河北省唐山市2012届高三数学下学期第二次模拟考试试题 理 新人教A版

PAGEPAGE9河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试数学（理）试题说明： 一、本试卷共4页，包括三道大题，24道小题，共150分，其中1．～(21)小题为必做题，(22)～(24)小题为选做题． 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 三、做选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案，四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回，参考公式：样本数据的标准差；为样本平均数；柱体体积公式：、h为高；锥体体积公式：为高； 球的表面积、体积公式：其中R为球的半径。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．已知=2+i，则复数z的共轭复数为A．-3-i B．-3+i C．3+i D．3-i2．的展开式中的常数项为 A．－15 B．15 C．－20 D．203．己知命题p：“a>b”是“2a>2b”的充要条件；q：∈R，lx+ll≤x，则A．pq为真命题 B．pq为假命题C．pq为真命题 D．pq为真命题4．已知是第三象限的角，且tan=2，则sin（+）= A． B． C． D．5．设变量x、y满足则目标函数z=2x+y的最小值为 A．6 B．4 C．2 D．6．把函数y=sin（2x-）的图象向左平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为 A．x=0 B．x= C．x=— D．x=7．执行如图所示的算法，若输出的结果y≥2，则输入的x满足A．x≤一l或x≥4 B．x≤-lC．-1≤x≤4 D．x≥4 8．已知某几何体的三视图如图所示，则其体积为A．1 B． C． D．29．奇函数f（x）、偶函数g（x）的图象分别如图1、2所示，方程f（g(x）)=0、g（f(x））=0的实根个数分别为a、b，则a+b= A．14 B．10 C．7 D．310．直线l与双曲线C：交于A、B两点，M是线段AB的中点，若l与OM（O是原点）的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为A． B． C．2 D．311．曲线y=与其在点（0，一1）处的切线及直线x=1所围成的封闭图形的面积为A．1－ln2 B．2－2n2 C．ln2 D．2ln2－112．把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为 A．l0cm B．10cm C．10cm D．30cm二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．函数y=的定义域为。14．向圆(x一2）2+（y—）=4内随机掷一点，则该点落在x轴下方的概率为。15．过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若|AF|=2|BF|=6，则p=。16．在△ABC中，（则角A的最大值为。三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）已知数列满足：.（I）求数列的通项公式；（II）设，求18．（本小题满分12分）某篮球队甲、乙两名队员在本赛零已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（I）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；（II）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过15分次数X的分布列和均值．19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（I）求证：平面EAC⊥平面PBC;（II）若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，长为的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动，．记点P的轨迹为曲线E．（I）求曲线E的方程；（II）经过点（0，1）作直线l与曲线E相交于A、B两点，当点M在曲线E上时，求的值．21．（本小题满分12分）已知.（I）求函数f（x）的最小值；（II）（i）设 （ii）若，且证明： 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲 如图，在△ABC中，BC边上的点D满足BD=2DC，以BD为直径作圆O恰与CA相切于点A，过点B作BE⊥CA于点E，BE交圆D于点F．（I）求∠ABC的度数：（II）求证：BD=4EF．23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为z轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同，己知圆C1的极坐标方程为p=4（cos+sin，P是C1上一动点，点Q在射线OP上且满足OQ=OP，点Q的轨迹为C2。（I）求曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（II）已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤<），l与曲线C2有且只有一个公共点，求的值．24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 设f（x）=|x|+2|x-a|（a>0）．（I）当a=l时，解不等式f（x）≤4；（II）若f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试理科数学参考答案选择题：A卷：AABCB CDDCB CBB卷：CBDAC BACBA DB二、填空题：（13）(lg2，＋∞) （14）eq\f(1,6)－eq\f(\r(3),4) （15）4 （16）eq\f(,6)三、解答题：（17）解：（Ⅰ）eq\f(1,a1)＝eq\f(3,8)(32－1)＝3， …1分当n≥2时，∵eq\f(n,an)＝(eq\f(1,a1)＋eq\f(2,a2)＋…＋eq\f(n,an))－(eq\f(1,a1)＋eq\f(2,a2)＋…＋eq\f(n－1,an－1))＝eq\f(3,8)(32n－1)－eq\f(3,8)(32n－2－1)＝32n－1， …5分当n＝1，eq\f(n,an)＝32n－1也成立，所以an＝eq\f(n,32n－1)． …6分（Ⅱ）bn＝log3eq\f(an,n)＝－(2n－1)， …7分eq\f(1,bnbn＋1)＝eq\f(1,(2n－1)(2n＋1))＝eq\f(1,2)(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))，∴eq\f(1,b1b2)＋eq\f(1,b2b3)＋…＋eq\f(1,bnbn＋1)＝eq\f(1,2)[(1－eq\f(1,3))＋(eq\f(1,3)－eq\f(1,5))＋…＋(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))] …10分＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1,2n＋1))＝eq\f(n,2n＋1)． …12分（18）解：（Ⅰ）eq\o(x,-)甲＝eq\f(1,8)(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，eq\o(x,-)乙＝eq\f(1,8)(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，seq\o(2,甲)＝eq\f(1,8)[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，seq\o(2,乙)＝eq\f(