反比例函数的图象、性质及应用（讲义）（解析版）-中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第第页考点要求新课标要求命题预测反比例函数相关概念理解与掌握反比例函数相关概念.反比例函数是非常重要的函数，年年都会考，总分值为15分左右，常考考点为:反比例函数图象的性质k的几何意义、双曲线上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数的应用与综合题等.其中前三个考点多以选择、填空题的形式出题，后三个考点则是基础解答题以及压轴题的形式出题.在填空题中,对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，常结合其他规则几何图形的性质一起出题,多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意.另外压轴题中也常以反比例函数为背景，考察一些新定义类问题.综合反比例函数以上特点，考生在复习该考点时，需要准备堂握其各性质规律，并日多注意其与几何图形结合题的思考探究.反比例函数的图象与性质能画反比例函数的图象，根据图象和表达式y=kx(k≠0)探索并理解k>0和k能根据已知条件确定反比例函数的表达式.反比例系数k的几何意义理解与掌握反比例系数k的几何意义.反比例函数与一次函数综合反比例函数的实际应用能用反比例函数解决简单实际问题考点一反比例函数的相关概念反比例函数的概念：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、反比例函数解析式的特征:①等号左边是函数y，等号右边是一个分式；②k≠0；③分母中含有自变量x，且指数为1.1.反比例1.反比例函数y=kx（k≠0）的自变量x的取值为一切非零实数，函数2.反比例函数的表达式中，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式．3.反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k.题型01用反比例函数描述数量关系【例1】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即F1L1=F2L

A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系【答案】C【分析】根据杠杆平衡条件：F1L1【详解】由杠杆平衡条件：F1∵铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，∴右侧力F与力臂L的乘积是定值，即右侧力F与力臂L满足反比例函数关系．故选：C【点睛】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数中，自变量x与函数值y的积是定值是解题的关键．【变式1-1】（2023·北京朝阳·统考一模）下面的三个问题中都有两个变量：①矩形的面积一定，一边长y与它的邻边x；②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积S与全村总人口n；③汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t．其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】当两个变量的积为定值时，两个变量之间的函数关系可以用形如y=kx（k为常数，【详解】解：由函数图象可知，这两个变量之间成反比例函数关系，①矩形的面积=x⋅y，因此矩形的面积一定时，一边长y与它的邻边x可以用形如y=k②耕地面积=S⋅n，因此耕地面积一定时，该村人均耕地面积S与全村总人口n可以用形如y=k③汽车的行驶速度=st，因此汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t不可以用形如综上可知：①②符合要求，故选A．【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的定义．【变式1-2】（2022·北京海淀·北京市十一学校校考二模）右图是一种古代计时装置（称为“漏刻”）的示意图：水从上面的贮水壶慢慢漏入下方的受水壶中，假设漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀升高，那么，就可以根据标尺上的刻度来反映浮子的高度从而计时．现向贮水壶内注水，则在受水壶注满水之前，浮子的高度与对应注水时间满足的函数关系是（

）A．一次函数 B．二次函数 C．反比例函数 D．无法确定【答案】A【分析】根据漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀解答即可．【详解】解：∵漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀升高∴浮子的高度与对应注水时间成正比∴浮子的高度与对应注水时间满足的函数关系是一次函数故选A．【点睛】本题考查了判断函数关系，读懂材料，掌握一次函数、二次函数、反比例函数的特点是解答本题的关键．题型02判断反比例函数【例2】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）下列函数中，不是反比例函数的是（

）A．y=−3x B．y=−32x C．【答案】C【分析】根据反比例函数解析式y=k【详解】解：根据反比例函数解析式y=kA.y=−3B.y=−3C.y=3D.3xy=2，得y=2故选：C．【点睛】本题考查反比例函数的定义，理解解析式的特征是解题的关键．【变式2-1】（2022·福建南平·统考一模）下面四个函数中，图象为双曲线的是（

）A．y=5x B．y=2x+3 C．y=4x 【答案】C【分析】根据一次函数，反比例函数及二次函数的函数解析式进行判断．【详解】解：A.y=5x，是正比例函数，图象是直线，故该选项不正确，不符合题意；

