2022-2023学年河北省保定市高一年级下册5月月考数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年河北省保定市高一下册5月月考数学模拟试题

（含解析）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数z∣=4+i,z2=l-2i,则ZR?=（）

A.2+7iB.2-力C.6+7iD.6-7i

2.“8C的内角4氏C的对边分别为α,b,c,若COSA=冬b=26,c=6，则〃=（）

A.2B.√2C.3D.√3

3.光明社区老年合唱队中，60〜70岁的有30人，71〜75岁的有15人，76岁及以上的有

10人.若用分层抽样的方法抽取及位老人参加某项活动，已知从71〜75岁的老人中抽取了

3人，贝IJ〃的值为（）

A.9B.10C.11D.12

4.已知加/是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是（）

A.若加〃”，〃/∕α则zw∕∕αB.若机//ɑ,〃//a则机〃”

C.若加JUα,则D.若〃Ua则/n_La

5.某公司用随机数法从公司的500名员工中抽取了20人了解其对烧烤的喜欢程度.先将这

500名员工按001,002,....500进行编号，然后从随机数第3行第3列的数开始向右读，

则选出的第7个编号是（注：下面为随机数的第3行和第4行）（）

第3行：78166572080263198702436997280198

第4行：32049243493582003623486969387481

A.492B.320C.198D.280

6.已知向量α=（2+1,4）,ft=（3,Λ）,若G与B反向，则向量C=（1,2）在向量1Z上的投影

向量为（）

A.（6,-8）B.（-6,8）CJl,一£|d∙[-∣,?）

7.在平行六面体/8CO-44GA中，底面48。是菱形，NBAD=60。，44与底面/8CZ）

垂直，M,N分别在8。和BQ上，且5Q=38M,BQ∖=3D,N,∕B=3,AA1=4,则异

面直MN与所成角的余弦值为（）

7√193√Γ9D∙平

A.2

34θ∙f17

8.某六芒星项链如图1所示，其平面图如图2所示，该六芒星由正“8C和正ʌθEF组合

而成，且羽=而，^AC=EF,DE^CB，/8C和ʌ7）斯的中心均为O,BC与E尸的交

点为G,若OC=机OZ+”0G，则机+〃=（）

D.-6

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得O

分.

9.已知复数Z在复平面内对应的点的坐标为（2,-1）,则（）

A.z=2+i

B.Z的虚部为T

C.z-i为纯虚数

D.Z是方程/-4x+5=0的一个复数根

10.下列说法错误的是（）

A.过球心的截面是半径等于球的半径的圆面

B.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱

C.正四棱锥的侧面都是正三角形

D.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台

11.若向量满足∣"+1=4,P-N=2,则下列说法正确的是()

A.若卜∣=JΣ,则COS卜&=：B.3≤∣(z∣∙∣Z>∣≤5

C.若COS(α,B)=∙∣,则W=2>∕ΣD.CoS(0,5)≥∣

12.在四棱锥P-/8C。中，PAABCD,ZABC=ZACD=60°,AB=BC=I,CD=I,

且二面角尸-8C-4为60。，贝IJ()

A.PD=3®

B.二面角P-OC-B为60。

C.三棱锥P-/8C的外接球的表而积为43深τr

D.三棱锥尸-ZOC的内切球的半径为士二叵

4

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的

横线上.

13.某7位小伙伴1分钟的跳组个数(单位：个)分别为180,182,173,175,a,∏8,

176,已知这7位小伙伴1分钟跳绳个数的平均数为178,贝IJa=.

14.某“星舰”可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图所示，其中8,

C分别是上、下底面圆的圆心，若∕C=50米，/8=6米，底面圆的直径为9米，则该“星

舰”的表面积是平方米.

A

15.长度为15Cm的线段两个端点到平面ɑ的距离分别为3cm和12cm,且这两个端点都在平

面α的同一侧，则这条线段所在直线与平面ɑ所成角的正弦值为.

16.《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖膈.如图，在鳖麝P/8C中，

PC>PB>PA,AB=2,SC=I,PA=2也,D,E分别为棱尸C,PB上一点，则ZE+。E

的最小值为

P

B

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

17.已知向量Z，3的夹角为三，且问=2,W=3,c^λa-2b.

