2023年上海市徐汇区中考数学一模试卷（含答案）

2023年上海市徐汇区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在Rt△4BC中，LC=90o,AB=5,AC=4.下列四个选项，正确的是（）

3B44

=--/ɔ∙D4

A.tanB43C.StnB=ξD.cosB=-

2.下列命题中假命题是（）

A.任意两个等腰直角三角形都相似

B.任意两个含36。内角的等腰三角形相似

C.任意两个等边三角形都相似

D.任意两个直角边之比为1：2的直角三角形相似

3.如图，a"b"c,若爱=|，则下面结论错误的是（）

AD_3

A.

BC_3

,CE=2

AB2

C而=E

BC3

BE=5

4.二次函数y=ax2+hx+c（α≠0）的图象如图所示,点P在%轴的正

半轴上，且。P=L下列选项中正确的是（）

A.α>0

B.c<0

C.α+b+c>0

D.h<0

5.将抛物线y=-/经过下列平移能得到抛物线y=-l（x+i）2-3的是（）

A.向右平移1个单位，向下平移3个单位B.向左平移1个单位，向下平移3个单位

C.向右平移1个单位，向上平移3个单位D.向左平移1个单位，向上平移3个单位

6.如图，点。在AABC边AB上，440）=4B,点F是△4BC的角平

分线AE与CO的交点，KAF=2EF,则下列选项中不正确的是（）

AA.A—O=τ2

BEC

CF2

bo∙BE

3

pDC_2

c'BC-3

D也=2

DB3

二、填空题（本大题共12小题，共48・0分）

7.已知U则舒=

8.计算：20_另）_：（3行_石）

9.两个相似三角形的对应边上的中线之比4：5,则这两个三角形面积之比为一.

10.大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”.如图，P为线段4B的

黄金分割点（4P>PB）;如果AB的长度为8cτn,那么叶片部分AP的长度

是cm.

B

11.如图，已知G为AABC的重心，过点G作BC的平行线交边4B和4C于点

D-E.设GB=d，GC=b'试用X五+yb（x、y为实数）的形式表示向量

DE—__•

12.小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶

端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）.已知小明的眼睛离地面的距离力B为1.6米,

凉亭的高度CD为6.6米，小明到凉亭的距离BD为12米，凉亭与观景台底部的距离。F为42米,

小杰身高为1.8米.那么观景台的高度为一米.

13.已知点4（-3,m）∖B（-2,n）在抛物线y=-x2-2x+4±,则Tn-n（填“>”、"=

或“<”）.

14.小球沿着坡度为i=l：1.5的坡面滚动了13τn,则在这期间小球滚动的水平距离

是___m.

U`I⅛⅛cos600-sin600

15∙计算：cot30s-tan45s=

16.如图，在由正三角形构成的网格图中，4、B、C三点均在

格点上，则SinNBAC的值为—.

17.如图，点E是矩形ABCD纸片边CD上一点，如果沿着ZE折叠矩形

纸片，恰好使点。落在边BC上的点尸处，已知BF=6cm,∆BAF=弓,

tLadnll4

那么折痕AE的长是

18.规定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两

个小三角形，其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形

和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三角

形”，这条直线称为这个三角形的“和谐分割线”.例如，如图所

示，在RtZiABC中，ΛC=90o,CA=CB,CD是斜边AB上的高，其中△ACD是等腰三角形,

且ABCD和△力BC相似,所以△ZBC是“和谐三角形”，直线CD为AABC的“和谐分割线”.请

依据规定求解问题：已知ADEF是“和谐三角形"，NC=42。，当直线EG是ADEF的“和谐

分割线”时，4F的度数是—.（写出所有符合条件的情况）

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.（本小题10.0分）

如图，在AABC中，已知NC=90。，sE4=2.点D为边"上一点，NBZ）C=45°,AD=7,

求CD的长.

