第01讲6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（原卷版）

第01讲6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课程标准学习目标①熟练掌握两个计数原理。②灵活应用两个计数原理解决数学与生活中的计数问题。③理解两个计数原理的区别与联系。④掌握分类与分步的计数原则及分类标准。1.理解与掌握两个计数原理的计数方法；2能应用两个计数原理解决一些简单的实际问题；知识点01：分类加法计数原理（1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.（2）推广：如果完成一件事情有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,……在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.【即学即练1】（2023上·高二课时练习）音乐播放器里存有10首中文歌曲，8首英文歌曲，3首法文歌曲，任选一首歌曲进行播放，有多少种不同的选法？【答案】【详解】依题意一共有种选法.知识点02：分步乘法计数原理（1）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.（2）推广：完成一件事需要个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,……做第步有种不同的方法,则完成这件事共有种不同的方法.【即学即练2】（2023上·高二课时练习）一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成个四位数号码？．【答案】【详解】按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第1步，有10种拨号方式，第2步，有10种拨号方式，第3步，有10种拨号方式，第4步，有10种拨号方式，根据分步计数原理，共可以组成个四位数的号码.故答案为：.知识点03：两个计数原理的联系与区别联系：分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题.区别：①分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事.②分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有每一个步骤都完成才算做完这件事.题型01利用分类加法计数原理解题【典例1】（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期中）完成一项工作，有两种方法，有6个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这10个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（

）A．6种 B．10种 C．4种 D．60种【典例2】（2023上·高二课时练习）某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地．推选1名优秀团员为总负责人，有种不同的选法．【典例3】（2023上·高二课时练习）如图，在由电键组A与B所组成的并联电路中，要接通电源，使电灯发光的方法种数是．【典例4】（2023·全国·高二课堂例题）某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目．(1)当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？(2)如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？【变式1】（2024·全国·高三专题练习）已知直线方程，若从0、1、2、3、5、7这六个数中每次取两个不同的数分别作为A、B的值，则可表示条不同的直线．【变式2】（2023上·陕西汉中·高二校联考阶段练习）已知某校高二（1）班有42人，高二（2）班有45人，高一（3）班有38人，现从这三个班中任选1人去参加活动，则不同的选法共有种.【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，在中任取一元素，在中任取一元素，组成数对，则其中的数对有多少个?题型02利用分步乘法计数原理解题【典例1】（2023上·山东·高二校联考阶段练习）甲同学计划从3本不同的文学书和4本不同的科学书中各选1本阅读，则不同的选法共有（

）A．81种 B．64种 C．12种 D．7种【典例2】（2023下·高二课时练习）某公司员工义务献血，在体检合格的人中，O型血的有10人，A型血的有5人，B型血的有8人，AB型血的有3人．从4种血型的人中各选1人去献血，不同的选法种数为（）A．1200 B．600 C．300 D．26【典例3】（2023下·高二课时练习）在图中的电路中，仅合上2只开关接通电路，有多少种不同的方法？【变式1】（2023上·江西南昌·高二江西师大附中校考期中）用1，2，3，4可以组成无重复数字的三位数的个数为（

）A．16 B．24 C．36 D．48【变式2】（2023上·高二课时练习）某商场共有4个门，若从一个门进，另一个门出，不同走法的种数是（

）A．10 B．11 C．12 D．13【变式3】（2023下·高二课时练习）现有3名老师、8名男生和5名女生共16人.若需1名老师和1名学生参加评选会议，则不同的选法种数为（）A．39 B．24C．15 D．16题型03两个计数原理的综合应用【典例1】（2023·全国·模拟预测）在正方形的每一个顶点处分别标上中的某一个数字（可以重复），则顶点处的数字都大于顶点处的数字的标注方法有（

）A．36种 B．48种 C．24种 D．26种【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）A．48 B．18 C．24 D．36【典例3】（2023·全国·高二课堂例题）某班班委由2位女同学、3位男同学组成，现要从该班委里选出2人去参加学校组织的培训活动，要求至少要有1位女同学参加，则不同的选法共有多少种？【变式1】（2023上·山东临沂·高二校考阶段练习）集合，，，，5，6，，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是（