B.y=2x+3，是一次函数，图象是直线，故该选项不正确，不符合题意；

C.y=4xD.y=x故选：C．【点睛】本题考查函数的表达式，解题关键是掌握一次函数，反比例函数，二次函数的表达式．题型03根据反比例函数的定义求字母的值【例3】（2022上·山东枣庄·九年级校考期末）已知函数y=(m+1)xm2−5是关于x的反比例函数，则【答案】±2【分析】根据反比例函数的定义：形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，即可求出【详解】∵函数y=(m+1)xm2∴m+1≠0，m2∴m=±2，故答案为：±2【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．【变式3-1】（2022·江苏南京·校联考一模）已知反比例函数y＝kx的图象经过点（1，3）、（m，n），则mn的值为【答案】3【分析】把点的坐标分别代入解析，即可求得k及mn的值．【详解】解：把点（1，3）代入y＝k得k=3故反比例函数的解析式为y=3把点（m，n）代入y=3x得【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，理解在函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解决本题的关键．【变式3-2】（2023·浙江杭州·校考二模）已知点A(−2,m−1)在反比例函数y=−2x的图象上，则m=．【答案】2【分析】将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出m值．【详解】解：∵点A(−2,m−1)在反比例函数y=−2∴−2×(m−1)=−2，∴m=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的纵横坐标之积是定值k；理解点坐标与解析式的关系是解题的关键．【变式3-3】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学统考二模）如果反比例函数y=k−1x的图象经过点−2,1，则k的值是（A．1 B．−2 C．−1 D．3【答案】C【分析】把点−2,1的坐标代入反比例函数解析式中得到一元一次方程并求解即可．【详解】解：∵反比例函数y=k−1x的图象经过点∴1=k−1−2．解得【点睛】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握该知识点是解题关键．在反比例函数中，k≠0与x的指数为-1这两个条件必须同时具备，解决此类问题的容易忽略k≠0的条件，从而得出错误答案.考点二反比例函数的图象与性质一、反比例函数的图象与性质图象特征1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点．性质表达式y=kx（k为常数，图象k>0k<0经过象限一、三象限（x、y同号）二、四象限（x、y异号）增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大对称性①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上;②图象关于直线y=x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上;③图象关于直线y=−即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称.反比例函数解析式的确定方法待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：1）设反比例函数的解析式为y=k2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；3）解方程求出待定系数k；4）将所求的k值代入所设解析式中.【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．1.1.反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．2.反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。3.双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．题型01判断反比例函数图象【例1】（2022·黑龙江绥化·校考三模）当长方形的面积S是常数时，长方形的长a与宽b之间关系的函数图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据题意得到函数关系式为ab=S（常数），于是得到a、b是成反比例的量，根据函数关系式即可得到结论．【详解】解：由长方形的面积公式得，a=Sb，且故C选项符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了函数的图象，根据题意列出函数关系式是解题的关键．【变式1-1】（2023·安徽亳州·统考三模）如图，在△ABC中，∠BAC=20°，AB=AC=2，且始终保持∠PAQ=100°．设BP=x，CQ=y（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根据△ABC是等腰三角形，∠BAC=20°，得到∠ABC=∠ACB=80°，推出∠ABP=∠ACQ=100°，根据∠PAQ=100°推出∠PAB+∠CAQ=80°，根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和，得到∠ACB=∠CAQ+∠AQC=80°，推出∠AQC=∠PAB，推出△APB∽△QAC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得x与y的函数关系式，即可进行判断．【详解】∵△ABC中，∠BAC=20°，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=80°∴∠ABP=∠ACQ=100°又∵∠PAQ=∠PAB+∠BAC+∠CAQ=100°∴∠PAB+∠CAQ=80°∵∠ACB=∠CAQ+∠AQC=80°∴∠AQC=∠PAB∴△APB∽△QAC∴PBAC=AB则函数解析式是y=4故选：A．【点睛】本题主要考查了等腰三角形，相似三角形，反比例函数等，熟练掌握等腰三角形性质，三角形外角性质，相似三角形判定与性质，反比例函数图形与性质，是解决本题的关键．【变式1-2】（2023·河北沧州·统考模拟预测）在平行四边形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，已知AE=2，且∠CBF=∠EAF，设EF=x，BF=y，假设x、y能组成函数，则y与x的函数的图象为（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】首先根据平行四边形的性质得到S△ABD=S【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ABD∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴CF=AE=2，∠AEF=∠BFC=90∵∠CBF=∠EAF，∠AEF=∠BFC，∴△AEF∽△BFC，∴EFCF∴x2∴y=4∴y与x的函数的图象为双曲线在第一象限内的部分．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质等知识，解此题的关键是证明出△AEF∽△BFC．【变式1-3】（2023·河南信阳·统考一模）参照学习函数y=2x的过程与方法，探究函数x…−2−101132537456…y=…−1−2■4241424121…y=…−−−1m−2−4■424121…

(1)m=__________________．(2)请画出函数y=2(3)观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x<2时，y随x的增大而___________；（填“增大”或“减小”）②y=2x−2的图象是由③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标）【答案】(1)−(2)见解析(3)①减小；②右；2；③(2,0)【分析】（1）把x=12代入函数（2）用一条光滑曲线顺次连接所描的点即可；（3）数形结合，观察函数图象即可得到答案．【详解】（1）解：把x=12代入得y=2∴m=−4故答案为−4（2）函数图象如图所示：

（3）解：①当x<2时，y随x的增大而减小；②y=2x−2的图象是由③图象关于点(2,0)中心对称；故答案为：①减小；②右；2；③(2,0)．【点睛】本题考查了类反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握列表，描点，连线作图及数形结合得到函数性质．题型02反比例函数点的坐标特征【例2】（2023·广西北海·统考模拟预测）下列各点在反比例函数y=2x图象上的是（A．−1,2 B．2,−1 C．1,3 D．−1,−2【答案】D【分析】将每个选项中点的横坐标代入反比例函数解析式中，看函数值是否一致，如果一致，说明点在函数图象上，反之则不在．【详解】A．当x=−1B．当x=2时，y=2C．当x=1时，y=2C．当x=−1故选：D．【点睛】本题主要考查点是否在反比例函数图象上，掌握反比例函数变量的求法是解题的关键．【变式2-1】（2023·福建宁德·统考模拟预测）下列四个点中，有三个点在同一反比例函数y=kx的图象上，则不在这个函数图象上的点是（A．1,6 B．−12,12， C．−2,−3【答案】B【分析】由反比例函数表达式的特点可知，在其图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于k，所以判断点是否在反比例函的图象上，只要验证一下横、纵坐标的乘积是否与k相等就可以了．【详解】解：A、k=1×6=6，B、k=−1C、k=−2D、k=3∴不在这个函数图象上的点是−1故选：B．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．【变式2-2】（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，直线y=kxk>0与双曲线y=4x交于A，B两点，若A2，A．2,2 B．−2,−1 C．−2,−2 D．−1,−4【答案】C【分析】根据反比例函数的对称性进行求解即可．【详解】解：∵直线y=kxk>0与双曲线y=4x交于A∴点A和点B关于原点对称，把A2，m代入到y=∴A2∴B−2故选C．【点睛】本题主要考查了反比例函数的对称性，反比例函数与一次函数的交点问题，正确得到点A和点B关于原点对称是解题的关键．【变式2-3】（2019·吉林长春·中考模拟）如图，函数y＝2x（x＞0）、y＝6x（x＞0）的图象将第一象限分成了A、B、C三个部分．下列各点中，在B部分的是（A．（1，1） B．（2，4） C．（3，1） D．（4，3）【答案】C【分析】根据反比例函数的图象和性质及题意可知，在B部分的点的坐标满足2x【详解】根据题意可知，在B部分的点的坐标满足2x对其变形，得2＜xy＜6.选项A，（1，1），xy=1，不符合要求；选项B，（2，4）,，xy=8，不符合要求；选项C，（3，1），xy=3，符合要求；选项D，（4，3）,，xy=12，不符合要求.故选C.【点睛】此题考查反比例函数的图象和性质、定义及表达式，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键.【变式2-4】（2023·陕西渭南·统考一模）已知正比例函数y=ax（a为常数，a≠0）与反比例函数y=−2x的图象的一个交点坐标为1,m，则另一个交点的坐标为【答案】−1,2【分析】正比例函数和反比例函数的图象是中心对称图形，则它们的交点一定关于原点对称．【详解】∵已知正比例函数y=ax（a为常数，a≠0）与反比例函数y=−2x的图象的一个交点坐标为∴m=∴交点坐标为1,−2∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点1,−2关于原点对称，∴该点的坐标为−1,2．故答案为：−1,2．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称是解题的关键．【变式2-5】（2022·福建漳州·统考模拟预测）已知直线y=2x与双曲线y=kx相交于A，B两点．若点A2,m，则点B【答案】−2,−4【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【详解】解：将A2,m带入到y=2x中，得m=4，则∵点A和点B关于原点对称∴点B坐标为−2,−4．故答案为：−2,−4．【点睛】本题考查反比例函数图象的中心对称性，即两点关于原点对称．【变式2-6】（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知直线y=kx与双曲线y=k+6x的一个交点的横坐标是2，则另一个交点坐标是．【答案】（-2，-4）【分析】根据交点的横坐标是2，得到k+62=2k，求得【详解】∵交点的横坐标是2，∴k+62解得k=2，故函数的解析式为y=2x，y=8x当x=2时，y=4，∴交点坐标为（2，4），根据图象的中心对称性质，∴另一个交点坐标为（-2，-4），故答案为：（-2，-4）．【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，函数图象的中心对称问题，熟练掌握交点的意义，灵活运用图象的中心对称性质是解题的关键．题型03已知反比例函数图象，判断其解析式【例3】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）如图，下列解析式能表示图中变量x，y之间关系的是（

