图形的变化（旋转、对称、平移）-2023年中考数学知识点练习（江苏）（解析版）

2023年中考数学【热点•重点•难点】专练（江苏专用）

热点09.图形变换（旋转、对称、平移）

【考纲解读】

1.了解：什么是图形的平移；平移的条件；什么是旋转；中心对称和中心对称图形的概念，能区

分两个概念；轴对称图形的概念

2.理解：平移的性质与旋转的性质；轴对称的性质

3.会：正确作出一个图形关于某直线的轴对称图形

4.掌握：平移的性质；旋转的性质；轴对称的性质

5.能：能准确利用平移作图；能掌握中心对称的性质，能用轴对称的性质正确作图

【命题形式】

1.从考查的题型来看，本知识点主要以填空题或选择题的形式考查，题目简单，属于低档题.

2.从考查内容来看,涉及本知识点的重点有平移的性质与旋转的性质；轴对称的性质；中心对称与

中心对称图形的概念；轴对称与轴对称图形的概念

3.从考查热点来看,涉及本知识点的主要有平移、旋转、轴对称的性质；轴对称与轴对称图形；中

心对称与中心对称图形；用轴对称、平移、旋转的性质作图

【限时检测】

A卷（真题过关卷）

备注：本套试卷所选题目多数为近三年江苏省各地区中考真题，针对性强，可作为一轮、二

轮复习必刷真题过关训练.

一、单选题（共0分）

1∙（2022∙江苏徐州•统考中考真题）下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

【答案】C

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能

够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形：中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°,如

果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进

行逐一判断即可.

【详解】解：A、是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项不合题意；

B、是中心对称图形，是轴对称图形，故B选项不合题意：

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；

D、是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项不合题意；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心.

2.（2022•江苏常州•统考中考真题）在平面直角坐标系Xoy中，点A与点儿关于X轴对称，点A与点&关于y

轴对称.已知点Al（1,2）,则点4的坐标是（）

A.（—2,1）B.（—2,—1）C.（—1,2）D.（—1,—2）

【答案】D

【分析】直接利用关于X,y轴对称点的性质分别得出A,乙点坐标，即可得出答案.

【详解】解：Y点4的坐标为（1,2）,点A与点Al关于X轴对称，

二点A的坐标为（1,-2）,

；点A与点心关于y轴对称，

二点斗2的坐标是（-L^2）.

故选：D.

【点睛】此题主要考查了关于X,y轴对称点的坐标，正确掌握关于坐标轴对称点的性质是解题关键.

3.（2021•江苏苏州・统考中考真题）如图，在方格纸中，将RtA40B绕点8按顺时针方向旋转90。后得到Rt△

A'0'B,则下列四个图形中正确的是（）

【答案】B

【分析】根据绕点E按顺时针方向旋转90。逐项分析即可.

【详解】A、Rt△4。'B是由RtAAOB关于过B点与OB垂直的直线对称得到，故A选项不符合题意；

B、RtAdO'B是由RtZk408绕点B按顺时针方向旋转9()。后得到，故B选项符合题意；

C、Rt△4。'B与RtAAOB对应点发生了变化，故C选项不符合题意；

D、Rt△4。B是由RtZkAOB绕点B按逆时针方向旋转90。后得到，故D选项不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查旋转变换.解题的关键是弄清旋转的方向和旋转的度数.

4.(2020•江苏南通・统考中考真题)以原点为中心，将点P(4,5)按逆时针方向旋转90。，得到的点。所

在的象限为()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】根据旋转的性质，以原点为中心，将点P(4,5)按逆时针方向旋转90。，即可得到点Q所在的象

限.

【详解】解：如图，°.♦点P(4,5)按逆时针方向旋转90。,

得点Q所在的象限为第二象限.

故选：B.

【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质.

5.（2020•江苏苏州•统考中考真题）如图，在ZL4BC中，NB力C=Io8。，将44BC绕点4按逆时针方向旋转得

至必4*U.若点B，恰好落在BC边上，且Ae=CB',则乙C'的度数为（）

【答案】C

【分析】根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和定理进行求解，即可

求出答案.

【详解】解：设zC，=x。.

根据旋转的性质，得∕C=∕C'=χθ,4C'=AC,4B'=AB.

，N4B'8=∕B.

∖,AB'=CB',：.ZC=ZCA5,=xo.

∕AB'B=∕C+∕CAB'=2x°.

