新版高中数学人教A版选修2-2习题第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2

3.2.2复数代数形式的乘除运算课时过关·能力提升基础巩固1若复数z1=1+i,z2=3i,则z1·z2等于()A.4+2i B.2+i C.2+2i D.3+i解析由z1=1+i,z2=3i,所以z1·z2=(1+i)(3i)=3i2+2i=4+2i.答案A2已知a+2ii=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b等于(A.1 B.1 C.2 D.3解析∵a+2ii∴a+2i=1+bi.∴a=1,b=2.∴a+b=1.答案B3复数i1-2i(i为虚数单位)的虚部是(A.15i B.1C.15i D.解析i1-2i=i(1+2i)1答案D4若z是复数,且(3+z)i=1(i为虚数单位),则z为()A.3+i B.3+iC.3i D.3i解析由(3+z)i=1,得3+z=1i=所以z=3i,故选C.答案C5若复数z=1+i,z为z的共轭复数,则zzz1=()A.2i B.i C.i D.2i解析∵z=1+i,∴z=1i,∴z·z=|z|2=2,∴z·zz1=2(1+i)1=i.答案B6已知a=-3-i1+2i,则a4=解析∵a=-3-i1+2i∴a4=[(1+i)2]2=(2i)2=4.答案47已知复数z=a+3i(i为虚数单位,a>0),若z2是纯虚数,则a=.

解析z2=(a+3i)2=a2+6ai+9i2=(a29)+6ai,由题易知a2-9=0,答案38若复数z满足z(23i)=6+4i(i为虚数单位),则z的模为.

解析由z(23i)=6+4i,得z=6+4i2-3i=(6+4i答案29设复数z满足|z|=1,且(3+4i)·z是纯虚数,求z.分析利用复数问题实数化的思想,设z=a+bi(a,b∈R),利用已知条件建立关于a,b的方程组,求解即可.解设z=a+bi(a,b∈R),由|z|=1,得a2+b由题意,得(3+4i)·z=(3+4i)(a+bi)=3a4b+(4a+3b)i是纯虚数,则3由a解得a所以z=45+35i或故z=45-35i能力提升1若复数z满足(zi)(2i)=5,则z等于()A.22i B.2+2iC.22i D.2+2i解析由题意可得,zi=52-i=所以z=2+2i.答案D2(1+i)3(1A.1+i B.1iC.1+i D.1i答案D3z是z的共轭复数,若z+z=2,(zz)i=2(i为虚数单位),则z=()A.1+i B.1iC.1+i D.1i解析设z=a+bi(a∈R,b∈R),则z=abi.由z+z=2,得2a=2,即a=1.又由(zz)i=2,得2bi·i=2,即b=1.故z=1i.答案D★4已知复数z1=a+2i,z2=a+(a+3)i,且z1z2>0,则实数a的值为()A.0 B.0或5C.5 D.以上均不对解析z1z2=(a+2i)·[a+(a+3)i]=(a22a6)+(a2+5a)i,由z1z2>0知z1z2为实数,且为正实数,因此应满足a解得a=5(a=0舍去).故a=5.答案C5设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则|z|等于.

解析因为z2=3+4i,所以|z2|=32+42=5,答案56若关于x的方程x2+(1+2i)x(3m1)i=0有实根,则纯虚数m=.

解析设m=bi(b∈R,且b≠0),x0为方程的一个实根,由题意得x02+(1+2i)x0(3bi1)i∴(x02+x0+3b)+(2x0+1)i∴x解得x∴m=112i答案1127计算下列各题:(1)(1+i(2)1i(2+2(3)-3(4)1+i1解(1)原式=[(1+i)2]31+i1-i+[(1i)2]=(2i)3·i+(2i)3·(i)8=8+81616i=16i.(2)1i(2+=i·(2)5·[(1+i)2]2·(1+i)+1(1+i)=162(1+i)14=162+14+(3)-=(i)12·-=-=-12+32i3=18+83i=7+83i.(4)方法一:原式=(=i6+6+2i+3i-65=方法二:原式=(=i6+(2+3i)★8已知复数z1=2+i,2z2=z1+i(1)求z2;(2)若△ABC三内角A,B,C依次成等差数列,且u=cosA+2icos2C2,求|u+z2|的取值范围解(1)z2=12[(2+i(2)在△ABC中,∵A,B,C依次成等差数列,∴2B=A+C,∴B=60°,A+C=120°.∵u+z2=cosA+2icos2C2=cosA+i2cos2C2-1=cos∴|u+z2|2=cos2A+cos2C=cos2A+1sin2C=1+(sin2C+cos2C)cos2A(sin2A+cos2A)sin2C=1+cos2Acos2Csin2Asin2C=1+cos(A+C)cos(AC)=1