A．y=1|x| B．|y|=1x C．【答案】B【分析】根据反比例函数的图象及绝对值的定义即可判断．【详解】解：根据反比例函数的图象可得：第一象限所对应的关系式为：y=1x，第四象限所对应的关系式为：∴y与x的关系式为：|y|=1【点睛】本题主要考查反比例函数的图象及绝对值的定义，解题关键是熟悉反比例函数的图象．【变式3-1】（2023·江苏徐州·统考二模）在平面直角坐标系中，对于点Pa,b，若ab>0，则称点P【答案】y=−1【分析】根据新定义可得函数图象不在第一，第三象限，从而可得答案．【详解】解：∵对于点Pa,b，若ab>0而某函数图象上不存在“同号点”，∴函数图象不在第一，第三象限，∴其函数表达式可以是y=−1故答案为：y=−1【点睛】本题考查的是阅读理解，新定义的含义，反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的分别是解本题的关键．题型04由反比例函数解析式判断其性质【例4】（2023·山西晋城·统考一模）已知反比例函数y=−5A．图象位于第一、三象限B．y随x的增大而增大C．图象不可能与坐标轴相交D．图象必经过点3【答案】C【分析】根据反比例函数y=k【详解】解：A、∵y=−5x，∴B、∵y=−5x，∴k=−5<0，在每个象限内，y随C、反比例函数y=−5D、当x=32时，则y=−5故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数y=kxk≠0的图象性质，当k>0【变式4-1】（2022·江西九江·校考二模）关于反比例函数y=kxk≠0A．该函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形B．当k<0时，该函数的图象在第二、四象限C．该函数的图象与直线y=kx+b有且只有两个交点D．当k>0时，函数值y随x的增大而减小【答案】D【分析】根据反比例函数的图象与性质，判断作答即可．【详解】解：由反比例函数的图象与性质可知，y=k当k<0时，该函数的图象在第二、四象限，B正确，故不符合要求；联立方程得，y=kxy=kx+b，即k∴△=b∴该函数的图象与直线y=kx+b有且只有两个交点，C正确，故不符合要求；当k>0时，函数过第一象限，第三象限，在每个象限内函数值y随x的增大而减小，D错误，故符合要求；故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判根式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．题型05由反比例函数图象分布象限，求k值【例5】（2023·贵州贵阳·校考一模）反比例函数y=kx（k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（

）

A．5 B．12 C．−5 D．−12【答案】C【分析】根据图象，当x=−3时，y<3，则0>k>−9；当x=2时，y<−2，则k<−4，所以−9<k<−4，即可求解．【详解】解：由图可知：当x=−3时，0<y<3，即0<k−3<3当x=2时，y<−2，即k2<−2，则∴−9<k<−4，故选：C．【点睛】本题考查反比例函数图象性质，关键是要结合函数的图象，掌握反比例函数的性质．【变式5-1】（2023·河北沧州·统考三模）在平面直角坐标系中，反比例函数y=kxk≠0的图象如图所示，则k的值可能是（

A．−2 B．1 C．3 D．5【答案】C【分析】由题意可得：k的取值应该满足2<k<4，进而可得答案.【详解】解：由题意可得：k的取值应该满足：−1×−2<k<2×2所以k的值可能是3；故选：C.【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据函数图象得出2<k<4是解题的关键.题型06判断反比例函数经过象限【例6】（2023·湖南郴州·模拟预测）已知反比例函数y=kx（k≠0），当x1A．一，三象限 B．二，四象限 C．一，二象限 D．三，四象限【答案】B【分析】由反比例函数的增减性可判断解析式中的k值，再由k值可确定图象所在的象限．【详解】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)，当x即当x<0时，y随x的增大而增大，故k<0，∴它的图象一定在二，四象限．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的增减性与参数k、所在象限的关系，解题的关键是熟知反比例函数的相关知识点．【变式6-1】（2023·湖南永州·统考二模）当k>2时，反比例函数y=k−2x的图象位于（A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限【答案】B【分析】求出k−2>0即可根据反比例函数图象与系数的关系求出答案．【详解】解：∵k>2，∴k−2>0，∴反比例函数y=k−2故选B．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握反比例函数y=kxk≠0的性质：当k>0时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象在二、四象限，在每一象限内，y【变式6-2】（2023·上海奉贤·统考二模）下列函数图象中，可能是反比例函数y=6x的图象的是（A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】直接根据反比例函数的图象性质进行判断．【详解】解：由k=6>0，可知反比例函数y=6A.反比例函数的图象在一、二象限．故选项A不符合题意；B.反比例函数的图象与坐标轴相交，错误．故选项B不符合题意；C.反比例函数的图象在一、三象限．正确，故选项C符合题意；D.反比例函数的图象在二、四象限．错误，故选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．反比例函数y=kx的图象是双曲线，当k>0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当题型07已知反比例函数增减性，求参数的取值范围【例7】（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）反比例函数y=a+3x的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则A．a≥−3 B．a>−3 C．a≤−3 D．a<−3【答案】D【分析】根据反比例函数y=kx中，当k<0时函数图象在二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，故反比例函数y=a+3x中，得出【详解】解：∵反比例函数y=a+3x的图象在每个象限内，y随∴a+3<0，解得：a<−3．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握根据反比例函数的增减性求参数范围是解题的关键．【变式7-1】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）在反比例函数y=3m+1x图象上有两点Ax1,y1，BA．m≤−13 B．m>−13 C．【答案】D【分析】先根据y1<0<y2，有【详解】解：∵在反比例函数y=3m+1x图象上有两点Ax1,y1∴反比例函数的图象在二、四象限，∴3m+1<解得m<故选：D．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出反比例函数的图象在二、四象限是解答此题的关键．【变式7-2】（2023·湖北武汉·统考三模）若点m−1,y1和m+1,y2在y=kxk>0的图象上，若yA．m>1或m<−1 B．−1<m<1C．−1<m<0或0<m<1 D．m≠±1【答案】A【分析】根据反比例函数的性质和增减性，结合点的横纵坐标的大小关系，得到关于m的不等式组，解之即可.【详解】∵k>0，∴y=kx图象在第一、三象限，且在每一个象限，y随∵m−1<m+1，∴（1）如图，

