2023年初中数学九年级数学上册第二单元《一元二次方程》测试(包含答案解析)

一、选择题

I.某产品成本价为100万元，由于改进技术，成本连续降低，每次降低X%,连续两次降

低后成本为64万元，则X的值为（）

A.10B.15C.18D.20

2.已知关于x的一元二次方程x2+4x—女=0,当-4〈女＜0时，该方程解的情况是

（）

A.有两个不相等的实数根B.没实数根

C.有两个相等的实数根D.不能确定

3.为切实解决群众看病贵的问题，药监部门对药品价格进行了两次下调.某种药品原价为

250元/瓶，经两次下调后价格变为160元/瓶，该药品平均每次降价的百分率为（）

A.10%B.15%c.20%D.25%

4.我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二

次方程（正根）的几何解法.以方程x2+2x-35=0即x（x+2）=35为例说明，记载的

方法是：构造如图，大正方形的面积是（X+%+2）2.同时它又等于四个矩形的面积加上中

间小正方形的面积，即4x35+22,因此x=5.则在下面四个构图中，能正确说明方程

x2—3x—10=0解法的构图是（）

5.关于x的方程G—2）（x+3）=a2（a为常数）的根的情况，下列结论中正确的是

（）

A.两个正根B.两个负根C.一个正根一个负根D.无实数根

6.某企业通过改革，生产效率得到了很大的提高，该企业一月份的营业额是1000万元，

月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3390万元.若设月平均增长率是X,那么可列

出的方程是（）

A.1000(1+x)2=3390B.1000+1000(1+x)+1000(1+x)2=

3390

C.1000(l+2x)=3390D.1000+1000(1+x)+1000(l+2x)=

3390

7.下列说法不正确的是()

A.打开电视剧，电视里播放《小猪佩奇》是偶然事件

B.了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查

C.一元二次方程x2—2x+l=o只有一个根

D.甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是

用=0.36,S2=0.54,甲的射击成绩稳定

8.在疫情期间，口罩的需求量急剧上升某口罩生产企业四月份生产了口罩200000只，如

果要在第二季度总共生产728000只口罩，设生产口罩月平均增长的百分率为x,则可根据

题意列出的方程是()

A.200000(1段>=728000

B.200000(l+x>=728000

C.200000(1+x)+200000(1+x>=728000

D.200000+200000(l+x)+200000(l+x>=728000

9.在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是()

A.x-l=oB.X2+X=OC.%2-1=0D.X2+1=O

10.若关于x的方程0X2-2优+1=0的一个根是一1,则。的值是()

11.★在RtZ!\ABC中，ZC=90°,a,b,c分别是NA,ZB,NC的对边，a,b是关于x

的方程X2—7x+c+7=0的两根，那么AB边上的中线长是()

35

A.-B.-C.5D.2

22

12.若关于x的一元二次方程x2+x—3m+l=0有两个实数根，则m的取值范围是()

1111

A.m>—B./7?<-C.m>—D.m<—

4444

二、填空题

11

13.已知m,O是方程—2x—1=0的两实数根，则一+—=.

mn

14.方程X2—6x+4=0的两个实根分别为q,x?，那么5%一\一己的值为-

15.一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程X2-8X+12=0的两根，则该等腰三角形的

周长是.

16.若关于x的一元二次方程x2-2kx+k2-k+l=O有两个不相等的实数根，则实数k的取

值范围是

17.已知x=2是方程x2+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根为_.

18.已知m为一元二次方程x2-3x-2020=0的一个根，则代数式2m2-6m+2的值为

19.方程伏-1)x2-+2=O有两个实数根，则k的取值范围是______.

4

20.关于*的方程x2+10x+9=0的实数根为.

三、解答题

21.某商店经销一种成本为每千克20元的水产品，据市场分析，若按每千克30元销售，

一个月能售出500依，销售单价每涨1元，月销售量就减少1。依，解答以下问题.

