2023年中考数学考前第3讲：规律探究性问题（附答案解析）

2023年中考数学考前冲刺第3讲：规律探究性问题

【难点突破】着眼思路，方法点拨，疑难突破；

1、解数式规律型问题的一般方法：

（1）当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正

数列、奇数列、偶数列还是正整数列经过平方、平方加1或减1等运

算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替

出现还是只出现一种符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而

得到结果；（2）当数字是分数和整数结合时，先把这组数据的所有整

数写成分数，然后分别推断出分子和分母的规律，最后得到该组第n

项的规律；（3）当所给的代数式含有系数时，先观察其每一项的系数

之间是否有自然数列、正整数列、奇数列、偶数列或交替存在一定的

对称性，然后观察其指数是否存在相似的规律，最后将系数和指数的

规律结合起来求得结果.

数字循环类规律题就是几个数循环出现，解决此类问题时，一般

是先求出前几个数，再观察其中隐含的规律，若和序号有关，则第n

个数用含n的式子表示，用n除以循环出现的数的个数，找出余数即

可找到对应的结果.

2、探索等式规律的一般步骤：

（1）标序数；（2）对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序

数（1,2,3,4,…，n）之间的关系，把其隐含的规律用含序数的式

子表示出来，通常方法是将式子进行拆分，观察式子中数字与序号是

否存在倍数或者次方的关系；（3）根据找出的规律得出第n个等式，

并进行检验.

3、根据图形寻找点的坐标的变换特点，这类题目一般有两种考

查形式：一类是点的坐标变换在直角坐标系中递推变化；另一类是点

第1页共10页

的坐标变换在坐标轴上或象限内循环递推变化.解决这类问题可按如

下步骤进行：（1）根据图形点坐标的变换特点确定属于哪一类；（2）

根据图形的变换规律分别求出第1个点，第2个点，第3个点的坐标,

找出点的坐标与序号之间的关系，归纳得出第M个点的坐标与变换次

数之间的关系；（3）确定第一类点的坐标的方法：根据⑵中得到的倍

分关系，得到第M个点的坐标；确定第二类点坐标的方法：先找出循

环一周的变换次数，记为n,用M÷n=3……q（O≤q<n）,则第M次

变换与每个循环中第q次变换相同，再根据⑵中得到的第M个点的

坐标与变换次数的关系，得到第M个点的坐标.

4、对于求面积规律探索问题的一般步骤：（1）根据题意可得出第

一次变换前图形的面积S；（2）通过计算得到第一次变换后图形的面

积，第二次变换后图形的面积，第三次变换后图形的面积，归纳出后

一个图形的面积与前一个图形的面积之间存在的倍分关系；（3）根据

找出的规律，即可求出第M次变换后图形的面积.

5、找图形累加型变化规律的一般步骤：

（1）写序号，记每组图形的序数为“1,2,3,…n”；（2）数图形

个数，在图形数量变化时，要数出每组图形表示的个数；（3）寻找图

形数量与序数n的关系，若当图形变化规律不明显时，可利用图示法,

即针对寻找第n个图形表示的数量时，先将后一个图形的个数与前一

个图形的个数进行比对，通常作差（商）来观察是否有恒等量的变化，

然后按照定量变化推导出第n个图形的个数.

一、选择题：

1.如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为

第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三

角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形

第2页共10页

按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三

次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的

次数是（）

A.25B.33C.34D.50

2.在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令，从原点0

出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动

1m,其行走路线如图所示，第1次移动到斗，第2次移动到必……,

第n次移动到-.lr,则4出餐视工坐的面积是（）

二、填空题：

3.如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等

边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边

三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三

角形组成；…按照此规律，第〃个图中正方形和等边三角形的个数之

和为______

©æ>x5

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4.已知a>0,Si=—,S2=—S1—1,S3=-,S4=—S3—1,S5=—,（即

aS2S4

当n为大于1的奇数时，村=」—；当n为大于1的偶数时，S=-Sn

Sn-I

-=

-ID＞按此规律，S2018-

第4页共IO页

2023年中考数学考前冲刺第3讲：规律探究性问题答案解析

【难点突破】着眼思路，方法点拨，疑难突破；

1、解数式规律型问题的一般方法：

（1）当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正

数列、奇数列、偶数列还是正整数列经过平方、平方加1或减1等运

算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替

出现还是只出现一种符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而

得到结果；（2）当数字是分数和整数结合时，先把这组数据的所有整

数写成分数，然后分别推断出分子和分母的规律，最后得到该组第n

项的规律；（3）当所给的代数式含有系数时，先观察其每一项的系数

之间是否有自然数列、正整数列、奇数列、偶数列或交替存在一定的

对称性，然后观察其指数是否存在相似的规律，最后将系数和指数的

规律结合起来求得结果.

