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文档简介
专题8.1空间几何体的表面积与体积一、填空题1.已知圆锥的表面积为a,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面直径是________【解析】设圆锥的底面半径为r,母线长为l,由题意知2πr=πl,∴l=2r,则圆锥的表面积S表=πr2+eq\f(1,2)π(2r)2=a,∴r2=eq\f(a,3π),∴2r=eq\f(2\r(3πa),3π).2.在梯形ABCD中,∠ABC=eq\f(π,2),AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________3.下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线【解析】选DA错误,如图①是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥;B错误,如图②,若△ABC不是直角三角形,或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥;C错误,若该棱锥是六棱锥,由题设知,它是正六棱锥.易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长,这与题设矛盾.4.已知正四面体的棱长为eq\r(2),则其外接球的表面积为________5.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为eq\f(9π,2),则正方体的棱长为________.【答案】eq\r(3)【解析】设正方体棱长为a,球半径为R,则eq\f(4,3)πR3=eq\f(9π,2),∴R=eq\f(3,2),∴eq\r(3)a=3,∴a=eq\r(3).6.在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中,P在线段BD1上,且eq\f(BP,PD1)=eq\f(1,2),M为线段B1C1上的动点,则三棱锥MPBC的体积为________.【答案】eq\f(3,2)【解析】∵eq\f(BP,PD1)=eq\f(1,2),∴点P到平面BC1的距离是D1到平面BC1距离的eq\f(1,3),即三棱锥PMBC的高h=eq\f(D1C1,3)=1.M为线段B1C1上的点,∴S△MBC=eq\f(1,2)×3×3=eq\f(9,2),∴VMPBC=VPMBC=eq\f(1,3)×eq\f(9,2)×1=eq\f(3,2).7.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是________寸.(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)【答案】3【解析】由题意知,圆台中截面圆的半径为十寸,圆台内水的体积为V=eq\f(1,3)πh(req\o\al(2,中)+req\o\al(2,下)+r中r下)=eq\f(π,3)×9×(102+62+10×6)=588π(立方寸),降雨量为eq\f(V,142π)=eq\f(588π,196π
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