中考数学一轮复习考点（精讲精练）复习专题19 三角形存在性问题（教师版）

专题19专题19三角形存在性问题知识导航知识导航方法技巧方法技巧1．判定△ABD的形状，并说明理由。运用勾股定理或两点间的距离公式，求出该三角形各边的长，再根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状。2．在对称轴x=1上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由.设出动点P的坐标为(1,t)后，分三种情况，若P为顶点，则PB=PC；若B为顶点，则BP=BC；若C为顶点，则CP=CB。分别用两点间的距离公式求出或表示各线段的长度，列方程求解即可。3．若平行于x轴的动直线l与直线BD交于点F,与抛物线交于点P,若△ODF为等腰三角形,求出点P的坐标.用勾股定理求平面直角坐标系内的两点间的距离，再分类讨论等腰三角形各边的情况，进而求出点P的坐标。4．△ABD与△BOD是否相似？说明理由.用两点间的距离公式分别表示两个三角形的各边之长，再用相似的判定方法，注意相似中没有指明对应边，所以要分类讨论。题型精讲题型精讲题型一：等腰三角形存在性问题【例1】如图，已知抛物线SKIPIF1<0与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为SKIPIF1<0．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由．（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且SKIPIF1<0．在y轴上是否存在点F，使得SKIPIF1<0为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）四边形OCPQ是平行四边形，理由见详解；（3）（0，SKIPIF1<0）或（0，1）或（0，-1）【分析】（1）设抛物线SKIPIF1<0，根据待定系数法，即可求解；（2）先求出直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，SKIPIF1<0），（0≤x≤4），得到PQ=SKIPIF1<0，从而求出线段PQ长度最大值，进而即可得到结论；（3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，推出SKIPIF1<0，从而得SKIPIF1<0，进而求出E（5，4），设F（0，y），分三种情况讨论，即可求解．【详解】解：（1）∵抛物线SKIPIF1<0与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线SKIPIF1<0，∴B（4，0），C（0，4），设抛物线SKIPIF1<0，把C（0，4）代入得：SKIPIF1<0，解得：a=1，∴抛物线的解析式为：SKIPIF1<0；（2）∵B（4，0），C（0，4），∴直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，SKIPIF1<0），（0≤x≤4），∴PQ=-x+4-(SKIPIF1<0)=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴当x=2时，线段PQ长度最大=4，∴此时，PQ=CO，又∵PQ∥CO，∴四边形OCPQ是平行四边形；（3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，由（2）得：Q（2，-2），∵D是OC的中点，∴D（0，2），∵QN∥y轴，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，设E（x，SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍去），∴E（5，4），设F（0，y），则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①当BF=EF时，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，②当BF=BE时，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，③当EF=BE时，SKIPIF1<0，无解，综上所述：点F的坐标为：（0，SKIPIF1<0）或（0，1）或（0，-1）．．题型二：直角三角形存在性问题【例2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线SKIPIF1<0的图象与坐标轴相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点，其中SKIPIF1<0点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点坐标为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．动点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发，在线段SKIPIF1<0上以每秒SKIPIF1<0个单位长度向点SKIPIF1<0做匀速运动；同时，动点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发，在线段SKIPIF1<0上以每秒1个单位长度向点SKIPIF1<0做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接SKIPIF1<0，设运动时间为SKIPIF1<0秒．（1）求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值；（2）在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0运动的过程中，当SKIPIF1<0为何值时，四边形SKIPIF1<0的面积最小，最小值为多少？