有m−1<0m+1<0，解得：m<−1（2）如图，不符合题意，

（3）如图，

有m−1>0m+1>0，解得：m>1∴综上所述：m的取值范围是m>1或m<−1，故选：A．【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键正确掌握反比例函数的性质和增减性．【变式7-3】（2022上·陕西渭南·九年级统考期末）若反比例函数y=3k−2x在每个象限内，y随x的增大而减小，则k的值可能是（A．−1 B．0 C．12 【答案】D【分析】根据反比例函数的增减性可得3k−2>0，即可求解．【详解】解：∵反比例函数y=3k−2x在每个象限内，y随∴3k−2>0，解得：k>2∴k的值可能是1．故选：D【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数y=kxk≠0，当k>0时，图象位于第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y题型08已知反比例函数增减性，求k值【例8】（2023·安徽芜湖·统考二模）已知函数y1=kx,y2=−kx(k>0)，当1≤x≤3时，函数y【答案】2【分析】直接利用反比例函数的性质分别得出k与a的关系，进而得出答案．【详解】解：∵函数y1=kx(k>0)，当1≤x≤3∴x=1时，y=k=a，∵y2=−kx(k>0)，当∴当x=1时，y=−k=a−4，∴k=4−a，故a=4−a，解得：a=2．则：k=4−2=2．故答案为：2．【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出k与a的关系是解题关键．【变式8-1】（2023·陕西咸阳·二模）已知反比例函数y=kxk≠0的图象在每个象限内y随x的增大而增大，且当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k【答案】−6【分析】根据题意得出k<0，进而根据当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，列出方程，即可求解．【详解】解：∵反比例函数y=kxk≠0的图象在每个象限内y∴k<0，∵当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，∴k3解得：k=−6，故答案为：−6．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．【变式8-2】已知反比例函数y=kx(k≠0)，当1≤x≤3时，y的最大值与最小值之差是4，则【答案】6或-6．【分析】根据反比例函数的增减性质列解一元一次方程解答即可．【详解】解：当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小，∴设x=1时y=a，则当x=3时，y=a-4，∴a=3（a-4），解得a=6，∴k=6；当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大，∴设x=1时y=b，则当x=3时，y=b+4，∴b=3（b+4），解得b=-6，∴k=-6；∴k=6或-6，故答案为：6或-6．【点睛】此题考查反比例函数的增减性：当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小，当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大，以及正确解一元一次方程．题型09由反比例函数的性质比较大小【例9】（2023·广东东莞·校联考一模）若点A−2,y1、B−1,yA．y1<y2<y3 B．y2<【答案】C【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的特征．由k2【详解】解：∵k2∴反比函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，∴A−2,y1∵−1>−2，∴y1∴y2故选：C．【变式9-1】（2023·广东湛江·统考三模）若点Ax1，y1、BA．y1<y2<y3 B．y3<【答案】D【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意画出图象,结合x1<x2<0<【详解】解：根据题意画出函数图象得，可知，y3故选：D．【变式9-2】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知Ax1,y1A．y1+y2>0 B．y1【答案】A【分析】根据反比例函数图象与性质即可得到答案．【详解】解：y=6x的∴反比例函数y=6∵A(x1,y1∴y1<0<∴y故选：A．【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数中k与图象的象限关系是解决问题的关键．【变式9-3】（2022·河北邯郸·校考三模）已知反比例函数y=kx的图象在第一、第三象限内，设函数图象上有两点Ax1,y1、Bx2A．y1>y2 B．y1【答案】D【分析】根据反比例函数y=kx的图象在第一、第三象限内可知：该函数在每一个象限内，y随x的增大而减小，然后分类讨论x1与x2所在的象限，从而根据该函数在该象限内的增减性来判断【详解】解：∵反比例函数y=k∴反比例函数y=kx的图象在每一个象限内，y随①当x1<x②当0<x1<③当x1<0<x综合①②③，y1与y故选：D．【点睛】本题考查反比例函数的增减性，反比例函数图象上点的坐标特征即反比例函数图象上的点的坐标都能满足该函数的解析式，运用了分类讨论的思想．掌握反比例函数的增减性是解题的关键．【变式9-4】（2023·湖北武汉·统考二模）已知Ax1,y1，Bx2,yA．若x1x2>0，则y2C．若x1x3<0，则y2【答案】B【分析】根据反比例函数的性质，当k<0时，图象过二四象限，再根据x1<x【详解】解：∵y=−6∴双曲线图象在第二，四象限，A、当x1x2B、当x1x2∴x1,y∴y1C、当x1x3D、当x1x3故选：D．【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．题型10求反比例函数解析式【例10】（2023·陕西商洛·统考二模）已知A−1,p与B2,p−3是反比例函数y=kx图象上的两个点，则【答案】−2【分析】根据反比例函数中k=xy的特点进行解答即可．【详解】解：∵A−1,p与B2,p−3是反比例函数∴−1⋅p=2⋅解得p=2．∴k=−1×2=−2故答案为：−2．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy为定值是解题的关键．【变式10-1】（2022·福建泉州·统考模拟预测）若反比例函数y=kx的图象过点−2,a、2,b，且a−b=−6，则k=【答案】6【分析】可得−k2=a，k【详解】解：由题意得−k2=a∵a−b=−6，∴−k解得：k=6；故答案：6．【点睛】本题考查了函数图象上点的意义，求反比例函数系数k,理解意义是解题的关键．【变式10-2】（2023·广东广州·校考一模）反比例函数y=kx的图象上有一点Pa，b，且a、b是方程【答案】−2【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出ab=−2，然后根据点Pa，b在反比例函数y=【详解】解：a、b是方程t2则有ab=−2，又∵点Pa，b∴ab=k，∴k=−2．故答案为：−2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个根x1，x【变式10-3】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）反比例函数y=kxk≠0的图象经过a,2，a+1,1、(b【答案】1【分析】根据反比例函数的定义得出a=1，进而即可求解．【详解】解：∵反比例函数y=kxk≠0的图象经过∴2a=解得：a=1，∴k=2∴反比例数解析式为y=2将点(b,6)代入得，6=2故答案为：13【点睛】本题考查了反比例函数的性质，求得反比例函数的解析式是解题的关键．【变式10-4】（2022·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）如图，直线y=−x+3与y轴交于点A，与反比例函数y=kxk≠0的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B【答案】y=−【分析】先求出点A的坐标，然后表示出AO、BO的长度，根据AO=3BO，求出点C的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出即可．【详解】解：∵直线y=−x+3与y轴交于点A，当x=0时，y=3∴A0,3，即OA=3∵AO=3BO，∴OB=1，∴点C的横坐标为−1，∵点C在直线y=−x+3上，∴点C−1,4将C−1,4代入y=∴4=k∴k=−4，∴反比例函数的解析式y=−4【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意确定点C的横坐标并求出纵坐标是解题的关键．题型11与反比例函数有关的规律探究问题【例11】（2022·河北唐山·统考二模）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP1B的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点P1在反比例函数y=kxx>0的图象上，过P1A的中点B1作矩形B1AA（1）点P2的坐标为（2）作出矩形B18A17A18【答案】2，1【分析】（1）先根据题意得出P1点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依次求出点P2，P3，P4的坐标，找出规律可得出Pn（2）根据（1）中的规律可得答案．【详解】解：（1）∵正方形OAP1B的边长为1，点P1在反比例函数y=kx（∴P1（1，1），∴k=1，∴反比例函数的解析式为：y=1∵B1是P1A的中点，∴P2A1=AB1=12∴OA1=2，∴P2故答案为：2，（2）由（1）的解同理，得P3∴Pn当n=19时，P19故答案为：218【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，解题的关键是找出规律．【变式11-1】（2023上·湖南·九年级校联考阶段练习）如图，在反比例函数y=4x的图象上有A2,m、B两点，连接AB，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于点C、D，已知BD=12AC，点F1是CD的中点，连接AF1、BF1，得到△AF1B【答案】2【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索，先求出A2,2，得到AC=2，OC=2，BD=1，进而求出B4，1，得到OD=4，则CD=2，根据梯形面积公式求出S四边形ACDB=3，再分别求出S△ACF1=1【详解】解：∵A2,m在反比例函数y=∴m=4∴A2,2∵AC⊥x轴，∴AC=2，OC=2∴BD=1∵BD⊥x轴，∴点B的纵坐标为1，在y=4x中，当y=4∴B4∴OD=4，∴CD=2，∴S四边形∵点F1是CD∴CF∴S△AC∵点F2是D∴DF∴CF∴S△AC∵F3为C∴DF∴CF∴S△AC……，以此类推可知，S△ACFn∴S△A故答案为：2n【变式11-2】（2021上·四川成都·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，横坐标，纵坐标都为整数的点称为整点，正方形边长的整点称为边整点，如图，第一个正方形有4个边整点，第二个正方形有8个边整点，第三个正方形有12个边整点…按此规律继续作下去，若从内向外共作了5个这样的正方形，那么其边整点的个数共有____个，这些边整点落在函数y=4x的图象上的概率是【答案】60,【分析】利用整点的个数与正方形的序号数的关系可得到第四个正方形有4×4个边整点，第五个正方形有5×4个边整点，则可计算出其边整点的个数为60个，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征可确定这些边整点落在函数y=4【详解】解：第一个正方形有1×4个边整点，第二个正方形有2×4个边整点，第三个正方形有3×4个边整点，第四个正方形有4×4个边整点，第五个正方形有5×4个边整点，所以其边整点的个数共有4+8+12+16+20=60个，这些边整点落在函数y=4所以些边整点落在函数y=4x的图象上的概率=故答案为60，110【点睛】本题考查了简单随机事件的概率，利用例举法得到所有等可能的结果数为n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了解决规律型问题的方法和反比例函数图象上点的坐标特征．【变式11-3】（2020上·安徽·九年级校联考阶段练习）如图，等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，⋅⋅⋅的边OE1，

