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文档简介

专题1.1空间向量及其线性运算重难点题型精讲1.空间向量的概念(1)定义:在空间,具有大小和方向的量叫做空间向量.(2)长度或模:向量的大小.(3)表示方法:①几何表示法:空间向量用有向线段表示;②字母表示法:用字母a,b,c,…表示;若向量a的起点是A,终点是B,也可记作eq\o(AB,\s\up6(→)),其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量,记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量,称为a的相反向量,记为-a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定:对于任意向量a,都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量2.空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a+b=eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(OB,\s\up6(→))减法a-b=eq\o(OA,\s\up6(→))-eq\o(OC,\s\up6(→))=eq\o(CA,\s\up6(→))数乘当λ>0时,λa=λeq\o(OA,\s\up6(→))=eq\o(PQ,\s\up6(→));当λ<0时,λa=λeq\o(OA,\s\up6(→))=eq\o(MN,\s\up6(→));当λ=0时,λa=0运算律交换律:a+b=b+a;结合律:a+(b+c)=(a+b)+c,λ(μa)=(λμ)a;分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.3.共线向量(1)空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.(2)直线的方向向量在直线l上取非零向量a,我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.4.共面向量(1)共面向量如图,如果表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合,那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内,那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.(2)向量共面的充要条件如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.【题型1空间向量概念的理解】【方法点拨】在空间中,向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致,两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等,方向相反.【例1】(2021秋•城关区校级期末)下列命题中正确的是()A.若a→∥b→,b→∥B.向量a→、b→、cC.空间任意两个向量共面 D.若a→∥b→【解题思路】A.若a→∥b→,b→B.向量a→、b→、C.根据共面向量基本定理即可判断出;D.利用向量共线定理可知:若a→∥b→,则存在唯一的实数λ,使使【解答过程】解:A.若a→∥b→,b→B.向量a→、b→、C.根据共面向量基本定理可知:空间任意两个向量共面,正确;D.若a→∥b→,则存在唯一的实数λ,使使综上可知:只有C正确.故选:C.【变式11】(2021秋•西夏区校级月考)下列命题正确的是()A.若a→与b→共线,b→与c→共线,则aB.向量a→,C.零向量没有确定的方向 D.若a→∥b→【解题思路】从向量共线反例判断A,共面向量定理判断B,零向量的定义判断C,共线向量定理判断D.推出正确命题选项.【解答过程】解:若a→与b→共线,b→与c→共线,则a→与c→共线,如果b→向量a→零向量没有确定的方向,满足零向量的定义.若a→∥b→,则存在唯一的实数λ使得故选:C.【变式12】下列关于空间向量的说法中正确的是()A.若向量a→,b→B.若|a→|=|bC.若向量AB→,CD→满足D.相等向量其方向必相同【解题思路】根据空间中任意两个向量必然共面,可判断A;根据相等向量和相反向量的定义,可判断B;根据向量不能比较大小,可判断C;根据相等向量的概念,可判断D.【解答过程】解:对于A,若向量a→,b→平行,则若|a→|=|b→|,则向量不能比较大小,故C错误;相等向量其方向必相同,故D正确.故选:D.【变式13】(2021秋•福建期中)给出下列命题:①若空间向量a②空间任意两个单位向量必相等③若空间向量a④在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,必有BD⑤向量a→=(1,1,0)的模为其中假命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【解题思路】在①中,向量a→与b→方向不一定相同;在②中,空间任意两个单位向量的方向不一定相同;在③中,若空间向量a→,b→,c→满足a→⋅c→=b→⋅c→【解答过程】解:在①中,若空间向量a→,b→满足|a在②中,空间任意两个单位向量的模必相等,但方向不一定相同,故②是假命题;在③中,若空间向量a→,b→,c→在④中,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,由向量相等的定义得必有BD→=B在⑤中,由模式的定义得向量a→=(1,1,0)的模为2,故故选:C.【题型2空间向量的加减运算】【方法点拨】①巧用相反向量:向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键,灵活运用相反向量可使向量首尾相接.②巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.【例2】(2021秋•东莞市期末)如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB→A.AC1→ B.A1C→ C【解题思路】根据已知条件,结合向量的加减法法则,即可求解.【解答过程】解:∵ABCD﹣A1B1C1D1为平行四面体,∴AB→故选:B.【变式21】(2021秋•西城区校级期末)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,BC→A.BD→ B.DB→ C.AD→ 【解题思路】利用空间向量的线性运算法则求解.【解答过程】解:∵DC→∴BC→故选:C.【变式22】(2021秋•潞州区校级期末)如图,在空间四边形P﹣ABC中,PA→A.PC→ B.PA→ C.AB→ 【解题思路】直接利用向量的线性运算求出结果.【解答过程】解:PA→故选:A.【变式23】(2021秋•大兴区期末)如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB→A.AC→ B.A1C→ C.【解题思路】根据已知条件,结合向量的加减法法则,即可求解.【解答过程】解:由题意可得,AB→故选:C.【题型3空间向量的线性运算】【方法点拨】①数形结合:利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量.