（3）在线段SKIPIF1<0上方的抛物线上是否存在点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0是以点SKIPIF1<0为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值为4；（3）（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点P作PE⊥x轴，垂足为E，利用S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；（3）画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明△PFM≌△QEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0），则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；（2）由（1）得：抛物线表达式为y=-x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），∴△OAC是等腰直角三角形，由点P的运动可知：AP=SKIPIF1<0，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，∴AE=PE=SKIPIF1<0=t，即E（3-t，0），又Q（-1+t，0），∴S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，AC=SKIPIF1<0，AB=4，∴0≤t≤3，∴当t=SKIPIF1<02时，四边形BCPQ的面积最小，即为SKIPIF1<0=4；（3）∵点M是线段AC上方的抛物线上的点，如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°，∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，∴∠PMF=∠QPE，在△PFM和△QEP中，SKIPIF1<0，∴△PFM≌△QEP（AAS），∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t，∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t，∴点M的坐标为（3-2t，4-t），∵点M在抛物线y=-x2+2x+3上，∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3，解得：t=SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），∴M点的坐标为（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．题型三：等边三角形存在性问题【例3】如图，抛物线y＝ax2+94x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3）与为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．【分析】（1）把点A（﹣1，0）和点C（0，3）代入y＝ax2+94x+c求出a与（2）①当点Q在y轴右边时，假设△QCO为等边三角形，过点Q作QH⊥OC于H，OC＝3，则OH=32，tan60°=QHOH，求出Q（332，32），把x=332代入②当点Q在y轴的左边时，假设△QCO为等边三角形，过点Q作QT⊥OC于T，OC＝3，则OT=32，tan60°=QTOT，求出Q（−332，32），把x=−332（3）求出B（4，0），待定系数法得出BC直线的解析式y=−34x+3，当M在线段BC上，⊙M与x轴相切时，延长PM交AB于点D，则点D为⊙M与x轴的切点，即PM＝MD，设P（x，−34x2+94x+3），M（x，−34x+3），则PD=−34x2+94x+3，MD=−34x+3，由PD﹣MD＝MD，求出x＝1，即可得出结果；当M在线段BC上，⊙M与y轴相切时，延长PM交AB于点D，过点M作ME⊥y轴于E，则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，设P（x，−34x2+94x+3），M（x，−34x+3），则PD=−34x2+94x+3，MD=−34x+3，代入即可得出结果；当M在BC延长线，⊙M与x轴相切时，点P与A重合，M的纵坐标的值即为所求；当M在CB延长线，⊙M与y轴相切时，延长PD交x轴于D，过点M作ME⊥y轴于E，则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，设P（【解析】（1）把点A（﹣1，0）和点C（0，3）代入y＝ax2+94x+c得：解得：a=−34c=3，∴抛物线的解析式为：y=−34（2）不存在，理由如下：①当点Q在y轴右边时，如图1所示：假设△QCO为等边三角形，过点Q作QH⊥OC于H，∵点C（0，3），∴OC＝3，则OH=12OC=32，tan60°=QHOH，∴QH＝OH•tan60°=3把x=332代入y=−34x2+∴当点Q在y轴右边时，不存在△QCO为等边三角形；②当点Q在y轴的左边时，如图2所示：假设△QCO为等边三角形，过点Q作QT⊥OC于T，∵点C（0，3），∴OC＝3，则OT=12OC=3∴QT＝OT•tan60°=32×3=33把x=−332代入y=−34x2+∴当点Q在y轴左边时，不存在△QCO为等边三角形；综上所述，在抛物线上不存在一点Q，使得△QCO是等边三角形；（3）令−34x2+94x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x设BC直线的解析式为：y＝kx+b，把B、C的坐标代入则0=4k+b3=b，解得：k=−∴BC直线的解析式为：y=−34x+3，当M在线段BC上，⊙M与延长PM交AB于点D，则点D为⊙M与x轴的切点，即PM＝MD，设P（x，−34x2+94x+3），M（x，−34x+3），则PD=−34x∴（−34x2+94x+3）﹣（−34x+3）=−34∴⊙M的半径为：MD=−34+3=94；当M在线段BC上，延长PM交AB于点D，过点M作ME⊥y轴于E，则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，设P（x，−34x2+94x+3），M