(1)当销售单价定为每千克35元时，销售量是一千克、月销售利润是一元；

(2)商店想在月销售成本不超过6000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售

单价应为多少？

22.解下列方程：2x(x-l)=3(x-l)

23.某住宅小区在住宅建设时留下一块1248平方米的空地，准备建一个矩形的露天游泳

池，设计如图所示，游泳池的长是宽的2倍，在游泳池的前侧留一块5米宽的空地，其它

三侧各保留2米宽的道路及1米宽的绿化带.请你计算出游泳池的长和宽.

Ifn

=1m

Im

24.阅读材料：若X2-2xy+2y2-8)，+16=0,求x,y的值.

解：...X2—2孙+2y2—8>+16=0

()()

vx2-2xy+y27+yi-8y+167=0

Q-y)+§-J=0

1''Q-))=0,(y-4,=0

y=4,x=4

根据上述材料，解答下列问题：

(1)m2-Imn+2«2-2n+1=0»求2m+”的值；

(2)a-h=6,ab+c2-4c+13=0,求”+b+c的值.

25.在△ABC中，8c=2,48=2乔，AC=b,且关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的

实数根，求AC边上的中线长及NA的度数.

26.某旅游景区今年9月份游客人数比8月份增加了44%,10月份游客人数比9月份增

加了69%,求该旅游景区9,10两个月游客人数的平均增长率.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.D

解析：D

【分析】

设平均每次降低成本的百分率为X%的话，经过第一次下降，成本变为100(1-x%)元，再

经过一次下降后成本变为100(1-x%)(l-x%)元，根据两次降低后的成本是64元列方程

求解即可.

【详解】

解：设平均每次降低成本的百分率为x%,根据题意得100(1-x%)(1-x%)=64,

解得x=20或180(不合题意，舍去)

故选：D.

【点睛】

考查了一元二次方程的应用的知识，是一道典型的数量调整问题，数量上调或下调X%后就

变为原来的(1士X%)倍，调整2次就是(l±x%)2倍.

2.A

解析：A

【分析】

计算根的判别式，根据k的范围，判断判别式的属性，根据性质求解即可.

【详解】

解：,一元二次方程心+4x-%=0,

,,1△=6-4ac=42+4k=16+4k,

-4<k<Q,

一16<4〃<0,

16+4k>0,

△>0,

原方程有两个不相等的实数根，

故选A.

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记公式，并根据字母范围确定判别式的属性是解

题的关键.

3.C

解析：C

【分析】

设该药品平均每次降价的百分率为X,根据题意列方程求解即可.

【详解】

解：设该药品平均每次降价的百分率为X,根据题意得，

250(1-x)2=160,

解得，x『0.2,x2=1.8(舍去)，

答：该药品平均每次降价的百分率为20%；

故选：C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用一增长率(或下降率)问题，解题关键是熟知增长率(或

下降率)问题的数量关系，结合题意列方程.

4.C

解析：C

【分析】

根据题意，画出方程X2-3X-10=0,即x(x-3)=10的拼图过程，由面积之间的关系可得出答

案.

【详解】

解：方程x2-3x-10=0,即x(x-3)=10的拼图如图所示；

中间小正方形的边长为x-(x-3)=3,其面积为9,

大正方形的面积：(x+x-3)2=4x(x-3)+9=4x10+9=49,其边长为7,

因此，C选项所表示的图形符合题意，

故选：C.

【点睛】

本题考查完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表

示出来是解决问题的关键.

5.C

解析：C

【分析】

先将方程整理为一般形式，计算△>(),得到方程有两个不相等的实数根，再根据两根之

积为负数即可求解.

【详解】

解：整理关于x的方程(*-2)(犬+3)=。2得

元2+%—6—。2=0,

A=12-4xlx-6-(22Z=25+4^2>0,

•••方程有两个不相等的实数根，

XX=:6—严<0,

।21

A方程了两个根一正一负.

故选？C

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟知两个知识点是解题关键，注

意在讨论一元二次方程根与系数的关系时首先要注意确保方程有实根.

6.B

解析：B

【分析】

月平均增长的百分率是X,则该超市二月份的营业额为1000(1+x)万元，三月份的营业额

为1000(l+x)2万元，根据该超市第一季度的总营业额是3990万元，即可得出关于x的

一元二次方程，此题得解.