B

20.(本小题10.0分)

如图，点E在平行四边形48CD的边BC的延长线上，且CE=2BC,AE与CD交于点F.设荏=

AD=b.

(1)用向量日、H表示向量反；

(2)求作：向量而分别在向量正、前方向上的分向量.

(不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量)

21.(本小题10.0分)

己知二次函数y=-3X2+6X+9.

(1)用配方法把二次函数y=-3x2+6x+9化为y=α(x+m)2+Zc的形式，并指出这个函数

图象的开口方向、对称轴和顶点的坐标；

(2)如果将该函数图象向右平移2个单位，所得的新函数的图象与X轴交于点力、8(点A在点B左

侧)，与y轴交于点C,顶点为D,求四边形04CB的面积.

Jky

22.(本小题10.0分)

如图，是一个放置于水平桌面的平板支架的示意图，底座的高AB为5cm,宽MN为IOCm,点

力是MN的中点，连杆BC、CD的长度分别为18.5CTn和15cm,∆CBA=150。，且连杆BC、CD与

AB始终在同一平面内.

(1)求点C到水平桌面的距离；

(2)产品说明书提示，若点。与4的水平距离超过4N的长度，则该支架会倾倒,现将NDCB调节

为80。，此时支架会倾倒吗？

(参考数据：tcm20°≈0.36,cot20°≈2.75,sin20o≈0.34,cos20°≈0.94)

23.(本小题12.0分)

如图，己知△4BC是等边三角形，0、E分别是边BC、AC上的点，5.BC-CE=BD-DC.^DE

的延长线上取点F,使得。F=TlD,联结CF.

(1)求证：/.ADE=60°：

(2)求证：CF//AB.

24.(本小题12.0分)

已知在平面直角坐标系Xoy中，抛物线y=α∕+∕7χ+3经过点4(一1,0)、B(4,0),与y轴相交

于点C.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线PO_L%轴，垂足为点D,直线P。与

直线BC相交于点E.

①当CP=CE时，求点P的坐标;

②联结4C,过点P作直线4C的平行线，交》轴于点F,当NBPF=ZCBA时，求点P的坐标.

25.(本小题14.0分)

如图1,已知菱形ZBCD,点E在边BC上，乙BFE=UBC,4E交对角线BD于点F.

(1)求证：∆ABF^∆DBA；

(2)如图2,联结CF.

①当△CEF为直角三角形时，求乙4BC的大小；

②如图3,联结DE.当DEjLFC时，求COS乙4BD的值.

图1图2图3

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：如图,根据勾股定理得:BC=y∕AB2-AC2=√52-42

3,

AC4

tandB=-=-

e13

c°tβ=-^B=4'

.AC4

SIndB=屈=寸

DBC3

C°SB=AB=5'

故选：C.

根据勾股定理求出BC的长，根据锐角三角函数的定义判断即可.

本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握WB=焉是解题的关键.

2.【答案】B

【解析】解：4、任意两个等腰直角三角形都相似，正确，故A不符合题意;

8、任意两个含36。内角的等腰三角形不一定相似，故B符合题意;

C、任意两个等边三角形都相似，正确，故C不符合题意;

。、任意两个直角边之比为1：2的直角三角形相似，正确，故。不符合题意.

故选：B.

由相似三角形的判定方法，即可判断.

本题考查相似三角形的判定，等边三角形，等腰直角三角形的性质，关键是掌握相似三角形的判

定方法.

3.【答案】C

【解析】解：由黑=目，得*=7^=2,故A不符合题意;

DF2AFAD+DF5

∙∙∙a∕∕b∕∕c,

..趣=黑=,,故B不符合题意；

ChD卜Z

根据已知条件得不出黑=I，故C符合题意；

EF3

由笠=4得霁=焉:屋，故O不符合题意；

CE2BEBC+CE5

故选：C.

已知α〃/√∕c,根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可.

