(a∈R).

【答案】(l){a“≥共

(2)答案见解析

【解析】

【分析】

(1)不等式转化为a?+(l-a)x+a》O对一切实数成立，列不等式即可求解；

(2)不等式转化为3+D(X-I)<0,对。进行分类讨论求解即可.

(1)由题意可得or?+(1-a)x+«-2>-2=>αr2+(l-α)x+α≥0对一切实数成立，当α=0时,

x≥0不满足题意；当"0时，得If所以实数”的取值范围为

KI-Qy_4〃-≤o3

{ahl}∙

(2)由题意可得ox?+(］一。)工+。一2<α-I=Or2+(］一。)］一1<0,当。=0时，不等式可化

为x<l,所以不等式的解集为{x∣x<l},当。>0时，

Cix+(1—tz)x-1<O=>(CLX+I)(X-1)<O=≠>—<x<1,当.<0时,

a

ax2+(l-a)x-l<0∑≡>(αr÷l)(x-l)<0,①当Q=-I,解集{x∣x≠l},②当一IVQV0,解集

为{x∣x<l或X>-J},③当α<T,解集为{x∣x>l或X<-^}∙综上所述，当“<T,不等式

的解集为门,>1或x<-}},当。=一1,不等式的解集为{x∣x≠l},当一l<α<0,不等式的

解集为{x∣x<l或》>-：},当α=0时，不等式的解集为{Rx<l},当α>0时，不等式的解

集为{χ-∕<χ<i}.

【例5】(2023•全国•高三专题练习)解关于尤的不等式加-2≥2x-αr(αeR).

【答案】详见解析.

【解析】

【分析】

分类讨论。，求不等式的解集即可.

【详解】

原不等式变形为依2+(α-2)x-2≥0.

①当Q=O时，x≤-l;

②当“0时，不等式即为(以-2)(x+l)≥0,

2

当4>0时，x≥-∏Kx≤-l；

a

由于2—(-1)=生2,于是

2

当一2vα<0时，-≤x≤-l;

a

当α=-2时，x=-l；

2

当αv-2时，一1≤x≤-.

2

综上，当。=0时，不等式的解集为(-∞,T];当α>0时，不等式的解集为(-8,T5-,M);

a

^2"1

当-2<α<0时，不等式的解集为-,-1;当。=一2时，不等式的解集为｛τ｝;当“<-2时，

不等式的解集为-1,-.

a

【例6】(2022•全国•高一课时练习)解关于X的不等式：ax2-2x+a<0.

【答案】答案不唯一，见解析

【解析】

【分析】

由于参数。的不确定性，可分为a=0和4声0,当αxθ时，又可具体分为∕<0,Δ=0,Δ>0.

再结合二次函数的图像开口与判别式的关系即可求解

【详解】

解：当α=0时，不等式即—2x<0,解得x>0.

当"0时，对于方程OX2-2+α=0,Δ=4-4a2

令/<0,解得">1或。<-1：

令△=€),解得α=l或-1：

÷Δ>0,解得0<“<l或一l<α<0,方程52一2犬+“=0的两根为.

a

综上可得，当时，不等式的解集为0;

当0<α<l时，不等式的解集为X；

aa

当α=0时，不等式的解集为｛x∣x>0｝;

当一l<α<0时，不等式的解集/x<“庐/或C,"3/；

aa

当α=T时，不等式的解集为｛x∖x∈R且X≠-l):

当“<T时，不等式的解集为R.

【题型专练】

1.(2022.黑龙江.铁人中学高二期末)若关于X的不等式工2-(〃7+3卜+加<0的解集中恰有

3个整数，则实数,〃的取值范围为()

A.(6,7]B.[-1,0)C.[-l,0)u(6,7]D.[-1,7]

【答案】C

【解析】

【分析】

由题设可得3XXT为<O,讨论见3的大小关系求解集，并判断满足题设情况下"7的范

围即可.