【详解】

解：设月平均增长的百分率是X,则该超市二月份的营业额为1000(1+x)万元，三月份的

营业额为1000(1+x)2万元，

依题意,得1000+1000(1+x)+1000(1+x)2=3990.

故选：B.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

7.C

解析:C

【分析】

根据必然事件和偶然事件，抽样调查和普查，一元二次方程跟的判别式和方差依次判断即

可.

【详解】

解：A.打开电视剧，电视里播放《小猪佩奇》是偶然事件，正确，不符合题意；

B.了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，正确，不符合题意；

C.一元二次方程x2—2x+l=0中，△=82—4ac=4—4=0,有两个相等的实数根，故

原说法错误，符合题意；

D.甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是

52=0.36,S2=0.54,甲的射击成绩稳定，正确，不符合题意；

故选：C.

【点睛】

本题考查必然事件和偶然事件，抽样调查和普查，一元二次方程跟的判别式和方差，注意

当A=0时，一元二次方程有两个相等的实数根.

8.D

解析：D

【分析】

根据题意生产口罩月平均增长的百分率为x,四月份生产了口罩200000只，第二季度总共

生产728000只口罩，由此列出方程即可.

【详解】

解：设生产口罩月平均增长的百分率为工,

•-•四月份生产了口罩200000只,

•••五月份生产了口罩200000(1+x)只，

六月份生产了口罩200000(1+X)2只，

又一在第二季度四、五、六3个月总共生产了728000只口罩，

•••列式为：200000+200000(l+x)+200000(1+x)2=728000.

故选：D.

【点睛】

此题考查一元二次方程的实际应用问题，属于增长率问题，根据题意列出等式是解决本题

的关键.

9.C

解析：C

【分析】

根据题意一次项系数为0且△>0判断即可.

【详解】

解：A、x-l=0是一次方程，方程有一个实数根，故选项不合题意；

B、1•方程两根互为相反数和为0,一次项的系数为1,故选项不合题意：

C、△xo-4xlx(-1)=4>0,且一次项系数为0,故此选项符合题意；

D、•••A=0-4xlxl=-4<0,故此选项不合题意.

故选：C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(axO)的根与系数的关系：若方程的两根为％,x2.

hc

则X]+X2=--，X.x=-,也考查了一元二次方程的根的判别式.

12a12a

10.C

解析：C

【分析】

根据方程根的定义，回代原方程中，解关于a的方程求解即可.

【详解】

x的方程以2-2依+1=0的一个根是—1,

••nx(-l)2—2xax(-l)+1=0,

1

解得a=-g,

故选C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根，熟记根的定义是解题关键.

11.B

解析：B

【分析】

由于a、b是关于x的方程x2-7x+c+7=0的两根，由根与系数的关系可知：a+b=7,ab

=c+7；由勾股定理可知：ai+b2=C2,则Q+〃>-2ab=c2,即49-2(c+7)=C2,

由此求出c,再根据直角三角形斜边中线定理即可得中线长.

【详解】

解：:a、b是关于x的方程x2-7x+c+7=0的两根，

・••根与系数的关系可知：a+b=7,ab=c+7；

由直角三角形的三边关系可知：。2+从二。2,

则Q+。)2-lab=C2,

即49-2(c+7)=C2,

解得：c=5或-7(舍去)，

5

再根据直角三角形斜边中线定理得：中线长为2.

故选：B.

【点睛】

本题考查三角形斜边中线长定理及一元二次方程根与系数的关系运用，勾股定理的运用，

一元二次方程的解法的运用，解答时运用一元二次方程的根与系数的关系建立方程是关

键.

12.C

解析：C

【分析】

关于x的一元二次方程4+》一3%+1=0有两个实数根，即判别式△=6-4〃20,即可

得到关于m的不等式，从而求得m的范围；

【详解】

关于X的一兀二次方程X2+X-3/77+1=0有两个实数根，

/.A=12-4xlx(-3/n+l^>o,

1

解得：m>—,

4

故选：C.