⑴求∣3α-'；

⑵当坂时，求彳的值.

18.如图，在底面/8C。是矩形的四棱锥尸-/88中，平面PCz)J.平面Z8C。，PCPD,

且CD=gPD，M,N分别是尸/潭。的中点.

(1)证明：Λ√M〃平面P8C.

(2)证明：尸CI.平面P/C.

19.如图，梯形O'A'B'C'是水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图，已知O1A'//B'C',

O'A'=2,O'B'=B'C'=3.

(1)在下面给定的表格中画出四边形Q48C(不需写作图过程)；

(2)若四边形。I3C以O/所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出

该几何体的结构特征，并求该几何体的体积.

20.已知正方体4sa>-44C∣o∣.

(1)证明：平面48£_1面802.

(2)若正方体的棱长为4,1£_L平面α,当平面α经过BC的中点时，求平面α截正方体

力BeD-44GA所得截面的周长.

21.“8C的内角4,B,C的对边分别为α,b,c,且2ccos∕=a+26.

⑴求C；

(2)若。为ZB边上一点，ACBD=BCAD,且CO=2,求“8C面积的最小值.

22.如图，在斜三棱柱Z8C-48C中，E为的中点，M为/8上靠近/的三等分点,

N为/也上靠近A的三等分点.

(1)证明：平面AiMC//平面BEN.

⑵若CM，平面BE1ABt,Ca与平面的距离为x,4C=8,Nq=I2,

三棱锥4-4CM的体积为V,试写出y关于X的函数关系式.

(3)在(2)的条件下，当X为多少时，三棱锥4-4CM的体积取得最大值？并求出最大值.

答案解析

1.D

【分析】根据复数的乘法运算求解.

【详解】由题意可得园Z2=(4+i)(l-2i)=4-7i-2i2=6-7i

故选：D.

2.D

【分析】根据余弦定理求解即可.

【详解】由余弦定理得α2=〃+c~—2bccos∕=3，得α=

故选：D

3.C

【分析】根据分层抽样的概念及计算方法，列出方程，即可求解.

【详解】由题意可知：从71〜75岁的老人中抽取的人数为〃Xk^7=3,解得“=IL

30+15+10

故选：C.

4.C

【分析】根据直线与平面的位置关系和相关定理，逐项判断即可.

【详解】对于A,若"?〃〃，n!Ia,则〃〃∕α或mUe,故A错误；

对于B,平行于同一平面的两条直线可能平行，可能异面，也可能相交，故B错误；

对于C,若/w_La,则m垂直于α平面内的任意一条直线，.•.〃?_!.〃，故C正确；

对于D,若则加与α不一定垂直，故D错误.

故选：C.

5.B

【分析】由随机数法的抽样规则进行抽样即可.

【详解】由随机数法的抽样规则，从随机数第3行第3列的数开始向右读，依次选出的编号

是：

166,080,263,198,436,280,320,....所以选出的第7个编号是320.

故选：B

6.D

【分析】依题意可先求出/1的值，从而可得的坐标，再用投影向量的定义即可求解.

【详解】依题意7/，Z=(2+l,4),⅛=(3,Λ),

所以；l(%+l)-3χ4=0,解得2=3或义=-4,

又Z与B反向，则2=3时，向量α=(4,4)与B=(3,3)同向，不合舍去,

故几二一4,此时α=(-3,4),b=(3,-4),a-b-(-6,8),

c∖a-b)

则向量Z=(L2)在向量"/上的投影向量为W∙(α-ft)

-6×l+8×2

(-6)2+82

故选：D

7.B

【分析】根据题意将异面直线平移到同一三角形中，再根据三角形的余弦定理求解即可.

【详解】取。M中点K,连接AK、AK,

因为AN=KM=DxNHKM,所以四边形AM瓶为平行四边形,

所以D,K"MN,所以异面直线MN与所成角为NgK或其补角.

因为底面/8CD是菱形，ZBAD=60o,AB=3,

所以在AADK中，利用余弦定理得AK=√AD-+DK2-IADDK-cos60,=√7，

L2

又ADi=^AD+DD;=5,DlK=JλT>+DD：=√∏,

夫SF到EzFE先.coAD2+DK2-AK225+17-77√17

在“D/中，利用余弦定理得cosZADIK=----i―――i—------=----------F==———,

2ADxDyK2×5×√1734

所以异面直MN与/。所成角的余弦值为誓.