（1）第1个等边三角形△OD1E1的周长C1=______；第2个等边三角形△E1D（2）根据（1）的规律，猜想第n（n是正整数）个等边三角形△En−1D（3）计算：C1【答案】（1）12；122−12；123−12【分析】（1）根据等边三角形的性质可设D1(m,3m)，然后把点D1的坐标代入y=43x中即可求出m，于是可求得第一个等边三角形的边长，进而可得第一个三角形的周长C1；然后设出D（2）根据（1）题所得的结果解答即可；（3）按照（2）题的规律和二次根式的加减法则求解即可．【详解】解：（1）由△OD1E∴3m2=43，∴∴OE1=4设D2∴(4+n)⋅3n=43，解得n=2∴E1E2设D3∴(42+a)⋅3a=43即第三个三角形的周长C3故答案为：12；122−12；（2）根据（1）的规律，猜想第n（n是正整数）个等边三角形△En−1D故答案为：12n（3）C1+C【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、解直角三角形、等边三角形的性质以及一元二次方程的解法等知识，熟练掌握上述知识、找到规律是解题的关键．【变式11-4】（2023·江苏徐州·校考三模）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3，过点A1，A2，A3A．11012 B．12023 C．12024【答案】C【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S=k2，由反比例函数解析式中k=2，得出△OA1P1，△OA2P2，△OA3P3，…，△OAnPn的面积都为1，而An−1An【详解】解：连接OP2，OP∵过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S=k∴S=22=1又∵OA∴A1A2=12O∵△An−1A∴Sn∴S2024故选：C．【点睛】此题属于反比例函数的综合题，涉及的主要知识有：反比例函数y=kxk≠0中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为k；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义，图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S考点三反比例系数k的几何意义一、一点一垂线【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为12【拓展一】【拓展二】【拓展三】(前提：OA=AC)结论：S△AOB=S△CODS△AOE=S四边形CEBDS△AOC=k二、一点两垂线【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为k.【拓展一】【拓展二】【拓展三】结论：S矩形ABOE=S矩形CDOFS矩形AEFG=S矩形CGBDS▱ABCD=k三、两点一垂线【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|，结论：S△ABC=2S△ABO=k【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和．如左图，已知一次函数与反比例函数y=k则S△AOB=S△AOC+S△BOC=12co•|yA|+12co•|yB|=12co(|yA|+如右图，已知一次函数与反比例函数y=k则S△AOB=S△AOC+S△BOC=12co•|xA|+12co•|xB|=12co(|xA|+四、两点两垂线【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k|五、两点和原点方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB．方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF.【补形】方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝12OD•（|yA|-|yB|方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝12OC•（|xA|-|xB|【拓展】方法一：当AD/AC(或BD/BF)＝m时，则S四边形OADB＝m|k|．方法二：作AE⊥x轴于E，则S△OAB＝S直角梯形AEFB（类型一）．六、两曲一平行【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解．类型一两条双曲线的k值符号相同结论：S阴影＝|k1|-|k2|S阴影＝12|k1|-12结论：S阴影＝|k1|-|k2|S阴影＝|k1|-|k2|-S直角梯形AFDE类型二两条双曲线的k值符号相同结论：S△AOB＝S△ACB＝12(|k1|+|k2|)S阴影＝|k1|+|k2以下题型均包括两种类型：已知比例系数求特殊图形面积、以及图形面积求比例系数题型01一点一垂线【例1】如图，A是反比例函数y=kx的图象上一点，AB⊥y轴于B，点C在x轴上，若△ABC面积为2，则k的值为（

