【数列12】数列微专题

第1页共103页数列微专题1通项 21.1减项作差求通项 21.2递推求通项 72性质 93构造数列 133.1构造等比数列 133.2构造差数列 193.3取倒类等差 233.4构造对数 314求和 334.1错位相减 334.2裂项相消 374.3指数裂项 394.4奇偶并项 405单调性 486周期性 537不动点 578放缩 619公式应用 6410与三角结合 7211与函数性质结合 7712综合题 88第2页共103页1通项1.1减项作差求通项答案：112.设数列{an}前n项和为Sn=4an-3n+2，求an及Snnn13nn13②-①得：a+1+2an+1-a-2an=4Sn+1-4Sn=4an+1不a+1-a-2an+1-2an=0第3页共103页nnn33两式做差有Sn-Sn-1=an-an-1不an-1=an不n=n-13333an-n-11a123...n-12n21n(1)求S；nn(2)求a.n1解析：an+1=SnSn+1不Sn+1-Sn=SnSn+1不Sn+1-Sn=-1(1)1第4页共103页1111111111，，(1) (1)证明：数列〈卜是等差数列；lSnJ答案：(1)见解析(2)an=1一1nnnnn一1nn一1nnn一1nn一1nnn一1nn一1nnn一1nn一1nnnnn2n一1第5页共103页nnnn-1n-1,l3nJnn-1解析：22332233(2)由上面可得an=-(4n+2).3n第6页共103页n2n10.(浙江学考)数列{an}的前n项和Sn满足S=3a-nnÎn2nA.{an+1}B.{an-1}C.{Sn+1}D.{Sn-1}答案：A3333n2nn2nnn2n2n解析：S=a-nÞS-1=a-1-n3333n2nn2nnn2n2nan=3an-1+2Ûan+1=3(an-1+1)所以{an+1}是等比数列123n123n____________.实数m的取值范围为___________.解析：第7页共103页aa1a1aa1a12n2n22416224161.2递推求通项nn 第8页共103页3320153320153320153nnnnnnnnnn123...na根a根a根123...n882232015882320152答案：B.解析：第9页共103页888 a〉3，8答案：C.a2性质第10页共103页()A.-2007B.-2008C.2007D.2008答案：B点评：本题是经典考题，利用的等差数列中项的性质，倒推回去的A7n+1解析：本题与上题进行区分，通项的性质利用失败，所以回到形式上，可以把n=n解析：本题与上题进行区分，通项的性质利用失败，所以回到形式上，可以把n=n2\2)2\2)第11页共103页的值为()A.8B.9C.10D.11答案：D解析：因为a10，所以a110,a120，从而S11最大得最大值AB.一1C.2D.0.5答案：ACD答案：B33A.B.C.D.答案：A第12页共103页S5,S10一S5，S15一S10成等比数列，令2224A．45B．-35C．55D．-55答案：D8229.等差数列前n项和为Sn9.等差数列前n项和为Sn，且S25>0,S26<0，则数列1,2,3,...,25的最大项是第aaaa1212325A.1项B.25项C.24项D.13项答案：Daa第13页共103页答案：C.解析：设正项等比数列{an}的公比为q，设正项等比数列{bn}的公比为p，则数列{lgan}是等差数列，公差为lgq，{lgbn}是等差数列，公差为lgp．n2n2n2n2故选：C．为Sn，若存在正整数n0，对任意正整数m，有Sn.Sn+m<0恒成立，则下列结论不一定成立的是()A.a1d<0B.Sn有最小值C.anan+1>0D.an+1an+2>0答案：C.解析：因为任意正整数m，有Sn.Sn+m<0恒成立，n点评：此题主要考察等差数列的单调性、等差数列的前项n和及其最值问题.3构造数列3.1构造等比数列中有3个元素，则实数t的取值范围是__________.第14页共103页lly-x=-1ly=2224162241622xx(222A.15B.17C.29D.31答案：A.第15页共103页11 x11 x2解析二：设D为BC边上的靠近点C三等分点，如图所示，点评：此题主要考察向量的加减运算、向量基本定理，奔驰定理及运用待定系数法求数列通项公式.A.46B.30C.242D.161第16页共103页答案：D．解析：3所以EA=一mEB+mED，所以EA=一mEB+mED，n3n3nCD答案：C.第17页共103页\x1)\x1)\x1)\x1)\x1)\x1)解析二：(模型法)由已知可构造对数函数f(x)=logax(a>1)，点评：此题主要考察待定系数法求数列通项公式和数列单调性.AB．C．5D．