预习10讲正弦定理2024年高一数学寒假自学提升课（人教A版2019）原卷版

2024年高一数学寒假自学精品课（人教A版2019必修第二册）预习10讲正弦定理（精讲+精练）①已知两角和一边解三角形②已知两边和其中一边的对角解三角形③判断三角形的形状④与三角形面积相关的问题⑤正余弦定理的综合应用一、正弦定理（1）正弦定理的描述①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.②符号语言：在中，若角、及所对边的边长分别为，及，则有（2）正弦定理的推广及常用变形公式在中，若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则①②；；；③④⑤，，（可实现边到角的转化）⑥，，（可实现角到边的转化）二、三角形面积公式三角形面积的计算公式：①；②；③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).题型一：题型一：已知两角和一边解三角形策略方法解决已知两角及一边类型的解题方法

(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一边,再由三角形内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边.

(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.【题型精练】一、单选题1．在△ABC中，若，，，则（

）A． B． C． D．2．在中，已知，，，则边的长为（

）A． B． C． D．3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（

）A．8 B．5 C．4 D．3二、填空题4．设△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则．5．设的内角，，的对边分别是，，，若，，，则.6．在中，若，，，则．题型二：题型二：已知两边和其中一边的对角解三角形策略方法(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的思路①由正弦定理求出另一边对角的正弦值;②如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角;③如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.(2)已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数;②在△ABC中,已知a,b和A,以点C为圆心,以边长a为半径画弧,此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数,解的个数见下表:A为钝角A为直角A为锐角a>b一解一解一解a=b无解无解一解a<b无解无解a>bsinA两解a=bsinA一解a<bsinA无解【题型精练】一、单选题1．设的内角的对边分别为，若则的值可以为（

）A． B． C． D．或2．中，，，，则（

）A． B． C． D．3．在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则此三角形的解的情况是（

）A．有一解 B．有两解C．无解 D．有解但解的个数不确定4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则C=（

）A． B． C． D．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则cosB=（

）A． B． C． D．6．在中，角，，所对的边分别为，，．，，则（）A． B． C． D．7．已知中，，，，则（

）A． B．或 C． D．或8．在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，二、多选题9．在中，，，，则可能为（

）A． B． C． D．10．在中，，，则可能为（

）A． B． C． D．三、填空题11．在中，角的对边分别为，，，．则．12．在中，角、、的对边分别为、、，已知，，，则．13．在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为.四、解答题14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，(1)若，求b；(2)若，求b．题型三：题型三：判断三角形的形状策略方法(1)判断三角形形状时,应围绕三角形的边角关系,利用正弦定理或余弦定理进行边角互化,要么把角转化为边,通过代数变形找出边之间的关系,要么把边转化为角,通过三角变换找出角之间的关系,当然也可以边角同时考虑.(2)在解题中,若出现关于边的齐次式(方程),或关于角的正弦的齐次式(方程),可通过正弦定理,进行边角互化.【题型精练】一、单选题1．已知的三个角的对边分别为，且满足，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形2．在中，已知，且，则该三角形的形状是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形3．在中，角、、所对的边分别为、、，且，则的形状为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形4．在中，角，，的对边分别为，，，且，则形状为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形5．在中，角所对的边分别为，已知，，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形6．若，且，则的形状为（

）A．直角三角形 B．钝角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形7．在中，若，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形8．在△ABC中，已知，且，则△ABC的形状是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形题型四：与题型四：与三角形面积相关的问题策略方法三角形面积的计算公式①；②；③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；【题型精练】一、单选题1．在中，，，则（）A． B． C． D．2．已知中，，且的面积为，则（

）A． B．或 C． D．或3．在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（

）A． B． C． D．214．在中，分别是角所对的边，，则的面积为（

）A． B． C． D．5．在中，若，则的面积为（

）A． B． C．或 D．6．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的面积为（

）A． B． C．1 D．27．在中，，，分别为，，的对边，且，，的面积为，那么等于（

）A． B． C． D．8．在中，角所对的边分别是且，面积为，则边的长为(

)A． B． C．或 D．二、多选题9．在中，，，，则的面积可以为（

）A． B． C． D．10．在中，，，，则的面积是（

）A． B． C． D．11．已知的内角的对边分别为，已知，锐角C满足，则（

）A．的面积为 B．C． D．三、填空题12．已知锐角三角形中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，则.13．在中，，，，则边上的高为.14．记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为.15．在中，内角、、的对边分别为、、，的面积为，，，则.四、解答题16．已知的内角所对的边分别为，满足.(1)求外接圆的面积；(2)若，求的面积.17．已知内角的对边分别为，设.(1)求；(2)若的面积为，求的值.18．在中，内角所对的边分别为.已知.(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长.题型五：正余弦定理的综合应用题型五：正余弦定理的综合应用策略方法(1)判断三角形形状时,应围绕三角形的边角关系,利用正弦定理或余弦定理进行边角互化,要么把角转化为边,通过代数变形找出边之间的关系,要么把边转化为角,通过三角变换找出角之间的关系,当然也可以边角同时考虑.(2)在解题中,若出现关于边的齐次式(方程),或关于角的正弦的齐次式(方程),可通过正弦定理,进行边角互化.【题型精练】一、单选题1．在中，，则（

）A． B．C． D．2．在中，已知，则（

）A． B． C． D．3．在中，若，则的面积为（

）A． B． C．或 D．4．在中，，，且的面积为，则（

）A． B． C． D．5．已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形6．已知的角的对边分别为，且满足，若，，则（

）A． B． C． D．7．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，，，则（

）A． B． C．4 D．8．在中，，的面积为2，则三角形外接圆的半径为（

）A． B． C． D．9．已知在中，，，则（

）A． B． C． D．10．在中，，，所对的边分别是，，，，，且满足，则该三角形的外接圆的面积为（

）A． B． C． D．二、多选题11．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．12．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，，，则有两解C．若为钝角三角形，则D．若，则此三角形为等腰三角形13．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则为等腰三角形D．若，，，则只有一解14．在中，在线段上，且，若，，则（

）A． B．的面积为8C．的周长为 D．为钝角三角形三、填空题15．在中，角所对的边分别为，且，，，则=．16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，，则；面积为．17．已知的内角、、的对边分别是，，，若，，，则的面积为.18．△ABC的内角的对边分别为，且满足：．面积为，外接圆直径为4，则的周长为．19．的内角A、B、C的对边分别为，b，c，已知，且，则的面积为．20．已知中，，，的对边分别为a，b，c，若，，给出下列条件中：①，②，③，能使有