②明确目标:在化简过程中要有目标意识,巧妙利用线段的中点进行解题.【例3】(2021秋•金华期末)在四棱锥A﹣BCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则()A.MN→=12ADC.MN→=−12【解题思路】直接利用向量的线性运算的应用求出结果.【解答过程】解:在四棱锥A﹣BCD中,M,N分别为AB,CD的中点;所以AN→=1故MN→故选:A.【变式31】(2021秋•湖北期末)如图,在平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD﹣A1B1C1D1中,E为BC延长线上一点,BC→=3CEA.AB→+13ADC.AB→+13【解题思路】利用空间向量的线性运算,空间向量基本定理求解即可.【解答过程】解:∵BC→∴D=AB=AB故选:A.【变式32】(2021秋•光明区期末)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E,F分别是BC,CC1的中点,AG→=2GEA.13AB→−2C.−23AB→【解题思路】利用向量加法法则能求出结果.【解答过程】解:在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E,F分别是BC,CC1的中点,AG→则GF=1=1=−故选:D.【变式33】(2022春•海陵区校级期中)在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,CM→=MDA.AM→=12ABC.AQ→=14【解题思路】根据题意利用空间向量基本定理求解即可.【解答过程】解:∵,CM→=MD→1,∴CM∴AM→=AB∵CQ→=4QA→1,∴CQ所以AQ→故选:D.【题型4空间向量的线性运算(求参数)】【例4】(2022春•萧县校级月考)已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且NM→=xAB→+yAD→+zAP→,PM→=2MCA.−23 B.23 C.1 【解题思路】由空间向量的线性运算直接计算即可.【解答过程】解:由题可知PC→=AB所以NM→所以x=23,故选:B.【变式41】(2021秋•重庆期中)如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别在棱BB1和DD1上,且BE=13BB1,DF=12DDA.﹣1 B.0 C.13 D.【解题思路】根据已知条件,结合空间向量及其线性运算法则,即可求解.【解答过程】解:EF=E=2=23A=−=xAB即x=﹣1,y=1,z=1∴x+y+z=1故选:D.【变式42】(2021秋•温州期末)如图的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,点M在BB1上,点N在DD1上,且BM=12BB1,D1N=13D1D,若MN→=xABA.17 B.16 C.23 【解题思路】利用向量的三角形法则、向量的运算性质即可得出.【解答过程】解:∵MN→=AN→−∴MN=−∴x=﹣1,y=1,z=1∴x+y+z=1故选:B.【变式43】(2021秋•香坊区校级期中)在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,M是面BB1C1C的中心,若AM→=aAB→+b①a+b+c=2;②13<b③a=1;④a=2c;⑤a=b.其中正确结论的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【解题思路】根据空间向量的线性运算表示向量AM→【解答过程】解:如图所示:AM→=AB=AB即a=1,b=12,c所以a+b+c=2,①正确,13<b<2a=1,③正确,a=2c,④正确,a=2b,⑤错误,故选:D.【题型5向量共线的判定及应用】【方法点拨】①判断或证明两向量,(≠)共线,就是寻找实数λ,使=λ成立,为此常结合题目图形,运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.②判断或证明空间中的三点(如P,A,B)共线的方法:是否存在实数λ,使eq\o(PA,\s\up6(→))=λeq\o(PB,\s\up6(→));【例5】(2022春•湾里区期中)已知非零向量a→=3m→−2n→−4p→,b→=(x+1)mA.﹣13 B.﹣5 C.8 D.13【解题思路】根据向量共线可得b→=λa→,从而可解方程组求出x,y,再求出【解答过程】解:∵m→,n→,p→不共面,故m→,∵a→∥b→,故存在λ≠即(x+1)m→+8n→+2yp→=3λm→∴x+1=3λ8=−2λ2y=−4λ,解得:则x+y=﹣5.故选:B.【变式51】(2021秋•镜湖区校级期末)在四面体O﹣ABC中,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,若OG→=13OA→+x4A.1 B.2 C.23 D.【解题思路】由已知可得ON→=12(OB→+OC→),OM→=【解答过程】解:ON→=1假设G与M,N共线,则存在实数λ使得OG→与OG→=13OA解得x=1.故选:A.【变式52】(2022春•市中区校级月考)已知空间的一组基底{a→,b→,c→}A.2 B.﹣2 C.1 D.0【解题思路】根据m→与n→共线可得出n→=km→,再根据【解答过程】解:因为m→与n→共线,空间的一组基底所以xa所以x+y=0.故选:D.【变式53】(2021秋•邹城市期中)如图所示,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,A1E→=23A1D【解题思路】法一:分别求出EF→,FB法二:求出EF→=23FB→,结合EF∩FB=F,从而证明【解答过程】证明:【方法一】在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,连接EF,FB,A1B.因为A1E→所以EF=2=2FB→=A=3显然,EF→=2又EF∩FB=F,所以E,F,B三点共线.【方法二】证明:在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,连接EF,FB.由题意,A1E→易得EF→所以EF→∥FB→.又EF∩FB=F,故E,【题型6向量共面的判定及应用】【方法点拨】①若已知点P在平面ABC内,则有eq\o(AP,\s\up6(→))=xeq\o(AB,\s\up6(→))+yeq\o(AC,\s\up6(→))或eq\o(OP,\s\up6(→))=xeq\o(OA,\s\up6(→))+yeq\o(OB,\s\up6(→))+zeq\o(OC,\s\up6(→))(x+y+z=1),然后利用指定向量表示出已知向量,用待定系数法求出参数.②证明三个向量共面(或四点共面),需利用共面向量定理,证明过程中要灵活进行向量的分解与合成,将其中一个向量用另外两个向量来表示.【例6】(2022春•成都期中)已知M,A,B,C为空间中四点,任意三点不共线,且OM→=−2OA→+xOB→+yOC→,若M,A,BA.0 B.1 C.2 D.3【解题思路】由共面向量定理能求出x+y.【解答过程】解:M,A,B,C为空间中四点,任意三点不共线,且OM→=−2OA→+xOB→+yOC→,M则由共面向量定理得:﹣2+x+y

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