6答案：C解析：第18页共103页故xnx1x1()n1，整理得xnx1()n1x1，也即n5x1也即n5x1(3)n15x13n，整理得 故答案选C.xn1()n15nanbnan1anbn，bn1anbn．设c2n11，则数列cnnanbn的前n项和为．anbnanbnab2，所以anbn2n；anbnanbn)2(ab)2anbn，a1b11，所以cn2n2n2n2n1第19页共103页n4n48.(2019届浙江名校联盟第二次联考17)若b1=2,b=tb-1+3(n=N*且n>2,t=n4n4bn共2对任意n=N*恒成立，则实数t的取值范围是．442424224481648164223.2构造差数列(当数列中an较多，或者出现kan时，可尝试构造关于an的差数列)第20页共103页lb1lb1ann()an<2bnBan<2bnB.只有有限个正整数n使得A.只有有限个正整数n使得nn答案：D.n+2n+1nb-2b-n+2n+1n(此种形式多用于出现三项递推的时候，斐波那契数列公式的推导也是这样)|lb=-2|lb=-2-1 取 b=421+2-42(1-2)，所以所以nnnn第21页共103页|lbnJ||lbnJ|解析二：(利用选项直接构造) a-2a-2bnn a>2b，当奇数时，a>2b，当奇数时，nnn-1n-1点评：此题主要考察数列求和、待定系数法求数列通项公式、数列单调性.通项公式为.n3能继续求通项，所以采取逐差)anananan)=2(an+1-an)an-an-1=(4n-5)第22页共103页用累加法求得a=2n2+3n+1.n3Na=na=nn第23页共103页na=na=nn点评：也可分奇偶讨论A.5.5B.6C.6.3D.6.5答案：B点评：此题裂项不是很好想，要慢慢积累经验，观察形式3.3取倒类等差pq恒成立，则s的取值范围是____________.第24页共103页pq411211112-xb-1b-1b-1x=解得2-xb-1b-1b-1n+1n1点评：计算通项的时候也可用数学归纳法 12na-1a-112n3n+13答案：-2n-22解析：ED=EB+EC解析：ED=EB+ECn3n3n第25页共103页3 n+1nn+1nn 111(11)2111aa(11)(11)(11)111(11)(11)(11)111\a1a2)\a2a3)\anan+1)a1an+1an+1第26页共103页1答案：1．即=n=一，由即=n=一，由=n，可以求得nn+1nn+1nn+1nn+1nn+1nn+1111aaa1Qn=12n23n+1n+112n1223nn+1n+1n1+a1+12n1223nn+1n+1nnnn+1故答案为：1AA12n12na12n12n2019201920192019BDA201920192019201922答案：Caanan+1一1第27页共103页12n23n+1n+1n+12020aaaaa12n23n+1n+1n+12020aa一1332aa一133220202020故答案选C.n+1n+1nn+1n+1n\a1\a1a2)\a2a3)\a3a4)\a2018a2019)91点评：取倒数合理变形，累加化简，将bn的前2019项和表示为a2019的函数，结合单调性求出a2019的取值范围，可得bn的前2019项和的取值范围，从而得到k的值.第28页共103页()答案：Bnnnnn+1nnnnn+1aa2aaa2aaaa aa2aaa2aaaa，2aaaa2aa2aa2aaaa2aa2aa12201720182017201820172018所以1<1<2，所以则1的整数部分是1．故选B．i=2ai一1ai+1i=2ai一1ai+1122017122017分是____________.nnn+1201712018nnn+1201712018 122017a1220179.已知数列{an}中a1=2,an+1=(nÎN*),则=______.n24第29页共103页-=2(-) 1-1=2(1-1)212aa21累加得：-=2(-)+(-)+…(-)=2(1-)=2-；;n1naan2n1a2n2a2n2nk=1aka1a2an+(5k=1aka1a2an+(52-2)+…+(5n-2)222222=n2+n4n2+nn2+n412n12n为().CD答案：C.第30页共103页111111两边取倒数，有-=，累加得：S111111an-1an+1-1anna1-1an+1-1an+1-1.121S1=a1=3，整数部分为0；S2=3-a3-1，整数部分为1；S2；而Sn<3，：[Sn]的所有可能取值构成的集合为恳0,1,2}．an()答案：Baaaaaaaan+1nnn-1 1-1=2，所以数列{1-1}是首相为2，公比为2的等比数列，即1-1=2n，所21n+1nn+21n+1nn+1nnnn-1n-1n-2nnn-1n-1n-2211a=1．