【点睛】

本题考查了根的判别式，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，正确

掌握根与判别式的关系是解题的关键.

二、填空题

13.-2【分析】由根与系数的关系可得出m+n=2mn=-l将其代入中即可求出

结论【详解】解：；mn是方程x2-2x-l=0的两实数根，m+n=2mn=-l.'.=

=-2故答案为：-2【点睛】本题考查了根与系

解析：-2

【分析】

11m+n

由根与系数的关系可得出m+n=2、mn=-l,将其代入一+-=-----中，即可求出结

mnmn

论.

【详解】

解：rm,n是方程X2-2x-l=0的两实数根，

m+n=2,mn=-l,

.1+1_m+n2

mnmn-1

故答案为：-2.

【点睛】

bc

本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-一、两根之积等于一是解题的关键.

aa

14.【分析】根据根与系数的关系求出X1+X2和的值然后代入计算即可【详

解】•••方程的两个实根分别为••.xl+x2==:.=-(xl+x2)=-2故答案为：-21点

睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0

解析：-2

【分析】

根据根与系数的关系求出A+x,和x的值，然后代入计算即可.

1212

【详解】

方程x2-6x+4=0的两个实根分别为,',

.一6一4

Xl+X2=-Y=6>"J无2=1=4，

xx-x-x=xx.(x+x)=-2

12121212•

故答案为：-2

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(axO)根与系数的关系，若x1，X2为方程的两个根，

rbc

则X+x=—-，X=—.

12a12a

15.14【分析】运用因式分解法解一元二次方程求出两根因为三角形是等腰三

角形分情况讨论：腰为2时和腰为6时再利用三角形三边关系验证是否符合题

意即可求出周长；【详解】解：(x-2)(x-6)=0xl=2x2

解析：14

【分析】

运用因式分解法解一元二次方程，求出两根，因为三角形是等腰三角形，分情况讨论：腰

为2时和腰为6时，再利用三角形三边关系验证是否符合题意，即可求出周长；

【详解】

解:%2-8x+12=0,

(x-2)(x-6)=0,

X]=2,乂2=6,

当腰长为2时，三角形的三边为2,2,6,不符合三角形的三角关系，舍去；

当腰长为6时，三角形的三边关系为6,6,2,符合三角形的三角关系，

则周长为：6+6+2=14,

故答案为：14.

【点睛】

本题考查因式分解解一元二次方程和三角形的三边关系，求解后验三角形的三边关系是解

题的关键.

16.k>l【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得^=(2k)2-4(k2-

k+1)>0求出k的取值范围【详解】解：•••原方程有两个不相等的实数根△

=b2-4ac=(2k)2-4(k2-k+1)=4k-

解析：k>l

【分析】

根据方程有两个不相等的实数根可得^=(2k)2-4(k2-k+l)>0,求出k的取值范围.

【详解】

解：.•.原方程有两个不相等的实数根，

△=匕2-4ac—(2k)2-4(k2-k+1)—4k-4>0,

解得k>l；

故答案为：k>l.

【点睛】

本题考查了一元二次方程axz+bx+c=0(。工0)的根与A=b2-4ac有如下关系：①当A>0

时，方程有两个不相等的实数根；②当△=()时，方程有两个相等的实数根；③当△<()

时，方程无实数根.

17.【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系定理中的两根之积计算即可

【详解】设方程的另一个根为x；是方程的一个根丁.根据根与系数关系定理得

2x=-2解得x=-l故答案为：x=-l【点睛】本题考查了已知一元

解析：x=-l.

【分析】

利用一元二次方程的根与系数的关系定理中的两根之税计算即可.

【详解】

设方程举+法―2=0的另一个根为X,

尤=2是方程举+历^一2=0的一个根，

二根据根与系数关系定理，得2x=-2,

解得x=-l,

故答案为：x=-l.

【点睛】

本题考查了已知一元二次方程的一个根求另一个根，熟练运用一元二次方程根与系数的关

系定理，选择合适的计算方式是解题的关键.