【详解】

不等式f-(m+3)x+3∕n<0,即(X-3)(X—加)<0,

当山>3时，不等式解集为(3,加)，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4,5,

6,⅛6<zn<7；

当加=3时，不等式解集为0,此时不符合题意；

当初<3时，不等式解集为(〃?,3),此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0,1,

2,⅛-1≤m<O；

故实数m的取值范围为[T0)u(6,7].

故选：C

2.(2022•陕西・长安一中高一期中)己知关于X的不等式(a+8)x+(2α-3b)<0的解集为

W>-*∙

⑴写出4和6满足的关系；

⑵解关于X的不等式(a—%)f+2(α-b-l)x+(α-2)>0.

【答案】⑴a=3b

⑵卜卜3+/<》<-1]

【解析】

【分析】

(1)化简(a+“x+(2a-3b)<0,结合不等式的解集即可判断a+8<0,得至]^篙=—1

即可得到“和。满足的关系.

(2)可用。或6对不等式(。-2Zj)χ2+2(a-6-l)x+(a-2)>0进行等价转化，化简计算即可

求出不等式的解集.

(1)

解：因为(o+b)x+(2々-3b)<0,所以(a+Z?)x<3Z?-2〃,

因为不等式的解集为[x∣x>-=J,所以α+b<O,且经学=-3,解得α=3b.

[4]a+b4

(2)

由(1)得α=36<0

贝IJ不等式(α-2⅛)d+2(α-6-I)X+(a-2)>0等价为82+(4b-2)x+(3b-2)>0,

即X2+(4—Z)X+P-<0，即(x+I)(X÷3—<0.

22

因为-3+：<-1,所以不等式的解为-3+=<x<7.

bb

即所求不等式的解集为卜卜3+∙∣<x<-l>.(说明：解集也可以用α表示)

3.(2022・贵州・遵义航天高级中学高一阶段练习)设函数〃X)=加-(l+4)x+l.

(l)≡α=2,解不等式y>0;

(2)若4>0,解关于X的不等式y<0

【答案】(1)[XX<g或x>l}:

(2)详见解析.

【解析】

【分析】

(1)利用二次不等式的解法即可得解；

(2)将原不等式变形为(如-I)(X-I)<0,对实数。的取值进行分类讨论，结合二次不等式

的解法即可得解.

(1)当α=2时，由y=2J?-3x+l>0,解得x<g或x>l,

故当α=2时，不等式y〉0的解集为1尤或χ>l}.

(2)由y<0可得(如—1)(X-I)<0,

当“≠0时，方程(办一D(X7)=0的两根分别为玉=4，x2=l.

a

当0<“<l时，!>1,解原不等式可得l<x<∙!∙;

aa

当a=l时，原不等式即为(x-1):<0,该不等式的解集为0：

当α>l时，1<1,解原不等式可得L<x<l.

aa

综上所述，当O<α<l时，原不等式的解集为｛xl<x<:卜当a=l时，原不等式的解集为0；

当”>l时，原不等式的解集为｛x∕<x<l｝.

4.(2022•陕西•西安高新第三中学高一期中)已知函数y=0χ2+(α-2)x(α∈R).

⑴若关于X的不等式y<b的解集为｛x∣T<x<4｝,求α,b的值；

(2)若a>-2,解关于X的不等式yN2.

【答案】(l)α=g,6=2

⑵-2<α<0时，解集为*154x4一“；

a=0时，解集为｛x∣x≤-l｝;

2

α>0时、解集为｛x∣x≥-或x≤-l｝

a

【解析】

(1)y<〃的解集为{x∣T<x<4},-1和4是方程y-b=αr2+(α-2)x-b=0的两个根,

ʃ2-3=0,‘解得：a=∕2.

[20a-8-⅛≈0,

(2)不等式y≥2,

可化为：ax2+(w-2)x-2>0.

当α=0时，原不等式即为—2x—220,∙∙∙x≤-1.

当α>0时，原不等式化为“(x_j)x+l)≥O,二或x≤T.