ΛZB=2xo.

VZC+ZB+ZCAB=180o,∆BAC=108°,

Λx+2x+108=180.

解得x=24.

.∙.∕C'的度数为24。.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质.

6.(2022•江苏苏州・统考中考真题)如图，点A的坐标为(0,2),点B是X轴正半轴上的一点，将线段AB绕

点4按逆时针方向旋转60。得到线段AC.若点C的坐标为(m,3),则机的值为()

'3'3CTD.第

【答案】C

【分析】过C作CD_Lx轴于D,CELy轴于E,根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60。得到线段AC,

可得△A8C是等边三角形，又4(0,2),C(m,3),即得AC=√m2+1=BC=AB,可得BD=√FC2-CD2=

y∕m2—8,OB=y∕AB2—OA2=Vm2—3,从而Vm?_3+Tm2.8=m,即可解得m=4.

【详解】解：过C作CoLX轴于。CELy轴于E,如图所示：

・・・ZCDO=ZCEO=ZDOE=90°,

...四边形EOOC是矩形，

Y将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60。得到线段AC,

.∙.A8=AC,ZBAC=60o,

,△ABC是等边三角形，

：.AB=AC=BC,

VΛ（0,2）,CCm,3）,

.∙.CE=m=OO,CD=3,OA=2,

：.AE=OE-OA=CD-OA=1,

：.AC=∖∕AE2+CE2=√m2+1=BC=AB,

在Rt∆BCD中，8。=VfiC2-CD2=√τn2-8,

在Rt∆AOB中，OB=y∕AB2-OA2=Vm2-3,

∖'OB+BD=OD=m,

Vm2—3+√τn2-8=m，

化简变形得：3∕n4-22nz2-25=0,

解得：Tn=等或Tn=-W（舍去），

.'.m=故C正确.

故选：C.

【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含〃，的代数式表示相关

线段的长度.

7.（2022.江苏扬州.统考中考真题）如图,在AABC中,AB<4C,将△4BC以点4为中心逆时针旋转得到440E,

点。在8C边上，OE交4C于点F.下歹U结论：（Γ）ΛAFE-ΔDFC；②Zλ4平分4B0E；③乙CDF=乙BAD,其中

所有正确结论的序号是（）

A.①②B.②③C.①③D.(D@③

【答案】D

【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解.

【详解】解：•..将AABC以点力为中心逆时针旋转得到AADE,

△ADE=△ABC,

ʌ（E=ZC,

•・,∆AFE=乙DFC,

・・・AAFEFDFC,故①正确；

•・•ΔADE=△ABC,

ʌAB=AD,

ʌZ-ABD=Z-ADBt

V∆ADE=∆ABCt

二∆ADB=Z.ADE,

・•・ZM平分乙BDE,故②正确；

•・•△ADE=△ABC,

：.∆BAC=∆DAE,

：・Z-BAD=∆CAE,

•：△AFEDFC,

：•4CAE=∆CDF,

ʌ乙CDF=乙BAD,

故③正确

故选D

【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握

以上知识是解题的关键.

8.（2019•江苏苏州•统考中考真题）如图,菱形ABCD的对角线4C,8。交于点O,AC=4,BD=16,将△48。

沿点4到点C的方向平移，得到44B'C',当点A与点C重合时，点4与点夕之间的距离为（）

J______________O

B--------------3⅛C（∕fz）

O,

R

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

【分析】由菱形性质得到AO,8。长度，然后在RtA40'B＞利用勾股定理解出力夕即可

【详解】由菱形的性质得4。=OC=CO'=2,BO=OD=B'O'=8

^AOB=4AOE=90°

.♦.△4。'夕为直角三角形

.∙.AB'=y∣AO'2+B'O'2=√62+82=10

故选：C

【点睛】本题主要考查直角三角形勾股定理以及菱形的性质，本题关键在于利用菱形性质求出直角三角形

的两条边

二、填空题(共0分)

9.(2022•江苏淮安•统考中考真题)在平面直角坐标系中，将点4(2,3)向下平移5个单位长度得到点B,若

点B恰好在反比例函数y=E的图像上，则k的值是.

【答案】-4

【分析】将点4(2,3)向下平移5个单位长度得到点B,再把点8代入反比例函数y=%利用待定系数法进行

求解即可.