）A．2 B．4 C．5 D．6【变式2】（2023下·山东菏泽·高二校考阶段练习）口袋中装有8个白球和10个红球每个球有不同编号，现从中取出2个球．(1)至少有一个白球的取法有多少种？(2)两球的颜色相同的取法有多少种？【变式3】（2023上·高二课时练习）从a、b、c、d、e这5个元素中取出4个，放在4个不同的格子中，且元素b不能放在第二个格子里．问：一共有多少种不同的放法？题型04用计数原理解决涂色（种植）问题【典例1】（2023·全国·高三专题练习）现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同区域），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方法有（

）A．48种 B．64种 C．96种 D．144种【典例2】（2023下·山东·高二校联考阶段练习）如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有4种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，则不同的绿化方案有（

）A．48种 B．72种 C．64种 D．256种【典例3】（2023·全国·高三专题练习）用5种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻(有公共边)的区域不同色，则共有多少种不同的涂色方法？1234【变式1】（2023下·河北石家庄·高二石家庄市第四十一中学校考期中）在如图所示的四个区域中，有5种不同的花卉可选，每个区域只能种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法共有种（用数字作答）【变式2】（2023·山西临汾·统考一模）如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有5种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，共有种不同的绿化方案（用数字作答）.【变式3】（2023下·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中）如图所示的一圆形花圃，拟在A，B，C，D区域种植花苗，现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总数为（

）A．12 B．18 C．24 D．30【变式4】（2023下·高二课时练习）用6种不同的颜色为如图所示的广告牌涂色，要求在A，B，C，D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色，求共有多少种不同的涂色方法？A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023上·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校考期末）甲､乙两人从3门课程中各选修1门，则甲､乙所选的课程不相同的选法共有（

）A．6种 B．12种 C．3种 D．9种2．（2023下·安徽池州·高二校联考期中）“声东击西”是游击战争的一种战术：声东可以击东、南、西、北中的任意一个方向，以此灵活地打击或消灭敌人.同样还有“声南击北”等不同的战术，由此可知这类战术中打击或消灭敌人的方法总数为（

）A．16 B．12 C．4 D．33．（2023下·福建泉州·高二校考期末）有5名学生报名参加3项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为（

）A．243 B．125 C．60 D．1204．（2023下·黑龙江大庆·高二校考期中）完成一件事有三类不同方案，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，其中（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·高三专题练习）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）A．48 B．18 C．24 D．366．（2023下·河北邯郸·高二校联考期中）有序数对满足，且使关于的方程有实数解，则这样的有序数对的个数为（

）A．15 B．14 C．13 D．107．（2023·全国·模拟预测）在正方形的每一个顶点处分别标上中的某一个数字（可以重复），则顶点处的数字都大于顶点处的数字的标注方法有（

）A．36种 B．48种 C．24种 D．26种8．（2023下·山东德州·高一统考期末）根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的概率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023下·广东茂名·高二统考期中）现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（

）A．从中任选1个球，有15种不同的选法B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法10．（2023下·山东枣庄·高二枣庄八中校考阶段练习）现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是（

）A．选1人为负责人的选法种数为30B．每组选1名组长的选法种数为3024C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335D．若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种三、填空题11．（2023上·山东日照·高二日照一中校考阶段练习）某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行（1）小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；（2）半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛（每两队主客场各赛一场决出胜者；（3）决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．则全部赛程共需比赛场．12．（2023下·江苏扬州·高二扬州中学校考期中）已知直线中的a，b，c是取自集合中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是．四、解答题13．（2023上·高二课时练习）已知某容器中，H有3种同位素，Cl有2种同位素，Na有3种同位素，O有4种同位素，试问一共可以组成多少种HCl和NaOH的分子？14．（2023·全国·高三专题练习）用6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔.若允许同一种颜色多次使用，则该板报有多少种书写方案?B能力提升1．（2023·全国·高三专题练习）“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读．比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天．由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142．则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（

）A．648个 B．720个 C．810个 D．891个2．（2023下·高二单元测试）算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数