当一2<α<0时，原不等式为α(x-∙j)(x+l)≥O,可化为(X-■|)x+l)≤0

22

因一<一1,-≤x≤-I.

aa

综上，

-2<α<0时，原不等式的解集为｛x∣[≤x≤-l｝:

α=0时，原不等式的解集为｛x∣x4T｝;

2

“>0时，原不等式的解集为｛χ∣χ≥*或χ≤T｝

a

5.(2022•北京市第五中学高一阶段练习)求关于X的不等式以2-3x+2>5-αr(α?R)的解

集.

【答案】答案见解析

【解析】解：不等式ax?.3X+2>5∙ax(al/?),B∣J0x2+(^-3)x-3>O,即

(0r-3)(x÷l)>0,

当α=O时，原不等式解集为“∣x<T};

3

当。工0时，方程(以—3)(x+l)=O的根为E=,,x2=-l,

33

.•・①当。>0时，2>-1,.♦.原不等式的解集为{χ∣χ>士或x<—1}：

aa

②当-3<α<0时，1,原不等式的解集为3±<χ<T};

aci

3

③当。=一3时，三=-1,••・原不等式的解集为0；

a

33

④当αv-3时，-1,原不等式的解集为{χ∣TVX<-}.

aci

题型四：不等式的恒成立问题

【例1】(2023•全国•高三专题练习)关于X的不等式〃小一如+加+1>0恒成立，则加的取值

范围为()

A.(0,+oo)B.[0,+O

C.(-8,T)U(O,+8)D.(-8,-g)∣J[0,+8)

【答案】B

【解析】

【分析】

通过讨论小的范围，结合二次函数的性质求出用的范围即可.

【详解】

解：〃2=0时，1>0成立，

[m>Q

"2Wθ时，∖,

[Δ=nr2—4m(m+1)<0

故"7>0,

综上：”2..0,

故选：B.

【例2】(2022•全国•高一专题练习)若命题“玉OeR芯+("-1)x0+l≤0''的否定是真命题，

则实数”的取值范围是()

A.[-l,ɜ]B.(—1,3)

C.(-∞,-1][3,+∞)D.(ro,-1)VJ(3,+∞)

【答案】B

【解析】

【分析】

写出命题的否定，则/<0,从而可得出答案.

【详解】

:解：命题“*o+(α-l)与+l≤0"的否定为"X∕x∈R,x2+(α-I)X+l>0”为真命题，

所以A=(α-1)2-4<0,解得一l<α<3,

即实数。的取值范围是(-1,3).

故选：B.

【例3】(2021•新疆喀什・高一期中)若不等式侬2+2m-4<2x2+4x的解集为R,则实数机

的取值范围是()

A.-2<m<2B.-2<m≤2

C.〃?<一2或机£2D.m<2

【答案】B

【解析】

【分析】

由一元二次不等式的解集，讨论相=2、m-2<0分别求出满足条件的m范围即可.

【详解】

由题设，(W-2)X2+2(∕7Z-2)X-4<0.

当〃?=2时，Y<O恒成立，满足要求；

m-2<0

当｛/ɔ,、，可得—2<加<2；

Δ=4(zn-2)+16(w-2)<0

综上，-2<m≤2.

故选：B

[例4](2022♦江西师大附中高一期中)若不等式加-*+4α>0对任意x>2恒成立，则实数

a的取值范围是.

【答案】

4

【解析】

【分析】

1

分离参数，求出二J的取值范围即可得到答案.

X+—

【详解】

解：不等式以2-x+4α>0对任意X>2恒成立，

即。>丁三对任意%>2恒成立，

r+4

X11

V=--------=--------<一

又f+444

XH---

X

所以α..J.

故答案为：a∙∖∙

4

【例5】(2022・四川南充•高一期末(理))不等式(a—2)f+4(α-2)x-12<0的解集为R,

则实数a的取值范围是()

A.[-1,2)B.(-1,2]

C.(-2,1)D.[-1,2]

【答案】B

【解析】

【分析】

分。-2=0、a-2≠0两种情况讨论，根据已知条件可得出关于实数。的不等式组，综合可

得出实数。的取值范围.