【详解】将点4(2,3)向下平移5个单位长度得到点B,则8(2,-2),

•••点B恰好在反比例函数y=:的图像上，

.,.k=2×(—2)=-4,

故答案为：一4.

【点睛】本题考查了坐标与图形变化一平移，待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握知识点是解题

的关键.

10.(2022•江苏盐城•统考中考真题)如图，在矩形ABCD中，ZB=2BC=2,将线段4B绕点4按逆时针方向

旋转，使得点B落在边CD上的点力处，线段AB扫过的面积为.

【答案】⅛π

33

【分析】由旋转的性质可得4夕=/8=2,由锐角三角函数可求4ZMB'=60。,从而得出NB力e=30。,由扇形

面积公式即可求解.

【详解】解：・・・4B=2BC=2,

・•・BC=1,

;矩形ABCD中，

・•・AD=BC=1/D=乙DAB=90°,

由旋转可知"8=4夕，

∖'AB=2BC=2,

：,AB,=AB=2,

AD1

VCosZ-DABl=----=一,

AB,2

・・・∆DAB,=60°,

・•・乙BAB'=30°,

.∙.线段AB扫过的面积=型篝"=*

3603

故答案为:ɪ.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，扇形面积公式，锐角三角函数等知识，灵活运用这些

性质解决问题是解此题的关键.

11.（2021•江苏南京•统考中考真题）如图，将回ABCD绕点A逆时针旋转到囿4B'C'D'的位置，使点8'落在BC

上，B'C'与Cz）交于点E,若AB=3,BC=4,BB'=1,则CE的长为.

【答案】I

O

【分析】过点C作CM//C'。‘交B'C'于点M,证明Z14BB'SA4DD'求得C'D=|,根据AAS证明ZABB'三ΔB'CM

可求出CM=I,再由CM/∕C'D'证明△CMESΔDC'E,由相似三角形的性质查得结论.

【详解】解：过点C作CMI∕C'D'交WC'于前M,

•••平行四边形A8C。绕点A逆时针旋转得到平行四边形ABO

：.AB=AB',AD=AD',乙B=∆AB'C'=KD=",∆BAD=∆B'AD'

.∖ΛBAB'=∆DAD',乙B=乙D'

J.ΔABB,SΔADD'

.BB,_AB_AB_3

,,DDzAD~BC~4,

•；BB'=1

：.DD'=-

3

.∖C,D=C,D,-DD,

=CD-DD,

=AB-DDf

4

=3~3

5

=—

3

•••∆AB'C=∆AB'C'+∆CB'M=4ABC+乙BAB'

：.ZCB1M=乙BAB'

'：B'C=BC-BB'=4-1=3

.".B'C=AB

'：AB=AB'

.∙.NABB'=/.AB'B=ΛAB'C'

".'AB'∕∕C,D',CD'//CM

J.AB'∕∕CM

：.ZAB'C'=乙B'MC

：.ZAB1B=乙B'MC

在2L4BB'和4B'MC中，

NBAB'=ZCBzM

乙AB'B=/.B1MC

AB=B'C

J.ΔABB'≡ΔB'CM

：.BB'=CM=1

•：CM“CD

：./XCMESΔDC'E

.CMCE13

.∙*-

DC,DEj5

.CE3

..—=-

CD8

：.CE=-CD=-AB=-×3=-

8888

故答案为：

【点睛】此题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判

定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键.

12.（2021.江苏苏州.统考中考真题）如图，射线OM、ON互相垂直，。4=8,点B位于射线OM的上方，且

在线段OA的垂直平分线2上，连接4B,AB=S.将线段AB绕点。按逆时针方向旋转得到对应线段4B，，若

点B'恰好落在射线ON上，则点A到射线ON的距离d≈.

【答案】γ

【分析】添加辅助线,连接04、0B,过4'点作AP1ON交ON与点P.根据旋转的性质，得到AA'B'0≈ΔABO,

在RM4'P0和中，∆B'OA=∆BOA,根据三角函数和已知线段的长度求出点A到射线ON的距离d=A'P.

【详解】如图所示，连接。4、OB,过A点作AploN交。N与点R

；线段48绕点。按逆时针方向旋转得到对应线段dB'

ΛOA'=OA=8,∆B'OB=∆A'OA

C.∆B'OB-∆BOA'=∆A'OA-∆BOA'

即4B'0A'=乙BoA

Y点B在线段OA的垂直平分线I上

：

.0C=-20A=-2×8=4,OB=AB

BC=√OB2-OC2=√52-42=3

`:^B'OA'=/.BOA

∆ιpDC

f,

/.sin∆BOA=—AfO=SinzfiOTl=—OB

・——1

8-5

/.d=A1P=>

5

【点睛】本题主要考查旋转的性质和三角函数.对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连的

线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等.

