2023年中考数学复习：尺规作图设计

中考数学复习专题一尺规作图设计

一、三角形作图（高，角平分线，中线及中垂线，平行线等）

1.如图，已知AABC,请用尺规过点A作一条直线，使其将AABC分成面积相等的两部分.（保留

作图痕迹，不写作法）

2.如图，已知AABC,CA=CB,NAeD是的一个外角.请用尺规作图法，求作射线CP,使

CPllAB.（保留作图痕迹，不写作法）

⑴作中线AD；

⑵尺规作出角平分线BE；

⑶作BC边的高线.

4.如图，在四边形ABCD中，AB〃CD,AB=2CD,E为AB的中点，请仅用无刻度直尺分别按下

列要求画图（保留画图痕迹）.

（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；

（2）在图2中，若BA=BD,画出△ABD的AD边上的高.

5.为了美化校园，某小区要在如图所示的三角形空地（AABC）上作一个半圆形花坛并使之满足以

下要求；①圆心在边BC上，②该半圆面积最大.请你帮忙设计这一花坛.

6.两个城镇A,B与一条公路CD,一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该

山庄到A,B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在NDCE的内部，请画出该山庄

（1）如图1,A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；

（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点,

三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直

尺（不带刻度）作图：

①如图2,在□∕8CZ）中，E为CD的中点，作BC的中点F；

②图3,在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作AABC的高AH

8.下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.

P.

已知：如图，直线I和直线/外一点P.

求作：直线PQ,使直线PQ//直线I.

作法：如图，

①在直线I上任取一点A,作射线AP；

②以P为圆心，PA为半径作弧，交直线I于点B,连接PB；

③以P为圆心，PB长为半径作弧，交射线AP于点C；分别以B1C为圆心，大于jβC

长为半径作弧，在AC的右侧两弧交于点Q;

④作直线PQ；

所以直线PQ就是所求作的直线.

根据上述作图过程，回答问题：

(1)用直尺和圆规，补全图中的图形；

(2)完成下面的证明：

证明：由作图可知PQ平分乙CPB,

1

ʌ乙CPQ=乙BPQ="CPB.

又•・,PA=PB,

・♦・(PAB=∆PBA.(▲)(填依据I).

V乙CPB=∆PAB+∆PBA,

1

・・・∆PAB=∆PBA=RCPB.

・•・MPQ=乙PAB,J直线PQ//直线I.(▲X填依据2).

二、平面直角坐标系作图(位似，轴对称，平移等)

9.如图，在平面直角坐标系中，已知AABC的三个顶点坐标分别是4(2,2)、5(4,0)、C(4,-4).

⑴请画出小ABC绕点A顺时针旋转90。得到的△AB1Cv

⑵若点。在线段BICl上，且直线4。将AABiCi分成面积相等的两部分，请画出线段4。，并写出O

的坐标.

10.如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(2,3),C(1,

2).

⑴画出与aABC关于y轴对称的^AIBICU

⑵以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2,使它与△ABC的相似比为2：1,并写

出点B?的坐标.

11.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标是A(0,-2),B(6,-4),C

(2,-6).

⑴请画出与△ABC关于X轴对称的小A1BiC,.

⑵以点O为位似中心，将4ABC缩小为原来的④，得到△A2B2C2,请在y轴左侧画出△A2B2C2.

⑶在y轴上存在点P,使得4OB2P的面积为6,请直接写出满足条件的点P的坐标.

12.如图，在直角坐标系中，已知ATlBC三个顶点的坐标分别为A(3,3),5(4,0),C(0,2).

(2)以点O为位似中心，将AABC缩小为原来的*，得到A42B2C2,请在y轴的右侧画出△

^2^2^2-

(3)在y轴上存在点P,使得aθ∕ιP的面积为6,请直接写出满足条件的点P的坐标.

13.如图，在平面直角坐标系中，已知点71(-1,5),β(-3,l)和C(4,0),请按下列要求画图并

填空.

(1)平移线段AB,使点A平移到点C,画出平移后所得的线段CD,并写出点D的坐标为

(2)将线段AB绕点A逆时针旋转90。，画出旋转后所得的线段AE,并直接写出

CGS乙BCE的值为_▲一；

(3)在y轴上找出点F,使AABF的周长最小，并直接写出点F的坐标为—

14.如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系.