【详解】

关于X的不等式(a-2)x2+4(a-2)x-12<0的解集为R.

当a-2=0时，即当a=2时，则有-12<0恒成立，符合题意；

②当加2工。时，则有「呻-2-48("2)<0'解得一i<2∙

综上所述，实数。的取值范围是(T2].

故选：B.

【例6】(2022•福建省华安县第一中学高二期末)下列条件中，为“关于X的不等式

Anr2-/nr+l>0对Vx∈R恒成立"的充分不必要条件的有()

A.0≤m<4B.0<∕n<2

C.l<∕n<4D.-IVmV6

【答案】BC

【解析】

【分析】

对机讨论：机=0：m>0,J<0；m<0,结合二次函数的图象，解不等式可得“，的取值

范围，再由充要条件的定义判断即可.

【详解】

因为关于X的不等式/nr?-如+1>0对VXeR恒成立，

当以=0时,原不等式即为1>0恒成立;

当m>0时，不等式“疗-,nr+l>0对VXeR恒成立，

可得』<0,即机2-4机<0,解得：0<∕n<4.

当机<0时，y-∕nx+l的图象开口向下，原不等式不恒成立，

综上：加的取值范围为：［0,4).

所以“关于X的不等式〃Vrnr+l>0对VxeR恒成立”的充分不必要条件的有

()<加<2或1<，"4.

故选：BC.

【例7】(2023•全国•高三专题练习)已知4>4关于X的不等式⑪2+2χ+bN0对于一切实

数X恒成立，又存在实数看,使得电；+2/+/>=0成立，则乌I最小值为.

a-b

【答案】2√2

【解析】

【分析】

山奴2+2x+Z>≥0对于一切实数X恒成立，可得α>0,且A≤0;再由％⅞eR,使

α√+2χ°+∕,=0成立，可得A≥0,进而可得而的值为1,将匕直可化为

a-b

¢12/利用基本不等式可得结果.

a-ba-b

【详解】

因为。τ2+2χ+%≥0对于一切实数X恒成立，

所以α>0,M∆=4-4c∕Z>≤0,所以"b≥l;

再由叫eR,使α√+2χo+∕,=o成立，

可得A=4-44∕2±0,所以ab≤l,

所以而=1,

因为α>b,即a—b>0,所以=(T1+2叽(.叫+二及五,

a-ba-ba-b

2

当且仅当a-b=-即〃―8=α时，等号成立，

a-b

所以三的最小值为20，

a-b

故答案为：2√Σ

【题型专练】

1.（2023•全国•高三专题练习多选题）“关于X的不等式f-20r+4>0对VXeR恒成立”的

一个必要不充分条件是（）

A.O<a<lB.0<a≤1C.0<。<2D.a≥0

3

【答案】BD

【解析】

【分析】

求得关于X的不等式χ2—20x+a>O对VXeR恒成时«的取值范围，根据必要不充分条件与

集合包含之间的关系，即可判断答案.

【详解】

由题意可知，关于X的不等式Y-20r+”>0恒成立，

则4=4/一4”<0,解得O<α<l,

对于选项A,"O<α<1”是“关于X的不等式Y-2以+α>O对∀x∈R恒成立"的充要条件；

对于选项B,U∣0<α<l}⊂{A∣O≤α≤l},

故"0≤α≤1"是"关于X的不等式r-2Or+α>O对VXeR恒成立”的必要不充分条件；

对于选项C,{x∣O<a<∣}⊂{x∣O<Λ<l},

"0<«<!"是“关于X的不等式d一2以+“>O对VxeR恒成立”的充分不必要条件；

对于选项D中，{x∣O<α<l}⊂{刈。£0}.,七20”是“关于*的不等式/一2奴+〃>0时

VxeR恒成立“必要不充分条件，

故选：BD.

2.（2022•江苏•高一专题练习）若关于X