13.（2020•江苏镇江•统考中考真题）如图，在MBC中，BC=3,将"BC平移5个单位长度得到“向C/,

点尸、Q分别是AB、A/G的中点，尸。的最小值等于.

A

Bl

C1

【答案】∖

【分析】取AC的中点M,AlBI的中点N,连接PM,MQ,NQ,PN,根据平移的性质和三角形的三边关系即

可得到结论.

【详解】解：取4C的中点M,4位的中点N,连接PM,MQ,NQ,PN,

•；将Z4BC平移5个单位长度得到^A1B1C1,

：.B1C1=BC=3,PN=5,

•••点P、Q分别是48、4Cl的中点，

.∙.NQ=期Q=|,

.∙.5-∣3≤pρ≤5+≡3,

即T≤PQ≤岸

.∙.PQ的最小值等于会

故答案为：ɪ.

【点睛】本题考查/平移的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键.

14.（2022•江苏镇江•统考中考真题）如图，有一张平行四边形纸片力BCD,AB=5,AD=7,将这张纸片

折叠，使得点B落在边4。匕点B的对应点为点反，折痕为EF,若点E在边4B上，则DB'长的最小值等于

【答案】2

【分析】根据题意，EB=EB1当E点与A点重合时，符合题意，据此即可求解.

【详解】解：Y将这张纸片折叠，使得点B落在边An上，点8的对应点为点8',

；.EB=EB',

而B'E≥4E+AB',

当E点与A点重合时，EB'=AB=AB'=5,此时D夕的长最小，

J.DB'=AD-AB'=AD-AB=7-5=2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查了折叠的性质，理解当E点与4点重合时。8’的长最小是解题的关键.

15.（2022•江苏扬州•统考中考真题）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验.如图，已知三角形纸片力BC,

第1次折叠使点B落在BC边上的点夕处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点4落在点。处，折痕MN交

于点P.若BC=12,则MP+MN=.

第1次折叠第2次折叠

【答案】6

【分析】根据第一次折叠的性质求得BD=DB'=并夕和An1BC,由第二次折叠得到4M=DM,MN1AD,

进而得到MNIlBC,易得MN是△力DC的中位线，最后由三角形的中位线求解.

【详解】解：•；已知三角形纸片ABC,第1次折叠使点B落在8C边上的点夕处，折痕4。交BC于点D,

：.BD=DB'=-BB',AD1BC.

2

・・・第2次折叠使点A落在点。处，折痕MN交4少于点尸，

：.AM=DM,AN=ND,

：.MNLAD,

：.MNIlBC.

9CAM=DM,

,MN是A∕DC的中位线，

：.MP=-DB,MN=-DC.

2f2

VFC=12,BD+DC=CB,+2BD=BC,

：.MP+MN=∣DB,+∣DC=∣(DB,+DB'+B'C)=^BC=6.

故答案为：6.

【点睛】本题主要考查了折叠的性质和三角形中位线的性质，理解折叠的性质，三角形的中位线性质是解

答关键.

16.(2022・江苏无锡・统考中考真题)AABC是边长为5的等边三角形，ADCE是边长为3的等边三角形，直

线8。与直线AE交于点凡如图，若点。在AABC内，NDBC=20。，则NBAF=°；现将ADCE绕

点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段A尸长度的最小值是.

【答案】804—V3##—V3+4

【分析】利用SAS证明A2OC丝MEC,得到/DBC=/EAC=20。，据此可求得/BAF的度数；利用全等三

角形的性质可求得乙4EB=60。，推出A、B、C、尸四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当CDLBF

时，NFBC最大，则NFBA最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可.

