河南省顶级名校2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题

高一12月月考数学试题第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知，且为第二象限角，则（）A. B. C. D.3.函数的零点一定位于区间（）A. B. C. D.4.的值为（）A. B. C. D.5.“”是“”的（）条件A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分也非必要6.已知，则（）A. B. C. D.7.若对于任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.8.设函数，则满足的x的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.下列结论中，正确的有（）A. B.C. D.10.若，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.11.若a，，，则下列说法正确的是（）A.的最大值为 B.的最小值是4C.的最大值为2 D.的最小值为12.函数则下列结论正确的是（）A.当时，函数的单调增区间为B.不论a为何值，函数既没有最小值，也没有最大值C.不论a为何值，函数的图象与x轴都有交点D.存在实数a，使得函数为上的减函数第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在平面直角坐标系中，点位于第______象限.14.函数（，且）的图象过定点A，则点A的坐标是______.15.设，且，则______.16.若扇形周长为10，当其面积最大时，其扇形内切圆的半径r为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）化简求值：（1）；（2）.18.（本小题满分12分）已知.（1）化简；（2）若是第四象限角，且，求的值.19.（本小题满分12分）已知二次函数.（1）当a取何值时，不等式对一切实数x都成立；（2）若在区间内恰有一个零点，求实数a的取值范围。20.（本小题满分12分）已知二次函数，不等式的解集为.（1）求函数的解析式；（2）解关于x的不等式（其中）.21.（本小题满分12分）科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%.（1）现有三个奖励函数模型：①，②，③.试分析这三个函数模型是否符合公司要求.（2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到350万元，公司的投资收益至少为多少万元?22.（本小题满分12分）已知定义域为的函数满足对任意，都有.（1）求证：是奇函数；（2）设，且当时，，求不等式的解.高一12月月考数学试题参考答案第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.A2.C3.B4.C5.B6.D【详解】∵，∴.故选：D.7.C【详解】不等式可化为，，令，由题意可得，，当且仅当，即时等号成立，，所以实数a的取值范围为.故选：C.8.D【详解】因为，当时，显然单调递减；当时，也是单调递减；且，即函数图像连续不断，所以在其定义域上单调递减，由可得，解得.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.AD10.AB11.ACD12.ABD第II卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.四【详解】，，∴在第四象限.14..15.20【详解】依题意有，，∴，，，∴.故答案为：2016.四、解答题：本题共6小题，共70分.第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解答：（1）原式……5分（2）原式.……10分18.解：（1）.……6分（2）∵，即，……8分又是第四象限角，∴.……10分∴.……12分19.解：（1）为二次函数，则，当时，二次函数图象开口向上，不等式不对一切实数x都成立，不满足题意；当时，则有，解得.故当时，不等式对一切实数x都成立.……4分（2）i.当仅有一个零点时，由，此时零点为，符合题意；……6分ii.当有两个零点时，.①当，则由解得另一个零点为，符合题意；……8分②当，则由解得另一个零点为，符合题意；…10分③当，由零点存在定理，则，解得.综上，在区间内恰有一个零点时，实数a的取值范围为.……12分20.【详解】（1）由题意在中，的解集为∴的根为，2∴，，解得：，∴.……4分（2）由题意及（1）得，，在中，∴，即当时，不等式化为：，解得：，……5分当时，，则不等式的解为：或.……6分当时，，不等式化为，即，若，即，则不等式化为：，其解集为空集.……8分若，即，则不等式的解集为，……10分若，即，则不等式的解集为，综上所述：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.……12分21.解：（1）由题意，符合公司要求的函数在上单调递增，且对任意，恒有且……2分①对于函数，在上单调递增，当时，，不符合要求；……4分②对于函数，在上单调递减，不符合要求；……5分③对于函数，在上单调递增，且当时，，因为，而，所以当时，恒成立，因此为符合公司要求的函数模型.……8分（2）由，得，所以，所以公司的投资收益至少为