数字循环类规律题就是几个数循环出现，解决此类问题时，一般

是先求出前几个数，再观察其中隐含的规律，若和序号有关，则第n

个数用含n的式子表示，用n除以循环出现的数的个数，找出余数即

可找到对应的结果.

2、探索等式规律的一般步骤：

（1）标序数；（2）对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序

数（1,2,3,4,…，n）之间的关系，把其隐含的规律用含序数的式

子表示出来，通常方法是将式子进行拆分，观察式子中数字与序号是

否存在倍数或者次方的关系；（3）根据找出的规律得出第n个等式，

并进行检验.

3、根据图形寻找点的坐标的变换特点，这类题目一般有两种考

查形式：一类是点的坐标变换在直角坐标系中递推变化；另一类是点

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的坐标变换在坐标轴上或象限内循环递推变化.解决这类问题可按如

下步骤进行：（1）根据图形点坐标的变换特点确定属于哪一类；（2）

根据图形的变换规律分别求出第1个点，第2个点，第3个点的坐标,

找出点的坐标与序号之间的关系，归纳得出第M个点的坐标与变换次

数之间的关系；（3）确定第一类点的坐标的方法：根据⑵中得到的倍

分关系，得到第M个点的坐标；确定第二类点坐标的方法：先找出循

环一周的变换次数，记为n,用M÷n=3……q（O≤q<n）,则第M次

变换与每个循环中第q次变换相同，再根据⑵中得到的第M个点的

坐标与变换次数的关系，得到第M个点的坐标.

4、对于求面积规律探索问题的一般步骤：（1）根据题意可得出第

一次变换前图形的面积S；（2）通过计算得到第一次变换后图形的面

积，第二次变换后图形的面积，第三次变换后图形的面积，归纳出后

一个图形的面积与前一个图形的面积之间存在的倍分关系；（3）根据

找出的规律，即可求出第M次变换后图形的面积.

5、找图形累加型变化规律的一般步骤：

（1）写序号，记每组图形的序数为“1,2,3,…n”；（2）数图形

个数，在图形数量变化时，要数出每组图形表示的个数；（3）寻找图

形数量与序数n的关系，若当图形变化规律不明显时，可利用图示法,

即针对寻找第n个图形表示的数量时，先将后一个图形的个数与前一

个图形的个数进行比对，通常作差（商）来观察是否有恒等量的变化，

然后按照定量变化推导出第n个图形的个数.

一、选择题：

1.如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为

第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三

角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形

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按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三

次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的

A.25B.33C.34D.50

【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有

(4+3)个、第三次操作后三角形共有(4+3+3)个，可得第n次操作

后三角形共有4+3(n-1)=3n+l个，根据题意得3n+l=100,求得n

的值即可.

【解答】解：•••第一次操作后，三角形共有4个；

第二次操作后，三角形共有4+3=7个；

第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；

，第n次操作后，三角形共有4+3(n-1)=3n+l个；

当3n+l=100时,解得:n=33,

故选：B.

2.在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令，从原点。

出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动

1m,其行走路线如图所示，第1次移动到4,第2次移动到J2……，

第n次移动到-4,则^山与也⅛5的面积是()

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【分析】根据图中规律可得Ah1(2n,O),SPA2016=A4x504(1008,0),从

而得A*(1009,1),再根据坐标性质可得A2A2oi8=lOO8,由三角形面积

公式即可得出答案.

【解答】依题可得：

A2(1,1),A,1(2,O),A8(4,0),A12(6,0)……

,

..A.ln(2n,0),

AA2016=A4x504(1008,0),

ΛA2018(1009,1),

ΛA2A2O18=1OO9-1=1OO8,

l

ΛSΔ⅛⅛!S=iX1X1008=504(标).

故答案为:A.

二、填空题：

3.如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等

边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边

三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三

角形组成；…按照此规律，第〃个图中正方形和等边三角形的个数之

和为.

U烟CW

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【解析】•••第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角

形组成，.∙.正方形和等边三角形的和=6+6=12=9+3；∙.∙第2个图

由11个正方形和10个等边三角形组成，.∙•正方形和等边三角形的和

=11+10=21=9X2+3；；第3个图由16个正方形和14个等边三

角形组成，.∙.正方形和等边三角形的和=16+14=30=9X3+3,…

.∙.第A个图中正方形和等边三角形的个数之和=9A+3.

4.已知a>0,S1=-,S2=—S,-1,S3=-,S1=—S3—1,S5=~>…(即

aS2S4

当n为大于1的奇数时，sɪɪ;当n为大于1的偶数时，S