A．−4 B．1 C．2 D．4【答案】D【分析】连接OA，可得S△ABO=S△ABC=2【详解】解：连接OA，∵AB⊥y轴，∴AB∥∴S△ABO=∴k=4，或k=−4（舍去），故选：D．

【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数k的几何意义以及同底等高的三角形的面积相等，是解决问题的前提．【变式1-1】（2023·安徽·九年级专题练习）如图，等腰直角三角形OAB的斜边OB在x轴的负半轴上，顶点A在反比例函数y=kxx<0的图象上，△AOB的面积为4，则k

A．−8 B．8 C．−4 D．4【答案】C【分析】过点A分别作AN⊥x轴于N点，根据等腰三角形三线合一，得ON=BN，利用三角形中线的性质可得S△ANO=1【详解】过点A分别作AN⊥x轴于N点，∵△AOB是等腰直角三角形，∴ON=BN，∵S△ANO=1∴S△ANO∵△AOB的面积为4，∴S△ANO∵顶点A在反比例函数y=k∴12k=2∴k=−4．故选：C．

【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌握三角形的中线平分三角形的面积是关键．【变式1-2】（2022上·江西南昌·九年级南昌市第二十八中学校联考期末）若图中反比例函数的表达式均为y=4x，则阴影部分面积为2的是（A．B．C．D．【答案】B【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解．【详解】A．阴影面积=xy=4≠2，故A选项不符合题意；B．阴影面积=1C．阴影面积=2×1D．阴影面积4×1故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为k，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解【变式1-3】（2022·福建福州·校考模拟预测）如图，在y=1x的图象上有两点A、C，过这两点分别向x轴引垂线，交x轴于B、D两点，连结OA、OC，记△ABO、△CDO的面积S1，S2，则S1

A．S1>S2 B．S1【答案】C【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值【详解】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=1所以S1故选：C．【点睛】主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为k，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解【变式1-4】（2023·广西北海·统考模拟预测）如图，P1−1,4、P2−2,2、P3−4,1是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形△P1A1O、△P2A2O、

A．S1=S2=S3 【答案】A【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，即可得到答案．【详解】∵P1,P2,P3∴S1故选A．【点睛】本题主要考查反比例函数比例系数的几何意义，掌握反比例函数比例系数的几何意义，是解题的关键．【变式1-5】（2020·吉林四平·统考一模）如图，函数y=2x（x＞0）和y=6x（x＞0）的图象将第一象限分成三个区域，点M是②区域内一点，MN⊥x轴于点N，则△A．0.5． B．1． C．2． D．3.5．【答案】C【分析】分别假设点M在y=2x和【详解】解：∵点M是②区域内一点，且MN⊥x轴于点N，假设点M落在y=2根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为1，假设点M落在y=6根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为3，∴△MON的面积可能是2，故选C．【点睛】考查了反比例函数的图象的知识，解题的关键是了解系数k的几何意义．【变式1-6】（2020下·山西太原·九年级太原五中校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y=kx(x>0)的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，若ΔOAB的面积为3，则k【答案】3【分析】连接OC，如图，利用三角形面积公式得到S△AOC=12S△OAB=【详解】连接OC，如图，∵BA⊥x轴于点A，C是线段AB的中点，∴S△AOC而S△AOC∴12而k>0，∴k=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值【变式1-7】（2023·安徽合肥·校考一模）如图，A，B是反比例函数y=9x图象上的两点，分别过点A，B作x轴的垂线．已知A．3 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】根据反比例函数k的几何意义即可求解．【详解】解：如图所示，AF⊥x轴于点F，BG⊥x轴于点G∵反比例函数y=∴S△BOG∵S△EOF∴阴影部分的面积S+2∴阴影部分面积为3，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．题型02一点两垂线【例2】（2023·江苏徐州·统考三模）如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，成C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y=kx的图象上，OA=1，OC=6，则正方形

