板壳问题的有限元

第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程二、矩形薄板单元三、三角形薄板单元四、用矩形薄板单元进行薄壳分析五、用三角形薄板单元进行薄壳分析六、用薄板单元进行薄壳分析的步骤第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程1.薄板弯曲的概念：1）薄板薄膜厚板小于称为薄板第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程1.薄板弯曲的概念：薄板所受任意荷载，均可分解成：2）薄板弯曲受弯板的中面将变形成为一个曲面，垂直于中面的位移称为挠度w。当板的挠度w远小于板厚h时，可引进一些假设简化分析过程，这类问题称为板的小挠度弯曲问题作用于中面的面内载荷－弹性力学平面问题垂直于中面的横向荷载－板的弯曲问题第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程2.薄板弯曲问题的基本假定－克希霍夫假定：1）中面法线变形后既不伸长也不缩短；2）板中面法线变形前是直线，变形后仍保持直线，且与变形后的中面保持垂直；3）中面各点没有平行于中面的位移。假定（1）与梁弯曲问题的互不挤压假定相似

z=0即：w=w(x,y)所以：第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程2.薄板弯曲问题基本假定：假定（2）与梁弯曲问题的平面假定相似，即剪切应变：

zx=

zy=0即：有：利用：w=w(x,y)第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程2.薄板弯曲问题基本假定：所以：

再使用假定（3），得：

f1(x,y)=0，f2(x,y)=0第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程3.薄板弯曲问题的应变：

x=Xxz

y＝Xyz

xy＝2Xxyz

z=yz=

zx

＝0六个应变分量中，根据假定，已知：其余三个分量：第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程3.薄板弯曲问题的应变：曲率：扭率：薄板的形变分量第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程4.薄板弯曲问题的应力：(x、y、xy）通过平面问题的物理方程由应变求出(z、zx、zy）则必须由三个平衡微分方程求解给出需注意：应力分量（

z、zx、zy）尽管相对面内应力分量（x、y、xy）很小，它们对应的应变分量z、zx、zy可略去不计，但它们本身由于是平衡所必须的而不能忽略不计。第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程4.薄板弯曲问题的应力：应力分量（

x、y、xy）：特点：均沿厚度呈线性分布，在中面处为零，在板的上、下板面达到最大。第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程4.薄板弯曲问题的应力：应力分量（

z、

zx、zy

）：考虑薄板上、下板面的边界条件解得横向剪应力，为第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程4.薄板弯曲问题的应力：特点：横向剪应力

zx、zy沿板厚度方向呈抛物线分布，在板的上、下板面为零，在板中面最大。第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程4.薄板弯曲问题的应力：将z方向所有力作用等效移置到板面上，板上、下表面的边界条件变成利用z方向的平衡条件求

z

利用边界条件可解得：第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程4.薄板弯曲问题的应力：特点：

z沿板厚度方向呈三次方变化最大值发生在板面为q，最小值在板底为0。第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程5.薄板弯曲的平衡微分方程：上式中，利用板下面的边界条件，得：D是板的弯曲刚度，板厚的三次方成正比，与弹模成正比，与梁的弯曲刚度类似第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程6.薄板横截面上的内力：第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程6.薄板横截面上的内力：正负规定：在z为正，若应力分量为正，则由此合成的内力为正内力是作用在每单位宽度上的力，例如：弯矩和扭矩的量纲应是［力］，而不是通常的［力］［长度］。第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程6.薄板横截面上的内力：正应力

x、y分别与Mx、My成正比，故称为弯应力；剪应力xy与扭矩Mxy成正比，故称为扭应力；剪应力

zx、zy与横向剪力Qx

、Qy成正比，故称为横向剪应力；正应力z与荷载q成正比，故称为挤压应力。在薄板弯曲问题中，弯应力和扭应力是主要应力，横向剪应力较小，是次要应力，挤压应力更小，是更次要应力。第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程6.薄板横截面上的内力：第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程7.薄板的势能：由基本假定，故板的应变能为：

z=yz=

zx

＝0外力势能为：总势能：第五章板壳问题有限单元法二、矩形薄板单元1.基本变量：单元内任一点位移:

单元内任一点应变:

其中:

单元内任一点应力:

第五章板壳问题有限单元法二、矩形薄板单元1.基本变量：单元结点位移:结点位移:第五章板壳问题有限单元法二、矩形薄板单元2.单元位移插值函数：由于薄板的位移、应变、应力、内力等都可用挠度w来表示，所以位移插值函数的选择，即为挠度模式的选择4个结点，12个自由度，故在自然坐标下设：第五章板壳问题有限单元法二、矩形薄板单元2.单元位移插值函数：所以有：将结点坐标及位移代入上面三式:第五章板壳问题有限单元法二、矩形薄板单元2.单元位移插值函数：形函数矩阵形函数第五章板壳问题有限单元法二、矩形薄板单元3.位移的协调性检验：总势能为3次完全多项式，故满足完备性要求其最高阶导数p=2，完备性要求位移模式为2次完全多项式矩形薄板单位的位移：第五章板壳问题有限单元法二、矩形薄板单元3.位移的协调性检验：能量泛涵中位移函数最高阶导数p=2，协调性要求位移模式在相邻单元的交界面上有0-1阶的连续导数—C1问题以右图为例，考察两相邻单元在34边位移是否协调：由于34边上为常数，所以w为