(1)画出四边形OABC关于y轴对称的四边形OAIBIC1,并写出点Bl的坐标。

(2)画出四边形OABC绕点O顺时针方向旋转90。后得到的四边形OA2B2C2；连接OB,求出

OB旋转到OB2所扫过部分图形的面积.

15.如图，XABC在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A(4,4),B(Ll),C(4,l).

(1)画出与aABC关于y轴对称的ZkAiBiCi；

(2)将4ABC绕点。1顺时针旋转90。得到AA2B2C2，AA2弧是点A所经过的路径，则旋

转中心O1的坐标为.

(3)求图中阴影部分的面积(结果保留兀).

三、网格作图

16.如图在5x5的网格中，AABC的顶点都在格点上.(仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画

图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示)

图1图2图3

(1)在图1中画出△ABC的中线AD；

(2)在图2中画线段CE,点E在AB上，使得SbACE:S&BCE=2：3；

(3)在图3中画出△ABC的外心点O.

17.图①，图②均是边长为1的小正方形组成的4x3的网格，每个小正方形的顶点称为格点,

∆ABC的顶点均在格点上，请用无刻度直尺按要求作图。

(2)在图2中，作AABC的高线AH。

18.图①、图②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，△ZBC为格点三角形.请仅用无刻度

的直尺在网格中完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹.

(1)在图①中，画出XABC中AB边上的中线CM；

(2)在图②中，画出XABC中AC边上的高BN,并直接写出△ABC的面积.

19.如图均是5x5的正方形网络，每个小正方形的顶点称为格点，AABC的顶点4,B,C

都在格点上，按照下列要求画图.

miIfi2图3

(1)在图1中，画XABC的高AD.

(2)在图2中，①AB=；

②画以乙B为顶角的等腰三角形ABE,使点E在格点上

(3)在图3中，画出△力BC的角平分线BF.

(要求：只用直尺，不能用圆规，不要求写出画法)

20.如图，AABC的顶点均为格点，AC与网格线交于点D.仅用无刻度尺的直尺在网格中画图，画

图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.

图1图3

(1)如图1,画出AABC的角平分线CE；

(2)如图1,平移AB至DN,使点A的对应点为点D；

(3)如图2,在AB上找一点G,使DG+CG最小;

（4）如图3,AB与网格线交于点E,过点E作EQ_LAC于Q

21.如图，在由小正方形组成的4x3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，用无刻度的

直尺，在所给的网格中，按要求作图并保留作图痕迹。

①在图1中作△ABC的轴对称图形△A'B'C';

②在图2中作△ABC的重心；

③在图3中作△ABC的的高线AHo

22.图①，图②均是4X4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.其中点4B,C均在格

（1）在图①中，找一格点。，使以点A,B,C,。为顶点的四边形是轴对称图形；

（2）在图②中，找一格点E,使以点A,B,C,E为顶点的四边形是中心对称图形.

23.如图所示，每个小正三角形的边长为1,且它的顶点叫做格点，各顶点在格点处的多边形称为格

点多边形，线段AB位于该小正三角形组成的网格中，按要求在网格中作一个格点多边形.

图1

（1）请在图1画一个既是轴对称图形又是中心对称图形的四边形，且AB为对角线.

（2）请在图2中画一个以AB为边，面积为2遍的三角形.

24.在如图所示的6x6的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位.

图3

图I图2

(1)请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形：

(2)请你在图2中画一个以格点为顶点，一条直角边边长为VIU的直角三角形.

(3)请你在图3中画出△ABC的边Be上的高AD,NACB的角平线CE

四、新定义尺规作图题

25.若两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，则这两条线段称为三分线.

—

ABcBSEC

图①图②图③

(1)如图①，AABC中，AB=AC,ZA=36o,请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三

角形顶角的度数(画出一种分割即可).

(2)如图②，AABC中，ZC=90o,ZA=60o,请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三

角形顶角的度数(画出一种分割即可).

(3)如图③，AABC中，/BAC为钝角，AE,DE为三分线，BD=BE,DA=DE,CA=CE.

①求NB和NC的关系式.

②求NBAC的取值范围.