故选：B.

8.C

【分析】根据等边三角形中心的性质可得嗡=筝=I,进而得向量共线，由向量线性运

算即可求解.

【详解】如图，连接∕G,CE,设45,CE的交点为H,AG,CE的交点为/,由于。是

和SE尸的中心，所以。在CE上，，为48的中点，

因为。为“8C的重心，所以反=2我.由题意得aCOGs2^CH8,则,

OGOC2—■2—2

-=—=即。G=W"8=*Z”,所以，

HBHC333

反=2而=2(立+而)=2(-咨-可=-2况-31，得m+…5.

9.ABD

【分析】根据复数的几何意义、复数的概念以及复数的运算可得答案.

【详解】因为复数Z在复平面内对应的点的坐标为(2,7),

所以z=2-i,所以5=2+i,故A正确;

Z的虚部为T,故B正确；

z-i=2-2i不是纯虚数，故C错误；

-4z+5=(2-i)2-4(2-i)+5=4-4i+i2-8+4i+5=0,

所以Z是方程χ2-4x+5=0的一个复数根，故D正确.

故选：ABD

10.BCD

【分析】根据几何体的结构特征逐项分析判断.

【详解】对于选项A：根据球的性质可知过球心的截面是半径等于球的半径的圆面，故A

正确；

对于选项B：满足有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体可能时两个棱柱拼

接而成，如图所示，故B错误;

对于选项C：正四棱锥的底面为正方形，侧棱长相等，但无法确定底面边长与侧棱长是否相

等，所以只可得正四棱锥的侧面都是等腰三角形，而不一定是正三角形，故C错误；

对于选项D：因为无法确定侧棱是否交于一点，故满足条件的几何体不一定是棱台，故D

错误；

故选：BCD.

11.ABD

g2+g2_ɪ0

【分析】由口+倒=4,□-画=2分别平方后，两式相加，相减得到LZ.J,-,__、，

1111a∙h=∣α∣∙0■eosɑ,ð=3

再逐项判断.

【详解】解：因为B+q=4,R-q=2,

^∖^a2+2a-b+h2=∖6,d2-2a∙b+b2=4,

解得万2+必“,az=同网85卜，3=3,

当向=√Σ时∙，W=2j∑,∞s(^⅛)=j^∣[=∣,A正确；

LT3[a2+b2=W⅛=√2[∣α∣=2√2

当COS(叫=W时'∣∣5∣.∣6∣=4,解得[问=2&或|问=0，C错误；

易得问>0a>0,则同+"=1022同响，解得同平卜5,当且仅当时=W=有时，等号

成立,由COS.W≤l,得“*=卜H斗CoS«$)=3≤pF同，所以3≤K∖q≤5,B正确;

易得COSGW>0,则3第卡I=CoSh5广5,解得CoSGW≥g，D正确，

故选：ABD.

12.BCD

【分析】根据二面角和余弦定理可得p/=3,∕r>=√L对于A：根据垂直关系运算求解；对

于B：可证CO_L平面尸/。，进而可得二面角尸-OC-B的平面角为NPD4,运算求解即可；

对于C：结合直三棱柱的外接球特征分析求解；对于D：利用等体积法求三棱锥的内切球半

径.

【详解】由题意可知：是以边长为2的等边三角形，

取2C的中点连接4W,PM,则∕Λ∕L5C,4Λ∕=√J,

因为PZI平面/88,且8C,∕O,CDu平面48cz),

所以P/LBC,PALAD,PALCD,

且24Γ∣∕M=/,P4,4Mu平面P4M,可得BCI平面

PMU平面PAM,则BCVPM,

所以二面角尸-BC-4的平面角为Np跖4=60。，

则PA=AMtanNPMA=√3×√3=3,

在AZC。中，由余弦定理可得NQ2=∕C2+Ci>2-24C∙CDCoSNZCD=4+l-2χ2χlχ,=3,

2

即/。=百，则/D+c》="2,即4OJ.CC.