（x，−34x+3），则PD=−34x∴（−34x2+94x+3）﹣（−34x+3）＝x，解得：x∴⊙M的半径为：EM=83；当M在BC延长线，⊙M与点P与A重合，∴M的横坐标为﹣1，∴⊙M的半径为：M的纵坐标的值，即：−34×（﹣1）+3=154；当M在CB延长线，延长PD交x轴于D，过点M作ME⊥y轴于E，则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，设P（x，−34x2+94x+3），M（x则PD=34x2−94x﹣3，MD=34x﹣3，∴（34x2−解得：x1=163，x2＝0（不合题意舍去），∴⊙M的半径为：EM综上所述，⊙M的半径为94或83或154题型四：三角形相似存在性问题【例4】已知抛物线SKIPIF1<0与x轴交于点A、B（其中A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点B、C的坐标；（2）设点SKIPIF1<0与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相似且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）存在，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【分析】(1)令y=0,求SKIPIF1<0的根即可；令x=0,求得y值即可确定点C的坐标；（2）确定抛物线的对称轴为x=1,确定SKIPIF1<0的坐标为（2，8），计算SKIPIF1<0C=2，利用直角相等，两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，分类求解即可.【详解】解：（1）令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．（2）存在．由已知得，该抛物线的对称轴为直线SKIPIF1<0．∵点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∵点P在y轴上，∴SKIPIF1<0∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，i）当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0ii）当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．iii）当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0矛盾．∴点P不存在∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．提分训练提分训练1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由一次函数图象与坐标轴交点B、D的坐标，再由对称求得C点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），由三角形的面积公式求得△MDB的面积关于m的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得m的值，进而得P点的坐标；（3）分三种情况：M为直角顶点；N为直角顶点；Q为直角顶点．分别得出Q点的坐标．【解析】（1）令y＝0，得y＝x﹣6＝0，解得x＝6，∴B（6，0），令x＝0，得y＝x﹣6＝﹣6，∴D（0，﹣6），∵点C与点D关于x轴对称，∴C（0，6），把B、C点坐标代入y＝﹣x2+bx+c中，得−36+6b+c=0c=6，解得，b=5c=6，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），则MN＝﹣m2+4m+12，∴△MDB的面积=12MN⋅OB=−3m2+12m+36═﹣3（m∴当m＝2时，△MDB的面积最大，此时，P点的坐标为（2，0）；（3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4），当∠QMN＝90°时，QM∥x轴，则Q（0，12）；当∠MNQ＝90°时，NQ∥x轴，则Q（0，﹣4）；当∠MQN＝90°时，设Q（0，n），则QM2+QN2＝MN2，即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，解得，n＝4±55∴Q（0，4+55）或（0，4−综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+55）或（0，4−2．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线SKIPIF1<0与两坐标轴分别相交于A，B，C三点（1）求证：∠ACB=90°（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．①求DE+BF的最大值；②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与SKIPIF1<0AOG相似，求点D的坐标．【答案】（1）（2）①9；②SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【分析】（1）分别计算A，B，C三点的坐标，再利用勾股定理求得AB、BC、AC的长，最后利用勾股定理逆定理解题；（2）①先解出直线BC的解析式，设SKIPIF1<0，接着解出SKIPIF1<0，利用二次函数的配方法求最值；②根据直角三角形斜边的中线性质，解得AG的长，再证明SKIPIF1<0，再分两种情况讨论以点C，D，E为顶点的三角形与SKIPIF1<0AOG相似，结合相似三角形对应边成比例性质解题即可．【详解】解：（1）令x=0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,，（2）①设直线BC的解析式为：，代入，得设即DE+BF的最大值为9；②点G是AC的中点，在中，即为等腰三角形，若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，则①,又，或经检验：不符合题意，舍去，②，又整理得，，或，同理：不合题意，舍去，综上所述，或．