26.实践操作

(1)如图，AABC是直角三角形，ZACB=90o,利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标

明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法)。

K

Ca--------A

作/BAC的平分线，交BC于点O；

(2)以O为圆心，OC长为半径作圆。

(3)综合运用

在你所作的图中，

AB与OO的位置关系是(直接写出答案)；

(4)若AC=5,BC=⑵求。0的半径。

27.数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，下图都是由边长为1的小等边三

角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三

角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画

出4种不同的设计图形.规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形)

28.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A1C均落在格点上，点B在网格

线上，且4B=

(1)线段AC的长等于;

(2)以BC为直径的半圆与边AC相交于点D,若P1Q分别为边AC1BC上的动点，当BP+

PQ取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P1Q,并简要说明点P1Q

的位置是如何找到的(不要求证

明)___________________________________________________________________________________

29.如图是由小正方形组成的9x6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点都是格点.

仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.

(1)在图(1)中，D,E分别是边4B,AC与网格线的交点.先将点B绕点E旋转180。得到点F,画

出点F,再在4C上画点G,使OGHBC；

(2)在图(2)中，P是边AB上一点，NBAC=α.先将AB绕点力逆时针旋转2a,得到线段AH,画

出线段AH,再画点Q,使P,Q两点关于直线4C对称.

答案解析部分

L【答案】解：如图，直线AD即为所求:

2.【答案】解：如图，射线CP即为所求作.

X

I

（1）线段就是所求作的图形.

（2）射线BE就是所求作的角平分线.

（3）线段AF就是所求作的图形.

4.【答案】（1）解：如图1所示，AF即为所求:

（2）解：如图2所示，BH即为所求.

图2

5.【答案】解：如图所示：该半圆即为所求.

6.【答案】解：作法：①作/ECD的平分线CF,

②作线段AB的中垂线MN,

7.【答案】（1）如图所示，四边形ABCD即为所求;

②如图所示，AH即为所求.

AM

8.【答案】（1）解：根据题中画图过程可得:

如图，PQ即为所作图形；

（2）等边对等角I同位角相等，两直线平行

9.【答案】解：（1）如图,将△ABC绕点A顺时针转90。，即将AB、AC绕点A顺时针旋转90。,

得到AB1、AC1,连接Ae即可，则AABC即为所求；

（2）如图，根据三角形中线的性质，找到△力BiG，BlCI的中点，连接AD,贝∣D（-2,0）.

10.【答案】解：（D如图,ZMIBIQ为所作.

⑵如图，//2B2C2为所作，点B2的坐标为（4-6）.

IL【答案】解：△A∣B∣Ch△A2B2C2即为所求，

当AOBzP的面积为6时，点P的坐标为：（0,4）,（0,-4）.

12.【答案】（1）解：如图，AAiBiQ即为所求，

（2）解：如图，zkA2B2C2为所求;

(3)P(O,4)或(O,-4).

(1)(2,-4)；

(2)络

(3)(0,4).

14.【答案】(1)解:画出四边形OAlBlG如图

(2)解:画出四边形OA2B2C2

VOB2=22+62=40

KOBlOB2

.,.S=∣7Γ×OB2=10π

15.【答案】(1)解：如图所示，AAlBlCl即为所求.

(2)(2,0)

222

(3)解：如图:设旋转半径为r,则r=2+4=20，

.∙.阴影部分的图形面积为:

1111

S阴影--τ∙τπ*72——.×2×4-∙≈×2×2+∙^∙×l×l

ILA乙乙

11

=5兀-2

16.【答案】（1）解：如图，连接EF,交BC于点D,

连接AD,则AD为AABC的中线；

(2)解：如图，连接M、N,交AB于点E,

(3)解：如图，连接PQ,MN,交于一点0,则O点是AABC的外心.

A

18.【答案】（1）解：如图，线段CM即为所求;

图①

(2)解：如图，线段BN即为所求.

22

∙∙∙AC=2,BN=J3-(|)=等，

SΔABc=；x2x3x苧=等.

图二

20.【答案】（1）解：如图1中，线段CE即为所求作.

图I

（2）解：如图1中，线段DN即为所求作.

图1

(3)解：如图2中，点G即为所求作.

图2

(4)解：如图3中，直线EQ即为所求作.

21.【答案】解：①

(2)解：先将点B向左平移2格，再向上平移1个可得到点4,

则将点C按照同样的平移方式可得到点E,

如图②，平行四边形ABCE是中心对称图形.

23.【答案】(1)解：如图1,以AB为对角线的矩形即为所求,