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先确定B点坐标为1，6，可得反比例函数解析式为y=6x，设AD=t，则OD=1+t，所以E点坐标为1+t，【详解】解：∵OA=1，OC=6，∴B点坐标为1，∴k=1×6=6，∴反比例函数解析式为y=6设AD=t，则OD=1+t，∴E点坐标为1+t，∴1+t⋅t=6整理得t2解得：t1=−3（舍去），∴正方形ADEF的边长为2．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点x，y的横纵坐标的积是定值【变式2-1】（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在反比例函数y=kx(x>0)的图象上有点P1,P2,P3，它们的纵坐标依次为6，2，1，分别过这些点作x轴与A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】先根据点P1,P2,P3在反比例函数上得到P1k6,6【详解】解：解：把y=1代入y=kx，得∴P同理可得P1k6∵S2∴k=6∴S1故选：B．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，根据S2=k−题型03两点一垂线【例3】（2023上·山东德州·九年级统考期末）如图，直线y=mx与双曲线y=kx交于A、B两点．过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM．若S△ABM=2，则A．2 B．m−2 C．m D．4【答案】A【分析】设A坐标为m,n，根据直线与双曲线的对称性得到点B坐标为−m,−n，即可得到S△ABM=mn=2，根据点【详解】解：设点A坐标为m,n，由直线与双曲线的对称性得点A和点B关于原点对称，∴点B坐标为−m,−n，∴S△ABM∵点A在点第一象限，∴k=mn=2．故选：A【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义和中心对称性，熟知反比例函数的中心对称性根据点A坐标确定点B的坐标是解题关键．【变式3-1】（2023·广西贵港·统考一模）如图，点Am，1和B−2，n都在反比例函数y=4x的图象上，过点A分别向x轴y轴作垂线，垂足分别是M、N，连接OA、OB、AB，若四边形OMAN的面积记作A．S1:SC．S1:S【答案】C【分析】根据图象上点的坐标特征求出A4，1，B−2，−2，根据反比例函数比例系数k的几何意义求得【详解】解：∵点Am，1和B∴m=4，∴点A4，1∵过点A分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为点M，N．∴S1如图，过点B作BK⊥AN交AN的延长线于点K，∴AN=4，∴S2∴S1故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数比例系数k的几何意义，分别求得S1、S【变式3-2】（2022下·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx（m≠0，m为常数）与双曲线y=kx（k≠0，k为常数）交于点A，B，若A(−1,a),B(b,−3).，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM,，则A．2 B．m−1 C．3 D．6【答案】C【分析】根据反比例的图象关于原点中心对称得到点A与点B关于原点中心对称，则S△OAM=S△OBM，A(−1,3),(1,−3)，代入解析式求得k=−3，然后根据反比例函数y=k【详解】解：∵直线y=mx（m≠0，m为常数）与双曲线y=kx（k≠0，k为常数）交于点A，∴点A与点B关于原点中心对称，∴S△∵A(−1,a),B(b,−3)，∴a=3,b=1，∴A(−1,3),(1,−3)，∴k=−1×3=−3，∵AM⊥x轴，垂足为M，∴S△AOM∵S△∴S△ABM故选：C．【点睛】本题考查了正比例函数的性质，反比例函数y=kx(k≠0)系数k的几何意义：从反比例函数y=kx(k≠0)图象上任意一点向【变式3-3】（2019下·河南南阳·八年级统考期末）如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=kx的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连结BC.若（1）求k的值；（2）直接写出：①点A坐标____________；点B坐标_____________；②当kx≤2x时，（3）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）k=2；（2）①1,2，−1,−2；②x≥1或0>x≥−1；（3）存在，D坐标为−5,0或5,0，−5,0【分析】（1）首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于1，然后由反比例函数y=kx的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于1（2）联立两函数即可求出坐标，根据图象可写出范围.（3）设点D坐标为m,0连结AD、BD，再根据勾股定理解答即可.【详解】解：（1）由题意知：点A与点B关于原点对称，点O为AB中点，所以S又

S所以S所以1k=2

（2）已知两函数交于A，B两点，故y=2x①点A坐标1,2，点B坐标−1,−2②根据图象可得即是反比例函数在正比例函数下方的范围：x≥1或0>x≥−1.（3）设点D坐标为m,0连结AD、BD；∴A或B或A当AD2=AB2三角形ABD为直角三角形，解得m=−5或m=±5或所以点D坐标为−5,0或5,0，−【点睛】本题主要考查函数图象的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．题型04两点两垂线【例4】（2023·吉林长春·校考一模）如图，在▱ABCD中，AB∥x轴，点B、D在反比例函数y=kxk≠0的图象上，若▱ABCDA．10 B．15 C．20 D．25【答案】A【分析】先根据平行四边形的性质得到AB=CD，CD∥x轴，设Bm，km，则【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AB∥∴CD∥设Bm∴OA=k∴D−m∴OC=k∴AC=2k∵▱ABCD的面积是20，∴AC⋅AB=20，∴2km∴k=10，故选A．【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质，正确用含k的式子表示出AC，【变式4-1】（2021·河南许昌·统考一模）如图，点A是第一象限内双曲线y＝mx（m＞0）上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y＝nx（n＜0）于点B，作AC∥y轴，交双曲线y＝nx（n＜0）于点C，连接BC．若△ABC的面积为92，则A．m＝19，n＝﹣109 B．m＝14，nC．m＝1，n＝﹣2 D．m＝4，n＝﹣2【答案】A【分析】设A的坐标为（x，mx），分别表示出点B和点C的坐标，再根据三角形的面积公式得出m【详解】解：∵点A是第一象限内双曲线y＝mx（m＞0∴设A的坐标为（x，mx∵AB∥x轴，AC∥y轴，且B、C两点在y＝nx（n＜0∴B的坐标为（nxm，mx），C的坐标为（x，∴AB=x−nxm，AC=∵△ABC的面积为92∴12∴x−nxm∴m−∵将m和n的值代入，只有选项A中不符合．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，三角形形的面积等知识及综合应用知识、解决问题的能力．【变式4-2】（2022·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第六十八中学校考模拟预测）如图，A，B是函数y=mx（m＞0）的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABCA．S=m B．S=2m C．m<S<2m D．S>2m【答案】B【分析】根据A、B两点在曲线上可设A、B两点的坐标，再根据三角形面积公式列出方程，即可得到答案．【详解】设点A（x，y），则点B（-x，-y），∴xy=m，∴AC=2y，BC=2x，∴S△ABC故选：B．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是根据反比例函数关系式得到所求三角形的两直角边的积．题型05两点和原点【例5】（2023·辽宁营口·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kxx>0的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，△OMN的面积为10．则k

