指数函数与对数函数学案与典型习题及答案

指数函数和对数函数高考要求1理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质2掌握指数函数的概念、图像和性质3理解对数的概念，掌握对数的运算性质；4掌握对数函数的概念、图像和性质能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题知识点1根式的运算性质：①当n为任意正整数时，()=a②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=⑶根式的根本性质：，〔a0〕2分数指数幂的运算性质：3的图象和性质a>10<a<1图象性质(1)定义域：R〔2〕值域：〔0，+∞〕〔3〕过点〔0，1〕，即x=0时，y=1〔4〕在R上是增函数〔4〕在R上是减函数4指数式与对数式的互化：5重要公式：，对数恒等式6对数的运算法那么如果有7对数换底公式：(a>0,a1，m>0,m1,N>0)8两个常用的推论:①，②〔a,b>0且均不为1〕9对数函数的性质：a>10<a<1图象性质定义域：〔0，+∞〕值域：R过点〔1，0〕，即当时，时时时时在〔0，+∞〕上是增函数在〔0，+∞〕上是减函数10同底的指数函数与对数函数互为反函数11指数方程和对数方程主要有以下几种类型：af(x)=bf(x)=logab,logaf(x)=bf(x)=ab;〔定义法〕af(x)=ag(x)f(x)=g(x),logaf(x)=logag(x)f(x)=g(x)>0〔转化法〕af(x)=bg(x)f(x)logma=g(x)logmb(取对数法)logaf(x)=logbg(x)logaf(x)=logag(x)/logab(换底法)题型讲解例1计算：〔1〕；〔2〕；〔3〕解：〔1〕原式〔2〕原式〔3〕原式例2，求的值解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴例3，且，求的值解：由得：，即，∴；同理可得，∴由得，∴，∴，∵，∴例4设，，且，求的最小值解：令，∵，，∴由得，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，∵，∴当时，例5设、、为正数，且满足〔1〕求证：〔2〕假设，，求、、的值证明：〔1〕左边；解：〔2〕由得，∴……………①由得………②由①②得……③由①得，代入得，∵，∴………………④由③、④解得，，从而例6〔1〕假设，那么，，从小到大依次为；〔2〕假设，且，，都是正数，那么，，从小到大依次为；〔3〕设，且〔，〕，那么与的大小关系是〔〕ABCD解：〔1〕由得，故〔2〕令，那么，，，，∴，∴；同理可得：，∴，∴〔3〕取，知选例8函数，求证：〔1〕函数在上为增函数；〔2〕方程没有负数根证明：〔1〕设，那么，∵，∴，，，∴；∵，且，∴，∴，∴，即，∴函数在上为增函数；另法：∵，∴∴函数在上为增函数；〔2〕假设是方程的负数根，且，那么，即，①当时,,∴,∴,而由知∴①式不成立；当时，，∴，∴，而∴①式不成立综上所述，方程没有负数根例9函数〔且〕求证：〔1〕函数的图象在轴的一侧；〔2〕函数图象上任意两点连线的斜率都大于证明：〔1〕由得：，∴当时，，即函数的定义域为，此时函数的图象在轴的右侧；当时，，即函数的定义域为，此时函数的图象在轴的左侧∴函数的图象在轴的一侧；〔2〕设、是函数图象上任意两点，且，那么直线的斜率，，当时，由〔1〕知，∴，∴，∴，∴，又，∴；当时，由〔1〕知，∴，∴，∴，∴，又，∴∴函数图象上任意两点连线的斜率都大于学生练习１合，假设，，那么，那么运算可能是〔〕(A)加法 (B)减法 (C)除法 (D)乘法 ２集合，，那么满足条件的映射的个数是()〔A〕2〔B〕4〔C〕5〔D〕7３某天清晨，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温根本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了下面大致能上反映出小鹏这一天〔0时—24时〕体温的变化情况的图是()

时0612182437体温(℃)37体温(℃)时0612182437时06121824体温(℃)37时06121824体温(℃)A)(B)(C)(D)４定义两种运算：，，那么函数为〔〕〔A〕奇函数〔B〕偶函数〔C〕奇函数且为偶函数〔D〕非奇函数且非偶函数５偶函数在上单调递增，那么与的大小关系是() 〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕6如图，指出函数①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx的图象，那么a,b,c,d的大小关系是Aa<b<1<c<dBb<a<1<d<cC1<a<b<c<dDa<b<1<d<c7假设logx3>logy3>0,那么以下不等式恒成立的是()A<y–1/3B<3x–yC<31–yD>31–y8函数f(x)=lg(ax–bx)(a,b为常数，a>1>b>0),假设x(1,+∞)时，f(x)>0恒成立，那么()Aa–b1Ba–b>1Ca–b1Da=b+19如图是对数函数y=logax的图象，a取值,4/3,3/5,1/10,那么相应于①,②,③,④的a值依次是10y=loga(2–ax)在[0,1]上是x的减函数，那么a的取值范围是11函数，且正数C为常数对于任意的，存在一个，使，那么称函数在D上的均值为C试依据上述定义，写出一个均值为９的函数的例子：_____12设函数f(x)=lg,其中aR,如果当x(–∞,1)时，f(x)有意义，求a的取值范围13a为何值时，关于x的方程2lgx–lg(x–1)=lga无解？有一解？有两解？14绿缘商店每月向工厂按出厂价每瓶3元购进一种饮料根据以前的统计数据，假设零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；假设每瓶售价每降低005元，那么可多销售40瓶请你给该商店设计一个方案：每月的进货量当月销售完，销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？15定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足：〔1〕对于任意x∈[0，1]，总有f(x)≥0；〔2〕f(1)=1〔3〕假设，，，那么有〔Ⅰ〕试求f(0)的值；〔Ⅱ〕试求函数f(x)的最大值；〔Ⅲ〕试证明：满足上述条件的函数f(x)对一切实数x，都有f(x)≤2x16设、为常数，：把平面上任意一点〔，〕映射为函数〔1〕证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；〔2〕证明：当时，，这里t为常数；〔3〕对于属于M的一个固定值，得，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？参考答案：１D２D３C４A５D6B7D8A9,4/3,3/5,1/10,10(1,2)11，，〔〕12a–3/4130<a<4时，无解；a=4时，方程有一解；a>4时，方程有两解1445015〔I〕令，依条件〔3〕可得f(0+0)≥f(0)+f(0)，即f(0)≤0又由条件〔1〕得f(0)≥0，那么f(0)=0〔Ⅱ〕任取，可知,那么,即，故于是当0≤x≤1时，有f(x)≤f(1)=1因此，当x=1时，f(x)有最大值为1，〔Ⅲ〕证明：研究①当时，f(x)≤1<2x②当时，首先，f(2x)≥f(x)+f(x)=2f(x)，∴显然，当时，成立假设当时，有成立，其中k＝1，2，…那么当时，可知对于，总有，其中n=1，2，…而对于任意，存在正整数n，使得，此时,③当x=0时，f(0)=0≤2x综上可知，满足条件的函数f(x)，对x∈[0，1]，总有f(x)≤2x成立16(1)假设有两个不同的点〔