18.4042【分析】由题意可得m2-3m=2020进而可得2m2—6m=4040然后整

体代入所求式子计算即可【详解】解：・「m为一元二次方程x2—3x—2020=0的

一个根m2-3m-2020=0.\m2

解析:4042

【分析】

由题意可得m2-3m=2020,进而可得2m2—6m=4040,然后整体代入所求式子计算即可.

【详解】

解：,rm为一元二次方程X2—3X—2020=0的一个根，

•*,m2—3m—2020=0,

m2—3m=2020,

2m2—6m=4040,

*e-2m2—6m+2=4040+2=4042.

故答案为：4042.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，熟练掌握基本知识、灵活应用整体思想是解

题的关键.

19.【分析】由方程有两个实数根可得方程为一元二次方程可得：且解不等式

组可得答案【详解】解：由已知方程可知：・.・方程有两个实数根••・解得：・・・二・

故答案为：【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件一元二次方程的定

解析：上＜1

【分析】

伙W1

由方程有两个实数根，可得方程为一元二次方程，可得：20且勺，解不等式组

可得答案.

【详解】A

解：由已知方程可知：a=k_T,b=《l_k,c=；,

4

•••方程有两个实数根，

-b2-4ac--2k+2>0,

解得：kWl,

k彳1

l-^>0

k<1,

故答案为：k<\.

【点睛】

本题考查的是二次根式有意义的条件，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，

掌握以上知识列不等式组求参数的范围是解题的关键.

20.【分析】利用因式分解法解方程【详解】解：(x+1)(x+9)

=0「.x+l=0x+9=0.•.故答案为：【点睛】此题考查解一元二次方程掌握解方程的方

法：直接开平方法公式法配方法因式分解法根据每个一元二次方

解析：q=T，匕=-9

【分析】

利用因式分解法解方程.

【详解】

解：x2+10x+9=0

(x+1)(x+9)=0

x+l=0,x+9=0,

/.x=-1,x=-9

12

故答案为：q=T,5=-9.

【点睛】

此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分

解法，根据每个一元二次方程的特点选用恰当的解法是解题的关键.

三、解答题

21.(1)450,6750；(2)销售单价应为60元/千克.

【分析】

(1)根据题意直接计算得出即可；

(2)销售成本不超过6000元，即进货不超过6000+20=300kg.根据利润表达式求出当利

润是8000时的售价，从而计算销售量，与进货量比较得结论.

【详解】

解：(1)销售量：500-5x10=450(kg)；

销售利润：450x(35-20)=450x15=6750(元)；

故答案为：450,6750.

(2)由于水产品不超过6000+20=300(kg),定价为x元，

则(x-20)[500-10(x-30)]=8000

解得：x『40,X2=60

当x『40时，进货500-10(40-30)=400kg>300kg,舍去，

当*2=60时，进货500-10(60-30)=200kg<300kg,符合题意.

答：销售单价应为60元.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，此题的创意在第2问，同时考虑进出两个方面的问题，

比较后得结论.

3

22.x=l,x=—

>22

【分析】

移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

【详解】

解：2x(x—1)=3(x—1),

移项得2x(x-1)-3(x-1)=0,

因式分解得(2x-3)(x-l)=0,

,3

解得x=Lx——.

122

【点睛】

本题考查了因式分解法解一元二次方程，正确理解因式分解法的基本思想是化成一元一次

方程.

23.游泳池的长为40米，宽为20米.

【分析】

设游泳池的宽为x米，而游泳池的长是宽的2倍，那么原来的空地的长为(〃+8),宽为

(x+6),根据空地面积为1248平方米即可列出方程解题.

【详解】

解：设游泳池的宽为x米，

依题意得(x+6)(2x+8)=1248

整理得x2+10x-600—0,

解得\=20,x2=-30(负数不合题意，舍去)，

.".x—20,2x=40.

答：游泳池的长为40米，宽为20米.

【点睛】

找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.此题要注意判断所求

的解是否符合题意，舍去不合题意的解.

24.(1)2m+n=3；(2)a+b+c=2.

【分析】

(1)将方程“2-2加〃+2〃2-2几+1=0的左边分组配方，再根据偶次方的非负性，可求

得相、〃的值，最后代入2根