D5-2微积分基本定理

一变限函数及其性质机动目录上页下页返回结束5.2微积分的根本定理二牛顿-莱布尼兹公式机动目录上页下页返回结束定积分的计算？由积分的定义知在知可积情况下按某一方式划分和选取后计算再求极限。通常很难计算，即使在等分区间和选取边界点情况下亦是如此。例在直线运动的速度为机动目录上页下页返回结束运动的路程为注意到亦即是的一个原函数。由定积分的定义可知表示直线运动在时间段的位移，故亦即“该定积分等于被积函数的一个原函数在积分区间上的增量”。这具有普遍性，从而许多定积分的计算就可以转化为不定积分的计算，而防止了计算恼人的机动目录上页下页返回结束一般地，假设函数在上可积,那么可定义上的一个函数称它为变上限的定积分。变〔上〕限的定积分法且可积函数用定积分的方法可以构造函数。一变限函数及其性质〔一〕变〔上〕限定积分或〔上〕变限函数机动目录上页下页返回结束例几何意义：用定积分的法变〔上〕限的定积分法可以构造函数。是以为曲边，的“面积”。显然〔1〕以为底边的曲边梯形在有定义，且〔2〕当时当时当时〔3〕在有严格增，故有反函数。机动目录上页下页返回结束变上限的定积分法可定义那么用定积分的方法注设函数在上可积。上的一个函数事实上用变下限的定积分法也可定义上的一个函数更一般的假设在连续，且值域在内，那么用变上下限的定积分法也可定义函数机动目录上页下页返回结束〔二〕变限函数性质用定积分的法变〔上〕限的定积分法可以构造函数。我们研究的性质：定理1设在上可积,在上连续。那么性质7目录上页下页返回结束定理1设在上可积,那么在上连续。证由在上可积,那么在上有界，即存在满足注意到故那么有亦即所以在点连续，由任意性机动目录上页下页返回结束定理2设在上可积,在连续，那么函数在可微，并有推论是的一个原函数，即有设在上连续,那么机动目录上页下页返回结束证明取使那么有另外定理2设在上可积,在连续，那么函数在可微，并有故机动目录上页下页返回结束在连续，由于故对于使当时有故对取那么当时有机动目录上页下页返回结束推论是的一个原函数，即有设在上连续,那么证那么有机动目录上页下页返回结束推论设那么的一个原函数，即有注〔1〕是满足条件的唯一原函数。(2)推论说明连续函数的原函数是存在的.〔3〕定理把定积分这个特殊极限与导数这个完全不同的极限联系起来。是机动目录上页下页返回结束例函数由推论可知是一个原函数，且故又有反函数故我们可以给出的几何解释。是函数在处的函数值，故是其反函数在函数值为时，自变量的取值。故当如图曲边梯形面积为时，的取值。注意到：思考用定理推论证明积分中值定理那么使积分中值定理证明令那么由定理推论知在可导，且由Lagrange中值知使机动目录上页下页返回结束假设又得例1证明在内为单调递增函数。.证:只要证机动目录上页下页返回结束设在内连续，且故在内为单调递增函数。

分析:等价于证明即机动目录上页下页返回结束故作辅助函数例2使设试证至少存在一点且在连续，例2使机动目录上页下页返回结束设在连续，试证至少存在一点证明令显然在可导，且故由罗尔定理知,存在一点使即且由积分中值定理得两边除移项得结论。例2使机动目录上页下页返回结束设在连续，试证至少存在一点且分析故假设令那么证明机动目录上页下页返回结束令例2使设在连续，试证至少存在一点且那么显然在连续且在可导，又故由Cauchy定理知至少存在一点使即机动目录上页下页返回结束定理3〔Newton-Leibniz)二牛顿-莱布尼兹公式设在是的任一个原函数，那么证明由推论知也是在上的一个原函数，故注意到故机动目录上页下页返回结束注定理3〔Newton-Leibniz)设在是的任一个原函数，那么〔1〕定理开辟了计算定积分的重要方法计算定积分转化为求的不定积分，而不定积分的计算有一系列计算方法。从而摆脱了定积分中恼人的和式计算。例3

计算机动目录上页下页返回结束(2)(1)(3)(4)解(1)机动目录上页下页返回结束解(2)(3)机动目录上页下页返回结束解(4)令有求例4设解当时当时当时故机动目录上页下页返回结束其他求

设注由机动目录上页下页返回结束其他注意到在时是连续的，故在时是可导的。在时是不连续的；可知在不可导。

思考机动目录上页下页返回结束设记研究在那些点可导，并求出分析由于的原函数不定积分方法求出，牛顿-莱布尼兹公式计算出来研究可导性行不通。故利用我们利用定理2来分析可导性，即分析的连续注意到函数在处连续，由定理2知性。在可导。当时用定义，以为例：思考机动目录上页下页返回结束设记研究在那些点可导，并求出分析为求需要知道在1与x之间的表达式，这需要知道1与x的大小关系，这导致了要分别求机动目录上页下页返回结束解在时均连续，在可导。且当时故思考设记研究在那些点可导，并求出思考机动目录上页下页返回结束设记研究在那些点可导，并求出当时介于1与x之间。于是故在处不可导。同理可考察处情形。机动目录上页下页返回结束注〔2〕对是积分中值定理对是微分中值定理〔3〕变限积分求导〔3〕变限积分求导机动目录上页下页返回结束特别的机动目录上页下页返回结束设是的一个原函数,那么证明:故例5解说明目录上页下页返回结束求令那么是连续函数，故故上述极限是型，故原式说明目录上页下页返回结束例6确定常数a,b,c

的值,使解令那么是连续函数，故其中介于0与b之间。故说明目录上页下页返回结束例6确定常数a,b,