3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，设点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），进而可得出PF的长度，利用三角形的面积公式可得出S△PBC＝﹣3m2+9m，配方后利用二次函数的性质即可求出△PBC面积的最大值；（3）分两种不同情况，当点M位于点C上方或下方时，画出图形，由相似三角形的性质得出方程，求出点M，点N的坐标即可．【解析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，得：a−b+6=09a+3b+6=0，解得：a=−2b=4，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4（2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，如图1所示．当x＝0时，y＝﹣2x2+4x+6＝6，∴点C的坐标为（0，6）．设直线BC的解析式为y＝kx+c，将B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+c，得：3k+c=0c=6，解得：k=−2c=6，∴直线BC的解析式为y＝﹣2∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，∴点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，∴S△PBC=12PF•OB＝﹣3m2+9m＝﹣3（m−32∴当m=32时，△PBC面积取最大值，最大值为∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，∴0＜m＜3．（3）存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．如图2，∠CMN＝90°，当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，∴△MCD∽△NCM，若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△OBC相似，设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，当DMCD=OBOC=36=12时，△∴M（1，8），此时ND=12DM=12，∴当CDDM=OBOC=12时，△COB∽△MDC∽△∴M（74，558），此时N（0，838）．如图3，当点M过点M作ME⊥y轴于点E，设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，同理可得：2a2−4aa=12或2a2−4a∴M（94，398）或M（3，0），此时N点坐标为（0，38综合以上得，M（1，8），N（0，172）或M（74，558），N（0，838）或M（94，398），N（0，38）或M（3，0），N（0，−4．如图，抛物线SKIPIF1<0与x轴交于点SKIPIF1<0和点，与y轴交于点C，连接，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），即可得到关于a、b的方程，从而可以求得a、b的值，然后即可写出抛物线的解析式；（2）根据（1）中抛物线的解析式，设点P的坐标，然后再根据是等腰直角三角形，得出是等腰直角三角形，再分类讨论，列出方程，即可求解．【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴解得∴此抛物线的解析式为：（2）当时，，所以，OB=OC=3，∴是等腰直角三角形，以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，∴是等腰直角三角形，设点P的坐标为，抛物线的对称轴为直线，设BC的解析式为，将B（﹣3，0），C（0，3）代入得，，解得，，故BC的解析式为，把代入得，，则E点坐标为，如图，当E为直角顶点时，，解得，，（舍去），把代入得，，则P点坐标为，当Q为直角顶点时，PQ=QE，即，解得，（舍去），把代入得，，则P点坐标为；当P为直角顶点时，作PM⊥EQ于M，PM=ME，即，解得，（舍去），则P点坐标为；综上，P点坐标为或．5．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点的坐标为．

（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图1，若点在抛物线上且满足，求点的坐标；（3）如图2，是直线上一个动点，过点作轴交抛物线于点，是直线上一个动点，当为等腰直角三角形时，直接写出此时点及其对应点的坐标【答案】（1）；（2），；（3），；，；，；，；，；，．【分析】（1）由和，且D为顶点列方程求出a、b、c，即可求得解析式；（2）分两种情况讨论：①过点作，交抛物线于点，②在下方作交于点，交抛物线于；（3）为等腰直角三角形，分三种情况讨论：当；②当；③当．【详解】解：（1）将和代入得又∵顶点的坐标为∴∴解得∴抛物线的解析式为：．（2）∵和∴直线的解析式为：∵抛物线的解析式为：，抛物线与轴交于点，与轴交于点和点，则C点坐标为，B点坐标为．①过点作，交抛物线于点，则直线的解析式为，结合抛物线可知，解得：（舍），，故．②过点作轴平行线，过点作轴平行线交于点，由可知四边形为正方形，∵直线的解析式为∴与轴交于点，在下方作交于点，交抛物线于∴又∵OC=CG，∴≌，∴，，又由可得,直线的解析式为，结合抛物线可知，解得（舍），，故．综上所述，符合条件的点坐标为：，．（3）∵，∴直线的解析式为设M的坐标为，则N的坐标为∴∵，∴直线的解析式为∵为等腰直角三角形∴①当时，如下图所示则Q点的坐标为∴∴解得：（舍去），，∴此时，；，；②当时，如下图所示则Q点的坐标为∴∴解得：（舍去），，∴此时，；，；③当时，如图所示则Q点纵坐标为∴Q点的坐标为∴Q点到MN的距离=∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）解得：（舍去），，∴此时，；，．综上所述，点及其对应点的坐标为：，；，；，；，；，；，．