A．12 B．10 C．8 D．24【答案】D【分析】由正方形OABC的边长是6，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为6，求得M6，k6，【详解】解：∵正方形OABC的边长是6，∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，∴M6∴BN=6−k∵△OMN的面积为10，∴6×6−1∴k=24（负值已舍），故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，正方形的性质，由三角形的面积公式列出方程并解答是解题的关键．【变式5-1】（2023·福建宁德·统考一模）如图，已知直线l与x，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=kxx<0的图象交于C，D两点，连接OC，OD．若△AOC和△COD的面积都为3，则kA．−2 B．−3 C．−4 D．−6【答案】C【分析】先证S△AOC=S△BOD，再根据△AOC和△COD的面积都为3，得到S△AOC=S△BOD=S△COD【详解】∵直线l与反比例函数y=kxx<0相交并与x，y轴分别交于A∴AC=BD，作OH⊥AB，∵AC=BD，△BOD=12BD⋅OH∴S△AOC∵△AOC和△COD的面积都为3，∴S△AOC∴AC=CD=BD，作CE⊥y轴于H，∵CE∥BO，∠ACE=∠ABO，∴△ACE∼△ABO，∴AEAO∴AEOE∴S△ACE∴S△OCE∴k2∴k=4（舍去）k=−4．故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质是解题的关键．【变式5-2】（2023·广东东莞·校考一模）如图，点A，C为函数y=kxx<0图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为34时，A．−1 B．−2 C．−3 D．−4【答案】B【分析】先根据中点定义得出S△ACE=S△AEO=34，在根据k【详解】∵点E是CO的中点，∴S△ACE∵点A，C在反比函数图象上，∴S△ABO∴S四边形∵OEOC=1∴△OBE∼△ODC，∴S△OBE∴S△OCD则k=2∵反比例函数位于第二象限，∴k=−2．故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，相似三角形的性质和判定，求三角形的面积等，确定各三角形面积之间的关系是解题的关键．【变式5-3】（2021·河北唐山·统考一模）下列图形中，阴影部分面积与另外三个不同的是（）A．B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，得M1,3，N【详解】根据题意，得：M1,3，N选项A中，阴影部分面积=1选项B中，阴影部分面积=选项C中，阴影部分面积=3×3−1选项D中，阴影部分面积=故选：C．【点睛】本题考查了直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握坐标的性质，从而完成求解．【变式5-4】（2023·吉林长春·校考一模）如图，平面直角坐标系中，直线CD分别与x轴、y轴分别交于点D、C，点A、B为线段CD的三等分点，且A、B在反比例函数y=kxx>0,k>0的图象上，若△AOD的面积为12，则kA．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】作AM⊥x轴于M，设Am,km，则OM=m,AM=km，由题意可知OD=3m【详解】作AM⊥x轴于M，则AM∥OA，设Am,k∵AM∥OA，∴△DAM∼△DCO，∵点A、B为线段CD的三等分点，∴DMOD∴OD=3OM=3m∵S△AOD∴12∴k=8，故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，三角形面积，表示出A的坐标以及OD的长是解题的关键．【变式5-5】（2023·浙江温州·统考一模）如图，点A，B在x轴的正半轴上，以AB为边向上作矩形ABCD，过点D的反比例函数y=kx的图象经过BC的中点E．若△CDE的面积为1，则A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据题意设点E坐标为a,ka，则Ca,2ka，根据△CDE【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，E为BC的中点，∴AD=BC，∠C=90°，设Ea,ka，则C∴yC=y∴CD=x∵△CDE的面积为1，即：12∴k=4，故选：D【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，根据题意设点E坐标为a,k【变式5-6】（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测）如图，矩形OABC，双曲线y=kx(x>0)分别交AB、BC于F、E两点，已知OA=4，OC=3，且S△BEF=A．2 B．94 C．3 D．【答案】C【分析】设F点的坐标为4,m，可求得点E的坐标为43m,3，根据三角形面积公式得到S△BEF=1【详解】解：∵四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，∴设F点坐标为4,m，点E的纵坐标为3，∴4m=3x，解得x=4∴E点坐标为43则S△BEF整理得：m−32解得m=34或∴F4,∵双曲线y=kx(x>0)分别交AB、BC于F∴k=4×3故选：C．【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式和矩形的性质，利用面积求得点的坐标是解题的关键．题型06两曲一平行【例6】（2023·河南周口·统考二模）如图，过反比例函数y=2x(x>0)的图象上一点A作AB⊥y轴交反比例函数y=kx(x<0)的图象于点B，连接OA，OB，若A．8 B．6 C．−8 D．−6【答案】D【分析】利用反比例函数系数k的几何意义，先求出S△AOC，再求出S△BOC，进而求出【详解】解：记AB与x轴的交点为C，∵点A在反比例函数y=2x(x>0)∴S∵S∴S∴1根据图象可知：k<0，∴k=−6，故选：D．【点睛】此题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．【变式6-1】（2023·青海西宁·统考二模）如图，点A在反比例函数y=6x的图象上，点B在反比例函数y=kx的图象上，点C,D在x轴上．若四边形ABCD是正方形，且面积为9，则

A．11 B．15 C．−11 D．−15【答案】B【分析】根据正方形性质求出A、B纵坐标，利用图形即可求出B横坐标，最后将点B代入反比例函数中即可求出答案.【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，且面积为9，∴AB=AD=BC=3，∴A的纵坐标为3，B的纵坐标为3.∵点A在反比例函数y=6∴A的横坐标为：xA∴B的横坐标为：2+3=5.∴B5,3∵点B在反比例函数y=k∴k=3×5=15.故选：B.【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键.【变式6-2】（2023·辽宁铁岭·校考二模）如图，四边形OABC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数y=3xx>0的图象上，点A在反比例函数y=kxx>0的图象上，若平行四边形

A．−4 B．−5 C．−6 D．−7【答案】A【分析】连接OB，根据反比例函数系数k的几何意义得到k+3=7，进而即可求得k【详解】解：连接OB，

∵四边形OABC是平行四边形，∴AB∥∴AB⊥x轴，∴S△AOD=1∴S△AOB∴S平行四边形∵平行四边形OABC的面积是7，∴k+3=7，即k∵在第四象限，∴k=−4，故选：A．【点睛】本题考查了反比例系数k的几何意义、平行四边形的面积，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12【变式6-3】（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，设点P作反比例函数y=k1x(x>0)的图象上，PC⊥x轴于点C，交反比例函数y=k2x(x>0)的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交反比例函数

A．k1+k2 B．k1−【答案】B【分析】根据题意得k1>k2>0，S【详解】解：∵点P在反比例函数y=k1x(x>0)的图象上，PC⊥x轴于点C，交反比例函数y=k2x(x>0)的图象于点A，∴k1S矩形S△AOC∴四边形PAOB的面积为：S矩形故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数中k的几何意义．【变式6-4】（2021·贵州铜仁·校考一模）如图，点A是反比例函数y1＝1x（x＞0）图象上一点，过点A作x轴的平行线，交反比例函数y2=kx（x＞0）的图象于点B，连接OA、OBA．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】延长BA，与y轴交于点C，由AB与x轴平行，得到BC垂直于y轴，利用反比例函数k的几何意义表示出三角形AOC与三角形BOC面积，由三角形BOC面积减去三角形AOC面积表示出三角形AOB面积，将已知三角形AOB面积代入求出k的值即可．【详解】解：延长BA，与y轴交于点C，∵AB//x轴，∴BC⊥y轴，∵A是反比例函数y1＝1x（x＞0）图象上一点，B为反比例函数y2＝kx（∴S△AOC＝12，S△BOC＝k∵S△AOB＝1，即k2解得：k＝3，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．【变式6-5】（2022·山东日照·统考中考真题）如图，矩形OABC与反比例函数y1=k1x（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数y2=k2x（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形A．3 B．-3 C．32 D．【答案】B【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．【详解】解：∵点M、N均是反比例函数y1=k1x（∴S△OAM∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y2=k2x