【详解】解：∙.∙A48C和AQCE都是等边三角形，

.'.AC=BC,DC=EC,NBAC=NACB=NDCE=6。。,

，ZDCB+ZACD=ZECA+ZACD=60°,

即NoC8=NECA,

(CD=CE

在"Co和MCE中，NBCD=/.ACE,

(BC=AC

Λ∆ACE^∆BCD(SAS),

NEAC=NDBC,

∙/NDBC=20。,

.∙.ZEΛC=20o,

二ZBAF^ZBAC+ZEAC=80o；

设3F与AC相交于点H,如图：

•：XACEqABCD

：.AE=BD,NEAC=NDBC,且乙4,F=NB"C,

NAFB=NAC8=60。，

...A、B、C、尸四个点在同一个圆上，

；点。在以C为圆心，3为半径的圆上，当BF是圆C的切线时，即当COJ_8F时，NFBC最大,则NFBA

最小，

...此时线段AF长度有最小值，

在∕⅛Δ,BCO中，BC=5,CD=3,

ΛBD=√52-32=4,即AE=4,

,ZFDE=180o-90o-60o=30o,

∙.βZAFB=60o,

/.ZFDE=ZFED=3O0,

：.FD=FE.

过点F作FGLDE于点G,

3

ΛDG=GE=>,

2

ΛFE=DF=-^-τ=√3,

COS30°

.∙.ΛFME-FE=4-√3,

故答案为:80；4-√3.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本

题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

三、解答题（共O分）

17.（2019.江苏淮安.统考中考真题）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在

格点上（两条网格线的交点叫格点）.

B

Z

Z

~A

（1）将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点公,点B的对应点为点名,请画出平移后的线

段4/1；

（2）将线段为Bi绕点4按逆时针方向旋转90°,点/的对应点为点%,请画出旋转后的线段4%；

（3）连接AB2、BB2,求/AB%的面积.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）SΔABB2=6.

【分析】（1）根据网格结构找出点4、BI的位置，然后顺次连接即可；

（2）根据网格结构找出点为的位置，然后连接即可；

（3）利用正方形的面积减去三个三角形的面积，列式计算即可得解.

【详解】（1）线段AlBl如图所示：

(2)线段&B2如图所示；

⑶SzMBB2=4X44X2X24X2X44X2X4=6∙

【点睛】本题考查了平移变换和旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键.

18.(202卜江苏淮安♦统考中考真题)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，aABC的顶

点4、8、C都在格点上(两条网格线的交点叫格点).请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕

迹(不要求写画法).

(1)将AABC绕点A按顺时针方向旋转90。，点B的对应点为81,点C的对应点为C”画出AAB/C/；

(2)连接C。，AACG的面积为;

(3)在线段Cel上画一点£),使得AACO的面积是AACCl面积的F.

【答案】(D见解析；(2)|；(3)见解析

【分析】(1)将4、B、C三点分别绕点A按顺时针方向旋转90。画出依次连接即可;

(2)勾股定理求出AC,由面积公式即可得到答案；

(3)利用相似构造△CFQsaciEO即可.

【详解】解：(1)如图：图中AASG即为要求所作三角形；

(2)VAC=√12+22=√5,由旋转知AC=A。，/CAC/=90。，

.,.ΔΛCC∕的面积为］ACXAG=∣,

故答案为：|；

(3)连接E尸交CG于。，即为所求点。，理由如下:

∙.βCF〃CiE,

:∙ZXCFDsED,

.CD_CF

>∙=,

C1DC1E4

ΛCD=∣CC1,

.∙.∕∖ACD的面积=△ACC1面积的，

【点睛】本题考查r网格作图，旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是构造

△cfZ)SZXGED得到CD^CC∣.

19.(202。江苏南通♦统考中考真题)矩形ABCD中，AB=S,AD=12.将矩形折叠，使点A落在点尸处,

折痕为DE.

(1)如图①，若点尸恰好在边BC上，连接AP,求黑的值；

DE

(2)如图②，若E是4B的中点，EP的延长线交BC于点尸，求BF的长.

【分析】(1)如图①中，取DE的中点M,连接PM.证明APOMs^DCP,利用相似三角形的性质求解即

可.

(2)如图②中，过点P作GHZzBC交AB于G,交CD于H.设EG=X,则BG=4-x.证明△EGP<^∆PHD,

推出竺.=丝=竺=二，推出PG=2EG=3X,DH=AG≈4+X,在RtZkPHD中，EbPH2+DH2=PD2,可得(3x)

PHDHPD3

2+(4+x)2=122,求出X,再证明△EGPsaEBF,利用相似三角形的性质求解即可.

【详解】解：(1)如图①中，取DE的中点M,连接PM.