本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

4.【答案】D

【解析】解：4、二次函数y=ɑ/+bχ+c(aH0)的图像开口向下，α<0,故4不符合题意;

B、当X=O时，y=c>0,故B不符合题意；

C、当X=I时y=a+b+c<0,故C不符合题意；

D、抛物线的对称轴是直线X=-*<0,由a<0,得到b<0,故。符合题意.

故选：D.

由二次函数的图像和性质，即可判断.

本题考查二次函数的图像与系数的关系，关键是掌握：二次函数的性质.

5.【答案】B

2

【解析】解：将抛物线y=—：/向左平移1个单位，向下3个单位得到抛物线y=-∣(X+1)-3.

故选:B.

由图象平移的，上加下减，左加右减的法则，即可得到答案.

本题考查二次函数图象与几何变换，关键是掌握函数图象平移的方法：上加下减，左加右减.

6.【答案】D

【解析】解：过C作CG〃AB交AE延长线于G,

•••ZG=(BAE,

・・・4E平分484C,

・∙・Z.BAE=∆CAE,

・•・Z-G=Z-CAE，

・•.CG=CAf

V乙ACD=乙B,Z-ECG=Z-B,

ʌ∆ACF=∆ECG,

/.△ΛCF≡ΔGCE(ASA),

ʌCF=CF,AF=EG,

∙.∙AF=2FE,

・・・EG=2FE,

令EF=k,则AF=EG=2k,AE=GF=3fc,

,,

.∆ADFSAGCEf

：・AD：CG=AF：FG=2k：(3k)=2：3,

AD2

λTc=3,

故A正确.

-AB//CGf

ΛCE:BE=GE：AE=2k：(3fc)=2：3,

,CF_2

∙*∙--∙

BE3

故B正确.

∙.∙Z-ACD=Z.B,∆DAC=Z-BAC9

*'.△ACDSAABC,

CDAD2

Λ---=----=—,

BCAC3

故C正确.

•・•弟=∣,4C和BD不一定相等，

AC3

...也不一定等于2.

BD3

故选：D.

过C作CG〃/W交AE延长线于G,由条件可以证明AACFmAGCE(,ASA),得到AF=EG,CF=CE,

由AaDFSaGCF,再由平行线分线段成比例，即可解决问题.

本题考查角的平分线，相似三角形的判定和性质，关键是通过辅助线构造相似三角形.

7.【答案】ɪ

【解析】解：

yɔ

4

∙,∙χ=3y'

41

.Ly一"_P_1

“石一步厂务f

故答案为：ɪ

由题干可得x=gy,再把X=gy代入式子即可解得答案.

本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键.

8.【答案】α-∣K

【解析】解：2(α-6)-∣(3α-h)

—»_1—

=2a-2b—a+-b

=a-∣h.

故答案为：ɑ—∣Z).

由平面向量的加减运算法则，即可计算.

本题考查平面向量，关键是掌握平面向量的加减运算方法.

9.【答案】16：25

【解析】解：两个相似三角形的对应边上的中线之比4：5,则这两个相似三角形的相似比是4：

5,

•••这两个三角形面积之比为42：52=16:25.

故答案为：16：25.

由相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可计算.

本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的

平方.

10.【答案】(4√5-4)

【解析】解：AP=8×ɪ1=(4√5-4)(cm)∙

故答案为：(4而一4).

由黄金分割的定义，即可计算.

本题考查黄金分割，关键是掌握黄金分割的定义.

11.【答案】一|五+|石

【解析】解：连接AG并延长交BC于M,

•••G为AABC的重心，

.∙.AG：AM=2：3,

DE//BC,

.∙.AD：AB=AG：AM=2：3,

∙.,∆ADE^Δ,ABC,

ʌDEzBC=AD：AB=2：3,

.∙.DE=^BC,

"^BC=GC-GB=b-a>

.∙.Df=∣(K-α)=-∣α+∣K.

故答案为：—弓五+gb.

由三角形重心的性质，相似三角形的判定和性质，平面向量的减法公式，即可求解.