对于选项A：因为PZl所以PD=JPI，+/。2=J32+(√I),=26,故A错误；

对于选项B：因为尸∕1,CO,ADlCD,尸/,/Qu平面尸所以CZ5_L平面PZ。，

且P。U平面PZO,可得CZ)J_尸。，且PD=JPT+4D?=2√J,

所以二面角P-DC-8的平面角为NPD4,

PA-

又因为tanNP。/=——=√r3,且/PD4为锐角，则NPZM=60。，

AD

所以二面角尸C-8为60。，故B正确；

对于选项c：设“8c的中心为G(即为外接圆圆心)，则∕G=2NΛ∕=2∖叵，

33

设三棱锥P-48C的外接球的球心为O,半径为R,连接OG,OZ,

I74944

则。G=Lp4=2,SLOGIIPA,可得炉=OG?+NG?=2+二,

223412

434Λτr

所以三棱锥P-/8C的外接球的表而积为4兀斤=4兀'?=?，故C正确；

123

对于选项D：因为三棱锥P-NOC的体积VP^ADC=∣×3×→√3×l≈γ-

三棱锥尸-/。C的表面积SPYDC=BX行Xl+gx3x2+gx3x百+gxlx2百=3+3省，

3×T3-√^,故D正确;

所以三棱锥P-ZDC的内切球的半径“一3匕JToC

I-

SP-ADC^3+3√3

故选：BCD.

13.182

【分析】由平均数的计算公式即可求解.

180+182+173+175+rz+178+176…

【详解】依题意,---------------------------------------------=1/8,

7

解得α=182.

故182

14.273π+9√5π

【分析】根据题意结合圆柱、圆锥的侧面积公式运算求解.

【详解】由题意可知：该"星舰”的表面分为三个部分：圆锥的侧面、圆柱的侧面和圆柱的底

面圆,

因为圆锥的母线长/=病寿=34米，则其侧面积E=兀x3x36=9后平方米,

圆柱的高BC=50-6=44米，则其侧面积S2=2π×3×44=264π平方米,

底面圆的面积邑=nx3?=9π平方米，

所以该“星舰”的表面积是9#ITI+264π+9π=273π+WFπ平方米.

故答案为.273τt+9√?π

15.I##0.6

【分析】根据线面夹角的定义分析运算.

【详解】如图所示，设线段两个端点45在平面α的投影分别为C,。，连接/C,8。,。,

则NC=3,8O=12,N8=15,

在线段8。上取点E,使得。E=3BE=9,连接CE,

因为∕C7∕Z>E,AC=DE,则/CED为平行四边形，可得AB//CE,AB=CE=XS

则线段ZB所在直线与平面1所成角的即为线段CE所在直线与平面a所成角NOCE,

所以这条线段所在直线与平面ɑ所成角的正弦值SinNDCE=先DF=I9=J3

CE155

ɪ3

故答案为5

（分析】将APAB,APBC翻折至一个平面,则AE+DE的最小值为点A到边PC的距离AM,

结合三角恒等变换运算求解.

【详解】由题意可知：PR上NB,BC_LPB,则PB=y∣PA2+AB2=4,PC=PB2+BC2=√∏>

所以ZAPB=30°,sinZBPC=*,cosZBPC，

将4P∕8,Z∖P5C翻折至一个平面，过点4作/M1PC,垂直为点M,

则AE+DE的最小值为点A到边PC的距离AM,

因为

√T7+√51

sinAAPC=sin(ZAPB+ZBPC)=sinZAPBcosZBPC+cosAAPBsinΛBPC虐匹

v721721734

所以∕M3∙sinN∕PC=2√5x型叵=恒亚

3417

即4E+QE的最小值为4®+即

17

故答案为.4丙+3√Γ7

17

P

17.(l)∣3ɑ-6∣=3Λ∕3

(2)4=6

【分析】(1)先根据数量积的定义求75,进而求模长；

(2)根据向量垂直可得讥"=0,结合数量积的运算律运算求解.

【详解】⑴由题意可知：=|丽COSm=2χ3χg=3,

所以pa—4=9“-6a∙b+b=9χ4-6χ3+9=27,BP∣3a-∕>∣=3√.

rrrrrrrr

(2)因为^∖b-c^b^λza-2bjλ^λa-b-2b2=3Λ-2×9=0,

解得2=6.