故选B．n2n-111∴-=3n+1nn+1n(1)∴数列〈卜是等差数列，公差为3，lanJ第31页共103页∴∴7a1<08a1>0laJ na na(11)n2n+1-12n-1 -=1n+1nn+1n3.4构造对数NnN第32页共103页12na12n答案：Dnn点评：本题考查如何由数列得S求数列通项a即等比数列前nnn是______.4.n2n256n2n256第33页共103页aa\a7)\a1)BCD答案：Da=897一2.4求和4.1错位相减和为()1616答案：DlanJn16第34页共103页S=Sn.答案：S=13+(6n-13).3n.n4解析：由条件：令bn=an+1-3an，则b1=a2-3a1=9，bn+1=3bn.故{bn}为等比数列，其通项公式为bn=3n+1.即an+1-3an=3n+1，左右同除3n+1得：-=1.故为等差数列Snaaan①Snaa+3an；②①-②得：-2Sn=-2+(32+33+...+3n)-(n-).3n+1=-2+-çn-÷.3n+1即：Sn=13+(6n-13).3n4点评：二阶线性递推关系的分式型结构，根据条件，可以构造出辅助数列{bn}，进而{an}，再利用错位相减即可求得目标.3.已知数列an}是各项均为正数得等比数列，其前n项和为Sn，点An，Bn均在函数f(x)=log2x的图像上，An的横坐标为an，Bn的横坐标为Sn+1.直线AnBn的斜率为kn，第35页共103页(log(S+1)loga(log(S+1)loga点评：一般遇到差比数列与等差数列的积时，用错位相减法。4.已知f(n)为平面区域In:-00nx+3n(x,yR,nN*)内的整点的个数，记an=2nf(n)，数列{an}前n项和为Sn，若"nÎN*，£c恒成立，则实数c的取值范围是___.答案：c³.解析：因为In:-00nx+3n(x,yR,nN*)中，y£-n(x-3).可行域中有点，则0<x<3.故f(n)=3n，an=3n×2n，利用错位相减解得：Sn=6(n×2n-2n+1)令g(n)=，则g(n+1)-g(n)=-=，考虑到当n£3时，g(n+1)-g(n)>0当n³4时，g(n+1)-g(n)<0第36页共103页故g(n)max=g(4)=，故c³.点评：本题以线性规划整点为模板，形成数列，利用错位相减求和后，利用新数列的单调性研究最值问题，整个题目流程多，易错，对学生要求很高。nnTnnnN恒成立，则实数入的取值范围是.入<2_恒成立n22nS.33+...n2.3n+1n2第37页共103页4.2裂项相消123201720182019a123201720182019D答案：B第38页共103页解析：nx11x(1)「11]「11]数列{}的前n项和的最大值为()答案：Danananan(15-2n)(13-2n)=213anananan(15-2n)(13-2n)=213-2n-15-2n，所以数列{}的前n项和的最大值为21113911793213132111391179321313第39页共103页为.为恒成立.6.(2019届温州8月模拟10)已知数列恳an}中各项都小于1，2nnnn2nnnn答案：B.解析：裂项放缩.nanan+1-22-an+12-1nnn2又an+1=an-1=1-an<anan+1-22-an+12-1nnn22anSaaaaaaaa÷+22\24)2\24)4.3指数裂项第40页共103页12n.12n.11 14.4奇偶并项值的序号为()mA．①②③B．②③④C．①②④D．①③④答案：D．解析：bnmmmN,…2m一1依次为该数中前连续的m项，所以分数列的项数是偶数和奇数讨论，所以①正确；第41页共103页2,n为奇数.所以④正确；若数列含奇数项，则数列可设为009009所以③正确，n2+4n,n为偶数；nïn2+4nnïn2+4n-1解析：数列{an}满足an+1-an=1,所以{an}为公差为1的等差数列；2n2n令{bn}的前n项和为Tn，则当n为偶数时，第42页共103页=´3当n为奇数时，=1+´=1+´323n-1=2nS=n(n+1)+3n=n2+4n；n222nSnnn-1=n2+4n-1.n222则S100=________________.解析：答案：105第43页共103页解析：列举法解析：即从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于1，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以为5首项，以8为公差的等差数列，所以S60的前项和为：2答案：C.第44页共103页2所以C选项是正确的.答案：8n634123123n634123123第45页共103页答案：D．