本题考查平面向量，三角形的重心，关键是掌握平面向量的有关公式.

12.【答案】22.3

【解析】解：作AMJ.EF于M,交。C于N,

.................kfl

I」H

VCD=6.6米，AB=1.6米,

.∙.CN=CD-AB=5米，FM=AB=1.6米，

•：CN//EM,

.∙∙ΔACNS△AEM,

.∙.CN：EM=AN：AM,

：,5：EM=12：54,

：,EM=22.5（米），

.∙.EF=EM+FM=22.5+1.6=24.1（米），

∙∙∙观景台的高度为24.1-1.8=22.3米.

故答案为:22.3.

作力MIE尸于M,交DC于N,由△力CNSZkAEM,求出EM的长，即可解决问题.

本题考查相似三角形的应用，关键是通过辅助线构造相似三角形.

13.【答案】<

【解析】解：：抛物线y=-X2-2x+4的对称轴是直线X=-ɪ=-1,α=-1<0,

•••抛物线在对称轴是直线％=-1左侧时，图象上升，y随X的增大而增大，

-3V—2V—1,

ʌm<n.

故答案为：<.

由开口向下的抛物线的性质：抛物线在对称轴左侧时，图象上升，y随X的增大而增大，即可判断.

本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，关键是掌握：二次函数的性质.

14.【答案】3√∏

【解析】解：设坡面的铅直高度是∕ιm和水平宽度是∕τn,

∙∙∙h：I=1：1.5=2：3,

令九=2Xni,贝∣M=3xm,

h2+l2=132,

二（2x）2+（3x）2=169,

•••X=V13>

∙∙./=3x=3y∕13(τn)■

故答案为：3√∏.

坡度是坡面的铅直高度力和水平宽度1的比，又叫做坡比，由此即可计算.

本题考查解直角三角形的应用-坡度，关键是掌握坡度的定义.

15.【答案】一:

【解析】解：原式=1∑1

√3-l

1

=—2-

故答案为：—ɪ.

把特殊角的三角函数值，代入原式即可计算

本题考查特殊角的三角函数值，关键是要熟记特殊角的三角函数值,

16.【答案】苧

【解析】解：令正三角形的边长是“1”，

•••AC=2,βC=√3×1=√3.

.∙.AB=√ΛC2+BC2j22+(√3)2=√7>

.,BC√3√2l

.∙∙sm∕Bd4λCγ=而=7=〒

故答案为：亨

由等边三角形的性质，求出BC长，由勾股定理求出力B长，由锐角的正弦定义即可计算.

本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，关键是掌握三角函数定义.

17.【答案】5√5cm

【解析】解：矩形ABCD中，ZB=90。，

tan∆BAF=空，

AB

BF6

・•・AB=T—=Y=8(cm),

tan∆BAFW'八

：•AF=y∣AB2÷BF2=√62+82=Io(CTn)

由题意得：AD=AF=IO(Crn)DE=EF,

令OE=xcm,则CE=(8-x')cm,

∙.∙FC=BC-BF,

ʌFC=10—6=4(cm),

∙.∙EF2=EC2+FC2,

x2=(8-x)2+42,

∙,∙%~5»

ʌDE=5(cm),

.∙.AE=y∕AD2+DE2=√102+52=5√5(cm)∙

故答案为：5V5cm.

由锐角的正切求出力B的长，由勾股定理求出力F的长，由轴对称的性质，勾股定理列出关于DE的

方程，求出ED长，由勾股定理即可求出AE的长.

本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠问题，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

18.【答案】54。或27。或46。或32。.