1,8)[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）． …4分（Ⅱ）根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p1＝eq\f(3,8)，p2＝eq\f(1,2)，两人得分均超过15分的概率分别为p1p2＝eq\f(3,16)，依题意，X～B(2，eq\f(3,16))，P(X＝k)＝Ceq\o(k,2)(eq\f(3,16))k(eq\f(13,16))2－k，k＝0，1，2， …7分X的分布列为X012Peq\f(169,256)eq\f(78,256)eq\f(9,256)…10分X的均值E(X)＝2×eq\f(3,16)＝eq\f(3,8)． …12分（19）解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB＝2，AD＝CD＝2，∴AC＝BC＝eq\r(2)，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，∵AC平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC． …4分DACEPBxyz（Ⅱ）如图，以C为原点，eq\o(DA,\s\up5(→))、eq\o(CD,\s\up5(→))、eq\o(CP,\s\up5(→))分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，－1，0)．DACEPBxyz设P(0，0，a)（a＞0），则E(eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，eq\f(a,2))， …6分eq\o(CA,\s\up5(→))＝(1，1，0)，eq\o(CP,\s\up5(→))＝(0，0，a)，eq\o(CE,\s\up5(→))＝(eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，eq\f(a,2))，取m＝(1，－1，0)，则m·eq\o(CA,\s\up5(→))＝m·eq\o(CP,\s\up5(→))＝0，m为面PAC的法向量．设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·eq\o(CA,\s\up5(→))＝n·eq\o(CE,\s\up5(→))＝0，即eq\b\lc\{(\a\al(x＋y＝0，,x－y＋az＝0，))取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，依题意，|cosm，n|＝eq\f(|m·n|,|m||n|)＝eq\f(a,\r(a2＋2))＝eq\f(\r(6),3)，则a＝2． …10分于是n＝(2，－2，－2)，eq\o(PA,\s\up5(→))＝(1，1，－2)．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ＝|coseq\o(PA,\s\up5(→))，n|＝eq\o(\s\up9(|\o(PA,\s\up5(→))·n|),\s\up8(__________),\s\do6(|\o(PA,\s\up5(→))||n|))＝eq\f(\r(2),3)，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为eq\f(\r(2),3)． …12分（20）解：（Ⅰ）设C(m，0)，D(0，n)，P(x，y)．由eq\o(CP,\s\up5(→))＝eq\r(2)eq\o(PD,\s\up5(→))，得(x－m，y)＝eq\r(2)(－x，n－y)，∴eq\b\lc\{(\a\al(x－m＝－\r(2)x，,y＝\r(2)(n－y)，))得eq\b\lc\{(\a\al(m＝(\r(2)＋1)x，,n＝\f(\r(2)＋1,\r(2))y，)) …2分由|eq\o(CD,\s\up5(→))|＝eq\r(2)＋1，得m2＋n2＝(eq\r(2)＋1)2，∴(eq\r(2)＋1)2x2＋eq\f((\r(2)＋1)2,2)y2＝(eq\r(2)＋1)2，整理，得曲线E的方程为x2＋eq\f(y2,2)＝1． …5分（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\o(OM,\s\up5(→))＝eq\o(OA,\s\up5(→))＋eq\o(OB,\s\up5(→))，知点M坐标为(x1＋x2，y1＋y2)．设直线l的方程为y＝kx＋1，代入曲线E方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，则x1＋x2＝－eq\f(2k,k2＋2)，x1x2＝－eq\f(1,k2＋2)． …7分y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝eq\f(4,k2＋2)，由点M在曲线E上，知(x1＋x2)2＋eq\f((y1＋y2)2,2)＝1，即eq\f(4k2,(k2＋2)2)＋eq\f(8,(k2＋2)2)＝1，解得k2＝2． …9分这时x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋k(x2＋x2)＋1＝－eq\f(3,4)，(xeq\o(2,1)＋yeq\o(2,1))(xeq\o(2,2)＋yeq\o(2,2))＝(2－xeq\o(2,1))(2－xeq\o(2,2))＝4－2(xeq\o(2,1)＋xeq\o(2,2))＋(x1x2)2＝4－2[(x1＋x2)2－2x1x2]＋(x1x2)2＝eq\f(33,16)，coseq\o(OA,\s\up5(→))，eq\o(OB,\s\up5(→))＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r((x\o(2,1)＋y\o(2,1))(x\o(2,2)＋y\o(2,2))))＝－eq\f(\r(33),11)． …12分（21）解：（Ⅰ）f(x)＝x－eq\f(a2,x)＝eq\f((x＋a)(x－a),x)． …1分当x∈(0，a)时，f(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，f(x)＞0，f(x)单调递增．当x＝a时，f(x)取得极小值也是最小值f(a)＝eq\f(1,2)a2－a2lna． …4分（Ⅱ）（ⅰ）设g(t)＝f(a＋t)－f(a－t)，则当0＜t＜a时，g(t)＝f(a＋t)＋f(a－t)＝a＋t－eq\f(a2,a＋t)＋a－t－eq\f(a2,a－t)＝eq\f(2at2,t2－a2)＜0， …6分所以g(t)在(0，a)单调递减，g(t)＜g(0)＝0，即f(a＋t)－f(a－t)＜0，故f(a＋t)＜f(a－t)． …8分（ⅱ）由（Ⅰ），f(x)在(0，a)单调递减，在(a，＋∞)单调递增，不失一般性，设0＜x1＜a＜x2，因0＜a－x1＜a，则由（ⅰ），得f(2a－x1)＝f(a＋(a－x1))＜f(a－(a－x1))＝f(x1)＝f(x2)， …又2a－x1，x2∈(a，＋∞故2a－x1＜x2，即x1＋x2＞2a． （22）解：（Ⅰ）连结OA、AD．∵AC是圆O的切线，OA＝OB，∴OA⊥AC，∠OAB＝∠OBA＝∠DAC， …2分又AD是Rt△OAC斜边上的中线，CABEDOF∴AD＝CABEDOF∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60，故∠ABC＝eq\f(1,2)∠AOD＝30． …5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，在Rt△AEB中，∠EAB＝∠ADB＝60，∴EA＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)BD＝eq\f(\r(3),4)BD，EB＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)BD＝eq\f(3,4)BD， …7分由切割线定理，得EA2＝EF×EB，∴eq\f(3,16)BD2