（江西专用）高考数学二轮复习 专题限时集训（十）数列求和及数列的简单应用（解析版）

专题限时集训(十)[第10讲数列求和及数列的简单应用](时间：45分钟)1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2011＝3S2010＋2012，a2010＝3S2009＋2012，则公比q＝()A．4B．1或4C．2D．1或22．已知数列{an}为等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，S6>S7>S5，则下列结论中不正确的是()A．d<0B．S11>0C．S12<0D．S13<03．等差数列{an}中，若eq\f(a7,a5)＝eq\f(9,13)，则eq\f(S13,S9)＝()A.eq\f(9,13)B.eq\f(13,9)C．1D．24．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝eq\f(1,n（n＋2）)，则S10等于()A.eq\f(11,12)B.eq\f(11,24)C.eq\f(173,132)D.eq\f(175,264)5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝a1eq\o(OB,\s\up6(→))＋a2010eq\o(OC,\s\up6(→))且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S2010＝()A．1005B．1006C．2010D．20116．在等差数列{an}中，a9＝eq\f(1,2)a12＋6，则数列{an}的前11项和S11等于()A．24B．48C．66D．1327．某钢厂的年产量由1993年的40万吨增加到2003年的50万吨，如果按照这样的年增长率计算，则该钢厂2013年的年产量约为()A．60万吨B．61万吨C．63万吨D．64万吨8．“神舟九号”成功发射，举国欢庆，据计算，运载“神舟九号”的“长征二F”火箭，在点火第一秒钟垂直上升的高度为0.02km，以后每秒钟垂直方向上上升的高度都增加0.01km，在达到离地面约147km的高度时，火箭助推器分离，则这一过程需要的时间大约是A．150sB．160sC．170sD．180s9．已知数列{an}的通项公式为an＝|n－13|，那么满足ak＋ak＋1＋…＋ak＋19＝102的整数k()A．有3个B．有2个C．有1个D．不存在10．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋cos2\f(nπ,2)))an＋sin2eq\f(nπ,2)，则该数列的前20项的和为________．11．已知数列{an}满足a1＝eq\f(2,3)，且对任意的正整数m，n都有am＋n＝am·an，若数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝________．12．等差数列{an}的各项为正，其前n项和为Sn，且S3＝9，又a1＋2，a2＋3，a3＋7成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：当n≥2时，eq\f(1,aeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,aeq\o\al(2,2))＋…＋eq\f(1,aeq\o\al(2,n))<eq\f(5,4).13．已知数列{an}满足：Sn＝1－an(n∈N*)，其中Sn为数列{an}的前n项和．(1)试求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝eq\f(n,an)(n∈N*)，求{bn}的前n项和Tn.14．某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此类推；第三种，第一天付0.4元，以后每天支付的薪酬是前一天薪酬的2倍，工作时间为n天．(1)工作n天，记三种付酬方式薪酬总金额依次为An，Bn，Cn，写出An，Bn，Cn关于n的表达式；(2)如果n＝10，你会选择哪种方式领取报酬？专题限时集训(十)【基础演练】1．A[解析]由a2011＝3s2010＋2012，a2010＝3s2009＋2012相减得a2011－a2010＝3a2010，即q2．C[解析]由S7>S5，可得a6＋a7>0，所以S12＝eq\f(12（a1＋a12）,2)＝6(a6＋a7)>0，所以C不正确，选C.3．C[解析]eq\f(S13,S9)＝eq\f(\f(13（a1＋a13）,2),\f(9（a1＋a9）,2))＝eq\f(13,9)×eq\f(a7,a5)＝eq\f(13,9)×eq\f(9,13)＝1.4．D[解析]an＝eq\f(1,n（n＋2）)＝eq\f(1,2)eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋2)，所以S10＝a1＋a2＋…＋a10＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,2)－\f(1,4)＋…＋\f(1,10)－\f(1,12)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－\f(1,11)－\f(1,12)))＝eq\f(175,264)，选D.