【解析】解：若ADEG是等腰三角形，AEFG与ADEF相似，

如图1,

当。G=EG,NGEF=NZ)=42。时，

ADEG=乙D=42°,

.∙.Z.F=180°-乙D—4DEF=180o-3×42°=54°,

如图2,

E

图2

当QE=DG,乙FGE=LD=42。时，

180O-42°

乙乙

DGE=DEG=—2-∙=69°,

•••乙F=4DGE-乙FEG=69°-42°=27。，

当AEFG是等腰三角形，4DEG与ADEF相似时,

如图3,

E

图3

当EG=FG,NDEG=N尸时,

ʌZ-F=乙FEG,

180o-42o

:■Z-F=乙FEG=乙DEG==46°,

3

如图4,

图4

当EF=FG,∆DEG=Z.FB4,

ʌZ.FEG=Z.FGE，

设"=乙DEG=xo,

ʌ(FEG=乙FGE=(42+%)0,

••・X+2(42÷%)=180,

・•・X=32°,

Λ∆F=32°,

综上所述：乙F=54。或27。或46。或32。，

故答案为54。或27。或46。或32。.

分为ADEG是等腰三角形，AEFG与ADEF相似及AEFG是等腰三角形，ADEG与ADEF相似；当

ΔOEG是等腰三角形时，又分为DG=EG和DE=DG两种；当^EFG是等腰三角形时，也分为EG=

FG和EF=FG两种进行讨论.

本题考查了等腰三角形的分类，相似三角形的判定等知识，解决问题的关键是画出图形，正确分

类.

19.【答案】解：∙.∙NC=9(Γ,

..BC5

'S山I=而=Ir

令BC=5%,AB=13%,

・・・AC=y∕AB2-BC2=√(13x)2-(5x)2=12%,

VZ-BDC=45o,ZC=90°,

・・・乙BDC=Z.CBD=45°,

BC=CD=5%,

：・AD=AC-CD=7x=7,

ʌX=1,

・•・CD=5x=5.

【解析】令BC=SxfAB=13%,由U的正弦得到4C=12%,△BCD是等腰直角三角形，CD=BC=

5x,得到4。=7%=7,求出X的值，即可得到答案.

本题考查解直角三角形，关键是掌握三角函数定义.

20.【答案】解：(1)四边形是平行四边形，

:,AD〃BC,AD=BCfAB//DC,AB=DC,

•・・CE=2BC,

・•・CE=2AD,

ʌCE=2AD=2b，

vDC=AB=a^

"DE=DC+CE=a+2bt

(2)过F作FM〃CE,交DE于M,FN//DE交CE于N,

二向量不分别在向量前、方方向上的分向量是向量前和向量前.

【解析】(1)由平面向量的三角形法则，即可计算；

(2)由平面向量的平行四边形法则，即可作图.

本题考查平面向量，平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的性质，平面向量的运算法则.

21.【答案】解：⑴y=-3M+6x+9

=-3(x2-2x)+9

=-3(X2-2x+1-1)+9

=-3(x-I)2+12,

ʌy——3(X—I)2+12,

•：-3VO>

，图象开口向下，

如图所小S四边形4C8D=SfBD+SMBC

=∣×4×12÷∣×4×15

=54,

••・四边形ZMCB的面积为54.

【解析】(1)利用配方法把一般式配成顶点式，即可得出对称轴和顶点坐标，根据-3<O即可得出

图象开口向下；

(2)根据题意先求出平移后的抛物线的解析式,即可写出顶点。的坐标,求出当y=O时对应的X值，

即可写出点力、B的坐标，求出当X=O时对应的y值，即可求出点C的坐标，然后根据坐标画出图

象，即可求出四边形的面积.

本题考查的是二次函数的图像与性质，解题关键是掌握二次函数顶点式的配法.