18.(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)利用线面平行判定定理证明即可;

(2)利用线面垂直的判定定理证明即可

【详解】(1)连接/C,如图所示：

因为NBC。是矩形，N是8。的中点,

所以N是NC的中点

因为M是PN的中点,

所以MN〃PC,

又MVU平面P8C,尸CU平面PBC,

所以MV〃平面尸8C.

（2）因为尸C=P。，旦CD=亚PD，

所以2C?+尸。2=C£）2

所以PCLPZ）,

因为平面PCD，平面ABCD,且平面PCD∩平面ABCD=DC,

ADVDC,AD⊂ABCD

所以40J.平面PC。，

因为PCU平面PCZ）,

所以AOJ.PC,

又ADIPD=D,且4。U平面尸49,尸3u平面P/。，

所以PC平面尸NO.

19∙（1）图形见详解

（2）96π

【分析】（1）根据斜二测画法画出四边形O/8C即可；

（2）根据题意分析可知所得几何体的上半部分为圆锥，下半部分为圆柱截取一个圆锥，结

合柱体、锥体的体积公式运算求解.

【详解】⑴因为。H与x'轴重合，则ON与X轴重合，且。f=0'H=2;

5‘C'与x’轴平行,则8C与X轴平行，S.BC=B1C=3；

O0与y轴重合，则08与V轴重合，且OB=2。®=6；

连接/8,OC,即可得四边形Q48C.

（2）如图所示，所得几何体的上半部分为圆锥，下半部分为圆柱截取一个圆锥,

故体积为V=-×36π×2+36π×3-ɪ×36πx3=96π.

33

A

20.(1)证明见解析

⑵12&

【分析】(1)根据正方体的性质和线面垂直得到/8LgC,然后利用线面垂直和面面垂直

的判定即可证明；

(2)根据线面垂直的性质和(1)的结论得到平面α〃平面BCR.分别取8C,CD,DD,,

4R,4片，8片的中点E,F,G,H,M,N,连接各点，则多边形E尸一GHMN即平面ɑ

截正方体/88-/£GA所得的截面，再求出周长即可.

【详解】(1)在正方体/8CD-48GA中，/8,平面BCG4,

因为8°U平面BCG4,所以NBJ.8C.

在正方形3CG4中，BCLBa，

XABlBCi=B,4B,BC∖u平面4BC∖,

所以8(，平面N8G，又8。u平面BC。，

所以平面/8G，平面MC".

(2)连接。g,因为平面。CGA，

又ACU平面。CG2,所以

在正方形OCGA中，DxCVDCx,

又NZ>noG=o,QGU平面NOG，

所以AC，平面4)G，又4GU平面NOG，

所以ACi4G.

由（1）知平面/8G，/C∣u平面/8G，则与C_L』G.

又RCCBC=C,OC,8CU平面片CR,所以/G∙L平面8C",

因为/Gl平面α,所以平面α〃平面8C2∙

分别取8C,CD,DDt,4〃，AiBi,的中点E,F,G,H,M,N,连接各点,

则多边形EF-GHMN即平面α截正方体ABCD-AxBxCxDx所得的截面.

又EF=FG=GH=HM=MN=NE=2√2>

所以平面α截正方体ZBeO-44Ca所得的截面的周长为20x6=12√∑∙

(2)4√3

【分析】（1）运用余弦定理求出/C；

（2）由条件运用正弦定理和基本不等式求解.

【详解】（1）由余弦定理得2ccos∕=2c/+d-/=/=α+2b,

2bcb

得6?+/一μ=ab+2b?，即a2÷62-c2=-ab,

则CoSC=O+b-C=_4,c∈(0,π),ΛC

2ab2

在ABGD中，由正弦定理得黑="然I

BDsin/BCD

ΛCBCsinZADCsinZBDC

由题意得一=—=--------=---------，

ADBDsinZJCDsinZBCD

因为ZAoC+ZδOC=7t,所以SinZAOC=Sin/8OC,得sin48=sin/88,

得NACD-NBCD,即CO为NZcS的角平分线,

I21Γ17Γ17Γ

由右"BC=S+SABCO，^-absin-=-