图①

・・・四边形ABCD是矩形，

ΛZBAD=ZC=90o,

由翻折可知，AO=OP,APlDE,Z2=Z3,NDAE=NDPE=90。,

在Rt△EPD中，VEM=MD,

：.PM=EM=DM,

ΛZ3=ZMPD,

ΛZ1=Z3+ZMPD=2Z3,

VZADP=2Z3,

,/I=NADP,

VAD√BC,

ΛZADP=ZDPC,

ΛZl=ZDPC,

VZMOP=ZC=90o,

Λ∆POM^ΔDCP,

.PO_CD_8_2

,'PM~PD~12~3t

・AO_2P0_2

•∙-----.

DE2PM3

(2)如图②中，过点P作GH〃BC交AB于G,交CD于H.则四边形AGHD是矩形，设EG=X,则BG

.∙.NEPG+NDPH=90°,ZDPH+ZPDH=90°,

,NEPG=NPDH,

ΛΔEGP^ΔPHD,

...—EG=—PG=一EP=—4=1

PHDHPD123

.∙.PG=2EG=3x,DH=AG=4+x,

在RlAPHD中，VPH2+DH2=PD2,

Λ(3x)2+(4+x)占122,

解得：X=y(负值已经舍弃)，

.∙.BG=4-竺==

55

在Rt∆EGP中，GP=VEP2-EG2=

VGHZzBC,

ΛΔEGP^∆EBF,

.EGGP

•∙~~=,

EBBF

1612

ʌɪ=ɪ,

4BF

ΛBF=3.

【点睛】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似

三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题.

20.(2020•江苏淮安.统考中考真题)【初步尝试】

(1)如图①，在三角形纸片ABC中，∆ACB=90°,将AABC折叠，使点8与点C重合，折痕为MN,贝∣J4M与

BM的数量关系为；

【思考说理】

(2)如图②，在三角形纸片ABC中，AC=BC=6,AB=10,将△4BC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN,

求器的值∙

图②

【拓展延伸】

（3）如图③，在三角形纸片SBC中，4B=9,BC=6,∆ACB=2∆A,将△ABC沿过顶点C的直线折叠，

使点B落在边4C上的点反处，折痕为CM.

①求线段4C的长；

②若点。是边4C的中点，点P为线段。夕上的一个动点，将AAPM沿PM折叠得到A4'PM,点A的对应点为点

A,,4M与CP交于点F,求二的取值范围.

【答案】⑴AM=BM;（2）当⑶Φy;∕≤嚣≤*

【分析】（1）先根据折叠的性质可得CN=BN/CNM=ABNM=90°,再根据平行线的判定可得4C〃MN,

然后根据三角形中位线的判定与性质即可得；

（2）先根据等腰三角形的性质可得ZIB=ZA,再根据折叠的性质可得NB=LMCN,从而可得/MCN=44

然后根据相似三角形的判定与性质可得器=器,从而可求出BM的长,最后根据线段的和差可得AM的长，

BCAB

由此即可得出答案；

（3）①先根据折叠的性质可得NBCM=NACM=（N4CB,从而可得NBCM=乙4CM=乙4,再根据等腰三

角形的定义可得AM=CM,然后根据相似三角形的判定与性质可得整=g=要，从而可得BM、AM、CM

的长，最后代入求解即可得;

②先根据折叠的性质、线段的和差求出4夕，。夕的长，设B'P=x,从而可得4P=g+x,再根据相似三角

形的判定与性质可得益=2。+然后根据X的取值范围即可得.