的三次方程，含4个未知量，可通过结点位移分量：求解未知量，从而唯一确定位移w,保证了两单元之间挠度和转角的连续

第五章板壳问题有限单元法二、矩形薄板单元3.位移的协调性检验：对于转角：34边上为常数，仍为

的三次方程，含4个未知量，而此时仅有：两个求解条件，所以无法完全确定三次方程，也就无法保证在34边上两单元有相同的第五章板壳问题有限单元法二、矩形薄板单元3.位移的协调性检验：以上分析表明，矩形板单元的挠度和切向转角可满足协调性要求，而法向转角则不能满足协调性要求，这种单元也称为非协调元，对于非协调元，只有能通过分片试验，也可收敛于精确解。第五章板壳问题有限单元法二、矩形薄板单元4.单元几何方程：将已经得到单元几何方程为：将带入上式：第五章板壳问题有限单元法二、矩形薄板单元4.单元几何方程：第五章板壳问题有限单元法二、矩形薄板单元5.单元物理方程：—应力矩阵令:第五章板壳问题有限单元法二、矩形薄板单元6.单元分析：利用变分原理，得平衡方程：已经得到单元势能：将前面的分析结果带入上式：第五章板壳问题有限单元法二、矩形薄板单元6.单元分析：其中：单元刚度矩阵等效结点荷载当荷载均匀分布时：第五章板壳问题有限单元法二、矩形薄板单元7.位移边界条件：常见位移边条：1)固支边：切向转角法向转角2)简支边：3)对称轴：第五章板壳问题有限单元法三、三角形薄板单元1.位移插值函数：需要有10个系数，在直角坐标下问题很难解决，较好的方案是设：

三角形板单元有9个自由度，而一个完全三次式：

第五章板壳问题有限单元法三、三角形薄板单元1.位移插值函数：但当三角形两边分别平行两坐标轴时，确定广义坐标的系数矩阵奇异利用面积坐标三个分量不相互独立的特性，可解决该问题：第五章板壳问题有限单元法三、三角形薄板单元1.位移插值函数：利用结点的位移参数条件可确定w中的广义坐标，得到：形函数矩阵第五章板壳问题有限单元法三、三角形薄板单元1.位移插值函数：形函数试证明9自由度三角形薄板单元为非协调元第五章板壳问题有限单元法三、三角形薄板单元2.单元分析试推导9自由度三角形薄板单元的1）应变矩阵2）应力矩阵3）单元刚度矩阵yxLL例：四边简支正方形薄板ABDCyxLLABDC受均布荷载q及中心集中荷载P两种工况作用，分别用矩形单元和三角形单元计算最大挠度第五章板壳问题有限单元法四、用矩形薄板单元进行薄壳分析1.薄壳结构受力特点：1）薄壳的概念：两个曲面所限定的物体，如果曲面之间的距离比物体的其他尺寸小，就称为壳体。t/R<0.05－薄壳2）薄壳的受力特点（相对于薄板)：a)在荷载作用下除产生弯曲变形外，还存在中面变形。b)弯曲变形和中面变形同时发生，且相互耦合。第五章板壳问题有限单元法四、用矩形薄板单元进行薄壳分析1.薄壳结构受力特点：巴黎国家工业与技术展览中心大厅－混凝土薄壳结构，边长219m，是当前世界上跨度最大的混凝土建筑。折算壳面总厚度只有180mm，厚跨比为1:1200，比鸡蛋蛋壳的厚长比1:100还小12倍。第五章板壳问题有限单元法四、用矩形薄板单元进行薄壳分析3）计算假定：1.薄壳结构受力特点：a)垂直于中面方向的正应变极其微小，可以不计。b)中面的法线保持为直线，且法线及其垂直线段之间的直角保持不变，即该两方向的剪应变为零。c)挤压应力对变形的影响可以不计。第五章板壳问题有限单元法四、用矩形薄板单元进行薄壳分析2.薄壳结构有限元模型：1）平板型壳单元模型：板弯曲单元＋平面应力单元平板型壳单元a)忽略弯曲变形和薄膜变形间的耦合作用。b)以折代曲，存在一定的几何逼近误差。特点：c)原理及形式简单，易于实现，可满足工程精度要求。第五章板壳问题有限单元法四、用矩形薄板单元进行薄壳分析2.薄壳结构有限元模型：2）曲面壳单元：a)形状及位移拟合性好、精度高。b)理论复杂，不便于实现。特点：基于薄壳理论的经典壳元超参数壳元第五章板壳问题有限单元法四、用矩形薄板单元进行薄壳分析3.矩形平板型壳单元：1）单元组成：矩形平面单元＋矩形板单元第五章板壳问题有限单元法四、用矩形薄板单元进行薄壳分析3.矩形平板型壳单元：2）基本变量：单元内任一点位移:

