数列不等式的常用放缩方法技巧(含答案)

证明数列不等式的常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：⑴添加或舍去一些项，如：；⑵将分子或分母放大〔或缩小〕⑶利用根本不等式，如：；⑷二项式放缩:,,(5)利用常用结论：Ⅰ.的放缩：Ⅱ.的放缩(1)：〔程度大〕Ⅲ.的放缩(2)：〔程度小〕Ⅳ.的放缩(3)：〔程度更小〕Ⅴ.分式放缩还可利用真〔假〕分数的性质:和记忆口诀“小者小,大者大”。解释:看b,假设b小,那么不等号是小于号,反之亦然.Ⅵ.构造函数法构造单调函数实现放缩。例：，从而实现利用函数单调性质的放缩：。先放缩再求和〔一〕放缩后裂项相消例1．数列，，其前项和为，求证：解：令，的前项和为当时，点评:此题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。值得注意的是假设从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。〔二〕放缩后转化为等比数列。例2.满足：用数学归纳法证明：，求证：解：(1)略(2)又，迭乘得：点评：把握“”这一特征对“”进行变形，然后去掉一个正项，递推关系放缩，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！三、裂项放缩例3.(1)求的值;(2)求证:.解析:(1)因为,所以(2)因为,所以奇巧积累：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)例6.(1)求证:(2)求证:(3)求证:(4)求证：解析:(1)因为,所以(2)(3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以例7.求证:解析:一方面:因为,所以另一方面:当时,,当时,,当时,,所以综上有例8.,,求证:.解析:所以从而四、分式放缩姐妹不等式:和记忆口诀”小者小,大者大”解释:看b,假设b小,那么不等号是小于号,反之亦然.例9.姐妹不等式:和也可以表示成为和解析:利用假分数的一个性质可得即例10.证明:解析:运用两次次分式放缩:(加1)(加2)相乘,可以得到:所以有五、均值不等式放缩例11.设求证解析:此数列的通项为，，即注：=1\*GB3①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，假设放成那么得，就放过“度”了！=2\*GB3②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里其中，等的各式及其变式公式均可供选用。例11.函数，a>0,ba.0,假设，且在[0，1]上的最大值为，求证：解析:例12.求证:解析:一方面:(法二)另一方面:六、二项式放缩,,例13.设，求证.解析:观察的结构，注意到，展开得，即，得证.例14.,试证明：.解析:,从而,一方面,另一方面所以,所以,综上有.例15.求证：简证如下：利用二项展开式进行局部放缩：只取前两项有对通项作如下放缩：故有例16.求证:.解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)七、局部放缩(尾式放缩)例17.求证:解析:例18.设求证：解析:又〔只将其中一个变成，进行局部放缩〕，，于是例19.设数列满足，当时证明对所有有；解析:用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，那么当时，成立。利用上述局部放缩的结论来放缩通项，可得注：上述证明用到局部放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了局部放缩的结论八、数列递推关系放缩例20.假设,求证:解析:所以就有例21.求证:解析:设那么,从而,相加后就可以得到所以例22.求证:解析:设那么,从而,相加后就可以得到九、函数放缩例23.求证：.解析:先构造函数有,从而因为所以例24.求证:(1)解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案函数构造形式:,例7.求证:解析:提示:函数构造形式:例25.证明:解析:构造函数,求导,可以得到:,令有,令有,所以,所以,令有,所以,所以十、分类放缩例26.求证:解析:例27.函数，假设的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].假设数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。解析:首先求出,∵∴,∵,,…,故当时,,因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，那么当时,必有.故不存在常数A使对所有的正整数恒成立.练习：1、添加或舍弃一些正项〔或负项〕 例1、求证：证明： 假设多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，到达证明的目的。此题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和〔或先求和再放缩〕例2、函数f〔x〕=，求证：f〔1〕+f〔2〕+…+f〔n〕>n+.证明：由f(n)==1-得f〔1〕+f〔2〕+…+f〔n〕>.此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.假设分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，那么只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，那么只要把分子缩小或分母放大即可。3、先放缩，后裂项〔或先裂项再放缩〕例3、an=n，求证：eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1))eq\f(eq\r(k),eqa\o(2,k))＜3．证明：eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1))=eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1))＜1＋eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2))eq\f(1,eq\r((k－1)k(k＋1)))＜１＋eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2))eq\f(2,eq\r((k－1)(k＋1))(eq\r(k＋1)＋eq\r(k－1)))==1＋eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2))(eq\f(1,eq\r((k－1)))－eq\f(1,eq\r((k＋1))))=1＋1＋－－eq\f(1,eq\r((n＋1)))＜2＋＜3．此题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.4、放大或缩小“因式”；例4、数列满足求证：证明此题通过对因式放大，而得到一个容易求和的式子，最终得出证明.5、逐项放大或缩小例5、设求证：证明：∵∴∴，∴此题利用，对中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，到达化简的目的。6、固定一局部项，放缩另外的项；例6、求证：证明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。1、设为大于1的自然数，求证2、设为自然数，求证3、假设是自然数，求证证明：==注意：实际上，我们在证明的过程中，已经得到一个更强的结论，这恰恰在一定程度上表达了放缩法的根本思想。4、求证：证明：由〔是大于2的自然数〕得5、假设a,b,c,dR+，求证：证：记m=∵a,b,c,dR+∴∴1<m<2即原式成立。6、当n>2时，求证：证：∵n>2∴∴∴n>2时,7、思路分析：对于学生来说，他们非常清楚证明此题的方向，即先放缩再求和，但是学生的问题就是放缩的误差过大，而不能判断是什么原因