【提升训练】5．A[解析]根据平面向量知识，a1＋a2010＝1，所以S2010＝eq\f(2010（a1＋a2010）,2)＝1005.6．D[解析]设公差为d，则a1＋8d＝eq\f(1,2)a1＋eq\f(11,2)d＋6，即a1＋5d＝12，即a6＝12，所以S11＝11a6＝132.7．C[解析]10年为一段，则1993，2003，2013年的年产量成等比数列，故2013年的年产量为50×eq\f(50,40)＝62.5≈63.8．C[解析]设每一秒钟火箭垂直方向上上升的高度依次为a1，a2，…，an，则数列{an}是首项a1＝0.02，公差d＝0.01的等差数列，由求和公式得Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝0.02n＋eq\f(n（n－1）,2)×0.01＝147，即n2＋3n－29400＝0，解得n≈170.故选C.9．B[解析]如果k≥13，则ak＋ak＋1＋…＋ak＋19≥0＋1＋…＋19＝190>102，故k<13.设k＋i＝13，0<i<20，则ak＋ak＋1＋…＋ak＋19＝i＋(i－1)＋…＋2＋1＋0＋1＋2＋…＋(19－i)＝eq\f(i（i＋1）,2)＋eq\f(（19－i）（20－i）,2)＝102，即i2－19i＋88＝0，解得i＝8或i＝11，此时k＝5或k＝2，即只有两个整数k满足等式ak＋ak＋1＋…＋ak＋19＝102.10．2101[解析]当n为奇数时，an＋2＝an＋1，故奇数项是首项为1，公差为1的等差数列，其前10项之和等于1×10＋eq\f(10×9,2)＝55；当n为偶数时，an＋2＝2an，故偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，其前10项之和为eq\f(2（1－210）,1－2)＝211－2＝2046.所以，数列{an}的前20项之和为55＋2046＝2101.11．2－eq\f(2n＋1,3n)[解析]对m＝1等式am＋n＝am·an也成立，即an＋1＝eq\f(2,3)an，所以数列{an}是首项为eq\f(2,3)，公比为eq\f(2,3)的等比数列，所以Sn＝eq\f(\f(2,3)1－\f(2,3)n,1－\f(2,3))＝2－eq\f(2n＋1,3n).12．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，∵S3＝9，∴a2＝3，∴a1＋2＝3－d＋2＝5－d，a2＋3＝6，a3＋7＝3＋d＋7＝10＋d.∵a1＋2，a2＋3，a3＋7成等比数列，∴(5－d)(10＋d)＝36，解得d＝2或d＝－7(舍去)．∴an＝3＋(n－2)×2＝2n－1.(2)证明：因为eq\f(1,aeq\o\al(2,n))＝eq\f(1,（2n－1）2)＝eq\f(1,4n2－4n＋1)<eq\f(1,4n2－4n)＝eq\f(1,4n（n－1）)＝eq\f(1,4)eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n).所以当n≥2时，eq\f(1,aeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,aeq\o\al(2,2))＋…＋eq\f(1,aeq\o\al(2,n))<1＋eq\f(1,4)1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)＝1＋eq\f(1,4)1－eq\f(1,n)<1＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).13．解：(1)∵Sn＝1－an，①∴Sn＋1＝1－an＋1，②②－①得an＋1＝－an＋1＋an，∴an＋1＝eq\f(1,2)an(n∈N*)．又n＝1时，a1＝1－a1，∴a1＝eq\f(1,2)，∴an＝eq\f(1,2)·eq\f(1,2)n－1＝eq\f(1,2)n(n∈N*)．(2)bn＝eq\f(n,an)＝n·2n(n∈N*)，∴Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，③∴2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，④③－④得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝eq\f(2（1－2n）,1－2)－n×2n＋1.整理得：Tn＝(n－1)2n＋1＋2，n∈N*.14．解：(1)设三种付酬方式每天金额依次为数列{an}，{bn}，{cn}，它们的前n项和依次分别为An，Bn，Cn.依题意，第一种付酬方式每天金额组成数列{an}为常数数列，An＝38n.第二种付酬方式每天金额组成数