第五章板壳问题有限单元法四、用矩形薄板单元进行薄壳分析3.矩形平板型壳单元：2）基本变量：单元内任一点应力:

单元内任一点应变:

第五章板壳问题有限单元法四、用矩形薄板单元进行薄壳分析3.矩形平板型壳单元：3）基本变量：单元结点位移:结点位移:第五章板壳问题有限单元法四、用矩形薄板单元进行薄壳分析3.矩形平板型壳单元：4）单元平衡方程：平面应力单元:板单元:平板型壳单元为以上两方程叠加:考虑到：第五章板壳问题有限单元法四、用矩形薄板单元进行薄壳分析3.矩形平板型壳单元：4）单元平衡方程：所以有：记：第五章板壳问题有限单元法四、用矩形薄板单元进行薄壳分析3.矩形平板型壳单元：4）单元平衡方程：则有单元平衡方程：第五章板壳问题有限单元法四、用矩形薄板单元进行薄壳分析3.矩形平板型壳单元：5）坐标转换问题：上述方程是在单元局部坐标系内建立的，对结构进行整体分析时，需将其转换成整体坐标系下的平衡方程。约定：单元局部坐标系的x轴与整个坐标系的x’轴及壳体的母线平行，即局部坐标系中x轴方向的单位向量为：第五章板壳问题有限单元法四、用矩形薄板单元进行薄壳分析3.矩形平板型壳单元：5）坐标转换问题：则从图中可知，局部坐标系中y轴方向的单位向量为：局部坐标系中z轴方向的单位向量为：第五章板壳问题有限单元法四、用矩形薄板单元进行薄壳分析3.矩形平板型壳单元：5）坐标转换问题：由此可得局部坐标与整体坐标间的转换关系：由此可得局部坐标与整体坐标间的转换关系：第五章板壳问题有限单元法四、用矩形薄板单元进行薄壳分析3.矩形平板型壳单元：5）坐标转换问题：所以单元坐标转换矩阵为：单元结点位移转换公式：单元等效结点力转换公式：由得第五章板壳问题有限单元法四、用矩形薄板单元进行薄壳分析3.矩形平板型壳单元：5）坐标转换问题：单元在整体坐标下的单刚为：由于为正交矩阵即：所以整体坐标系下的单元平衡方程为：第五章板壳问题有限单元法四、用矩形薄板单元进行薄壳分析3.矩形平板型壳单元：6）两点说明：平板型壳单元一般都是非协调元，但可收敛。a)收敛性讨论由于弯曲单元和平面单元产生的变形和内力在单元内互不耦合，仅是简单叠加，所以在单元内部，完备性、协调性都可满足。弯曲单元和平面单元产生的变形和内力在单元间是耦合的，即一个单元边界产生的面内位移会引起相邻单元的弯曲变形，单元间不再是C0问题，单元间位移一般都不协调第五章板壳问题有限单元法四、用矩形薄板单元进行薄壳分析3.矩形平板型壳单元：6）两点说明：b)单元共面问题：由于局部坐标系下单元刚度矩阵为：主对角线存在零元素，若过同一结点的所有单元共面，则整体坐标系下的刚度矩阵主对角线仍存在零元素，造成矩阵奇异。两种处理方法：（1）将总刚对角线上的零元素赋任意非零值（2）将局部坐标系下单刚相应零元素位置赋一小值。第五章板壳问题有限单元法五、用三角形薄板单元进行薄壳分析1.单元组成：常应变三角形单元＋3结点板单元三角形单元适应性较强第五章板壳问题有限单元法五、用三角形薄板单元进行薄壳分析1.单元平衡方程：其中：第五章板壳问题有限单元法五、用三角形薄板单元进行薄壳分析2.坐标转换：约定：局部坐标系的x轴与12边重合则x轴方向的单位向量为：局部坐标系中z轴方向的向量为：而：第五章板壳问题有限单元法五、用三角形薄板单元进行薄壳分析2.坐标转换：所以：其中：第五章板壳问题有限单元法五、用三角形薄板单元进行薄壳分析2.坐标转换：所以，局部坐标系中z轴方向的单位向量为：局部坐标系中y轴方向的单位向量为：第五章板壳问题有限单元法五、用三角形薄板单元进行薄壳分析2.坐标转换：由此可得局部坐标与整体坐标间的转换关系：所以单元坐标转换矩阵为：第五章板壳问题有