MFCM105

【详解】（1）AM=BM,理由如下：

由折叠的性质得：CN=BN/CNM=乙BNM=90°

∙∙∙∆ACB=90°

ʌ∆ACB=乙BNM=90°

.∙.AC//MN

：.MN是△4BC的中位线

二点M是AB的中点

则力M=BM

故答案为：AM=BM；

⑵∙.∙AC=BC=6

∙∙∙Z.B=Z-A

由折叠的性质得：Z.B=Z.MCN

.∙.NMCN="即NMCB=Na

在ABCM和ABAC中，=f

IZ-B=Z-B

ʌʌBCMBAC

BMBCHrBM6

--=—即l--=——

BCABf610

解得8M=y

1832

ΛAM=AB-BM=10--=—

32

,AM_γ_16

•・•嬴=亘=3；

S

(3)①由折叠的性质得：NBCM=∆ACM=^∆ACB

••乙ACB=2乙4,即乙4=-∆ACB

2

:■乙BCM=∆ACM—Z-A

:∙AM=CM

在ABCM和ABAC中，=f

IZ-B=Z-B

ʌʌBCMBAC

BM_BC_CM日n"M_6_CM

BCABAC69AC

解得BM=4

.∙.AM=AB-BM=9-4=5

.・・CM=AM=5

65

•_—,

*,9-i4C

解得AC=5；

,,

②如图，由折叠的性质可知，BK=BC=6,AP=APf∆A=∆A

153

・・・AB,l=AC-B,lC=--6=-

22

,・,点O是边AC的中点

115

:∙OA=-AC=—

24

，，1539

.・.0B,=OA-AB,=---=-

424

设B'P=x,则HP=4P=AB'+B'P=I+X

•••点P为线段OB，上的一个动点

.∙.0<B'P<OB',其中当点P与点夕重合时，B'P=0；当点P与点O重合时，B1P=OB'

9

ʌ0≤%≤-

4

V∆A,=∆A,∆ACM-Z-A

,

ΛZ-A=Z.ACM1=Z.FCM

在△4尸P和AbM中，｛第=W温

・・.△/'"FCFM

3

PFA,P2+x31

Λ---=---=----=---1--Y

MFCM5105

9

V0≤%≤-

4

3313

—V----p-XV-

10-105-4

【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的中位线定理、等腰三角形的定义、相似三角形的判定与性质等

知识点，较难的是题（3）②，正确设立未知数，并找出两个相似三角形是解题关键.

21.（2020∙江苏南京•统考中考真题）如图①，要在一条笔直的路边2上建一个燃气站，向1同侧的A、B两个

城镇分别发铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短.

•B

Φ

（1）如图②，作出点A关于I的对称点％,线AB与直线I的交点C的位置即为所求，即在点C处建气站,

所得路线ACB是最短的，为了让明点C的位置即为所求，不妨在，直线上另外任取一点C',连接AL,BC',

证明力C+CB<4C'+C'B,请完成这个证明.

（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形

的铺设管道的方案（不需说明理由），

①生市保护区是正方形区域，位置如图③所示

②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示.

【答案】（1）证明见解析：（2）①见解析，②见解析

【分析】（1）连接Aa利用垂直平分线的性质，得到HC=C4,利用三角形的三边关系，即可得到答案;

（2）由（1）可知，在点C处建燃气站，铺设管道的路线最短.分别对①、②的道路进行设计分析，即可

求出最短的路线图.

【详解】（1）证明：如图，连接4C

Y点A、小关于1对称，点C在1上

：.A'C=CA,

：.CA+CB=A'C+CB=A'B,

同理4C'+C'B=A'C'+C'B,

在∕4'C'B中，有AB<4C'+C'B

：.AC+CB<AC'+C'Bi

（2）解：①在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD+DB（如图，其中D是正方形的顶点）.

②在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是/C+C。+DE+E8（如图，其中CD、BE都与圆相切）.

【点睛】本题考查了切线的应用，最短路径问题，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握题意，正确

确定点C的位置，从而确定铺设管道的最短路线.

22.（2022•江苏常州•统考中考真题）如图，点力在射线OX上，OA=a.如果04绕点。按逆时针方向旋转心（0<

（1）按上述表示方法，若α=3,n=37,则点H的位置可以表示为；

（2）在（1）的条件下，已知点B的位置用（3,74。）表示,连接A4、A'B.求证:A,A=A'B.

【答案】（1）（3,37。）

（2）见解析

【分析】（1）根据点的位置定义，即可得出答案；

（2）画出图形，证明AAOY丝ABOV（SAS）,即可由全等三角形的性质，得出结论.

【详解】（1）解:由题意,得砥a,”。）,

".'a=3,"=37,

ΛA,（3,37o）.

故答案为：（3,37。）；

（2）证明：如图，

:4(3,37°),2(3,74°),

ΛZA0A,=37o,/408=74°,OA=OB=3,

.∙.NA'O8=NAOB-NAOA'=74°-37°=37°,

∖,OA1=OA',

.".∆AOA'^∆BOA'(SAS),

：.A'A^A'B.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，新定义，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是

解题的关键.

23.（2022.江苏南通・统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3,点E在折线BCD上运动，将4E绕

点A顺时针旋转得到AF,旋转角等于ZBAC,连接CF.

（1）当点E在BC上时，作FMlAC,垂足为M,求证4M=4B;

(2)当4E=3√Σ时，求CF的长;

(3)连接DF,点E从点B运动到点。的过程中，试探究DF的最小值.