22.【答案】解：作CEJ.NM于E,BFjLeE于F,

•••∆CBF=∆CBA-∆FBA=150°-90°=60°,

CFCF

・•・Sm乙CBF=sin60o=K=7^7，

Zzɛɪ8.5

「037√3、

・•・CF—(CzZn)，

.∙.CE=CF+EF=CF+AB=-7v⅛2°(cτn)∙

••・点C到水平桌面的距离是经警cm；

4

(2)作。KJL尸8交FB延长线于K,作CHjLDK于H,

•・・乙DCH=乙DCB-乙HCB=80°=60°=20°,

・•・CoS乙DCH=cos20o=^≈0.94,

・・.FK=CH=14.1(CnI),

•・•乙BCF=30°,

.∙.BF=ɪBC=9.25(CTn),

.∙.BK=FK-BF=4.85(CnI),

1

・•・AN=3MN=5(cm),

・•・此时支架不会倾倒.

【解析】(1)作CEINM于E,BFICE于尸，由锐角的正弦求出FC的长，即可解决问题；

(2)作DKIFB交FB延长线于K,作CH，DK于H,由锐角的余弦求出CH的长，而FB=TBC,即

可求出BK的长，从而解决问题.

本题考查解直角三角形的应用，关键是通过辅助线构造直角三角形.

23.【答案】证明：⑴MABC是等边三角形,

・・.∆B=乙ACB=60o,AB=BC,

YBjCE=BDDC,

：,AB：DC=BD：CE,

∙,∙ΔABD〜ADCE9

∙∙Z.BAD=Z.CDE,

•・・Z-ADC=∆ADE+∆CDE=NB+乙BAD,

・•・∆ADE=乙B=60°.

(2)连接

V∆ADE=60o,AD=DF,

・・・△4DF是等边三角形，

・•・AF=AD,4DAE=∆BAC=60°,

♦：乙BAD+∆DAC=Z.CAE+Z-DAC,

ʌ∆BAD=Z.CAE,

•：AB=AC9

∙.Δ,ABD=^ACE(SAS)f

・・・∆ACE=∆B=60°,

:∙∆ACE=乙BAC=60°,

・•・CF//AB.

【解析】(1)由条件可以证明△48。〜△DCE,得到乙B4D=4CDE,×∆ADC=∆ADE÷∆CDE=

/B+4BAD,∆ADE=∆B=60°；

三

(2)由证明条件可以4ABDAACE(SAS)f得到乙4CE=LB=60°,因此乙4CE=∆BAC=60°,

即可证明CF〃48.

本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握以

上知识点是解题的关键.

24.【答案】解:⑴•・,抛物线y=ax2+fax+3经

过点4(-1,0)、B(4,0),

(ci-b+3=0

'tl6Q+4b+3=0'

.[a=~l—

・,・抛物线的表达式：y=+3；

J44

(2)①过C作CHlPD于"，

•・•PC=CE,

：,PH=EH,

VCH//OB1

・•・乙HCE=LCBO,

・•・tan∆HCE=tanzCfiO,

.HE_OC_3

λCH=Ofi=4,

令EH=3k,则CH=4k,PH=3k,PD=3÷3fc,

・・.P的坐标是(4k,3+3k),

∙.∙P在抛物线上，

ɔQ

一~(4k)2+—×(4⅛)+3=3+3fc9

.∙.k=2或k=0(舍)，

P的坐标是(24)：

(2)∙.∙PG//AC,

・•・乙CAB=乙PFB,

VBC=√OC2+OB2=√32÷42=5，AB=OA-VOB5,

・•・AB=CB,

•∙・Z-CAB=乙BCA,

・•・乙PFB=乙BCA,

VZ-ABC=∆BPFf

∆CAB=Z-PBD,

∙∙∙P在抛物线上，

QQ

，设P（Q,—~层+彳Q+3）,

•・•乙CAB=乙PBD,

・•・tan∆CAB=tanzPBD,

PD_CO

~DB=AO

*+3+3

・•・a=3或Q=4(舍)，

当α=3时，-'Q2+8Q+3=3,

44

.∙.P的坐标是(3,3)

【解析】(1)抛物线丫=&/+必+3经过点4(一1,0)、B(4,0),把4,B坐标代入抛物线解析式，求

出α,b的值即可；

(2)①过C作