nnn=N+，an<an+1恒成立，则实数t的取值范围是_____________4444第46页共103页解析：n2k2k-12k2k-1对任意n=N+，an<an+1恒成立，则a的取值范围是()第47页共103页答案：A．，：答案：10解析：方法一：方法二：|=2(|=2484848484848第48页共103页5单调性nVnN为得an+2_an=入n+2n,lnJlnJn22n22n2当n为偶数时,n22n22n2第49页共103页________ïa1=>0ïïa1=>0ïa1=<0点评：含参数列的单调性，首先根据前n项和与第n项关系，求得首项和递推关系.再根据等比数列单调性的推论求解即可.n22n22答案：B第50页共103页是.是c答案：C第51页共103页答案：A(1)此时是不行的，交点为t一1,抛物线中点横坐标为所以应该有它的反面，即(2)这时候也是可以的，所以有>t一1不t三2第52页共103页A.4B．6C．7D．8答案：B.当a1=2时，aa=a2=3,aa=a3=5,aa=a5=7.因为a3<a4<a5，且a4ÎN+，所以a4=6.故选B.实数c的取值范围是_________．解析： 第53页共103页AaaB.a1,a44C.a45,a44D.a45,a50.答案：C n6周期性答案：2aAB．5C．7D．8答案：B第54页共103页答案：27．22a22322a322 2a2…故答案为：27．该数列的前2019项的和是()A.671B.672C.1342、D.1346答案：D即此时该数列是以3为周期的数列，矛盾，舍去．第55页共103页时，该数列的前2015项的和是()A.671B.672C.1342D.1344答案：D解析：决定。下面对周期进行讨论：列的周期为3③当数列的周期为3时，由每相邻的三项之间的关系xn+1=xn-xn-1知，当且仅当a=1时，D的前n项和为.第56页共103页解析：nnan 两式相减可得：第57页共103页7不动点f(x)的n阶不动点的个数是()A.2nB.2n2C.2(2n-1)D.2n答案：Dxx的n阶不动点的个数为2n个。数m的取值范围是第58页共103页anananananan和an4同号，所以a14和an4同号，所以an40，满足条件；若m2，则4432m0，得递推数列无不动nanm。下列选项错误的是()答案：D解析：令f(x)xsinx，则f(x)1cosx0，所以f(x)在R为增函数，所以A像(蛛网图)判断，如下：nnnn点评：本题A，B容易判断，C，D我们还可以这样推理，若D正确则C一定也正确，故D26不正确.本题为选择题我们还可以这样操作，a21sin11.8，所以a25，所以2612a3a2sina2a2sina22，故选D.124.(2019年绍兴3月模拟10)已知数列an满足a1,an1fan,nN*,S100是数列an第59页共103页的前100项和，且S100100，则fx不可能是()A.fxx2B.fxx2C.fxexx1D.fxlnxx1答案：D.解析一：若fxx2，则an1an2an，所以S100100a150，所以排除A；fxx2，则an1an，所以S10050，所以排除B；且fe20，所以an1an，所以S100100a150，所以排除C；22222222eaa1，所以a7a16a2a1，即a72，所以S100S6a7a8…a100S6942100，D解析二：若fxx2，则an1an2an，所以S100100a150，所以排除A；fxx2，则an1an，所以S10050，所以排除B；若fxexx1，f'xex1，当x0时，f'xex10，所以fxexx1在0,上增函数，又f''xex0，所以fxexx1是下凸函数，令fxx，设x0是方程exx1x的根，则x01x1，如图知：a100a99…a2a1，S10050.D点评：此题数列递推公式、数列单调性、不动点、数形结合等知识.第60页共103页5.(2019温州2月模拟10)设数列恳xn}满足0<x1<x2<"，且答案：A第61页共103页8放缩所在的区间为().答案：A. 1(1)21naa 1(1)212.(2019届衢州二中第二次模拟10)已知f(x)=，点22221+22+…22221+22+…+2n<t-2t-2成立，则正数t的最小值为()12nBCD答案：A解析：22sin9sinsin9sin9sin91n2n+1n2n+1第62页共103页A和为Sn，且Sn<m对任意正整数n均成立，则正整数m的最小值为()D答案：A．解析：nN使an>1的正整数n的最小值是().解析：方法一：采用裂项相消求和12018111111n12n一11aaa+2018a+1n12n一11第63页共103页 =1120201220192019aaa+2018a+2018a+201812020122019201911111111n11111111n1n+11