【答案】(1)见详解

⑵%或√∏

⑶I

【分析】(1)证明△4BEm△4MF即可得证.

(2)分情况讨论，当点E在BC上时，借助△?!BEWA4MF,在RtACMF中求解；当点E在CC上时，过

点E作EG_LA8于点G,尸，，4C于点”，借助AAGE4HF并利用勾股定理求解即可.

(3)分别讨论当点E在BC和Co上时，点F所在位置不同，OF的最小值也不同，综合比较取最小即可.

(1)

如图所示，

由题意可知，/.AMF=ZB=90°,4BAC=4EAF,

：,乙BAE=∆MAF,

由旋转性质知：AE=AF,

在△48E和△力中，

乙B=∆AMF

{Z,BAE=∆MAF,

AE=AF

・••△ABE≡ΔAMF,

・•・AM=AB.

当点E在BC上时,

在Rt△4BE中，48=4,AE=3√2,

则BE=y∣AE2-AB2=√2,

在Rt△ABC中，AB=4,BC=3,

则AC=y∕AB2+BC2=5,

由(1)可得，MF=BE=近,

在Rt"MF中，MF=√2,CM=AC-AM=5-4=1,

则CF=yjMF2+CM2=√3,

当点E在CO上时，如图，

过点E作EGlAB于点G,尸”，AC于点H,

同(1)∏ΓW∆AGE=^AHF,

.∙.FH=EG=BC=3,AH=4G=3,HC=2,

22

由勾股定理得CF=√3+2=√13i

故CF的长为g或√∏∙

(3)

如图1所示，当点E在BC边上时，过点。作DHj.FM于点H,

由(1)知，∆AMF=90°,

故点尸在射线VF上运动，且点尸与点”重合时，QH的值最小.

在ACM/与△Cn4中，

4CMJ=∆ADC

5。=Z.ACD'

・•・RtΔCM]~Rt△CDA1

.CM_MJ_CJ

»<•,

CDADAC

即.•一="=旦，

435

∙∙∙M∕=j3O==5,

DJ=CD-CJ=4—三=容

⅛ΔCMJ与ADHJ中,

乙CMJ=Z-DHJ

^∆CJM=乙DJH'

：•RtACMJ~RtADHJ,

aCM_CJ

∙∙DH~Dj'

≡⅛=i

4

DH=y,

故DF的最小值三；

如图2所示，当点E在线段CO上时，将线段A。绕点A顺时针旋转，BAC的度数，得到线段AR,连接FR,

过点。作DQJ.4R,DK1FR,

由题意可知，∆DAE=∆RAF,

在ZMRF与AADE中，

AD=AR

{∆DAE=4RAF,

AE=AF

ADE=△ARF»

・・・乙4HF=乙4DE=90°,

故点F在RF上运动，当点尸与点K重合时，。尸的值最小；

由于OQIAR,DK1FR,∆ARF=90°,

故四边形D。RK是矩形；

.∙.DK=QR,

412

：,AQ=AD∙cos∆BAC=3×-=y,

VAR=AD=3,

12R

.∙.DK=QR=AR-AQ==

故此时OF的最小值为抵

L

由于I<⅛,故川7的最小值为∣∙

【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理、解直角

三角形，解决本题的关键是各性质定理的综合应用.

24.(2022•江苏连云港•统考中考真题)【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个

三角板按照如图1所示的方式摆放.其中NACB=ZDEB=90。，Zfi=30o,BE=AC=3.

【问题探究】小听同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转.

(1)如图2,当点E落在边48上时，延长DE交BC于点F,求BF的长.

(2)若点C、E、。在同一条直线上，求点。到直线BC的距离.

⑶连接DC,取DC的中点G,三角板DEB由初始位置(图1),旋转到点C、B、D首次在同一条直线上(如图

3),求点G所经过的路径长.

(4)如图4,G为CC的中点，则在旋转过程中，点G到直线力B的距离的最大值是.

【答案】(1)2√5

(2)√6±1

5√3

(z3θλ)—π

O

（4呼

【分析】（1）在RfASEF中，根据余弦的定义求解即可；

（2）分点E在BC上方和下方两种情况讨论求解即可；

（3）取BC的中点0,连接G。，从而求出。G=W,得出点G在以。为圆心，√5为半径的圆